《数学上册几何》课件

数学上册几何欢迎来到数学几何的世界！本课件将带您系统学习几何学的基本概念、定理及其应用通过本课件，您将掌握点、线、面等基本元素，了解各种角的性质，熟悉三角形、四边形等几何图形，并能运用勾股定理解决实际问题让我们一起探索几何的奥秘，开启数学之旅！几何学简介起源与发展研究内容几何学是研究空间形式及其度量关系的数学分支它起源几何学主要研究点、线、面、体等几何元素及其之间的关于古埃及的土地测量，经过古希腊的系统整理和发展，成系它包括平面几何、立体几何、解析几何等分支平面为一门严谨的学科几何学的发展推动了数学、物理学等几何研究二维空间中的几何图形，立体几何研究三维空间领域的发展，对人类文明进步做出了重要贡献中的几何图形，解析几何则将几何问题转化为代数问题进行研究点、线、面点线点是几何学中最基本的元线是由无数个点组成的集素，它没有大小，只有位合，它具有长度，但没有宽置点通常用大写字母表度和厚度线可以分为直示，如点A、点B等点是构线、射线和线段等线是构成其他几何图形的基础成面的基础面面是由无数条线组成的集合，它具有长度和宽度，但没有厚度面可以分为平面和曲面等面是构成体的基础点的定义与表示点的定义点的表示12点是几何学中最基本的元点通常用大写字母表示，素，它没有大小，只有位如点A、点B、点C等在置点是构成其他几何图坐标系中，点可以用坐标形的基础，是几何学的起来表示，如点Ax,y点点的性质3点的位置是确定的，但点本身没有大小和形状点可以存在于直线、曲线、平面、曲面等几何图形中线的定义与表示线的定义1线是由无数个点组成的集合，它具有长度，但没有宽度和厚度线是构成面的基础，是几何学的重要元素线的表示2线可以用两个点或一个小写字母表示如直线AB、直线l等在坐标系中，直线可以用方程来表示，如y=kx+b线的性质3线可以无限延伸，也可以是有限的线可以是直的，也可以是弯曲的线是构成各种几何图形的基础线的分类直线、射线、线段直线射线线段直线没有端点，可以射线只有一个端点，线段有两个端点，长向两个方向无限延可以向一个方向无限度是有限的线段可伸直线可以用两个延伸射线可以用端以用两个端点表示点或一个小写字母表点和一个方向上的点示表示面的定义与表示面的定义面的表示面的性质面是由无数条线组成的集合，它具有面可以用一个大写字母或一个希腊字面可以是平的，也可以是弯曲的面长度和宽度，但没有厚度面是构成母表示在坐标系中，平面可以用方可以是有限的，也可以是无限的面体的基础，是几何学的重要元素程来表示，如Ax+By+Cz+D=0是构成各种几何体的基础平面与曲面平面曲面平面是指没有弯曲的面，是欧几里得几何学的基础平面曲面是指弯曲的面，如球面、柱面、锥面等曲面在几何可以用一张纸、一块黑板等来近似表示在坐标系中，平学、物理学等领域有广泛应用在坐标系中，曲面可以用面可以用线性方程表示非线性方程表示角的概念角的表示角可以用三种方式表示用三个大写字母表示，顶点字母必须在中2角的定义间；用一个大写字母表示，顶点处只有一个角时；用一个希腊字母或角是由两条有公共端点的射线组成1一个数字表示的几何图形这两条射线叫做角的边，公共端点叫做角的顶点角的分类角可以分为锐角、直角、钝角、平3角和周角等不同类型的角具有不同的度数范围和性质角的度量角度制1弧度制2换算3角的度量是几何学中的重要内容常用的度量单位有角度和弧度角度制以度为单位，弧度制以弧度为单位两种度量方式可以相互转换，方便解决实际问题锐角、直角、钝角锐角直角钝角大于0°小于90°的角叫做锐角锐角是等于90°的角叫做直角直角是角的分大于90°小于180°的角叫做钝角钝角角的分类之一，具有小于直角的特类之一，具有垂直的特点，常用符号是角的分类之一，具有大于直角小于点“∟”表示平角的特点平角、周角平角周角平角等于180°平角的两边在同一条直线上，方向相周角等于360°周角的两边重合，形成一个完整的圆反平角可以看作是一条直线周角可以看作是一个旋转了一周的射线角的比较与运算角的比较1角的比较可以通过度量角的大小来进行度数大的角大于度数小的角也可以通过叠合的方式进行比较角的加法2角的加法是指将两个角合并成一个角的运算角的加法满足交换律和结合律角的减法3角的减法是指从一个角中减去另一个角的运算角的减法是角的加法的逆运算相交线相交线的定义相交线的性质两条直线有一个公共点时，这两条直线叫做相交线这个相交线将平面分成四个区域相交线形成的角具有邻补公共点叫做交点角、对顶角等特殊关系邻补角、对顶角邻补角对顶角两条直线相交所构成的四个角两条直线相交所构成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角中，不相邻的两个角叫做对顶邻补角互补，即两个邻补角的和角对顶角相等为180°垂线垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线垂线的表示如果直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD垂线的交点叫做垂足垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短点到直线的距离距离的表示点到直线的距离可以用线段的长度2来表示，通常用d表示点到直线的距离的定义距离是几何学中的重要概念，具有广泛的应用直线外一点到这条直线的垂线段的1长度，叫做点到直线的距离点到距离的应用直线的距离是一个数值，而不是一条线段点到直线的距离可以用来解决实际问题，如测量高度、计算面积等3点到直线的距离是几何学的重要工具平行线定义1判定2性质3在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线平行线是几何学中的重要概念，具有独特的性质和判定方法平行公理公理内容重要意义过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公平行公理在几何学中具有重要的地位，对几何学的发展产生理是欧几里得几何学的重要公理之一，是平行线理论的基了深远的影响非欧几何的产生挑战了平行公理的绝对性，础推动了几何学的创新和发展平行线的判定同位角相等内错角相等同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同位角是指两条直线被第三内错角是指两条直线被第三条直线所截，位于截线的同条直线所截，位于截线的两侧，且在被截直线的同一方侧，且在被截直线之间的向上的角角同旁内角互补同旁内角互补，两直线平行同旁内角是指两条直线被第三条直线所截，位于截线的同侧，且在被截直线之间的角平行线的性质同位角相等1两直线平行，同位角相等这是平行线的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据内错角相等2两直线平行，内错角相等这是平行线的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据同旁内角互补3两直线平行，同旁内角互补这是平行线的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据三角形的概念三角形的定义三角形的要素由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形三角形有三个顶点、三条边和三个角三角形的三个内角叫做三角形三角形是几何学中最基本的图形之一和为180°三角形的边和角之间存在着重要的关系三角形的分类按角分锐角三角形直角三角形钝角三角形三个角都是锐角的三有一个角是直角的三有一个角是钝角的三角形叫做锐角三角角形叫做直角三角角形叫做钝角三角形锐角三角形的每形直角三角形的直形钝角三角形的钝个角都小于90°角所对的边叫做斜角大于90°小于边，另外两条边叫做180°直角边三角形的分类按边分不等边三角形三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形不等边三角形的三个角也都不相等等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，底边所对的角叫做底角等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形的三个角都相等，都等于60°三角形内角和定理定理证明可以通过多种方法证明三角形内角和定理，如拼图法、平行线法等2不同的证明方法展示了几何学的多定理内容样性和严谨性三角形的三个内角和等于180°这1是三角形的重要性质之一，是解决定理应用几何问题的常用依据三角形内角和定理可以用来计算三角形的内角、判定三角形的形状3等它是解决几何问题的有力工具三角形的外角外角的定义1外角的性质2外角的应用3三角形的一个内角的邻补角叫做三角形的外角三角形的外角具有重要的性质，如外角等于不相邻的两个内角之和外角在解决几何问题中具有重要的应用价值全等三角形全等的定义全等的表示能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的如果三角形ABC和三角形DEF全等，记作△ABC≌△DEF形状和大小完全相同注意对应顶点的字母要写在对应的位置上全等三角形的判定SSS判定方法判定依据三边对应相等的两个三角形SSS判定依据的是三角形的全等（简称SSS）这是判稳定性，即三条边确定后，定两个三角形全等的重要方三角形的形状和大小就确定法之一了判定应用SSS判定可以用来证明两个三角形全等，从而解决几何问题它是解决几何问题的常用工具全等三角形的判定SAS判定方法1两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称SAS）这是判定两个三角形全等的重要方法之一判定依据2SAS判定依据的是三角形的唯一性，即两条边及其夹角确定后，三角形的形状和大小就确定了判定应用3SAS判定可以用来证明两个三角形全等，从而解决几何问题它是解决几何问题的常用工具全等三角形的判定ASA判定方法判定依据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简称ASA）ASA判定依据的是三角形的唯一性，即两个角及其夹边确这是判定两个三角形全等的重要方法之一定后，三角形的形状和大小就确定了全等三角形的判定AAS判定方法判定依据两角及其一角的对边对应相等的AAS判定可以转化为ASA判定，两个三角形全等（简称AAS）因此也依据三角形的唯一性掌这是判定两个三角形全等的重要握AAS判定可以更灵活地解决几方法之一何问题角平分线的性质定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线角平分线是几何学中的重要概念性质角平分线上的点到角的两边的距离相等这是角平分线的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据应用角平分线的性质可以用来解决实际问题，如作图、计算等它是几何学的重要工具线段垂直平分线的性质性质线段垂直平分线上的点到这条线段2的两个端点的距离相等这是线段定义垂直平分线的重要性质之一，是解经过线段中点并且垂直于这条线段决几何问题的常用依据1的直线，叫做这条线段的垂直平分线线段垂直平分线是几何学中的应用重要概念线段垂直平分线的性质可以用来解3决实际问题，如作图、计算等它是几何学的重要工具轴对称图形定义1性质2应用3如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴轴对称图形具有重要的性质，在自然界和生活中广泛存在轴对称的性质对应点连线对应角相等对应边相等轴对称图形的对应点连线被对称轴垂轴对称图形的对应角相等这是轴对轴对称图形的对应边相等这是轴对直平分这是轴对称的重要性质之称的重要性质之一称的重要性质之一一等腰三角形的性质两腰相等两底角相等等腰三角形的两条腰相等等腰三角形的两个底角相这是等腰三角形的基本特等这是等腰三角形的重要征性质之一，是解决几何问题的常用依据三线合一等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合这是等腰三角形的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据等边三角形的性质三边相等1等边三角形的三条边都相等这是等边三角形的基本特征三角相等2等边三角形的三个角都相等，都等于60°这是等边三角形的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据轴对称性3等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴这是等边三角形的重要特征之一勾股定理定理内容定理证明直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即a²+b²勾股定理有多种证明方法，如赵爽弦图、欧几里得证明=c²勾股定理是几何学中最著名的定理之一等不同的证明方法展示了几何学的多样性和严谨性勾股定理的逆定理定理内容定理应用如果三角形两边的平方和等于第勾股定理的逆定理可以用来判定三边的平方，那么这个三角形是三角形是否为直角三角形，解决直角三角形勾股定理的逆定理实际问题它是几何学的重要工是判定直角三角形的重要方法具四边形的概念定义由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形四边形是几何学中的重要图形之一分类四边形可以分为凸四边形和凹四边形凸四边形的任何一边都在其他三边所在直线的同一侧，凹四边形则不是性质四边形的内角和等于360°这是四边形的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据平行四边形性质平行四边形的对边相等、对角相2等、对角线互相平分这些性质是定义解决几何问题的常用依据两组对边分别平行的四边形叫做平1行四边形平行四边形是几何学中判定的重要图形之一可以通过多种方法判定四边形是否为平行四边形，如两组对边分别平3行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等等平行四边形的性质对边相等1对角相等2对角线互相平分3平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分这些性质是平行四边形的重要特征，是解决几何问题的常用依据掌握这些性质可以更有效地解决几何问题平行四边形的判定两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等如果四边形的两组对边分别平行，那如果四边形的两组对边分别相等，那如果四边形的一组对边平行且相等，么这个四边形是平行四边形这是判么这个四边形是平行四边形这是判那么这个四边形是平行四边形这是定平行四边形最基本的方法定平行四边形的常用方法之一判定平行四边形的重要方法之一矩形定义性质有一个角是直角的平行四边矩形具有平行四边形的所有形叫做矩形矩形是特殊的性质，并且四个角都是直平行四边形角，对角线相等这些性质是解决几何问题的常用依据判定可以通过多种方法判定四边形是否为矩形，如有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形等矩形的性质四个角都是直角1矩形的四个角都是直角，每个角都等于90°这是矩形的基本特征对角线相等2矩形的对角线相等这是矩形的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据对称性3矩形是轴对称图形，也是中心对称图形它有两条对称轴，对称中心是对角线的交点矩形的判定定义法对角线法角法有一个角是直角的平行四边形是矩对角线相等的平行四边形是矩形这有三个角是直角的四边形是矩形这形这是判定矩形最基本的方法是判定矩形的常用方法之一是判定矩形的重要方法之一菱形定义性质有一组邻边相等的平行四边形叫菱形具有平行四边形的所有性做菱形菱形是特殊的平行四边质，并且四条边都相等，对角线形互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角这些性质是解决几何问题的常用依据菱形的性质四条边都相等菱形的四条边都相等这是菱形的基本特征对角线互相垂直平分菱形的对角线互相垂直平分这是菱形的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据每一条对角线平分一组对角菱形的每一条对角线平分一组对角这是菱形的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据菱形的判定对角线法对角线互相垂直的平行四边形是菱2形这是判定菱形的常用方法之定义法一有一组邻边相等的平行四边形是菱1形这是判定菱形最基本的方法边法四条边都相等的四边形是菱形这3是判定菱形的重要方法之一正方形定义1性质2判定3有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形既是矩形，又是菱形，是特殊的四边形正方形的性质四条边都相等四个角都是直角对角线相等且互相垂直平分正方形的四条边都相等这是正方形正方形的四个角都是直角，每个角都正方形的对角线相等且互相垂直平的基本特征等于90°这是正方形的基本特征分这是正方形的重要性质之一，是解决几何问题的常用依据正方形的判定定义法矩形法有一组邻边相等且有一个角有一组邻边相等的矩形是正是直角的平行四边形是正方方形这是判定正方形的常形这是判定正方形最基本用方法之一的方法菱形法有一个角是直角的菱形是正方形这是判定正方形的重要方法之一梯形定义1一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形是四边形中的一种特殊图形要素2梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较长的底叫做下底，较短的底叫做上底，不平行的两边叫做腰，两底之间的距离叫做梯形的高分类3梯形可以分为一般梯形、等腰梯形和直角梯形不同类型的梯形具有不同的性质等腰梯形定义性质两腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形是特殊的梯形等腰梯形的同一底上的两个角相等，对角线相等这些性质是解决几何问题的常用依据直角梯形定义性质有一个角是直角的梯形叫做直角直角梯形有一个角是直角直角梯形直角梯形是特殊的梯形梯形在解决几何问题中具有特殊的应用价值多边形定义由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次相接且不相交所组成的图形叫做多边形多边形是几何学中的重要图形之一分类多边形可以分为凸多边形和凹多边形凸多边形的任何一边都在其他各边所在直线的同一侧，凹多边形则不是要素多边形有顶点、边和角多边形的内角和与边数有关，外角和恒等于360°多边形内角和推导可以通过将多边形分割成若干个三角形来推导多边形内角和公式这2种分割思想是解决几何问题的常用公式方法n边形的内角和等于n-2×180°这1是多边形的重要性质之一，是解决应用几何问题的常用依据多边形内角和公式可以用来计算多边形的内角、判定多边形的形状3等它是解决几何问题的有力工具多边形外角和公式1证明2应用3任意多边形的外角和都等于360°这是多边形的重要性质之一，与边数无关多边形外角和在解决几何问题中具有特殊的应用价值圆的概念定义要素平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆圆有圆心、半径、直径、弧、弦等要素这些要素是研究圆定点叫做圆心，定长叫做半径圆是几何学中最完美的图形的重要对象之一圆心、半径、直径圆心半径圆心是圆的对称中心，也是半径是圆上任意一点到圆心圆的重要特征之一圆心确的距离，也是圆的大小的重定了圆的位置要特征半径决定了圆的大小直径直径是经过圆心且两端点都在圆上的线段，是圆的最长弦直径等于半径的两倍。