《不定积分与原函数》课件

不定积分与原函数课程学习目标掌握不定积分的概念和性质熟练掌握基本不定积分公式和常用积分方法理解原函数的概念和性质不定积分的概念设函数的导数为，即，则称为的一个原函数而的所有原函数，构成一个函$Fx$$fx$$Fx=fx$$Fx$$fx$$fx$数族，称为的不定积分，记作换句话说，不定积分就是求原函数的过程$fx$$\int fx dx$不定积分的性质线性性质积分常数，其，其中为任意常数$\int[afx+bgx]dx=a\int fxdx+b\int gxdx$$\int fxdx=Fx+C$$C$中和为常数$a$$b$基本不定积分公式$\int x^n dx$$=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C n\neq-1$$\int\frac{1}{x}dx$$=\ln|x|+C$$\int e^x dx$$=e^x+C$$\int a^x dx$$=\frac{a^x}{\ln a}+C a0,a\neq1$$\int\sin x dx$$=-\cos x+C$$\int\cos x dx$$=\sin x+C$$\int\frac{1}{\cos^2x}dx$$=\tan x+C$$\int\frac{1}{\sin^2x}dx$$=-\cot x+C$$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$=\arcsin x+C$$\int\frac{1}{1+x^2}dx$$=\arctan x+C$凑微分法凑微分法是将被积函数变形，使其成为某个函数的导数，从而利用基本积分公式直接求解例如，求，可以将$\int2x+1^2dx$看作是的导数的平方，则$2x+1^2$$u=2x+1$$\int2x+1^2dx=\int u^2\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}2x+1^3+C$分部积分法分部积分法是将被积函数分解为两个函数的乘积，然后利用公式求解例如，求$\int udv=uv-\int vdu$$\int x\sin x，可以令，，则，，从而dx$$u=x$$dv=\sin x dx$$du=dx$$v=-\cos x$$\int x\sin x dx=-x\cos x+\int\cos x dx=-x\cos x+\sin x+C$有理函数的积分有理函数是指两个多项式的商，其积分可以通过分解分式、凑微分法、分部积分法等方法求解例如，求$\int\frac{1}{x^2+1}，可以通过凑微分法得到dx$$\int\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C$三角函数的积分三角函数的积分可以通过三角恒等式、换元积分法、分部积分法等方法求解例如，求，可以通过三角恒等式$\int\sin^2x dx$将变形为，从而$\sin^2x$$\frac{1-\cos2x}{2}$$\int\sin^2xdx=\int\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin2x+C$指数函数和对数函数的积分指数函数和对数函数的积分可以通过基本积分公式、换元积分法、分部积分法等方法求解例如，求，可以通过分部积分法得到$\int x^2e^xdx$$\int x^2e^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$含有根式的函数的积分含有根式的函数的积分可以通过换元积分法、分部积分法等方法求解例如，求，可以通过换元积分法得到$\int\sqrt{x^2+1}dx$$\int\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+1}|+C$代换积分法代换积分法是将积分变量替换成新的变量，从而简化被积函数的形式例如，求，可以通过代换得到$\int\frac{1}{x^2+1}dx$$x=\tan t$$\int\frac{1}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{\tan^2t+1}\cdot\frac{1}{\cos^2t}dt=\int dt=t+C=\arctan x+C$特殊积分公式总结三角函数，$\int\tan xdx=\ln|\sec x|+C$$\int\cot xdx=\ln|\sin，，x|+C$$\int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$\int\cscx dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$反三角函数，$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+，C$$\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx=\frac{1}{a}\arcsec\frac{x}{a}+C$原函数的定义设函数的导数为，即，则称为$Fx$$fx$$Fx=fx$$Fx$的一个原函数原函数是指导数为给定函数的函数也就是说，如果$fx$的导数是，那么就是的原函数$Fx$$fx$$Fx$$fx$原函数的性质唯一性可导性如果在某个区间上连续，那么在该区间上只有原函数必定是可导的，并且其导数为$fx$$fx$$Fx$$fx$一个原函数也就是说，如果和都是$Fx$$Gx$$fx$的原函数，那么在该区间上是一个常数$Fx-Gx$原函数与不定积分的关系原函数和不定积分之间存在着密切的关系不定积分代表$\int fx dx$的所有原函数构成的函数族而原函数是不定积分$fx$$Fx$$\int中的一个特定函数也就是说，不定积分是一个函数族，而原函数fxdx$是这个函数族中的一個特定成员原函数的计算求原函数的计算过程就是求不定积分的过程我们可以利用基本积分公式、凑微分法、分部积分法、代换积分法等方法来求解不定积分，从而得到原函数含参数的原函数如果被积函数中含有参数，那么原函数也将会含有参数例如，求$\int的原函数，可以得到，其x^2+a dx$$Fx=\frac{1}{3}x^3+ax+C$中是一个参数该结果表示对于不同的参数，我们将会得到不同的$a$$a$原函数反函数及其原函数反函数是指一个函数的逆运算如果函数的反函数为，$fx$$f^{-1}x$则且原函数和反函数可以相互转$ff^{-1}x=x$$f^{-1}fx=x$化，即求的原函数，就相当于求的导函数$fx$$f^{-1}x$二元函数及其原函数二元函数是指由两个自变量决定的函数二元函数的原函数是指一个函数，它的偏导数为给定的二元函数例如，求的原函数，可以得到$fx,y=x^2y$，其中是一个常数$Fx,y=\frac{1}{3}x^3y+C$$C$基本原函数的性质常数函数的原函数为线性函数幂函数的原函数为更高次幂函数指数函数的原函数为自身三角函数的原函数为其相应的余弦函数或正弦函数原函数中的常数项原函数中常数项是任意的，因为它对导数没有影响例如，函数$Fx=x^2和都是的原函数，因为它们的导数都是+1$$Gx=x^2+3$$fx=2x$常数项的差异反映在不定积分中的积分常数上$2x$$C$原函数的几何意义原函数的几何意义是原函数的曲线是给定函数的曲线所对应的不定积分曲线族的其中一条也就是说，对于同一个不定积分，可以找到无数个原函数，每个原函数的曲线都是不定积分曲线族中的一条曲线这些曲线之间只相差一个常数定积分与原函数的关系定积分和原函数的关系是定积分的值等于原函数在积分区间端点的值之差这一关系被称为微积分基本定理微积分基本定理是微积分学中最重要的定理之一，它将微分和积分这两个看似独立的概念联系在一起，并为解决实际问题提供了强大的工具基本微积分基本公式回顾导数积分，，，$x^n=nx^{n-1}$$e^x=e^x$$\sin x=\cos$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C n\neq-1$，，，，x$$\cos x=-\sin x$$\tan x=\sec^2x$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$\int e^xdx=e^x+，，，，$\cot x=-\csc^2x$$\sec x=\sec x\tan x$C$$\int\sin xdx=-\cos x+C$$\int\cos xdx=，，，，$\csc x=-\csc x\cot x$$\ln x=\frac{1}{x}$\sin x+C$$\int\sec^2xdx=\tan x+C$$\int，，$\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$\arccos x=\csc^2xdx=-\cot x+C$$\int\frac{1}{\sqrt{1-，，-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$\arctan x=x^2}}dx=\arcsin x+C$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=，，\frac{1}{1+x^2}$$\arccot x=-\frac{1}{1+x^2}$\arctan x+C$，$\arcsec x=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$\arccsc x=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$积分的应用积分在各个领域都有着广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学、统计学等它可以用于计算面积、体积、质量、功、力、概率等等质量中心问题质量中心是指一个物体所有质量的中心点，它代表了整个物体的质量集中点对于二维物体的质量中心，可以用积分计算，具体公式为，$x_c=\frac{\int x\rhox,ydA}{\int\rhox,ydA}$，其中$y_c=\frac{\int y\rhox,ydA}{\int\rhox,ydA}$为物体的密度函数，为面积元$\rhox,y$$dA$面积问题积分可以用来计算平面图形的面积具体公式为，$S=\int_a^b fxdx$其中为图形的边界曲线方程，和为积分区间$fx$$a$$b$体积问题积分可以用来计算旋转体或其他三维物体的体积具体公式为，其中为旋转体的横截面积函数，$V=\int_a^b Axdx$$Ax$和为积分区间$a$$b$弧长问题积分可以用来计算曲线的弧长具体公式为$L=\int_a^b，其中为曲线方程，和为积分区\sqrt{1+fx^2}dx$$fx$$a$$b$间曲线的运动问题积分可以用来解决曲线的运动问题，例如求曲线运动的位移、速度、加速度等具体公式为，，$st=\int_a^t vtdt$$vt=\int_a^t atdt$其中为位移函数，为速度函数，为加速度函数，$st$$vt$$at$$a$和为积分区间$t$工作问题积分可以用来计算做功具体公式为，$W=\int_{x_1}^{x_2}Fx dx$其中为力函数，和为作用力开始和结束的位置$Fx$$x_1$$x_2$流体压力问题积分可以用来计算流体压力具体公式为$P=\int_{h_1}^{h_2}\rho g，其中为流体密度，为重力加速度，为深度，h dh$$\rho$$g$$h$和为深度区间$h_1$$h_2$动力学问题积分可以用来解决动力学问题，例如求物体的运动方程、速度、加速度等具体公式为，，其中$vt=\int_a^t atdt$$xt=\int_a^t vtdt$为速度函数，为加速度函数，为位置函数，和$vt$$at$$xt$$a$为积分区间$t$概率论问题积分可以用来计算概率具体公式为$Pa\le X\le b=\int_a^b fx，其中为随机变量的概率密度函数，和为概率dx$$fx$$X$$a$$b$区间其他应用问题除了上述例子，积分还有很多其他的应用，例如在经济学中可以用来计算消费者剩余，在工程学中可以用来计算应力、应变等微积分思维训练学习微积分不仅仅是为了掌握公式，更重要的是培养逻辑思维能力和解决问题的能力通过解题练习，我们可以训练思维的严谨性和灵活性，提升对问题的分析能力和抽象能力综合应用题综合应用题是指将多个微积分知识点融合在一起的题目解题时需要综合运用所学知识，并灵活运用各种积分技巧，才能顺利解题通过练习综合应用题，可以检验对知识的掌握程度，并提升对问题的理解能力和分析能力下节课预告下一节课我们将学习微积分的重要概念定积分定积分是求函数曲线上两点之间曲线所围面积的运算，它在各个领域有着重要的——应用敬请期待！课程总结本课程主要介绍了不定积分与原函数的概念、性质、计算方法以及应用我们学习了基本不定积分公式、常用积分方法，如凑微分法、分部积分法、换元积分法等同时，我们还了解了原函数的定义和性质，以及它与不定积分的关系最后，我们探讨了积分在各个领域中的广泛应用，例如计算面积、体积、质量、功、力、概率等。