《上海交通大学高等数学》课件

上海交通大学高等数学

一、函数及其性质函数的概念函数的性质函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的对应关系，其中每个元素都唯一对应一个值函数的基本概念

1.函数的定义域函数的自变量函数的值域函数的自变量所12可以取值的集合例如，函数有可能的取值范围例如，函的定义域是除了数的值域是非负fx=1/x fx=x^2之外的所有实数实数0初等函数及其图像

2.一次函数图像是一条直线二次函数图像是一个抛物线指数函数图像呈指数型增长或衰减对数函数图像是对指数函数图像的镜像函数的性质

3.单调性1函数在定义域上的某个区间内，函数值随自变量的增大而增大或减小奇偶性2函数满足或的性质f-x=fx f-x=-fx周期性3函数满足的性质，其中是常数，称为函数的周期fx+T=fx T有界性4函数在定义域上的某个区间内，函数值有一个上限和下限反函数及其性质

4.反函数的概念如果函数是一个一对一的函数，则它的反函数fx f^-1x满足ff^-1x=f^-1fx=x反函数的图像反函数的图像关于直线对称y=x反函数的性质反函数的性质与原函数的性质密切相关，例如，反函数的单调性与原函数的单调性相反

二、极限与连续函数极限2函数极限是指当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于一个特定值数列极限1数列极限是指数列的项在趋于无穷时，其值无限接近于一个特定值连续性连续性是指函数在某个点的左右极限都3存在且相等，并且等于该点的函数值数列极限的概念与性质

1.数列极限的定义当趋于无穷时，数列的极限满足对于任n anL意给定的正数，存在一个正整数，使得当时，εN nN|an-L|ε数列极限的性质极限的唯一性、有界性、保号性、夹逼性、等价无穷小等函数极限的概念与性质

2.函数极限的定义当趋于时，函数的极限满足对于任意给定的正数，存在一个x a fx Lε1正数，使得当时，δ0|x-a|δ|fx-L|ε函数极限的性质2极限的唯一性、有界性、保号性、夹逼性、等价无穷小等函数连续性的概念与性质

3.连续性的定义1函数在点处连续是指函数在点处有定义，并且fx x=a x=a limx-afx=fa连续性的性质2连续函数在闭区间上的性质有界性、最大值最小值定理、介值定理、零点定理间断点的判定

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三、导数与微分导数的概念导数的应用导数是函数在某个点处的变化率，反映了函数在该点处的变化趋导数可以用于求解函数的极值、最大值和最小值，以及研究函数势的单调性和凹凸性导数的概念与基本公式

1.导数的定义基本公式函数在点处的导数定义为常见函数的导数公式，例如，，fx x=a limh-0fa+h x^n=nx^n-1sinx=，-fa/h cosxcosx=-sinx导数的几何意义

2.导数在几何上表示函数曲线在导数的正负号可以判断函数的12该点处的切线的斜率单调性导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减导数的绝对值可以判断函数曲线的变化快慢导数的绝对值越大，函3数曲线的变化越快高阶导数及其应用

3.高阶导数的概念1高阶导数是指对函数求多次导数，例如，二阶导数、三阶导数等应用2高阶导数可以用于判断函数曲线的凹凸性、拐点等性质，以及求解函数的极值、最大值和最小值微分的概念与性质

4.微分的定义微分是指函数在某一点处自变量的变化量与其函数值的变化量之比的极限微分的性质微分的性质与导数的性质密切相关，例如，微分可以用来近似地计算函数值的增量

四、积分定积分2定积分是求函数在某个区间内的积分值，它可以用来计算面积、体积等不定积分1不定积分是求导数的反运算，即求导数为已知函数的函数积分的应用积分的应用十分广泛，例如，计算面3积、体积、质量、功等不定积分的概念与基本公式

1.不定积分的定义求导数为的函数，记为fx FxFx=∫fxdx基本公式常见函数的不定积分公式，例如，∫x^n dx=，x^n+1/n+1+C∫sinx dx=-cosx+C定积分的概念与性质

2.定积分的定义函数在区间上的定积分定义为fx[a,b]∫a,b fxdx=limn-∞1∑i=1,n fξiΔxi定积分的性质2积分的线性性质、积分的加法性、积分的估值定理等换元积分法

3.换元积分法的步骤1将被积函数和积分变量同时用一个新的变量进行替换，使得积分变为更容易求解的形式应用2换元积分法可以用来求解一些复杂的积分，例如，∫sinx^2的积分可以通过换元积分法求解dx分部积分法

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五、常微分方程微分方程的概念微分方程的应用微分方程是指包含未知函数及其导数的关系式微分方程可以用来描述许多现实世界的现象，例如，物理学中的运动规律、化学反应中的浓度变化等一阶微分方程的基本理论

1.一阶微分方程的定义解的存在唯一性定理一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的微分方程在一定的条件下，一阶微分方程的解存在且唯一可分离变量方程

2.可分离变量方程的定义将微分方程中的自变量和因变量分离，使得1两边分别关于各自变量的函数解法对两边分别积分即可得到方程的通解2线性微分方程

3.线性微分方程的定义1线性微分方程是指未知函数和它的导数都是一次的微分方程解法2线性微分方程的解法包括常数变易法和待定系数法等欧拉方程

4.欧拉方程的定义欧拉方程是一类特殊的二阶线性微分方程解法欧拉方程的解法可以利用特征方程求解

六、函数的极值与最值最值的概念函数的最值是指函数在整个定义域上取2得的最大值或最小值极值的概念1函数的极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值应用极值和最值在实际应用中十分重要，例如，优化问题、经济学中的成本分析3等函数极值的概念与判定

1.极值点的定义函数在点处取得极值是指是函数fx x=a fafx在点附近的最大值或最小值x=a极值点的判定利用导数判断函数的单调性，从而确定函数的极值点函数的最大值与最小值

2.最大值最小值的定义函数在定义域上取得最大值和最小值指的是对于任意∈fx DM mx1，都有和D fx≤M fx≥m求解方法2利用导数和函数的单调性求解函数的最大值和最小值最值问题的应用

3.实际问题1将实际问题转化为求函数的最大值或最小值的问题，并利用导数和函数的单调性求解求解步骤2建立数学模型、求解函数的最值、解释结果反函数的极值

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七、向量与空间解析几何向量的基本概念空间解析几何向量是有大小和方向的量，可以表示为有向线段空间解析几何是利用坐标系和向量来研究空间图形的几何性质向量的基本概念

1.向量的表示向量的模向量可以用坐标表示，例如，向量向量的模表示向量的长度，用表示a=x,y,z|a|向量的运算

2.向量加减法两个向量的加减法可向量数乘将一个向量乘以一个向量点积两个向量的点积是一个123以通过坐标分别相加减得到数，得到一个新的向量，其方向与数，等于这两个向量模长的乘积再原向量相同，大小为原向量大小的乘以它们夹角的余弦倍数平面和直线的方程

3.平面的方程1平面的方程可以表示为，其中，Ax+By+Cz+D=0A，，是常数B CD直线的方程2直线的方程可以表示为参数方程或一般方程曲面方程

4.曲面方程的定义曲面方程是指由空间中的曲面上的点所满足的关系式常见的曲面方程球面、圆锥面、柱面等曲面的方程。