《数据结构与算法》课件

《数据结构与算法》课程概述欢迎来到《数据结构与算法》课程！本课程旨在帮助大家系统地学习和掌握计算机科学中至关重要的数据结构和算法知识我们将从基础概念入手，逐步深入到各种经典算法的设计与分析，并通过大量的实例和案例，帮助大家理解和运用所学知识希望通过本课程的学习，大家能够具备解决实际问题的能力，为未来的职业发展打下坚实的基础为什么学习数据结构与算法提高编程能力解决实际问题提升职业竞争力数据结构与算法是编程的核心，掌握它在实际的软件开发过程中，我们会遇到在求职面试中，数据结构与算法是考察们可以帮助我们编写出更高效、更健壮各种各样的问题，而数据结构与算法正候选人编程能力的重要内容掌握扎实的代码通过学习，我们可以更深入地是解决这些问题的关键例如，如何高的数据结构与算法知识，可以帮助我们理解编程语言的底层机制，从而更好地效地存储和检索数据、如何快速地搜索在面试中脱颖而出，获得更好的职业发运用各种编程技巧目标信息、如何优化程序的运行效率等展机会许多公司还会通过算法竞赛来等筛选人才学习数据结构与算法的目标掌握基本概念理解各种数据结构（如数组、链表、栈、队列、树、图等）的特点和适用场景，掌握各种算法（如排序、搜索、图算法等）的基本思想和实现方法具备分析能力能够分析算法的时间复杂度和空间复杂度，评估算法的优劣，选择合适的算法解决实际问题能够灵活运用能够将所学的数据结构与算法知识灵活地运用到实际的软件开发中，解决各种复杂的问题，提高程序的效率和性能代码实现能力能够使用编程语言（如C++、Java、Python等）实现各种数据结构和算法，并进行调试和测试，确保程序的正确性和可靠性基础知识回顾编程语言基础数学基础12复习C++、Java或Python回顾离散数学、概率论、线性等常用编程语言的基本语法、代数等数学知识这些数学知数据类型、控制结构、函数、识是理解和分析算法的基础类和对象等概念重点掌握指例如，时间复杂度分析需要用针、引用、动态内存分配等高到离散数学中的函数增长率的级特性概念算法思维3培养抽象思维、逻辑思维和问题分解能力学习如何将一个复杂的问题分解成若干个小问题，然后分别解决，最后再将各个小问题的解组合起来得到原问题的解算法的基本概念算法定义算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，每条指令表示计算机的一个或多个操作算法必须具有确定性、可行性、有穷性等特征算法要素数据对象的运算和操作算法需要对数据进行处理，包括算术运算、逻辑运算、关系运算等算法的控制结构算法的执行流程，包括顺序结构、选择结构、循环结构等算法设计算法设计是指根据问题的需求，选择合适的数据结构，设计出高效、可行的算法算法设计需要考虑算法的正确性、可读性、健壮性、效率和存储量需求算法的衡量标准正确性1算法必须能够正确地解决问题，即对于任何合法的输入，算法都必须能够产生正确的输出结果这是算法最基本的要求可读性2算法应该易于理解和阅读，方便他人维护和修改好的可读性可以减少错误，提高开发效率健壮性3算法应该能够处理各种异常情况，例如输入错误、数据溢出等即使在异常情况下，算法也应该能够给出合理的提示或处理结果，而不是崩溃效率4算法的效率是衡量算法性能的重要指标，主要包括时间效率和空间效率时间效率是指算法的执行时间，空间效率是指算法所需的存储空间我们通常希望算法的时间效率和空间效率都尽可能高时间复杂度分析数量级计算基本操作执行次数的数量级，即忽略低阶项和常数项例如，如果基本操2作执行次数为n^2+n+1，则其数量级基本操作为On^2确定算法中执行次数最多的基本操作，1表示方法例如赋值语句、比较语句等这些基本操作的执行次数直接影响算法的运行时使用大O记号表示算法的时间复杂度间例如，O1表示常数时间复杂度，On表示线性时间复杂度，On^2表示平方3时间复杂度，Olog n表示对数时间复杂度，On logn表示线性对数时间复杂度，O2^n表示指数时间复杂度空间复杂度分析辅助空间算法执行过程中所需的辅助空间，不包括输入数据所占用的空间例如，递归算法需要1使用栈空间来保存函数调用信息，而迭代算法则不需要数量级2计算算法所需的辅助空间数量级，即忽略低阶项和常数项例如，如果算法需要使用一个大小为n的数组作为辅助空间，则其空间复杂度为On表示方法使用大O记号表示算法的空间复杂度例如，O1表示常数空间3复杂度，On表示线性空间复杂度，On^2表示平方空间复杂度等数组的基本操作插入删除查找在数组的指定位置插入一个元素如果插删除数组中指定位置的元素删除操作需在数组中查找指定值的元素可以使用线入位置已存在元素，则需要将该位置及其要将该位置后面的所有元素都向前移动一性查找或二分查找等算法线性查找的时后面的所有元素都向后移动一位，才能腾位，才能填补删除元素后留下的空缺删间复杂度为On，二分查找的时间复杂度出空间插入新元素插入操作的时间复杂除操作的时间复杂度为On为Olog n度为On链表的基本操作插入删除查找在链表的指定位置插入一个节点插入删除链表中指定位置的节点删除操作在链表中查找指定值的节点只能使用操作只需要修改指针，不需要移动元只需要修改指针，不需要移动元素，因线性查找，时间复杂度为On链表不素，因此时间复杂度为O1但是，如此时间复杂度为O1但是，如果需要支持二分查找，因为链表中的元素不是果需要在指定位置插入节点，则需要先在指定位置删除节点，则需要先找到该连续存储的找到该位置，查找操作的时间复杂度为位置，查找操作的时间复杂度为OnOn栈的基本操作1入栈（Push）将一个元素放入栈顶入栈操作的时间复杂度为O12出栈（Pop）将栈顶的元素移除出栈操作的时间复杂度为O13查看栈顶（Peek）查看栈顶的元素，但不移除查看栈顶操作的时间复杂度为O14判断栈空（IsEmpty）判断栈是否为空判断栈空操作的时间复杂度为O1队列的基本操作入队（Enqueue）出队（Dequeue）将一个元素放入队尾入队操作的时间复杂度为O1将队首的元素移除出队操作的时间复杂度为O1查看队首（Peek）判断队空（IsEmpty）查看队首的元素，但不移除查看队首操作的时间复杂度为判断队列是否为空判断队空操作的时间复杂度为O1O1树的基本概念节点根节点子节点父节点树中的每个元素称为节点树的顶端节点称为根节点一个节点的直接后继节点称一个节点的直接前驱节点称节点可以包含数据和指向其根节点没有父节点为该节点的子节点为该节点的父节点他节点的指针二叉树的遍历前序遍历1先访问根节点，然后依次前序遍历左子树和右子树中序遍历2先中序遍历左子树，然后访问根节点，最后中序遍历右子树后序遍历3先后序遍历左子树和右子树，最后访问根节点层次遍历4从根节点开始，按照层次依次访问每个节点二叉搜索树查找从根节点开始，如果要查找的值小于当前节点的值，则在左子树中查找；如果定义2要查找的值大于当前节点的值，则在右二叉搜索树（Binary Search子树中查找；如果要查找的值等于当前Tree，BST）是一种特殊的二叉树，节点的值，则查找成功1它的每个节点都满足以下条件左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，插入右子树中的所有节点的值都大于该节点从根节点开始，如果要插入的值小于当的值，且左右子树也都是二叉搜索树前节点的值，则在左子树中插入；如果3要插入的值大于当前节点的值，则在右子树中插入；如果要插入的值等于当前节点的值，则不插入平衡二叉树定义平衡二叉树（Balanced BinaryTree）是一种特殊的二叉搜索树，它的左右子树的1高度差不超过1平衡二叉树可以保证查找、插入和删除操作的时间复杂度为Ologn旋转2平衡二叉树通过旋转操作来维持平衡常见的旋转操作包括左旋和右旋类型3常见的平衡二叉树包括AVL树和红黑树堆的基本操作插入删除堆化将一个元素插入堆中删除堆顶的元素删除将一个数组转换成一个插入操作需要将新元素操作需要将堆顶元素与堆堆化操作可以从最放到堆的末尾，然后向堆的末尾元素交换，然后一个非叶子节点开上调整，直到满足堆的后向下调整，直到满足始，依次向下调整，直性质堆的性质到满足堆的性质图的基本概念顶点边邻接度图中的每个元素称为顶点连接两个顶点的线称为边如果两个顶点之间存在一条一个顶点的度（Degree）（Vertex）顶点可以包含（Edge）边可以是有向边，则称这两个顶点是邻接是指与该顶点相连的边的数数据的，也可以是无向的的（Adjacent）量对于有向图，顶点的度分为入度和出度图的遍历算法1深度优先搜索（DFS）从一个顶点开始，沿着一条路径尽可能深地搜索，直到到达一个没有未访问邻接顶点的顶点，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径2广度优先搜索（BFS）从一个顶点开始，依次访问该顶点的所有邻接顶点，然后依次访问每个邻接顶点的所有未访问邻接顶点最短路径算法Dijkstra算法Bellman-Ford算法用于求解单源最短路径问题，即求解从一个顶点到其他所有顶点用于求解单源最短路径问题，可的最短路径Dijkstra算法要求以处理图中存在负权边的情况图中不存在负权边Bellman-Ford算法可以判断图中是否存在负权环Floyd-Warshall算法用于求解所有顶点之间的最短路径问题Floyd-Warshall算法可以处理图中存在负权边的情况，但不能判断图中是否存在负权环最小生成树算法Prim算法Kruskal算法从一个顶点开始，不断选择与当前树将所有边按照权值从小到大排序，然相连的权值最小的边，直到所有顶点后依次选择权值最小的边，如果该边都加入到树中连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将该边加入到树中，直到所有顶点都在同一个连通分量中排序算法概述定义分类衡量标准排序算法是指将一组数据按照一定的规常见的排序算法可以分为比较排序和非衡量排序算法的优劣主要考虑时间复杂则（例如从小到大或从大到小）进行排比较排序比较排序包括冒泡排序、选度和空间复杂度此外，还需要考虑算列的算法择排序、插入排序、快速排序、归并排法的稳定性稳定性是指如果两个元素序、堆排序等非比较排序包括计数排的值相等，则排序后它们的相对位置不序、桶排序、基数排序等变冒泡排序基本思想1重复地遍历要排序的列表，比较每对相邻的项目，并且交换他们的顺序（如果他们顺序不正确）重复对列表进行遍历直到没有再需要交换的项目时间复杂度2平均时间复杂度为On^2，最好情况时间复杂度为On，最坏情况时间复杂度为On^2空间复杂度3空间复杂度为O1稳定性4冒泡排序是一种稳定的排序算法选择排序基本思想首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾以此类推，直到所有元素均排序完毕时间复杂度平均时间复杂度为On^2，最好情况时间复杂度为On^2，最坏情况时间复杂度为On^2空间复杂度空间复杂度为O1稳定性选择排序是一种不稳定的排序算法插入排序基本思想通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到O1的额外空间的排序），因而在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间时间复杂度平均时间复杂度为On^2，最好情况时间复杂度为On，最坏情况时间复杂度为On^2空间复杂度空间复杂度为O1稳定性插入排序是一种稳定的排序算法快速排序基本思想1通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进时间复杂度2行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列平均时间复杂度为On logn，最好情况时间复杂度为On logn，最坏情况时间复杂度为On^2空间复杂度3空间复杂度为Olog n稳定性4快速排序是一种不稳定的排序算法归并排序时间复杂度基本思想1平均时间复杂度为On logn，最好情将两个或两个以上的有序表合并成一个2况时间复杂度为On logn，最坏情况新的有序表时间复杂度为On logn4稳定性空间复杂度3归并排序是一种稳定的排序算法空间复杂度为On堆排序基本思想利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的1性质即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点时间复杂度2平均时间复杂度为On logn，最好情况时间复杂度为On logn，最坏情况时间复杂度为On logn空间复杂度3空间复杂度为O1稳定性4堆排序是一种不稳定的排序算法计数排序基本思想时间复杂度空间复杂度使用一个额外的数组时间复杂度为On+k，空间复杂度为OkC，其中第i个元素是待其中k是待排序元素的范排序数组A中值等于i的围元素的个数然后根据数组C来将A中的元素排到正确的位置稳定性计数排序是一种稳定的排序算法桶排序基本思想时间复杂度空间复杂度稳定性假设输入数据服从均匀分平均时间复杂度为On+k，空间复杂度为On+k桶排序的稳定性取决于桶内布，将数据分到有限数量的最好情况时间复杂度为排序算法的稳定性如果桶桶里，每个桶再分别排序On+k，最坏情况时间复杂内排序算法是稳定的，则桶（有可能再使用别的排序算度为On^2排序也是稳定的法或是以递归方式继续使用桶排序进行排序）基数排序基本思想1将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较时间复杂度2时间复杂度为Onk，其中n是待排序元素的个数，k是数字的位数空间复杂度3空间复杂度为On+k稳定性4基数排序是一种稳定的排序算法递归算法定义在函数或过程的定义中直接或间接地调用自身的一种方法递归算法通常用于解决可以分解成相同子问题的问题基本要素递归算法需要满足两个基本要素递归出口和递归调用递归出口是指递归算法的结束条件，递归调用是指递归算法调用自身的过程优点递归算法的优点是可以简化代码，使代码更加易于理解和维护递归算法通常可以用于解决一些非常复杂的问题缺点递归算法的缺点是可能会导致栈溢出，因为每次递归调用都需要在栈中保存函数调用信息此外，递归算法的效率通常不如迭代算法分治算法定义基本步骤例子适用场景将一个难以直接解决的大问题，分将问题分解成规模较小的子归并排序、快速排序等都属于分分治算法适用于可以分解成相同分割成一些规模较小的相同问问题治递归地解决子问题治算法子问题的问题，并且子问题之间题，以便各个击破，分而治之如果子问题足够小，则直接解没有相互依赖关系决合将子问题的解合并成原问题的解贪心算法定义1在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解基本步骤2建立数学模型来描述问题把求解的问题分成若干个子问题对每一个子问题求解，得到局部最优解把子问题的解局部最优解合成原来解问题的例子3一个解霍夫曼编码、最小生成树算法等都属于贪心算法适用场景4贪心算法适用于满足贪心选择性质的问题贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择来达到动态规划基本思想定义动态规划算法的关键在于定义状态和状态转移方程状态是指子问题的解，状将原问题分解为相互重叠的子问题，通1态转移方程是指子问题之间的递推关过求解子问题来求解原问题动态规划2系动态规划算法通常采用自底向上的通常用于求解最优化问题方式求解，即先求解子问题，然后逐步求解原问题适用场景4动态规划适用于满足最优子结构和重叠例子3子问题性质的问题最优子结构性质是背包问题、最长公共子序列问题等都属指问题的最优解包含其子问题的最优于动态规划解重叠子问题性质是指子问题之间存在重叠的部分回溯算法定义一种通过探索所有可能的候选解来找出所有的解的算法如果候选解不满足要求，则回溯到上一步，继续探索其他可1能的候选解基本步骤2选择选择一个候选解约束判断候选解是否满足约束条件如果满足，则继续探索；否则，回溯到上一步，选择其他候选解目标判断是否到达目标状态如果到达，则找到一个解；否则，继续探索例子3八皇后问题、数独问题等都属于回溯算法适用场景4回溯算法适用于求解组合问题、排列问题和搜索问题字符串匹配算法暴力匹配KMP算法Boyer-Moore算法Rabin-Karp算法将模式串和文本串逐个字符进一种高效的字符串匹配算法，行比较，如果匹配成功，则返通过预处理模式串，可以避免一种高效的字符串匹配算法，一种基于哈希的字符串匹配算回匹配位置；否则，继续比较不必要的比较，从而提高匹配通过从后向前比较模式串，可法，通过计算模式串和文本串下一个位置效率以跳过不必要的比较，从而提的哈希值，可以快速判断是否高匹配效率匹配散列表定义散列函数冲突处理优点一种根据关键码值Key散列函数是指将关键码值映常见的冲突处理方法包括开散列表的优点是可以实现快value而直接进行访问的数射到表中一个位置的函数放寻址法和链地址法开放速的查找、插入和删除操据结构也就是说，它通过好的散列函数应该能够尽可寻址法是指如果发生冲突，作散列表的时间复杂度为把关键码值映射到表中一个能地减少冲突，即不同的关则在表中寻找下一个空闲位O1，但最坏情况下时间复位置来访问记录，以加快查键码值映射到同一个位置的置链地址法是指将所有映杂度为On找的速度这个映射函数叫情况射到同一个位置的关键码值做散列函数，存放记录的数都存储在一个链表中组叫做散列表二分查找基本思想1在一个有序数组中，将待查找的值与数组中间位置的值进行比较如果待查找的值小于中间位置的值，则在数组的左半部分继续查找；如果待查找的值大于中间位置的值，则在数组的右半部分继续查找；如果待查找的值等于中间位置的值，则查找成功时间复杂度2时间复杂度为Olog n适用条件3二分查找适用于有序数组优点4二分查找的优点是查找效率高，时间复杂度为Olog n深度优先搜索基本思想从一个顶点开始，沿着一条路径尽可能深地搜索，直到到达一个没有未访问邻接顶点的顶点，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径实现方法深度优先搜索可以使用递归或栈来实现适用场景深度优先搜索适用于求解连通性问题、路径问题和搜索问题优点深度优先搜索的优点是空间复杂度较低，因为只需要保存当前路径的信息广度优先搜索基本思想从一个顶点开始，依次访问该顶点的所有邻接顶点，然后依次访问每个邻接顶点的所有未访问邻接顶点实现方法广度优先搜索可以使用队列来实现适用场景广度优先搜索适用于求解最短路径问题、连通性问题和搜索问题优点广度优先搜索的优点是可以保证找到最短路径算法应用案例分析推荐系统1推荐系统使用算法来预测用户可能感兴趣的物品，例如电影、书籍、音乐、商品等常见的推荐算法包括协同过滤、内容推荐和混合推荐搜索引擎2搜索引擎使用算法来索引和检索互联网上的信息常见的搜索算法包括倒排索引、PageRank算法和TF-IDF算法图像识别3图像识别使用算法来识别图像中的物体、场景和人脸常见的图像识别算法包括卷积神经网络（CNN）和支持向量机（SVM）自然语言处理4自然语言处理使用算法来处理和理解人类语言常见的自然语言处理算法包括词法分析、句法分析和语义分析总结与展望总结展望本课程系统地介绍了数据结构与算法的随着计算机技术的不断发展，数据结构基本概念、基本思想和基本应用通过与算法的重要性将越来越突出未来，1本课程的学习，大家应该能够掌握各种我们需要不断学习新的数据结构和算数据结构的特点和适用场景，掌握各种2法，不断提高自己的编程能力，才能在算法的设计和分析方法，并能够将所学激烈的竞争中脱颖而出希望大家能够知识灵活地运用到实际的软件开发中继续努力，不断探索计算机科学的奥秘！。