《行列式按行列展开》课件

行列式按行列展开课程目标掌握行列式的基本概念理解代数余子式的概念掌握行列式按行列展开的公式理解行列式的定义、性质，以及行列掌握代数余子式的计算方法和性质，式与矩阵之间的关系，为后续学习行为行列式按行列展开做好准备列式展开奠定基础什么是行列式行列式是一个将方阵映射到一个标量的函数简单来说，给定一个n×n的矩阵，其行列式是一个数值，可以用来判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的特征值等重要信息行列式在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面都有着广泛的应用行列式的性质互换两行（列），行列某行（列）乘以数k，12式变号等于用k乘以行列式这一性质在简化计算时非常类似地，提取公因子可以简有用，可以通过互换行或化计算列，将行列式转换为更易于计算的形式某行（列）加上另一行（列）的倍，行列式不变k行列式的定义行列式是由n阶方阵元素构成的一个数值，记作detA或|A|对于一个1x1的矩阵[a]，它的行列式就是a本身对于一个2x2的矩阵，其行列式定义为|A|=a11*a22-a12*a21更高阶的行列式则通过递归定义，最终转化为一系列2x2行列式的计算理解这个定义对于后续学习行列式的展开是至关重要的如何计算行列式2x2找出主对角线元素主对角线是指从左上角到右下角的元素计算主对角线元素乘积将主对角线上的两个元素相乘找出副对角线元素副对角线是指从右上角到左下角的元素计算副对角线元素乘积将副对角线上的两个元素相乘如何计算行列式3x3计算3x3行列式可以使用多种方法，其中一种常见的方法是“对角线法则”或者“萨鲁斯法则”该方法通过将矩阵的对角线元素相乘并相加减来计算行列式另外，也可以使用行列式按行列展开的方法，将3x3行列式转化为多个2x2行列式的计算选择哪种方法取决于具体的问题和个人习惯，熟练掌握多种方法可以更灵活地解决问题利用行列式求矩阵的逆判断可逆性计算行列式1如果detA不等于0，则矩阵A可逆；计算矩阵A的行列式detA2否则，A不可逆4计算逆矩阵计算伴随矩阵3A的逆矩阵A^-1=adjA/detA求出A的伴随矩阵adjA行列式的代数余子式在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij代数余子式是在余子式的基础上，再乘以一个符号因子-1^i+j，记作Aij=-1^i+jMij代数余子式在行列式按行列展开中扮演着重要的角色，是理解展开公式的关键行列式按行列展开的定义行列式按行列展开是指，将一个n阶行列式的值，通过选择某一行或某一列，并利用该行或该列的元素及其对应的代数余子式进行计算的方法通过这种方法，可以将一个高阶行列式的计算，转化为多个低阶行列式的计算，从而简化计算过程理解行列式按行列展开的定义，是掌握展开公式和应用的关键行列式按行展开的公式公式描述对于n阶行列式D，选择第i行进行展开，则D=ai1*Ai1+ai2*Ai2+...+ain*Ain，其中aij表示第i行第j列的元素，Aij表示aij的代数余子式公式解读公式表明，行列式的值等于某一行所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和行列式按列展开的公式公式描述对于n阶行列式D，选择第j列进行展开，则D=a1j*A1j+a2j*A2j+...+anj*Anj，其中aij表示第i行第j列的元素，Aij表示aij的代数余子式公式解读公式表明，行列式的值等于某一列所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和行列式按行列展开的应用解线性方程组求矩阵的逆计算特征值克拉默法则利用行列式求解线性方程通过伴随矩阵和行列式求矩阵的逆行列式用于计算矩阵的特征值组计算行列式的展开2x2对于2x2行列式，按行列展开其实就是其定义的另一种表达方式假设行列式为|A|=a11*a22-a12*a

21.按第一行展开，则|A|=a11*A11+a12*A12=a11*a22+a12*-a21=a11*a22-a12*a21同样，按其他行或列展开也会得到相同的结果虽然对于2x2行列式来说，展开计算显得有些繁琐，但它可以帮助我们更好地理解展开的原理计算行列式的展开3x3对于3x3行列式，按行列展开可以有效地降低计算复杂度例如，选择第一行展开|A|=a11*A11+a12*A12+a13*A13，其中A

11、A

12、A13分别为a

11、a

12、a13的代数余子式，它们都是2x2的行列式，可以直接计算通过这种方式，将一个3x3行列式的计算，转化为三个2x2行列式的计算计算高阶行列式的展开选择合适的行或列1尽量选择包含较多0元素的行或列，以简化计算计算代数余子式2将高阶行列式转化为多个低阶行列式的计算递归计算3重复上述步骤，直到转化为易于计算的低阶行列式行列式展开的特殊情况上三角行列式下三角行列式对角行列式上三角行列式的值等于主对角线上元下三角行列式的值等于主对角线上元对角行列式的值等于主对角线上元素素的乘积素的乘积的乘积行列式展开的诀窍选择包含0元素较多的利用行列式的性质进行12行或列简化这样可以减少计算量例如，互换行或列，提取公因子等熟练掌握代数余子式的计算3这可以提高计算速度行列式展开的注意事项符号错误余子式计算错误行列选择错误注意代数余子式的符确保正确计算余子在展开时，确保选择号，特别是当i+j为奇式，尤其是高阶行列正确的行或列数时式展开时行列式展开的几何意义面积体积线性变换2阶行列式表示由两个二维向量所3阶行列式表示由三个三维向量所行列式可以反映线性变换对面积或张成的平行四边形的有向面积张成的平行六面体的有向体积体积的缩放比例行列式展开的计算技巧利用初等变换化为三角拆分行列式12行列式将复杂的行列式拆分为多个通过行或列的初等变换，将简单的行列式进行计算行列式化为上三角或下三角行列式，从而简化计算寻找规律3对于一些特殊的行列式，例如范德蒙德行列式，可以直接应用公式进行计算行列式的性质与应用判断线性相关性若detA≠0，则矩阵A的列向量线性无关；若detA=0，则线性相关求解线性方程组克拉默法则利用行列式求解线性方程组计算特征值通过解特征方程|A-λI|=0，计算矩阵A的特征值行列式的高效计算优化算法使用计算软件并行计算选择合适的算法，例利用Matlab、将行列式计算任务分如LU分解等，提高计Mathematica等计算软解为多个子任务，并算效率件进行计算行执行行列式的代数余子式在n阶行列式中，代数余子式是指元素aij的余子式Mij乘以符号因子-1^i+j，记作Aij=-1^i+jMij代数余子式是行列式按行列展开的基础，也是计算伴随矩阵的重要组成部分熟练掌握代数余子式的计算，对于理解和应用行列式至关重要行列式的递归计算高阶行列式1三阶行列式2二阶行列式3一阶行列式4行列式的递归计算是指，将一个高阶行列式的计算，通过按行列展开，转化为多个低阶行列式的计算，然后递归地应用该方法，直到转化为易于计算的低阶行列式为止这种方法可以将复杂问题分解为简单问题，从而简化计算过程行列式的求逆应用计算伴随矩阵求出矩阵A的伴随矩阵adjA计算行列式计算矩阵A的行列式detA计算逆矩阵A的逆矩阵A^-1=adjA/detA行列式的特殊形式范德蒙德行列式循环行列式元素为等比数列的行列式，具有特殊的计算公式每一行都是上一行循环移位得到的行列式，也有特殊的计算方法行列式的基本运算加法乘法转置只有当两个行列式只行列式与数的乘法，行列式转置后，其值有某一行（或列）不等于用这个数乘以行不变同时，才能进行加法列式的某一行（或运算列）行列式的性质综合应用化简行列式求解未知数12利用行列式的性质，将复杂利用行列式的性质，建立方的行列式化简为简单的行列程，求解未知数式，便于计算判断线性相关性3利用行列式的性质，判断向量组的线性相关性例题讲解行列式2x2例计算行列式|A|=|21;34|解|A|=2*4-1*3=8-3=5通过这个简单的例子，我们复习了2x2行列式的计算方法这个例子展示了2x2行列式计算的基本步骤和方法，对于初学者来说非常重要例题讲解行列式3x3例计算行列式|A|=|123;456;789|解选择第一行展开|A|=1*A11-2*A12+3*A13，其中A

11、A

12、A13分别为a

11、a

12、a13的代数余子式计算结果为0这个例子展示了3x3行列式按行列展开的计算过程，以及如何选择合适的行或列进行展开例题讲解高阶行列式例计算4阶行列式|A|解首先选择包含较多0元素的行或列，例如第一列然后按第一列展开，将4阶行列式转化为多个3阶行列式的计算递归地应用该方法，直到转化为易于计算的2阶行列式为止最后计算结果这个例子展示了如何计算高阶行列式，以及如何选择合适的行或列进行展开，并利用行列式的性质简化计算习题演练行列式2x2练习1计算行列式|32;14|练习2计算行列式|-15;2-3|练习3计算行列式|a b;c d|通过这些练习，巩固2x2行列式的计算方法请同学们认真完成这些练习，并核对答案，以便更好地掌握2x2行列式的计算习题演练行列式3x3练习1计算行列式|102;345;678|练习2计算行列式|210;031;102|练习3计算行列式|a bc;d ef;g hi|通过这些练习，巩固3x3行列式的计算方法请同学们认真完成这些练习，并核对答案，以便更好地掌握3x3行列式的计算习题演练高阶行列式练习1计算4阶行列式|A|练习2计算5阶行列式|B|练习3计算n阶行列式|C|通过这些练习，巩固高阶行列式的计算方法请同学们认真完成这些练习，并核对答案，以便更好地掌握高阶行列式的计算，并提高解决复杂问题的能力总结与反思本次课程我们深入探讨了行列式按行列展开这一重要的线性代数概念我们学习了行列式的基本定义和性质，掌握了行列式按行列展开的原理、公式、计算方法以及应用通过例题讲解和习题演练，巩固了所学知识，提高了解决问题的能力希望同学们在课后继续深入学习，并将其应用到实际问题中，为后续深入学习线性代数打下坚实的基础课后思考题思考题1行列式按行列展开与克拉默法则有什么关系？思考题2行列式在计算机图形学中有哪些应用？思考题3如何利用行列式判断一个矩阵是否正定？通过这些思考题，可以帮助同学们更深入地理解和应用行列式请同学们认真思考这些问题，并查阅相关资料，以便更好地掌握行列式这一重要的线性代数概念参考文献•线性代数同济大学数学系编•线性代数及其应用David C.Lay•Introduction toLinear AlgebraGilbert Strang。