课件：C++版数据结构与算法分析教学演示

数据结构与算法分析（版C++）欢迎参加数据结构与算法分析课程！本课程将系统讲解数据结构与算法的基本概念、实现方法和应用场景，使用作为实现语言C++通过本课程学习，您将掌握如何分析和设计高效的数据结构与算法，提高编程效率和代码质量无论是准备技术面试，还是提升自身的计算机科学素养，本课程都将为您提供坚实的基础本课程设计为循序渐进的学习体验，从基础概念到高级应用，帮助您全面掌握数据结构与算法分析的核心内容第一章绪论数据结构的基本概念算法的基本概念数据结构是计算机存储、算法是解决特定问题的清组织数据的方式，是相互晰指令序列，它具有输入之间存在一种或多种特定、输出、有限性、确定性关系的数据元素的集合和可行性五个基本特性良好的数据结构设计可以好的算法应该具备正确性提高算法的效率，是程序、可读性、健壮性和高效设计的核心内容性时间复杂度和空间复杂度时间复杂度度量算法执行时间随输入规模增长的速率，空间复杂度度量算法所需存储空间随输入规模增长的速率它们是评价算法优劣的重要标准算法分析基础渐进符号常见的时间复杂度最好、最坏和平均情况分析渐进符号用于描述算法复杂度的增长按照效率从高到低排序算法分析需要考虑不同输入情况下的趋势表现常数时间•O1符号表示上界，即算法的最最好情况最理想的输入数据•O对数时间••Olog n坏情况最坏情况最不理想的输入数据线性时间••On符号表示下界，即算法的最•Ω平均情况所有可能输入的加权线性对数时间••On logn好情况平均平方时间•On²符号表示紧确界，同时描述•Θ指数时间上界和下界•O2ⁿ基础回顾C++类和对象模板是面向对象的编程语言，通过类和模板是泛型编程的基础，允许创建C++C++对象实现数据封装、继承和多态类定可以处理任何数据类型的通用代码，提义了对象的属性和行为，对象是类的实高代码重用性例函数模板创建处理不同类型的通•封装将数据和方法组合在一起用函数•继承允许类从其他类派生属性和类模板创建处理不同类型的通用••方法类多态允许不同类对同一方法有不变量模板引入，创建针对••C++14同的实现不同类型的变量简介STL标准模板库提供了常用的数据结构和算法，大大简化了编程STL C++容器如、、等•vector listmap算法如、、等•sort findtransform迭代器连接容器和算法的桥梁•函数对象可作为算法参数的函数封装•第二章线性表线性表的基本操作线性表的常见操作包括初始化、销毁、清空、判空、求长度、查找、插入、删除等这些操作构成了线性表数据结构的完整接口，线性表的定义使得用户能够灵活地操作和管理线性表中的顺序表和链表的比较线性表是具有相同数据类型的个数据元素的数据n有限序列其中为表长，当时为空表顺序表使用连续存储空间，支持随机访问，n n=0线性表中，除第一个元素外，每个元素有且但插入删除效率低；链表使用非连续存储空仅有一个直接前驱；除最后一个元素外，每间，插入删除效率高，但不支持随机访问个元素有且仅有一个直接后继两者各有优缺点，适用于不同的应用场景顺序表顺序表的定义和实现顺序表是用一段连续的存储单元依次存储线性表中的数据元素，通常使用数组实现在中，可以使用动态数组或容器来实现顺序表C++vector，自动管理存储空间的分配和释放顺序表的优缺点优点支持随机访问，存取速度快•优点存储密度高，无需额外的指针开销•缺点插入和删除操作需要移动大量元素•缺点需要预先分配足够空间或频繁重新分配•顺序表的基本操作查找时间复杂度，直接通过下标访问•O1插入平均时间复杂度，需要移动元素•On删除平均时间复杂度，需要移动元素•On扩容当空间不足时，通常翻倍扩容•单链表单链表的定义和实现单链表是一种链式存储的线性表，每个节点包含数据域和指向下一个节点的指针通过节点之间的链接，实现元素的逻辑连续单链表的优缺点优点插入和删除操作高效，不需要移动元素；存储空间按需分配，无需预先确定大小缺点不支持随机访问，查找效率低；需要额外的指针空间单链表的基本操作常见操作包括插入（，如果已知位置）、删除（O1，如果已知位置）、查找（）等通常需要维O1On护头指针，便于访问链表的起始位置双向链表双向链表的定义和实现双向链表是一种更复杂的链表，每个节点除了包含数据外，还包含指向前一个节点和后一个节点的两个指针这种结构使得链表可以双向遍历，提高了操作的灵活性在中，可以自定义结构体实现双向链表，每个节点包含数据、前驱指针和后继C++Node指针三部分或者直接使用中的容器，它内部就是一个双向链表实现STL list双向链表的优缺点双向链表相比单链表有几个显著的优势可以双向遍历、删除节点时无需查找前驱节点、在任意位置插入删除操作更为高效但同时也有一些劣势每个节点需要额外的指针空间、结构更为复杂、实现操作时需要维护更多的指针关系双向链表的基本操作双向链表支持从任意方向遍历，常见的操作包括在指定位置插入节点、删除指定节点、查找元素等特别是，双向链表删除节点时不需要查找其前驱节点，因此比单链表更为高效在实现操作时，需要特别注意维护好前驱和后继指针的关系，确保链表的完整性通常，双向链表会维护头指针和尾指针，便于从两端访问链表循环链表应用场景适用于需要循环处理的场景，如轮询调度优缺点分析结构紧凑但实现复杂实现方式尾节点指向头节点形成环循环链表是一种特殊的链表，其特点是最后一个节点指向第一个节点，形成一个环循环链表可以基于单链表或双向链表实现，前者称为单循环链表，后者称为双向循环链表循环链表的主要优点是从任何一个节点出发都能遍历整个链表，不会遇到空指针，适合处理环形结构的问题例如，操作系统中的进程调度、轮询算法等都可以使用循环链表实现循环链表的基本操作与普通链表类似，但需要特别处理尾节点，确保其指向头节点在遍历时，要注意终止条件，避免无限循环第三章栈和队列栈的定义和特点队列的定义和特点栈和队列的应用场景栈是一种遵循后进先出原则的队列是一种遵循先进先出原则栈和队列在程序设计中有广泛的应用LIFO FIFO线性表，只能在一端（栈顶）进行插的线性表，只能在一端（队尾）插入入和删除操作栈具有以下特点，在另一端（队头）删除队列具有栈用于函数调用、表达式求值、以下特点•括号匹配等场景只允许在栈顶进行操作在队尾插入元素，在队头删除元••队列用于缓冲区管理、广度优先•素后进入的元素先被删除搜索、消息传递等场景•先进入的元素先被删除添加元素称为入栈或压栈•它们都是解决特定问题的有力工••添加元素称为入队具删除元素称为出栈或弹栈••删除元素称为出队•栈的实现顺序栈顺序栈使用数组实现，维护一个栈顶指针入栈操作增加并top top存入元素，出栈操作取出元素并减少顺序栈优点是实现简单，top缺点是需要预先分配空间，存在栈满的可能性链式栈链式栈使用链表实现，通常使用单链表，并将栈顶设置在链表头部入栈相当于在链表头部插入节点，出栈相当于删除头节点链式栈的优点是动态分配内存，不存在栈满的情况；缺点是需要额外的指针空间栈的基本操作无论是顺序栈还是链式栈，都需要实现以下基本操作初始化、判断栈是否为空、入栈、出栈、获取栈顶元素等这些操作的时间复杂度通常为，非常高效O1栈的应用括号匹配中缀表达式转后缀表达式函数调用栈使用栈可以有效解决括号匹配问题借助栈可以将中缀表达式如转程序执行过程中，函数的调用与返回a+b*c遍历表达式，遇到左括号入栈，遇到换为后缀表达式如转换规则通过调用栈实现每次函数调用，系abc*+右括号与栈顶括号匹配如果匹配成包括操作数直接输出；左括号入栈统都会为其创建栈帧，保存返回地址功，则弹出栈顶括号；否则表达式不；右括号时弹出栈内运算符直到左括、参数和局部变量函数返回时，栈合法最终，如果栈为空，则表达式号；运算符按优先级处理这种转换帧被销毁，程序继续执行调用点之后中的括号是匹配的简化了表达式的计算过程的指令理解调用栈有助于分析递归和调试程序队列的实现顺序队列顺序队列使用数组实现，维护队头和队尾指针简单实现front rear中，入队时增加，出队时增加但这种实现会导致假溢出rear front问题，即实际空间未满但达到数组边界，无法继续入队rear循环队列循环队列解决了顺序队列的假溢出问题，将数组视为首尾相连的环形结构当达到数组末尾时，绕回到数组开头判断队空条件为rear，判断队满条件为front==rear rear+1%maxSize==front链式队列链式队列使用链表实现，通常维护头指针和尾指针，分别指向队头和队尾入队时在尾部插入节点，出队时删除头部节点链式队列不存在空间固定的限制，但需要额外的指针空间队列的应用广度优先搜索广度优先搜索是图论中的一种搜索算法，使用队列实现从起点开始，将相邻未访问节点加入队列，然BFS后按入队顺序访问节点，直到找到目标或访问完所有可达节点可以找到最短路径，广泛应用于网络分析BFS、游戏开发等领域打印机任务队列操作系统中的打印任务管理采用队列机制多个用户发送的打印请求按先来先服务原则排队等待处理打印机任务管理器从队列头部取出任务执行，确保公平高效地处理所有打印请求消息队列分布式系统中，消息队列用于解耦生产者和消费者生产者将消息发送到队列，消费者从队列中获取并处理消息这种异步通信机制提高了系统的可扩展性和可靠性，广泛应用于微服务架构和分布式计算中第四章字符串2存储结构字符串主要有顺序存储和链式存储两种结构On基本操作复杂度大多数字符串操作的时间复杂度Om·n朴素匹配朴素字符串匹配算法的时间复杂度On+m高级算法等高级字符串匹配算法的时间复杂度KMP字符串是由零个或多个字符组成的有限序列，是计算机处理文本信息的基本数据类型在中，字符串可以使用字符数组或类表示C++string字符串的基本操作包括求长度、比较、连接、复制、子串提取等字符串处理在许多应用领域都非常重要，如文本编辑、信息检索、自然语言处理等高效的字符串算法可以显著提高这些应用的性能字符串匹配算法朴素匹配算法算法KMP最简单直接的字符串匹配方法，时间复杂通过部分匹配表避免不必要的比较，时间度为复杂度为Om·n Om+n算法Boyer-Moore算法Rabin-Karp从右向左比较并利用跳跃表加速，通常比使用哈希函数快速比较，适合多模式匹配更快KMP字符串匹配问题是在给定的文本串中查找模式串出现位置的问题朴素匹配算法最为直观，但效率较低；算法利用已匹配信息避免回溯；KMP算法通过坏字符规则和好后缀规则加速匹配；算法则利用哈希技术简化比较过程Boyer-Moore Rabin-Karp不同匹配算法适用于不同场景朴素算法适合短文本；适合模式串包含大量重复字符的情况；适合模式串较长且字符集较KMP Boyer-Moore大的情况；适合多模式匹配问题Rabin-Karp算法详解KMP数组的构建next数组是算法的核心，它记录了模式串中每个位置的最长相等前后缀长度构建数组的过程实际上是模式串自身的匹配过程，时间复杂度为，其中为模式串长next KMP next Omm度构建方法是从第二个字符开始，根据前一个字符的值和当前字符是否与对应位置匹配来确定当前字符的值next next算法的工作原理KMP算法通过数组避免回溯，当匹配失败时，不是回到文本串的下一个位置重新开始，而是根据已匹配的信息，将模式串向右移动合适的距离，继续比较KMPnext具体来说，当第个字符匹配失败时，算法将模式串向右移动个位置，然后从模式串的位置继续比较，而不必回到文本串的起始位置j j-next[j]next[j]算法的时间复杂度分析KMP算法的总体时间复杂度为，其中为模式串长度，为文本串长度这远优于朴素匹配算法的复杂度，尤其在处理长文本和短模式串时效率显著提高KMP Om+n mn Om*n空间复杂度方面，算法需要额外的空间来存储数组虽然增加了空间开销，但换来了时间效率的显著提升，这在大多数应用场景下是值得的KMP Omnext第五章树树的基本概念树的存储结构二叉树的定义和特性树是一种非线性结构树的存储结构主要有，由节点和边组成，双亲表示法（每个节二叉树是每个节点最没有环路每个节点点记录其父节点位置多有两个子节点的树可以有零个或多个子）、孩子表示法（每，分为左子树和右子节点，除根节点外的个节点记录其子节点树二叉树的特性包每个节点有且仅有一的链表）、孩子兄弟括在第层最多有i个父节点树的层次表示法（将树转换为个节点；深2^i-1反映了数据间的层次二叉树表示）等多种度为的二叉树最多h关系，广泛应用于各方式，各有优缺点有个节点；2^h-1种场景叶节点数等于度为2的节点数加等1二叉树的遍历先序遍历中序遍历后序遍历与层次遍历先序遍历（根左右）的访问顺序中序遍历（左根右）的访问顺序后序遍历（左右根）访问顺序------是是后序遍历左子树

1.访问根节点中序遍历左子树

1.

1.后序遍历右子树

2.先序遍历左子树访问根节点

2.

2.访问根节点

3.先序遍历右子树中序遍历右子树

3.

3.后序遍历常用于释放树的内存层次递归实现简单直观，也可以使用栈进对于二叉搜索树，中序遍历可以得到遍历则按层从上到下、从左到右访问行非递归实现先序遍历常用于创建有序序列中序遍历结合先序或后序节点，通常使用队列实现，适合于广二叉树副本、输出目录结构等场景遍历可以唯一确定一棵二叉树度优先搜索二叉树的实现二叉树的链式存储二叉树的顺序存储链式存储是二叉树最常用的存储方式，每个节点顺序存储使用数组实现，对于完全二叉树非常高包含数据域和指向左、右子节点的指针在效节点间的关系由数组索引表示C++中通常定义如下结构根节点存储在索引的位置（索引通常闲•10置）•struct TreeNode{ElementType data;TreeNode*left;TreeNode*right;};节点的左子节点在位置，右子节点在位置•i2i链式存储灵活方便，不需要预估规模•2i+1适合各种形态的二叉树，特别是不平衡的树节点的父节点在位置（整除）••i i/2占用额外的指针空间，但节点分配更合理对于非完全二叉树会浪费大量空间••二叉树的基本操作二叉树的常见操作包括创建二叉树可以通过先序序列、层次序列等方式构建•遍历二叉树前面讨论的四种遍历方式•查找节点递归或迭代方式在树中查找特定值•插入节点在适当位置添加新节点•删除节点移除节点及其可能的子树•计算树高递归计算树的最大深度•线索二叉树线索二叉树的概念线索二叉树的构建线索二叉树的遍历线索二叉树是对二叉树的一种优化，构建线索二叉树需要确定线索化的方线索二叉树的一个主要优势是可以直利用叶节点的空指针域存放指向其前式，常见的有先序线索化、中序线索接找到某个节点的前驱和后继，无需驱和后继的信息在传统二叉树中，化和后序线索化以中序线索化为例使用栈或递归以中序线索二叉树为个节点有个指针域，其中个，通过中序遍历过程中记录前驱后继例，查找后继节点的规则是如果右n2n n+1为空（叶节点的左右指针和部分节点关系空左指针指向中序前驱，空右子树非空，后继是右子树中最左节点的单个子节点指针）线索二叉树充指针指向中序后继同时，需要额外；如果右子树为空且右指针是线索，分利用这些空指针，提高遍历效率的标志位区分指针指向的是子节点还则右指针直接指向后继这使得遍历是线索操作的时间复杂度降为，空间On复杂度降为O1二叉搜索树二叉搜索树的定义二叉搜索树是具有以下性质的二叉树对于任意节点，其左子树上所有BST节点的值都小于该节点的值，其右子树上所有节点的值都大于该节点的值这种结构使得查找、插入和删除操作都能在Olog n时间内完成，非常高效二叉搜索树的插入插入操作首先找到合适的插入位置，然后创建新节点从根节点开始，若插入值小于当前节点值，则进入左子树；若大于当前节点值，则进入右子树；重复此过程直到找到空位置插入操作不会改变二叉搜索树的性质，时间复杂度为二叉搜索树的删除，其中为树高Oh h删除操作比插入更复杂，有三种情况删除叶节点直接移除；删除只有12一个子节点的节点，用其子节点替代；删除有两个子节点的节点，找到其3中序后继（右子树中最小节点）替代，然后删除后继节点删除操作的时间复二叉搜索树的查找杂度也是Oh查找操作从根节点开始，若查找值等于当前节点值，则返回；若小于当前节点值，则在左子树中查找；若大于当前节点值，则在右子树中查找查找的平均时间复杂度为，但在最坏情况下（如树退化为链表）会退化为Olog n On平衡二叉树（树）AVL树的定义AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，任何节点的左右子树高度差不超过每个节点AVL1都有一个平衡因子（左子树高度减右子树高度），取值范围是当插入{-1,0,1}或删除操作使节点的平衡因子超出这个范围时，需要通过旋转操作恢复平衡树的旋转操作AVL树通过旋转操作维持平衡，主要有四种情况AVL型右旋

1.LL型左旋

2.RR型先左旋后右旋

3.LR型先右旋后左旋

4.RL这些旋转操作可以在时间内完成，保证树的平衡性，从而维持查找、插入和O1删除操作的时间复杂度Olog n树的插入和删除AVL插入和删除操作与普通二叉搜索树类似，但增加了平衡性检查和必要的旋转操作插入节点后，沿着路径向上回溯，更新平衡因子，并在必要时进行旋转删除节点后也需要类似处理这些额外操作虽然增加了实现复杂度，但确保了树的平衡性，避免了最坏情况下的性能退化红黑树红黑树的定义和性质红黑树的插入操作红黑树是一种自平衡二叉搜索树，每个新节点默认为红色，插入后通过旋转和节点有红色或黑色属性变色维持红黑性质红黑树与树比较红黑树的删除操作AVL红黑树平衡性不如树，但插入和删删除节点后可能打破红黑性质，通过复AVL除操作效率更高杂的调整恢复平衡红黑树有五条重要性质每个节点是红色或黑色；根节点是黑色；所有叶节点（）是黑色；红色节点的子节点必须123NIL4是黑色；从任意节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数量的黑色节点5这些性质保证了从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的两倍，从而保证了树的大致平衡红黑树广泛应用于各种库函数的实现中，如中的、、和，以及内核中的完全公平调度器等C++STL mapset multimapmultiset Linux树和树B B+树的定义和特性树的定义和特性树和树的应用B B+B B+树是一种多路平衡查找树，适用于树是树的变种，专为数据库系统树和树在大型数据存储系统中应B B+B B B+磁盘等外存储设备树的主要特点设计树的主要特点用广泛BB+所有数据都存储在叶节点文件系统如等使••NTFS,HFS+所有叶节点都在同一层用树•内部节点只存储关键字和指针B•非叶节点包含指向子节点的指针数据库索引几乎所有关系型数•叶节点通过指针连接，形成有序••和关键字据库使用树链表B+每个节点至少半满键值存储许多数据库使•同一层的节点之间形成一个链表•NoSQL•用树变种所有节点（除根节点）至少有B•树的叶节点链表支持高效的范围个子节点B+m/2它们的高扇出性能和平衡结构使得在查询，非常适合数据库索引海量数据处理中具有出色的性能表现树的节点中同时存储关键字和数据B，适合文件系统等检索少量记录的场景第六章堆堆的定义和特性最大堆和最小堆堆的应用场景堆是一种特殊的完全二叉树，满足堆属最大堆的根节点是整个堆中的最大元素堆在计算机科学中有广泛应用堆排序性在最大堆中，任何节点的值都大于，适合用于需要频繁获取最大值的场景是一种高效的排序算法；优先队列通常或等于其子节点的值；在最小堆中，任，如优先级调度最小堆的根节点是整基于堆实现；图算法如最短路Dijkstra何节点的值都小于或等于其子节点的值个堆中的最小元素，适合用于需要频繁径和最小生成树算法中使用堆来Prim堆不是二叉搜索树，它只保证父子节获取最小值的场景，如事件模拟两种优化性能；操作系统中的任务调度、内点间的大小关系，不保证兄弟节点间的堆在实现上基本相同，只是比较大小的存管理也常用堆结构堆的简单实现和顺序逻辑相反高效操作使其成为许多算法的基础数据结构堆的实现堆的顺序存储堆通常使用数组实现，利用完全二叉树的性质，节点之间的父子关系通过索引计算对于索引为的节点，其父节点索引为，左子节点索引为，右子节点i i-1/22i+1⌊⌋索引为这种实现方式不需要显式的指针，节省空间且提高缓存命中率2i+2堆的插入操作插入操作将新元素添加到堆的末尾，然后进行上浮（）操作将新元素与其sift-up父节点比较，如果违反堆的性质，则交换它们，并继续向上比较，直到满足堆的性质或到达根节点插入操作的时间复杂度为，其中是堆的大小Olog n n堆的删除操作删除操作通常是移除堆顶元素（最大值或最小值）为了保持完全二叉树的结构，将最后一个元素移到堆顶，然后进行下沉（）操作将当前元素与其较大（sift-down最大堆）或较小（最小堆）的子节点比较，如果违反堆的性质，则交换它们，并继续向下比较，直到满足堆的性质或到达叶节点删除操作的时间复杂度也是Olog n堆的构建从无序数组构建堆有两种方法逐个插入元素，时间复杂度；原地1On logn2建堆，从最后一个非叶节点开始，依次对每个节点进行下沉操作，时间复杂度On第二种方法更高效，通常用于堆排序的初始化阶段堆排序构建最大堆堆排序的第一步是将无序数组转换为最大堆从最后一个非叶节点开始，向上依次对每个节点执行下沉操作，确保每个子树都满足最大堆的性质这个过程的时间复杂度为On交换和调整构建好最大堆后，堆顶元素就是最大值将其与数组末尾元素交换，然后对剩余元素（不包括已排序部分）重新执行下沉操作，恢复最大堆性质这一步将堆的大小减1重复过程重复交换堆顶与当前堆的最后一个元素，然后对新堆顶执行下沉操作的过程，直到堆的大小减为每次迭代后，数组末尾都会多一个已排序的元素1时间复杂度分析堆排序的时间复杂度为，这个复杂度在最好、最坏和平均情况下都相同On logn空间复杂度为，因为排序是原地进行的堆排序不是稳定排序，但它的效率O1高且不受输入数据分布的影响优先队列优先队列的概念基于堆的优先队列实现优先队列的应用优先队列是一种特殊的队列，其中的元堆是实现优先队列的最佳数据结构之一优先队列在许多算法和系统中有广泛应素具有优先级优先队列支持插入带优最大堆用于实现优先级递减的队列（用最短路径算法和最小Dijkstra Prim先级的元素，并删除获取优先级最高的优先级高的先出队），最小堆用于实现生成树算法使用优先队列优化性能；操/元素与普通队列的先进先出不同，优优先级递增的队列（优先级低的先出队作系统的任务调度使用优先队列确定下先队列按照优先级决定出队顺序优先）使用堆实现时，入队操作对应堆的一个运行的进程；事件驱动模拟中，事队列可以用多种数据结构实现，如有序插入，出队操作对应删除堆顶元素这件按时间戳排序存储在优先队列中；数数组、无序数组、有序链表、二叉搜索两个操作的时间复杂度都是，据压缩算法如编码使用优先队Olog nHuffman树等，但最常用的是堆结构其中是队列中的元素数量列构建编码树提供了n C++STL容器适配器，是优先队priority_queue列的标准实现第七章图图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种基本遍历方法图的存储结构2邻接矩阵和邻接表是两种主要的存储方式图的基本概念图由顶点集和边集组成，表示物体之间的关系图是一种非线性数据结构，由顶点（节点）和边组成，用于表示物体之间的关系根据边的有无方向，图可分为有向图和无向图；根据边是否带权，可分为带权图和无权图图的概念源于数学中的图论，但在计算机科学中有广泛应用，如社交网络、交通路线、网络拓扑等图的基本术语包括顶点节点、边、路径、环、连通性、度等理解这些概念对掌握图算法至关重要图的操作通常包括创建图、添加删除顶点和边、图的遍历、路径查找等/图的存储结构邻接矩阵邻接表十字链表邻接矩阵是一个二维数组，用于存储图邻接表使用数组加链表的结构，数组的十字链表是邻接表的改进版本，专门用中顶点之间的连接关系对于有个顶点每个元素对应一个顶点，链表存储与该于存储有向图每个顶点有两个链表n的图，邻接矩阵是一个×的矩阵如顶点相邻的所有顶点这种结构只存储一个存储以该顶点为起点的边（出边表nn果顶点和之间有边，则矩阵中对应位置实际存在的边，因此比邻接矩阵更节省），另一个存储以该顶点为终点的边（i j的值为（无权图）或边的权值（带权图空间入边表）这种结构使得查找顶点的入1）；否则为或特殊值表示无连接边和出边都很方便0优点空间复杂度为，其中是边On+e e优点实现简单，查找两点是否有边的的数量，适合表示稀疏图；查找与特定优点同时支持高效查找顶点的出边和操作是时间复杂度；删除和添加边顶点相邻的所有顶点效率高，时间复杂入边；空间效率与邻接表相当，适合表O1操作也是适合表示稠密图度与该顶点的度成正比示有向稀疏图O1缺点空间复杂度为，对于稀疏图缺点查找两点是否有边的操作时间复缺点实现比邻接表更复杂；对无向图On²会浪费大量空间；查找与特定顶点相邻杂度为度，最坏情况下是；删除没有特别优势其他还有邻接多重表、OOn的所有顶点需要时间边操作较复杂，需要在链表中查找并删边集数组等存储结构，各有特点，适用On除元素于不同场景图的遍历深度优先搜索（）广度优先搜索（）DFS BFS深度优先搜索是一种优先探索深度的遍历算法，广度优先搜索是一种优先探索广度的遍历算法，类似于树的前序遍历基本思想是从起始顶点按层次访问节点，类似于树的层次遍历基本思出发，沿着一条路径尽可能深入，直到无法继续想是从起始顶点出发，先访问所有相邻顶点，前进；然后回溯到上一个节点，尝试另一条路径然后再访问这些相邻顶点的相邻顶点，依此类推，直到所有顶点都被访问，直到所有顶点都被访问实现方式可以使用递归或栈来实现递归实现实现方式通常使用队列实现时间复杂度也是简洁直观，栈实现则避免了递归可能引起的栈溢与不同，能找到从起点到其OV+E DFSBFS出问题时间复杂度为，其中是顶点数他顶点的最短路径（以边数计算）OV+E V，是边数E适用场景寻找最短路径、网络爬虫、社交网络适用场景拓扑排序、寻找连通分量、搜索路径分析（如寻找最短朋友关系链）等（尤其是迷宫类问题）等遍历算法的应用图遍历算法在许多实际问题中有广泛应用网页爬虫使用爬取网页•BFS社交网络分析用户关系，推荐好友•地图导航寻找不同地点间的路径•电路分析检测组件连接•编译器设计分析程序流程•在实际应用中，常需要记录访问状态、处理环路、处理不连通图等问题最小生成树算法算法最小生成树的应用Prim Kruskal算法是一种生成最小生成树的贪算法也是一种生成最小生成树最小生成树在许多实际问题中有重要应Prim Kruskal心算法，基于顶点扩展它从一个起始的贪心算法，但基于边扩展它首先将用网络设计中最小化总布线成本；电顶点开始，每次选择一条权值最小的边所有边按权值排序，然后逐一考察每条路设计中最小化导线长度；聚类分析中，将新顶点加入到已有的树中，直到所边，如果加入该边不会形成环，则将其确定对象间的关系；近似解决旅行商问有顶点都被包含算法的时间复加入到生成树中算法适合稀题等选择还是算法取决Prim Kruskal Prim Kruskal杂度取决于具体实现，使用二叉堆实现疏图，时间复杂度主要受边排序影响，于图的特性对于稠密图，算法Prim时为为更有效；对于稀疏图，算法更OE log V OElog EKruskal适合最短路径算法算法算法最短路径问题的应用Dijkstra Floyd-Warshall算法是解决单源最短路径问题算法是解决所有点对最最短路径算法在现实世界中有广泛应用Dijkstra Floyd-Warshall的经典算法，适用于边权值非负的图短路径问题的动态规划算法，适用于任算法基本思想是何图（包括边权值为负的图，但不能有导航系统计算两地间最短最快路负权回路）算法基本思想是•/初始化起点距离为，其他顶点距离线

1.0为无穷大考虑顶点作为中间点，对于每对顶点和k i网络路由数据包传输的最优路径选•，计算经过的路径是否比当前已知最短从未访问的顶点中选择距离最小的顶j k择

2.路径更短算法使用三重循环实现，时点机器人路径规划避障并找到最短路•间复杂度为，空间复杂度为OV³OV²更新该顶点的所有相邻顶点的距离径

3.重复步骤，直到所有顶点都被访社交网络分析计算用户之间的距

4.2-3•问尽管时间复杂度较高，但离Floyd-算法实现简单，适合于图不太Warshall行程规划优化多地点访问顺序•使用优先队列实现时，时间复杂度为OE大的场景，其中是边数，是顶点数logVE V选择哪种算法取决于具体问题的需求和图的特性拓扑排序拓扑排序的概念拓扑排序是对有向无环图的顶点进行排序，使得对于图中的DAG每一条有向边，顶点在排序中都出现在顶点之前拓扑排序u,v uv要求图中没有环，因为环上的顶点无法确定先后顺序拓扑排序的实现拓扑排序有两种常见实现方法基于的方法，在遍历过1DFS DFS程中，顶点遍历完成后将其加入结果，最后反转结果即为拓扑序；基于入度的方法，首先将所有入度为的顶点加入队列，然后逐20一出队并减少相邻顶点的入度，重复直至队列为空拓扑排序的应用拓扑排序在许多实际问题中有重要应用任务调度中确定任务执行顺序；编译系统中确定编译顺序，解决模块依赖；课程安排中解决先修课程问题；数据处理流程的设计等拓扑排序提供了一种系统性方法，处理具有依赖关系的对象序列关键路径关键路径的概念关键路径是有向无环图中从起点到终点的最长路径，通常用于项目管理中，表示完成项目所需的最短时间关键路径上的活动称为关键活动，这些活动的延迟会直接导致整个项目的延迟在网络（）中，顶点表示事件，边表示活动，边的权重表示活动AOE ActivityOn Edgenetwork持续时间关键路径就是从起始事件到终止事件的最长路径关键路径的求解求解关键路径的步骤如下构建网络，表示项目中的活动和事件

1.AOE计算每个事件的最早发生时间（正向遍历）

2.计算每个事件的最晚发生时间（反向遍历）

3.计算每个活动的最早开始时间、最晚开始时间和时间余量

4.时间余量为的活动构成关键路径

5.0关键路径在项目管理中的应用关键路径方法是项目管理中的重要工具，它帮助管理者CPM确定项目完成的最短时间•识别对项目进度关键的活动•计算各活动的时间余量，合理分配资源•监控项目进展，及时调整计划•优化项目进度，减少总体完成时间•通过关注关键路径上的活动，项目管理者可以更有效地分配资源，提高项目执行效率第八章查找查找的基本概念顺序查找在数据集中定位特定元素的过程从头到尾逐个比较，简单但效率低散列查找二分查找通过散列函数直接计算元素位置对有序数据集进行快速查找的分治算法查找是计算机科学中的基本操作，目的是确定一个元素是否在集合中存在，如果存在，返回其位置或相关信息查找算法的效率直接影响程序的整体性能，特别是在处理大型数据集时查找算法的性能通常用平均查找长度（）来衡量，它表示为了找到目标元素，平均需要比较的次数不同的查找算法有不同的时ASL间复杂度和适用场景，选择合适的算法需要考虑数据规模、是否有序、是否支持动态操作等因素二分查找二分查找的基本思想二分查找是一种高效的查找算法，应用于有序数组其基本思想是将查找区间不断一分为二首先将待查找元素与区间中间元素比较，如果相等则找到；如果小于中间元素，则在左半区间继续查找；如果大于中间元素，则在右半区间继续查找这个过程不断缩小查找范围，直到找到目标元素或确定元素不存在二分查找的递归实现递归实现通过函数调用自身处理缩小的区间每次递归调用处理当前区间的一半，直到找到元素或区间为空递归实现代码简洁易懂，但在处理大数据集时可能导致栈溢出二分查找递归实现的时间复杂度为，其中是数组长度Olog nn二分查找的非递归实现非递归实现使用循环代替递归，通过调整左右边界指针缩小查找范围这种实现方式避免了递归调用的开销，对大数据集处理更高效非递归实现同样具有的时Olog n间复杂度，但空间复杂度降低为在实际应用中，非递归实现通常是首选方式O1二分查找的注意事项实现二分查找时需要注意处理边界条件，防止整数溢出，确保数组已排序，处理重复元素等二分查找虽然高效，但要求数据必须有序且支持随机访问，因此不适用于链表等顺序访问的数据结构散列表散列函数冲突解决方法散列表的性能分析散列函数是散列表的核心，它将关键字映射到散散列冲突是不同关键字被映射到相同位置的情况散列表性能主要受以下因素影响列表的地址空间理想的散列函数应具备以下特解决冲突的主要方法有装填因子表中元素数量与表大小的比值•性开放定址法发生冲突时，按某种规则寻找•散列函数的选择影响冲突频率•计算简单，执行速度快下一个空位置•冲突解决策略影响查找和插入操作的效率•散列值分布均匀，减少冲突链地址法同一散列地址的元素用链表连接••理想情况下，散列表的查找、插入和删除操作都充分利用关键字的所有信息再散列法使用另一个散列函数重新计算••具有的平均时间复杂度，但最坏情况下可能O1建立公共溢出区将冲突元素放入专门的溢常见的散列函数有直接定址法、除留余数法、•退化为散列表在大型数据库、编译器符号On出区数字分析法、平方取中法、折叠法等在实践中表、缓存系统等领域有广泛应用，选择合适的散列函数需要考虑关键字的分布特开放定址法包括线性探测、二次探测和双散列等点和应用场景具体策略，各有优缺点第九章排序排序的基本概念内部排序和外部排序排序算法的稳定性排序是将一组数据按照内部排序是在内存中完排序算法的稳定性是指特定顺序重新排列的过成的排序过程，适用于相等元素在排序前后的程，是计算机科学中最数据量较小的情况常相对位置是否发生变化基本和最常用的操作之见的内部排序算法有冒在稳定排序算法中，一排序的目的是使数泡排序、选择排序、插相等元素的相对顺序保据更易于查找、分析和入排序、希尔排序、快持不变；而在不稳定排处理常见的排序可以速排序、堆排序和归并序算法中，相等元素的按照不同标准进行，如排序等外部排序则用相对顺序可能改变稳按数值大小、字母顺序于处理无法一次性载入定性在某些应用场景下、日期先后等内存的大型数据集，通非常重要，例如多关键常涉及内存和外部存储字排序冒泡排序、插设备之间的数据交换，入排序、归并排序是稳常用算法有多路归并排定的，而选择排序、希序和置换选择排序等尔排序、堆排序、快速排序通常是不稳定的简单排序算法冒泡排序选择排序插入排序冒泡排序是最简单的排序算法之一，通过不选择排序的基本思想是每次从未排序部分插入排序模拟了人类整理扑克牌的方式将断比较相邻元素并交换它们的位置，使较大选出最小（或最大）的元素，放到已排序部一个元素插入到已排序的部分中的适当位置的元素逐渐浮向数组末端具体实现是分的末尾具体实现是在每轮遍历中，找具体实现是从第二个元素开始，将其与多次遍历数组，每次遍历比较相邻元素，如出未排序部分的最小元素，与未排序部分的前面已排序的元素比较，并向前移动较大的果顺序不对则交换它们，每轮遍历后最大的第一个元素交换位置选择排序的时间复杂元素，直到找到合适的位置插入排序的时元素会移动到正确位置冒泡排序时间复杂度也是，但交换次数比冒泡排序少，间复杂度为，但对于基本有序的数据On²On²度为，是稳定排序，适合小数据量或是不稳定排序，适合交换成本高的场景，性能接近它是稳定排序，适合小On²On基本有序的数据数据量或基本有序的场景希尔排序希尔排序的基本思想希尔排序是插入排序的一种改进版本，也称为缩小增量排序它的基本思想是将整个数据序列分割成若干个子序列，分别进行直接插入排序，待整个序列基本有序时，再对全体元素进行一次直接插入排序希尔排序通过跳跃式分组，使得数据更快地趋于有序，从而提高插入排序的效率希尔排序的实现希尔排序的关键是增量序列（）的选择常用的增量序列有gap sequence希尔增量•n/2,n/4,...,1增量•Hibbard1,3,7,...,2^k-1增量•Sedgewick1,5,19,41,109,...对于每个增量，将序列分成多个子序列，每个子序列包含间隔为增量的元素，然后对各子序列进行插入排序随着增量逐渐减小，子序列数量减少但长度增加，整个序列逐渐接近有序状态希尔排序的时间复杂度分析希尔排序的时间复杂度与增量序列的选择密切相关使用希尔增量时，最坏情况下的时间复杂度为；使用增量时，时间复杂度为；使用On²Hibbard On^

1.5增量时，时间复杂度约为尽管希尔排序的理论复杂度不如一Sedgewick On^

1.3些高级排序算法，但在实际应用中表现良好，尤其对于中等规模的数据快速排序快速排序的基本思想快速排序是一种分治算法，基本思想是选择一个基准元素，将数组分为两部分，一部分的元素都小于基准，另一部分的元素都大于基准；然后递归地对两部分进行快速排序通过不断划分和递归排序，最终得到完全有序的数组快速排序的实现快速排序的核心是分区操作，它将数组划分为两部分常见的分区方partition法是分区和分区在分区后，算法递归地对左右两部分进行排序Lomuto Hoare快速排序的平均时间复杂度为，最坏情况下（如已排序数组）为On lognOn²快速排序的优化为提高快速排序性能，常用的优化技术包括三数取中法选择基准•对小规模子数组使用插入排序•尾递归优化•处理重复元素的三路快排•这些优化可以显著提高快速排序在各种数据分布下的性能归并排序归并排序的基本思想归并排序是一种分治算法，其基本思想是将待排序数组不断二分，直到每个子数组只有一个元素（此时视为已排序）；然后将相邻的有序子数组合并，得到更大的有序数组；重复合并过程，最终得到完全有序的数组归并排序最核心的操作是归并，即将两个已排序的数组合并成一个更大的有序数组这个过程通常使用一个临时数组来存储合并结果，然后复制回原数组归并排序的实现归并排序可以通过递归或迭代实现递归实现更为直观如果数组长度为或，返回（已排序）

1.10将数组分为两半，分别递归排序

2.合并两个已排序的子数组

3.迭代实现则是自底向上，先合并单个元素，然后合并长度为的子数组，依此类推迭代实2现避免了递归调用的开销，对大数据集更友好归并排序的时间复杂度分析归并排序的时间复杂度为，这个复杂度在最好、最坏和平均情况下都相同，On logn表现非常稳定其中，分解过程的复杂度为，合并过程的复杂度为Olog nOn归并排序的主要缺点是空间复杂度为，需要额外的辅助数组来存储合并结果这使On得归并排序在内存受限的环境中不如原地排序算法（如快速排序）高效然而，归并排序是稳定的，且性能稳定，适合对链表等不支持随机访问的数据结构进行排序基数排序基数排序的基本思想基数排序的实现基数排序的应用场景基数排序是一种非比较型排序算法，它以基数排序为例，其实现步骤为基数排序特别适用于以下场景LSD将整数按位数切割，然后按每个位数进确定数据的最大位数整数排序尤其是数值范围有限的行排序基数排序有两种实现方式

1.d•整数从最低位开始，对每一位进行计数

2.排序字符串排序例如词典排序•最低位优先从最低位（个•LSD对每一位重复进行，直到最高位定长记录排序如地址、日期等

3.•IP位）开始，依次向高位排序大数据量但数据取值范围有限的场•最高位优先从最高位开始在实现中，通常使用个队列（数字•MSD10景，依次向低位排序）或一个计数数组来实现分配和0-9收集过程对于字符串等非数字数据基数排序的时间复杂度为，Odn+k更常用，因为它不需要递归，实现LSD，可以基于字符的值进行类似处ASCII其中是位数，是元素个数，是每位d nk更简单基数排序的核心思想是将排序理可能的取值数量当和都相对较小时d k问题分解为多次分配和收集操作，基数排序非常高效外部排序外部排序用于处理无法一次性加载到内存中的大型数据集其基本思想是将大文件分割成可加载到内存的小块，对每个小块在内存中排序，然后将排序好的小块合并成最终结果最常用的外部排序算法是多路归并排序多路归并排序的步骤包括将大文件分割成多个小文件（称为初始归并段或游程）；在内存中对每个小文件排序；将排序好的小文件写回外存；合并多个有序1234的小文件成更大的有序文件，重复直到生成一个完全有序的文件在合并阶段，通常使用优先队列来高效地选择下一个最小元素置换选择排序是生成初始归并段的一种改进算法，它可以产生比内存容量更长的有序段，从而减少归并次数多阶段归并和多路平衡归并是优化多路归并性能的常用技术在实际应用中，外部排序还需要考虑缓冲区管理、最小化等问题I/O第十章高级数据结构跳跃表树状数组线段树跳跃表是一种随机化树状数组（线段树是一种二叉树Binary的数据结构，基于链或结构，每个节点代表Indexed Tree表，但通过维护多层）是一个区间，用于处理Fenwick Tree索引加速查找过程一种支持高效查询前区间查询和更新问题它能在平均缀和并能快速更新的线段树支持Olog n Olog时间内实现查找、插数据结构它利用二时间的区间查询和n入和删除操作，是红进制表示的规律，通单点区间更新，比/黑树等平衡树结构的过巧妙的设计使得单树状数组功能更强大一种替代方案，实现点修改和区间查询的，尤其适合需要处理相对简单且具有良好时间复杂度都是多种区间操作的场景的并发性能，实现简单Olog n且空间效率高跳跃表跳跃表是一种随机化的数据结构，它使用概率平衡而非严格平衡，是对有序链表的一种扩展跳跃表维护了多层索引，从而加速查找过程最底层是一个完整的有序链表，包含所有元素；上面的层次则是索引层，元素越高层越稀疏，用于快速跳过大量元素，加速查找跳跃表的查找操作从最高层开始，沿着索引层水平搜索，当无法继续前进时下降到下一层这个过程类似于二分查找，平均时间复杂度为插入操作先定位到插入Olog n位置，然后通过随机化决定新节点的高度，并相应地更新各层索引删除操作也需要定位到目标节点，然后从所有包含该节点的层中删除它跳跃表的主要优势在于实现简单，特别是在并发环境下的实现比平衡树更简单它被广泛应用于的有序集合实现、的等虽然在最坏Redis JavaConcurrentSkipListMap情况下性能不如平衡树，但平均性能相当，且空间开销较小树状数组树状数组的原理树状数组（，简称）是一种用于高效处理前缀和问题的数据结构它的核Binary IndexedTree BIT心思想是利用整数的二进制表示，将数组元素划分为特定的区块，每个区块维护一段前缀和通过利用整数的最低位，树状数组能够以对数时间复杂度实现单点修改和前缀和查询1lowbit树状数组的基本操作树状数组支持两种主要操作更新修改数组中某个元素的值，时间复杂度

1.update Olog n查询计算前缀和（从数组起始到指定位置的元素和），时间复杂度

2.query Ologn这两个操作都利用了运算，通过逐级上升或下降来管理区间信息通过结合这两个lowbit x-x基本操作，还可以实现区间修改和区间查询树状数组的应用3树状数组在许多实际问题中有广泛应用区间求和快速计算任意区间的元素之和•计数问题如逆序对计数•范围更新通过差分数组技术实现•多维前缀和扩展到二维或更高维度•与线段树相比，树状数组实现更简单，内存消耗更小，但功能相对有限在只需要前缀和类操作的场景中，树状数组是理想选择线段树线段树的结构线段树的构建和查询线段树的应用线段树是一种二叉树数据结构，用于存线段树的构建是一个自底向上的过程线段树适用于各种区间操作问题储区间信息并支持高效的区间查询和修先构建叶节点，然后根据子节点信息构区间求和、最大值、最小值等改在线段树中，每个节点代表一个区建父节点查询操作是一个自顶向下的•间递归过程区间修改（增加、设置等）•区间合并（如区间按位操作）•根节点代表整个区间如果当前节点区间完全包含在查询区•[0,n-1]

1.动态几何问题（如线段相交计数）间内，直接返回节点值•对于节点，其左子节点表示•[l,r][l,，右子节点表示，如果当前节点区间与查询区间无交集mid][mid+1,r]

2.线段树的时间复杂度为构建，查On其中，返回默认值（如）mid=l+r/20询和更新虽然实现较复杂，Ologn叶节点代表单个元素否则，分别查询左右子树，并合并结但功能强大，适合处理各种复杂的区间•[i,i]

3.果操作问题每个节点存储其对应区间的某种统计信息，如和、最大值、最小值等，根据具更新操作类似，可以是单点更新或区间体问题需求确定更新懒惰传播技lazy propagation术可用于优化区间更新第十一章算法设计技巧贪心算法每步选择局部最优解，期望得到全局最优解动态规划通过子问题的解构建复杂问题的解分治法将问题分解为子问题，解决后合并结果算法设计技巧是解决计算问题的系统方法，它们提供了思考问题和构建解决方案的框架掌握这些技巧对于有效解决复杂问题至关重要，也是算法分析的核心内容分治法、动态规划和贪心算法是三种基本的算法设计范式，每种都有其适用场景和局限性分治法适合可以明确分解为独立子问题的场景；动态规划适合具有重叠子问题和最优子结构的问题；贪心算法适合局部最优选择能导致全局最优解的问题除了这三种基本技巧外，回溯法、分支限界法、随机化算法、近似算法等也是重要的算法设计方法理解并灵活运用这些技巧，可以帮助我们设计出高效的算法解决各种复杂问题分治法分治法的基本思想分治法（）是一种将复杂问题分解为多个相似但规模更小的子问题Divide andConquer，分别解决这些子问题，然后合并结果得到原问题解的算法设计技术分治法通常包含三个步骤分解、解决和合并分治法适用于问题可以被明Divide ConquerCombine确地分解为相互独立的同类子问题的场景分治法的应用实例分治法在许多经典算法中得到应用归并排序将数组分为两半，分别排序后合并•快速排序选择基准，分区后递归排序•二分查找将搜索范围一分为二•矩阵乘法减少矩阵乘法的复杂度•Strassen最近点对问题在平面上找到距离最近的两点•大整数乘法算法•Karatsuba分治法的时间复杂度分析分治法算法的时间复杂度通常可以用主定理（）分析Master TheoremTn=，其中是子问题数量，是每个子问题的规模，是分解和合并的时aTn/b+fn an/b fn间根据与的增长关系，可以确定算法的时间复杂度例如，归并排序的fn n^log_b a复杂度为，二分查找为分治法的效率取决于子问题的数量、子问题On lognOlogn的规模以及分解和合并的复杂度动态规划动态规划的基本思想动态规划的经典问题动态规划的实现技巧动态规划（，简动态规划在许多经典问题中有应用背包问实现动态规划算法的关键步骤包括定义状Dynamic Programming称）是一种通过将复杂问题分解为重叠题（如背包、完全背包）用于资源分配态（确定子问题）；确定状态转移方程（子DP0-1的子问题，并存储子问题的解以避免重复计；最长公共子序列问题用于比较字符串相似问题间的关系）；确定边界条件（最简单子算的优化技术动态规划适用于具有两个关性；矩阵链乘法问题用于找最优乘法顺序；问题的解）；确定计算顺序（自底向上或自键特性的问题最优子结构（问题的最优解最短路径问题（如算法）顶向下）动态规划有两种常见实现方式Floyd-Warshall包含子问题的最优解）和重叠子问题（同一用于图论；编辑距离问题用于衡量字符串间备忘录法（自顶向下，使用递归和缓存）和子问题在求解过程中被多次使用）与分治的差异；最优二叉搜索树问题用于构建高效表格法（自底向上，使用迭代填表）在实法不同，动态规划处理的子问题通常不是独查找结构这些问题都展示了动态规划解决际应用中，还可以使用状态压缩、滚动数组立的复杂优化问题的强大能力等技巧优化空间复杂度贪心算法贪心算法的基本思想贪心算法的应用实例贪心算法是一种在每一步选择中都贪心算法在许多实际问题中有应用采取当前状态下最好或最优的选择活动选择问题中选择结束时间最，从而希望导致结果是全局最优的早的活动；哈夫曼编码中根据字符算法策略贪心算法的核心是贪心频率构建最优前缀编码；最小生成选择性质通过做出一系列局树算法（如和）中——KruskalPrim部最优的选择来构建全局最优解选择权值最小的边；分数背包问题这与动态规划不同，贪心算法不会中选择单位价值最高的物品；贪婪重新考虑之前的选择，而是直接做着色算法中使用最少的颜色为图着出当前看似最优的决策色；区间覆盖问题中选择覆盖范围最大的区间贪心算法的局限性尽管贪心算法在某些问题上高效，但它并不总是能得到全局最优解贪心算法的局限性包括不是所有问题都具有贪心选择性质，如背包问题；某些问0-1题的贪心解可能与全局最优解相差很大；贪心策略的选择可能影响结果，不同的贪心策略可能导致不同的解；对于复杂问题，证明贪心算法的正确性通常比较困难因此，在应用贪心算法前，需要证明问题具有贪心选择性质和最优子结构第十二章完全性理论NP问题问题P NP类问题是指能在多项式时间内解决的类问题是指能在多项式时间内验证P NP判定问题这类问题可以通过确定性图解的正确性的判定问题也可以说，灵机在时间内求解，其中是输问题是能通过非确定性图灵机在多On^k nNP入规模，是某个常数许多基本算法项式时间内解决的问题所有类问题k P问题都属于类，如排序、图的连通性都是类问题，但反之不一定成立，P NP检查、最短路径等这正是？问题的核心P=NP完全问题NP近似算法完全问题是类中的最难问题，NP NP4由于完全问题难以在多项式时间内具有以下特性它属于类；所有NP NP NP精确求解，近似算法成为处理这类问题问题都可以在多项式时间内规约到它的重要方法近似算法在合理的时间内这意味着，如果能找到任何一个完NP找到接近最优解的解，通常以近似比来全问题的多项式时间算法，那么所有衡量解的质量问题都可以在多项式时间内解决，NP即P=NP问题和问题P NP问题的定义问题的定义？问题P NPP=NP（）是指能够在多（？是计算机科学中最著名的未解决P PolynomialTime NPNondeterministic PolynomialP=NP项式时间内解决的判定问题的集合形）是指能够在多项式时间内验证解问题之一，提问的是是否所有能在多Time式上，是能被确定性图灵机在的正确性的判定问题的集合也可以定项式时间内验证解的问题，也能在多项P On^k时间内解决的判定问题的集合，其中是义为能被非确定性图灵机在多项式时间式时间内找到解？n输入规模，是常数内解决的问题集合k这个问题的重要意义在于类问题被认为是易解的或高效可解的类问题的特点是PNP如果，则所有问题都能在多，例如•P=NP NP给定一个解，可以在多项式时间内验项式时间内解决•判断一个数是否为素数证其正确性•这将对密码学、优化问题等领域产生•图是否连通解可能很难找到，但很容易验证革命性影响••两点间是否有路径所有类问题都是类问题（因为可大多数计算机科学家倾向于认为••PNP•解意味着可验证）线性规划问题P≠NP•证明或反驳是千禧年七大数学•P=NP类中的典型问题包括哈密顿回路问对于这些问题，我们已经找到了多项式NP难题之一题、满足性问题、子集和问题等时间的算法来求解SAT完全问题NP完全问题的定义NP完全问题是类中的一类特殊问题，它们具有以下两个特性NP NP它属于类问题（能在多项式时间内验证解的正确性）

1.NP所有类问题都可以在多项式时间内规约到它（即，它是的）

2.NP NP-hard完全性的概念由在年提出，他证明了布尔可满足性问题是第一个完全问题此NP StephenCook1971SAT NP后，进一步确定了个完全问题，扩展了这一理论Richard Karp21NP典型的完全问题NP许多重要的计算问题被证明是完全的，例如NP布尔可满足性问题给定一个布尔表达式，是否存在一种变量赋值使表达式为真•SAT图的顶点覆盖问题在图中找到最小的顶点集合，使每条边至少有一个端点在集合中•哈密顿回路问题判断图中是否存在经过每个顶点恰好一次的回路•旅行商问题找到访问所有城市并返回起点的最短路径•TSP子集和问题在一个集合中找到和为特定值的子集•图的三着色问题用三种颜色为图的顶点着色，使相邻顶点颜色不同•如何处理完全问题NP由于完全问题难以在多项式时间内精确求解，处理这类问题通常采用以下策略NP使用指数时间的精确算法，如分支定界、动态规划（适用于输入规模较小的情况）

1.设计多项式时间的近似算法，寻找接近最优解的解

2.使用启发式算法，如遗传算法、模拟退火、局部搜索等

3.针对问题的特殊实例或约束条件，开发高效算法

4.使用参数化复杂度方法，当某些参数固定时寻找高效解法

5.理解问题的完全性有助于确定问题的难度，并选择合适的求解方法NP近似算法近似算法的概念近似比近似算法是一种用于解决优化问题的算法，其目标近似比（或称近似因子）是衡量近似算法质量的指是在多项式时间内找到接近最优解的解对于难标，定义为算法解与最优解的比值对于最小化问NP问题，由于难以在多项式时间内找到精确最优解，题，近似比定义为，其中是算法AI/OPTI AI近似算法成为一种实用的替代方案给出的解，是最优解；对于最大化问题，近OPTI似比定义为OPTI/AI近似算法的基本思路是放弃寻求精确最优解，而是在合理的时间内寻找质量足够好的解这种方近似比越接近，算法质量越高如果一个算法的1法在时间效率和解的质量之间取得平衡，适用于许近似比为，我们称它为近似算法例如，近αα-2-多实际应用场景，特别是当问题规模较大或时间约似算法意味着算法解的成本最多是最优解的倍（2束严格时对于最小化问题）近似比可以是常数（如顶点覆盖的近似算法），2-也可以与输入规模相关（如对数近似比、多项式近似比）近似算法的应用实例许多难问题有实用的近似算法，例如NP旅行商问题对于满足三角不等式的情况，有近似算法•TSP

1.5-顶点覆盖问题简单的贪心算法可以达到近似•2-集合覆盖问题贪心算法提供对数近似比•装箱问题首次适应算法提供近似•2-问题随机化分配提供近似•MAX-SAT

0.75-某些难问题有多项式时间近似方案或完全多项式时间近似方案，允许近似比任意接近，NP PTASFPTAS1但算法复杂度可能随近似比提高而增加课程总结本课程系统地介绍了数据结构与算法分析的核心内容，从基础概念到高级应用我们学习了线性结构（线性表、栈、队列、字符串）、树形结构（二叉树、二叉搜索树、平衡树、树）、图结构及其算法、堆、散列表等数据结构，以及各种排序、查找算法和算法设计技巧B关于算法设计与分析方法，我们掌握了时间复杂度和空间复杂度分析、分治法、动态规划、贪心算法等重要策略这些方法形成了解决复杂问题的工具箱，能够应对不同场景下的算法设计需求我们还了解了完全性理论及其对算法设计的影响，学习了处理计算难题的实用技术如近似算法NP在数据结构的选择方面，需要考虑数据的特性（如大小、分布）、操作类型（如查询、插入、删除）以及性能需求没有最好的数据结构，只有最适合特定问题的数据结构理解各种数据结构的优缺点，能够在实际应用中做出明智选择，是算法工程师的核心能力结语3100+学习方向练习题数量继续学习的主要领域算法、数据库、建议解决的编程练习数量AI1000+就业机会数据结构与算法人才的年度需求量随着本课程的结束，你已经建立了数据结构与算法的坚实基础，但学习之路并未结束我推荐以下学习资源继续深化你的知识《算法导论》提供更深入的理论分析；《编程珠玑》展示精巧的算法设计；、LeetCode等平台提供丰富的练习题；上的开源项目可以学习真实世界的算法应用CodeForces GitHub实践是掌握算法的关键建议你定期练习编程题，参与算法竞赛；实现课程中学习的数据结构和算法；分析现实问题并应用适当的算法解决；参与开源项目，向优秀的程序员学习记住，理论知识需要通过实践转化为实际能力展望未来，算法与数据结构将继续在计算机科学中扮演核心角色随着大数据、人工智能、量子计算等领域的发展，更高效的算法和更复杂的数据结构不断涌现希望本课程为你打开了算法世界的大门，激发你的学习热情，并在你的计算机科学之旅中提供持久的指导祝你在算法的道路上不断进步，创造更多可能！。