《被积函数有界》课件

《被积函数有界》本课件旨在深入探讨被积函数有界的概念、性质与应用通过系统回顾函数的基础知识，结合具体定理与例题，帮助学生全面掌握被积函数有界性分析与判断方法，为后续积分计算及相关数学问题求解奠定坚实基础课程目标理解函数有界性的概念掌握常用函数有界性的判别能够运用有界性解决实际问123方法题掌握函数有界性的定义及其几何意义，能够准确判断给定函数是否具熟悉常函数、单调函数、连续函数了解函数有界性在积分计算、不等有有界性等常见函数的有界性特点，并能灵式证明等数学问题中的应用，并能活运用相关定理进行判断运用所学知识解决相关问题知识回顾函数的基本概念函数的定义域与值域函数的图像与性质复习函数的定义、表示方法（解析式、强调定义域对于函数的重要性，复习常回顾函数图像的绘制方法，以及函数的图像、表格）、函数的三要素等基本概见函数（如多项式函数、指数函数、对奇偶性、单调性、周期性等性质，这些念，确保学生对函数有一个整体性的认数函数、三角函数等）的定义域求法性质在判断函数有界性时经常用到识函数的定义域函数的定义域是指使得函数有意义的自变量的取值范围求函数的定义域是研究函数性质的首要步骤，对于判断函数的有界性至关重要例如，分式函数的定义域要排除使分母为零的点，偶次根式函数的定义域要保证根号下的表达式非负某些函数，例如反正弦函数的定义域是，这意$y=\arcsinx$$[-1,1]$味着我们只需要考虑在这个区间内函数的值来判断其是否有界，$[-1,1]$这大大简化了判断过程常用函数类型多项式函数指数函数对数函数形如形如的函形如$fx=a_nx^n+$fx=a^x$$fx=\log_a x$a_{n-1}x^{n-1}+...+数，其中a0且a≠的函数，其中a0且aa_1x+a_0$的函数，其1≠1中为常数，为非$a_i$n负整数三角函数包括正弦函数$fx=，余弦函数\sin x$，正切$fx=\cos x$函数$fx=\tan x$等函数的性质奇偶性单调性周期性奇函数满足，偶函数单调递增函数在定义域内随着的增周期函数满足，其$f-x=-fx$x$fx+T=fx$满足$f-x=fx$判断奇偶性有大，函数值也增大；单调递减函数则中T为周期周期性使得我们可以将函助于简化函数分析相反单调性是判断有界性的重要依数的研究范围缩小到一个周期内据函数的界性函数的界性是指函数值在一定范围内有最大值和最小值如果存在一个正数，使得函数在定义域内的所有取值都满足，则称函数M fx$|fx|\le M$在该定义域内有界否则，称函数在该定义域内无界fx fx函数有界性可以帮助我们对函数在某区域内的行为进行约束，使其不会无限增大或减小这在很多实际问题中都非常有用，例如物理学中的能量守恒、经济学中的市场稳定等定义函数有界1设函数在区间上有定义，若存在正数，使得对于任意$fx$$I$$M$$x，都有成立，则称函数在区间上有界\in I$$|fx|\le M$$fx$$I$否则，称在区间上无界$fx$$I$几何意义函数在区间上的图像位于两条水平线和$fx$$I$$y=M$之间换句话说，函数的所有值都被限制在一个有限的范围内$y=-M$定理常函数有界1若函数（为常数），则在上有界因为对于任意的，都有，$fx=C$C$fx$$-\infty,+\infty$x$|fx|=|C|\le|C|$所以常函数总是有界的常函数的有界性非常容易理解，其函数值始终等于一个常数，因此自然被这个常数所约束例如，函数在整个实数范围内$fx=5$都有界，其函数值始终等于5定理单调函数有界2若函数在闭区间上单调，则在上有$fx$$[a,b]$$fx$$[a,b]$界因为单调函数在闭区间的端点处取得最大值和最小值，所以$|fx|\le，函数是有界的\max\{|fa|,|fb|\}$例如，函数在区间上是单调递增的，其最小值是$fx=x$$[0,1]$，最大值是，所以该函数在上有界$f0=0$$f1=1$$[0,1]$定理连续函数有界3若函数在闭区间上连续，则在上有$fx$$[a,b]$$fx$$[a,b]$界这是因为连续函数在闭区间上必有最大值和最小值，因此函数值被限制在一个有限的范围内例如，函数在区间上是连续的，其最小值是$fx=x^2$$[-1,1]$$f0，最大值是，所以该函数在上有界=0$$f-1=f1=1$$[-1,1]$定理多项式函数有界4多项式函数在有限区间上是有界的设，在闭区间上，多项式函$fx=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$[a,b]$数是连续的，因此根据定理，多项式函数在有限区间上必有界3但是，多项式函数在无限区间上通常是无界的例如，在上是无界的，因为当趋于无穷大$fx=x^2$$-\infty,+\infty$$x$时，也趋于无穷大$fx$定理指数函数有界5指数函数且在有限区间上是有界的但在无限区$fx=a^x$a0a≠1间上，当时，在上有界，在上无a1$-\infty,0]$$[0,+\infty$界；当时，在上有界，在上无0a1$[0,+\infty$$-\infty,0]$界例如，在区间上有界，但在上无$fx=2^x$$[-1,1]$$[0,+\infty$界而在上有界，但在$fx=1/2^x$$[0,+\infty$$-\infty,上无界0]$定理对数函数有界6对数函数且在有限区间上不一定有界，但$fx=\log_a x$a0a≠1在形如的区间（其中）上是有界的在无限区间上，对数函$[c,d]$c0数通常是无界的例如，在区间上有界，但在上无$fx=\ln x$$[1,e]$$0,+\infty$界需要特别注意的是，对数函数在处无定义，因此无法在包含的$x=0$0区间上讨论其有界性定理幂函数有界7幂函数为实数的有界性取决于的值和定义域当$fx=x^n$nn n0时，在有限区间上通常有界在无限区间上，当时可能$x\rightarrow0$有界，但当时通常无界$x\rightarrow\infty$例如，在区间上有界，但在上$fx=x^{1/2}$$[0,1]$$[1,+\infty$无界而在区间上有界，但在包含的区$fx=x^{-1}$$[1,+\infty$0间上无定义定理三角函数有界8正弦函数和余弦函数在$fx=\sin x$$fx=\cos x$$-\infty,上有界，因为对于任意的，都有和+\infty$x$|\sin x|\le1$$|\cosx|\le1$正切函数在上无界，但在形如$fx=\tan x$$-\infty,+\infty$的区间（其中不等于，为整$[a,b]$$a,b$$\frac{\pi}{2}+k\pi$k数）上是有界的，因为正切函数在这些点处无定义例题1判断函数在上是否有界$fx=\frac{1}{1+x^2}$$-\infty,+\infty$分析由于，所以，因此，所以函数在$x^2\ge0$$1+x^2\ge1$$0\frac{1}{1+x^2}\le1$$fx$$-\infty,上有界+\infty$解答步骤分析函数形式寻找不等关系推导函数界限得出结论观察函数利用这一基本根据，得到因为存在正数，使得$fx=$x^2\ge0$$1+x^2\ge1$$M=1$，发现分母不等式，推导出对于任意，都有\frac{1}{1+x^2}$$1+x^2\ge$0\frac{1}{1+x^2}\le$x$$|fx|是一个二次多项式，分子是常1$1$\le M$，所以函数$fx$在数$-\infty,+\infty$上有界例题2判断函数在上是否有界$fx=x\sin x$$-\infty,+\infty$分析由于，但可以取任意实数，因此当趋于无穷大时，也趋于无穷大，所以函数在$|\sin x|\le1$$x$$x$$fx$$fx$上无界$-\infty,+\infty$解答步骤分析函数形式1观察函数$fx=x\sin x$，发现是一个变量乘以一个三角函数分析各个部分2已知$|\sin x|\le1$，但$x$的取值范围是$-\infty,+\infty$寻找反例3当$x$足够大时，例如$x=100\pi$，$\sin x=0$，但当$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$时，$\sin x=1$，此时$fx=x$趋于无穷大得出结论4由于不存在一个常数$M$，使得对于任意$x$，都有$|fx|\le M$，所以函数$fx$在$-\infty,+\infty$上无界例题3判断函数在上是否有界$fx=\frac{x}{1+|x|}$$-\infty,+\infty$分析由于，所以，因此，所以函数在上有界$|x|\ge0$$1+|x|\ge1$$|\frac{x}{1+|x|}|1$$fx$$-\infty,+\infty$解答步骤分析函数形式1观察函数，发现分母中含有绝对值$fx=\frac{x}{1+|x|}$放缩不等关系2利用，推导出$|x|\ge0$$1+|x|\ge1$分析绝对值3因为，因此函$|fx|=|\frac{x}{1+|x|}|=\frac{|x|}{1+|x|}1$数在上有界$fx$$-\infty,+\infty$得出结论4存在正数，使得对于任意，都有，所$M=1$$x$$|fx|\le M$以函数在上有界$fx$$-\infty,+\infty$例题4判断函数在上是否有界$fx=e^{-x^2}$$-\infty,+\infty$分析由于，所以，因此$x^2\ge0$$-x^2\le0$$0e^{-x^2}\le，所以函数在上有界1$$fx$$-\infty,+\infty$解答步骤分析函数形式分析指数部分观察函数，发现是由于，所以$fx=e^{-x^2}$$x^2\ge0$$-x^2\le1指数函数的复合函数0$2得出结论推导函数界限存在正数，使得对于任意$M=1$4，都有，所以函数因为，且指数函数是单调递$x$$|fx|\le M$$e^0=1$3在上有增的，所以$fx$$-\infty,+\infty$$0e^{-x^2}\le1$界练习1判断函数在上是否有界$fx=\sinx^2$$-\infty,+\infty$提示虽然可以取任意非负实数，但是函数的值域是，因此无论取何值，的值都$x^2$$\sin$$[-1,1]$$x^2$$\sinx^2$在这个范围内练习2判断函数在上是否有界$fx=\frac{1}{x}$$0,1$提示当趋近于时，函数的值会趋近于无穷大所以函数$x$0$fx=在上无界\frac{1}{x}$$0,1$练习3判断函数在上是否有界$fx=x^3-x$$[-2,2]$提示由于多项式函数在闭区间上是连续的，因此它在该区间上一定有界确定它的最大值和最小值，就可以判断出其范围练习4判断函数在上是否有界$fx=\frac{\sin x}{x}$$0,+\infty$提示需要考虑当趋近于和无穷大时的行为当趋近于时，函$x$0$x$0数值趋近于当趋近于无穷大时，函数值趋近于因此，需要寻找一1$x$0个最大值来证明函数的有界性课后思考1如果函数在区间上有界，那么函数在区间上是否有界？为什么？$fx$$I$$gx=|fx|$$I$提示回顾函数有界性的定义如果存在，使得对于任意都有，那么$M0$$x\in I$$|fx|\le M$$|gx|=||fx||=因此，也是有界的|fx|\le M$$gx$课后思考2如果函数和在区间上都有界，那么函数$fx$$gx$$I$$hx=fx+在区间上是否有界？为什么？gx$$I$提示如果和分别在上有界，意味着存在$fx$$gx$$I$$M_10$和，使得且利用三角$M_20$$|fx|\le M_1$$|gx|\le M_2$不等式可以证明也是有界的$hx$课后思考3如果函数在区间上无界，那么函数在$fx$$I$$gx=\frac{1}{fx}$区间上是否有界？为什么？$I$提示这个问题的答案是不确定需要考虑函数是否会趋近于如$fx$0果趋近于，那么就无界但如果不趋近于，那么$fx$0$gx$$fx$0可能有界$gx$课后思考4函数在某点连续是该函数在该点有界的充分条件还是必要条件，或者是充要条件？提示函数在某点连续不是该函数在该点有界的充分条件，因为函数可能在该点无定义但可以考虑在某点的邻域内连续和有界的关系本节课小结有界性的定义常见函数有界性理解了函数有界性的定义，即存掌握了常函数、三角函数、指数在正数M，使得函数值的绝对值函数、对数函数等常见函数的有小于等于M界性特点判断方法与应用学会了运用定义、定理等方法判断函数的有界性，并能解决相关问题下节课预告下节课我们将学习积分的概念与性质，包括定积分的定义、几何意义、可“”积条件，以及定积分的基本性质（如线性性、保号性、积分中值定理等）同时，我们将介绍微积分基本定理，它是连接导数与积分的重要桥梁，为后续学习积分计算提供了理论基础希望大家提前预习，为下节课的学习做好准备问题解答同学们，大家在本节课的学习过程中，如果遇到了任何疑问或者困惑，现在可以提出来，我们一起来探讨解决无论是关于有界性的概念、定理的应用，还是例题的解题思路，都欢迎大家踊跃提问老师将尽力为大家解答疑惑，帮助大家更好地理解和掌握本节课的内容希望通过大家的积极参与，共同营造一个良好的学习氛围，让每个人都能有所收获。