《高等数学教学》课件

高等数学教学课件欢迎使用本套高等数学教学课件！本课件旨在帮助学生系统学习高等数学的核心概念、理论与方法内容涵盖函数、极限、导数、积分、多元函数、级数等重要知识点通过本课件的学习，学生将能够掌握高等数学的基本技能，为进一步学习和研究打下坚实的基础让我们一起探索数学的奥秘！课程简介高等数学的重要性高等数学是理工科各专业的重要基础课程，它不仅是后续课程学习的基石，也是培养逻辑思维、分析问题和解决问题能力的重要工具高等数学广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学等领域理解和掌握高等数学的概念和方法，对于学生未来的学习和职业发展至关重要本课程将系统地介绍高等数学的基本内容，并通过实例讲解其应用学习高等数学能够提升抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力通过严格的数学证明和推导，培养学生严谨的科学态度高等数学还提供了许多解决实际问题的工具，例如优化问题、微分方程等因此，学好高等数学不仅是为了考试，更是为了未来的发展基础理论应用广泛能力提升高等数学为许多理工科课程提供理论基在物理、工程、经济等领域都有重要应培养逻辑思维、分析问题和解决问题的础用能力预备知识复习中学数学基础在学习高等数学之前，需要复习一些中学数学的基础知识，这些知识是理解高等数学概念的基础主要包括代数运算、三角函数、平面几何、解析几何等掌握这些基础知识，可以帮助学生更好地理解高等数学的概念和方法，从而更加顺利地完成高等数学的学习本节将简要回顾这些基础知识，并提供一些练习题代数部分主要复习多项式运算、方程与不等式、指数与对数等三角函数部分主要复习三角函数的定义、性质、图像和三角恒等变换平面几何部分主要复习基本几何图形的性质和面积、周长的计算解析几何部分主要复习直线、圆锥曲线的方程和性质这些知识是高等数学学习的必备工具代数运算多项式、方程、不等式、指数、对数三角函数定义、性质、图像、恒等变换平面几何基本图形性质、面积、周长解析几何直线、圆锥曲线的方程和性质函数的概念函数的定义与表示函数是高等数学中最基本的概念之一函数描述了两个变量之间的依赖关系，即一个变量如何随着另一个变量的变化而变化函数的定义包括定义域、值域和对应法则函数的表示方法有多种，包括解析式、图像和表格等理解函数的概念，掌握函数的表示方法，是学习高等数学的基础解析式是利用数学公式来表示函数的方法，例如图像是利用坐y=fx=x^2+1标系来表示函数的方法，通过图像可以直观地了解函数的性质表格是利用表格来表示函数的方法，适用于离散数据的函数不同的表示方法各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的表示方法定义域值域自变量的取值范围因变量的取值范围对应法则自变量与因变量之间的关系函数的性质单调性、奇偶性、周期性函数的性质是研究函数的重要内容单调性描述了函数值随着自变量增大而增大或减小的性质奇偶性描述了函数关于原点或轴对称的性质周期性描述了函y数值按照一定规律重复出现的性质了解函数的这些性质，可以帮助我们更好地理解和应用函数本节将详细介绍这些性质，并提供一些判断方法和例题单调函数分为单调递增函数和单调递减函数奇函数满足，偶函数f-x=-fx满足周期函数满足，其中是周期这些性质可以帮f-x=fx fx+T=fx T助我们简化函数的研究和计算例如，利用奇偶性可以简化积分的计算，利用周期性可以研究函数的长期行为单调性奇偶性周期性递增或递减的性质关于原点或轴对称函数值按照一定规律重y复出现极限的概念数列极限与函数极限极限是高等数学中的核心概念，是微积分的基础极限描述了当自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势极限分为数列极限和函数极限数列极限描述了当数列的项数趋于无穷大时，数列的收敛情况函数极限描述了当自变量趋于某个值时，函数值的收敛情况理解极限的概念，掌握极限的定义，是学习高等数学的关键数列极限的定义对于数列，如果当趋于无穷大时，趋于某个常数，则称{an}n anA数列收敛于，记作函数极限的定义对于函数，如{an}A lim n→∞an=A fx果当趋于某个值时，趋于某个常数，则称函数在处的极限为，x a fx L fx x=a L记作这些定义是严格的数学定义，需要深入理解lim x→a fx=L数列极限1数列项数趋于无穷大时的收敛情况函数极限2自变量趋于某个值时，函数值的收敛情况极限的运算法则极限的四则运算极限的运算法则是计算极限的重要工具极限的四则运算包括加法、减法、乘法和除法利用这些法则，可以将复杂的极限计算转化为简单的计算但需要注意的是，使用这些法则的前提是各个部分的极限都存在如果某个部分的极限不存在，则不能直接使用这些法则本节将详细介绍这些运算法则，并提供一些例题加法法则lim x→a[fx+gx]=lim x→a fx+lim x→a gx减法法则lim x→a[fx-gx]=lim x→a fx-lim x→a gx乘法法则lim x→a[fx*gx]=lim x→a fx*limx→a gx除法法则lim x→a[fx/gx]=lim x→a fx/lim x→a gx，其中lim x→agx≠0这些法则可以简化极限的计算过程加法lim fx+gx=lim fx+lim gx减法lim fx-gx=lim fx-lim gx乘法lim fx*gx=lim fx*lim gx除法lim fx/gx=lim fx/lim gx极限存在准则夹逼定理与单调有界定理极限存在准则是判断极限是否存在的重要工具夹逼定理（也称为迫敛定理）描述了如果一个函数被两个函数夹在中间，并且这两个函数的极限相同，则该函数的极限也存在且等于这个值单调有界定理描述了单调有界数列必有极限这两个准则在解决某些复杂的极限问题时非常有用本节将详细介绍这两个准则，并提供一些例题夹逼定理如果存在函数和，使得，且，则单调有界定理gx hxgx≤fx≤hx lim x→a gx=lim x→a hx=L lim x→a fx=L如果数列单调递增（或单调递减）且有上界（或下界），则数列必有极限这两个准则在证明极限存在性时非常重要{an}{an}1夹逼定理单调有界定理2两个重要极限和sinx/x1+1/x^x两个重要极限是计算极限的基础第一个重要极限是，它在三角函数的极限计算中非常有用第二个重要极lim x→0sinx/x=1限是，其中是自然对数的底，约等于这两个重要极限需要牢记，并灵活运用本节将详细介lim x→∞1+1/x^x=e e

2.71828绍这两个重要极限，并提供一些应用例题第一个重要极限的证明需要用到夹逼定理第二个重要极限的证明需要用到一些代数变换和极限的性质这两个重要极限不仅在理论上重要，而且在实际应用中也经常用到例如，在计算某些导数和积分时，会用到这两个重要极限lim x→0sinx/x=112lim x→∞1+1/x^x=e无穷小量与无穷大量无穷小的比较无穷小量和无穷大量是极限理论中的重要概念无穷小量是指极限为零的量，无穷大量是指绝对值趋于无穷大的量无穷小的比较是指比较两个无穷小趋于零的速度通常用阶来描述无穷小的趋于零的速度，例如，同阶无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小等理解这些概念，可以帮助我们更好地理解极限的本质本节将详细介绍这些概念，并提供一些例题如果，则称为当时的无穷小量如果，则称为当时的无穷大量如果lim x→a fx=0fx x→a lim x→a|fx|=∞fx x→a lim x→a，则称和为同阶无穷小如果，则称为比高阶的无穷小这些定义需要深入理解，fx/gx=C C≠0fx gxlim x→a fx/gx=0fx gx并灵活运用无穷小量1极限为零的量无穷大量2绝对值趋于无穷大的量无穷小的比较3比较趋于零的速度函数的连续性连续的定义与性质函数的连续性是函数的重要性质之一如果函数在某一点的极限存在，且等于该点的函数值，则称函数在该点连续如果函数在其定义域内的每一点都连续，则称函数在该定义域内连续连续函数具有许多重要的性质，例如介值定理、最大值最小值定理等理解连续性的定义，掌握连续函数的性质，是学习高等数学的关键本节将详细介绍这些概念和性质，并提供一些例题函数的连续性定义对于函数fx，如果lim x→a fx=fa，则称函数fx在x=a处连续连续函数的性质如果函数fx和gx在x=a处连续，则fx+gx、fx-gx、fx*gx在x=a处也连续，且如果ga≠0，则fx/gx在x=a处也连续这些性质可以简化连续性的判断X YTheline chart represents a continuous function.导数的概念导数的定义与几何意义导数是微积分中的核心概念，是描述函数变化率的工具导数的定义是函数在某一点的切线斜率，几何意义是函数在该点的变化速度导数可以用来研究函数的单调性、极值等性质理解导数的概念，掌握导数的定义，是学习高等数学的关键本节将详细介绍导数的定义和几何意义，并提供一些例题导数的定义对于函数，如果在处存在极限，则称函数在处可导，且该极限值为在处的导fx x=a limh→0[fa+h-fa]/h fx x=a fx x=a数，记作导数的几何意义导数表示函数在处的切线斜率利用导数可以研究函数的性质，解决实际问题fa fa fx x=a导数的几何意义函数在该点的切线斜率求导法则导数的四则运算与复合函数求导求导法则是计算导数的重要工具导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法复合函数求导是指计算复合函数的导数，需要用到链式法则利用这些法则，可以将复杂的函数求导转化为简单的计算本节将详细介绍这些求导法则，并提供一些例题加法法则减法法则乘法法则除法法则链u+v=u+v u-v=u-v uv=uv+uv u/v=uv-uv/v^2式法则这些法则是计算导数的基础fgx=fgx*gx四则运算复合函数加法、减法、乘法和除法法则链式法则fgx=fgx*gx基本初等函数求导公式常见函数的导数基本初等函数求导公式是计算导数的基础常见的函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数掌握这些函数的导数公式，可以快速计算函数的导数本节将详细介绍这些函数的导数公式，并提供一些例题常数函数C=0幂函数x^n=nx^n-1指数函数a^x=a^x*lna对数函数log_ax=1/x*lna三角函数sinx=cosx，cosx=-sinx，tanx=sec^2x反三角函数arcsinx=1/sqrt1-x^2，arccosx=-1/sqrt1-x^2，arctanx=1/1+x^2这些公式需要牢记，并灵活运用常数函数1C=0幂函数2x^n=nx^n-1指数函数3a^x=a^x*lna对数函数4log_ax=1/x*lna高阶导数二阶导数及更高阶导数高阶导数是指二阶及更高阶的导数二阶导数是导数的导数，可以用来研究函数的凹凸性更高阶的导数可以用来研究函数的其他性质计算高阶导数需要多次应用求导法则本节将详细介绍高阶导数的概念和计算方法，并提供一些例题二阶导数三阶导数以此类推，可以fx=fx fx=fx定义更高阶的导数二阶导数可以用来判断函数的凹凸性如果fx，则函数在该区间内是凹的；如果，则函数在该区间内是凸的0fx0这些性质在函数图像的描绘中非常有用二阶导数更高阶导数，以此类推fx=fx fx=fx隐函数求导隐函数导数的计算隐函数是指由一个方程确定的函数，例如隐函数求导是指计算隐函x^2+y^2=1数的导数由于隐函数不能直接写成的形式，因此需要用到特殊的求导方y=fx法通常的方法是对方程两边同时求导，然后解出本节将详细介绍隐函数求导y的方法，并提供一些例题例如，对于方程，两边同时对求导，得到，解出x^2+y^2=1x2x+2y*y=0需要注意的是，在求导过程中，需要将看作的函数隐函数求导在y=-x/y y x解决一些几何问题和物理问题时非常有用方程两边求导1将看作的函数y x解出y2得到隐函数的导数参数方程求导参数方程的导数参数方程是指用参数来表示的方程，例如，参数方程求导是指计算x=ft y=gt参数方程的导数通常的方法是先计算和，然后利用链式法则计dy/dx dx/dt dy/dt算本节将详细介绍参数方程求导的方法，并提供一些例dy/dx=dy/dt/dx/dt题例如，对于参数方程，，先计算和，然后计x=t^2y=t^3dx/dt=2t dy/dt=3t^2算需要注意的是，在求导过程中，需要将和看作dy/dx=3t^2/2t=3/2t x y的函数参数方程求导在解决一些几何问题和物理问题时非常有用t计算和dx/dt dy/dt将和看作的函数x yt计算dy/dx利用链式法则dy/dx=dy/dt/dx/dt微分的概念微分的定义与几何意义微分是微积分中的重要概念，是导数的另一种表现形式微分的定义是函数增量的线性近似，几何意义是函数切线的增量微分可以用来近似计算函数值理解微分的概念，掌握微分的定义，是学习高等数学的关键本节将详细介绍微分的定义和几何意义，并提供一些例题微分的定义对于函数，如果存在线性函数，使得，则称函数在处可微，且为在处fx A*dxΔy=fx+Δx-fx≈A*Δx fx x A*Δx fxx的微分，记作微分的几何意义微分表示函数切线的增量利用微分可以近似计算函数值dy=A*dx=fx*dx dy1线性近似切线增量2微分的运算法则微分的四则运算微分的运算法则是计算微分的重要工具微分的四则运算包括加法、减法、乘法和除法利用这些法则，可以将复杂的函数微分转化为简单的计算但需要注意的是，使用这些法则的前提是各个部分的微分都存在如果某个部分的微分不存在，则不能直接使用这些法则本节将详细介绍这些运算法则，并提供一些例题加法法则减法法则乘法法则除法法则du+v=du+dv du-v=du-dv duv=vdu+udv du/v=vdu-这些法则可以简化微分的计算过程微分在近似计算和误差估计中非常有用udv/v^2du+v=du+dv12du-v=du-dv3duv=vdu+udv4du/v=vdu-udv/v^2微分的应用近似计算微分可以用来近似计算函数值当自变量的变化量很小时，可以用微分来近似代替函数增量这种方法称为线性近似或切线近似利用微分进行近似计算可以简化计算过程，提高计算效率本节将详细介绍微分在近似计算中的应用，并提供一些例题例如，计算的近似值设，则在处，，则sqrt

4.01fx=sqrtx fx=1/2*sqrtx x=4f4=2f4=1/4sqrt

4.01这种方法在实际应用中非常广泛≈f4+f4*

0.01=2+1/4*

0.01=

2.0025线性近似1用微分代替函数增量简化计算2提高计算效率中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中值定理是微积分中的重要定理，描述了函数在某区间内的整体性质与局部性质之间的关系罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况这些定理在证明其他定理和解决实际问题时非常有用本节将详细介绍这些中值定理，并提供一些例题罗尔定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则存在一点c∈a,b，使得fc=0拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在一点c∈a,b，使得fc=[fb-fa]/b-a柯西中值定理如果函数fx和gx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在一点c∈a,b，使得[fb-fa]*gc=[gb-ga]*fc这些定理在微积分中非常重要The barchartrepresentsdifferent meanvalue theorems.洛必达法则不定式极限的计算洛必达法则是计算不定式极限的重要工具不定式极限是指形如0/0或∞/∞的极限洛必达法则指出，如果不定式极限满足一定的条件，则可以将分子和分母分别求导，然后计算导数之比的极限利用洛必达法则可以简化不定式极限的计算本节将详细介绍洛必达法则，并提供一些例题洛必达法则如果lim x→a fx=0，lim x→a gx=0，且lim x→a fx/gx存在，则lim x→a fx/gx=lim x→a fx/gx同样，如果lim x→a fx=∞，limx→a gx=∞，且limx→a fx/gx存在，则limx→afx/gx=limx→afx/gx需要注意的是，使用洛必达法则的前提是满足一定的条件洛必达法则计算不定式极限的工具函数的单调性与极值利用导数判断单调性函数的单调性和极值是函数的重要性质单调性描述了函数值随着自变量增大而增大或减小的性质极值是指函数在某一点的局部最大值或最小值利用导数可以判断函数的单调性和极值如果，则函数在该区间内单调递增；如果，则函数在fx0fx0该区间内单调递减；如果，则该点可能是极值点本节将详细介绍利用导数判断单调性和极值的方法，并提供一些例题fx=0极值的判断需要用到一阶导数和二阶导数如果，且，则该点是极小值点；如果，且，则该fx=0fx0fx=0fx0点是极大值点如果，且，则需要进一步判断这些方法在函数图像的描绘和优化问题中非常有用fx=0fx=0单调性极值递增；递减，且fx0fx0fx=0fx≠0函数的凹凸性与拐点二阶导数判断凹凸性函数的凹凸性是函数的重要性质，描述了函数曲线的弯曲方向如果函数在某区间内的二阶导数大于零，则函数在该区间内是凹的；如果函数在某区间内的二阶导数小于零，则函数在该区间内是凸的拐点是指函数凹凸性发生改变的点利用二阶导数可以判断函数的凹凸性和拐点本节将详细介绍利用二阶导数判断凹凸性和拐点的方法，并提供一些例题如果，则函数在该区间内是凹的；如果，则函数在该区间内是凸fx0fx0的拐点是满足的点，且在该点两侧的符号发生改变这些方法在函fx=0fx数图像的描绘中非常有用通过判断函数的单调性、极值和凹凸性，可以比较准确地绘制函数图像凹性凸性12fx0fx0拐点3，且符号发生改变fx=0函数图像的描绘函数性态的讨论与图像绘制函数图像的描绘是高等数学的重要应用通过分析函数的单调性、极值、凹凸性、渐近线等性质，可以比较准确地绘制函数图像函数图像可以直观地展示函数的性质，帮助我们更好地理解和应用函数本节将详细介绍函数图像的描绘方法，并提供一些例题函数图像的描绘步骤确定函数的定义域分析函数的单调性、极值和凹凸

1.

2.性求出函数的渐近线计算函数在一些特殊点的函数值根据以上信息，

3.

4.

5.绘制函数图像这些步骤可以帮助我们比较准确地绘制函数图像定义域单调性极值渐近线不定积分的概念原函数与不定积分的定义不定积分是微积分中的重要概念，是导数的逆运算如果函数Fx的导数等于fx，则称Fx为fx的原函数fx的所有原函数构成的集合称为fx的不定积分，记作∫fxdx理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的定义，是学习积分的基础本节将详细介绍不定积分的概念，并提供一些例题需要注意的是，一个函数的不定积分不是唯一的，因为常数函数的导数等于零因此，不定积分的结果通常包含一个任意常数C例如，∫x^2dx=1/3x^3+C掌握不定积分的计算方法，可以解决许多实际问题原函数1导数等于fx的函数不定积分2fx的所有原函数构成的集合基本积分公式常见函数的不定积分基本积分公式是计算不定积分的基础常见的函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数掌握这些函数的积分公式，可以快速计算函数的不定积分本节将详细介绍这些函数的积分公式，并提供一些例题常数函数∫C dx=Cx+C1幂函数∫x^n dx=1/n+1x^n+1+C指数函数∫a^x dx=1/lnaa^x+C对数函数∫1/x dx=ln|x|+C三角函数∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C反三角函数∫1/sqrt1-x^2dx=arcsinx+C，∫1/1+x^2dx=arctanx+C这些公式需要牢记，并灵活运用常数函数∫C dx=Cx+C1幂函数∫x^n dx=1/n+1x^n+1+C指数函数∫a^x dx=1/lnaa^x+C对数函数∫1/x dx=ln|x|+C换元积分法第一类换元积分法与第二类换元积分法换元积分法是计算不定积分的重要工具第一类换元积分法（也称为凑微分法）是指将积分变量进行替换，使得积分更容易计算第二类换元积分法是指将原函数进行替换，使得积分更容易计算利用换元积分法可以简化复杂的积分计算本节将详细介绍这两种换元积分法，并提供一些例题第一类换元积分法∫fgxgxdx=∫fudu，其中u=gx第二类换元积分法∫fxdx=∫fgtgtdt，其中x=gt选择合适的换元方法，可以简化积分计算例如，在计算∫sinx^2*2x dx时，可以使用第一类换元积分法，令u=x^2，则du=2x dx，原积分变为∫sinu du=-cosu+C=-cosx^2+C1第一类换元积分法第二类换元积分法2分部积分法分部积分的运用分部积分法是计算不定积分的重要工具分部积分法适用于计算两个函数乘积的积分其基本思想是将积分转化为更容易计算的形式利用分部积分法可以简化复杂的积分计算本节将详细介绍分部积分法，并提供一些例题分部积分法选择合适的和是关键通常选择为容易求导的函数，为容易积分的函数例如，在计∫u dv=uv-∫v duu dv u dv算时，可以选择，，则，，原积分变为∫x*sinx dxu=x dv=sinx dxdu=dx v=-cosx-x*cosx-∫-cosx dx=-x*cosx+sinx+C∫u dv=uv-∫v du1有理函数积分有理函数分解与积分有理函数是指分子和分母都是多项式的函数有理函数积分是指计算有理函数的不定积分通常的方法是将有理函数分解为若干个简单分式的和，然后分别计算这些简单分式的积分这种方法称为部分分式分解法本节将详细介绍有理函数积分的方法，并提供一些例题部分分式分解法将有理函数分解为若干个简单分式的和例如，对于有理函数，可以分解为然x+1/x^2-11/x-1-1/x+1后分别计算这两个简单分式的积分，因此，∫1/x-1dx=ln|x-1|+C∫1/x+1dx=ln|x+1|+C∫x+1/x^2-1dx=ln|x-1|-ln|x+1|+C部分分式分解1将有理函数分解为简单分式之和分别积分2计算简单分式的积分定积分的概念定积分的定义与几何意义定积分是微积分中的重要概念，是计算面积、体积等几何量的工具定积分的定义是将一个区间分成若干个小区间，然后计算每个小区间上函数值的近似和，最后取极限定积分的几何意义是函数曲线与x轴所围成的面积理解定积分的概念，掌握定积分的定义，是学习高等数学的关键本节将详细介绍定积分的定义和几何意义，并提供一些例题定积分的定义将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=b-a/n，在每个小区间上取一点xi，则定积分∫a到b fxdx=lim n→∞Σi=1到n fxiΔx定积分的几何意义定积分∫a到b fxdx表示函数fx的曲线与x轴所围成的面积，其中x从a到bX YThearea underthe curveof adefinite integral.定积分的性质定积分的基本性质定积分具有许多基本性质，这些性质可以简化定积分的计算常见的性质包括线性性质、积分区间可加性、保号性、绝对值不等式等利用这些性质，可以将复杂的定积分计算转化为简单的计算本节将详细介绍这些基本性质，并提供一些例题线性性质到到到，到到积分区间可加性到∫a b[fx+gx]dx=∫a b fxdx+∫a bgxdx∫a bkfxdx=k∫a bfxdx∫a c fxdx=∫a到到保号性如果，则到绝对值不等式到到这些性质在定bfxdx+∫b cfxdx fx≥0∫a bfxdx≥0|∫a bfxdx|≤∫a b|fx|dx积分的计算中非常有用基本性质线性性质、积分区间可加性、保号性、绝对值不等式等微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式-微积分基本定理是连接微分和积分的桥梁牛顿莱布尼茨公式是微积分基本定理的重要组成部分，它指出如果函数在区间-fx[a,上连续，且是的一个原函数，则到利用牛顿莱布尼茨公式可以方便地计算定积分本节b]Fx fx∫a bfxdx=Fb-Fa-将详细介绍牛顿莱布尼茨公式，并提供一些例题-需要注意的是，牛顿莱布尼茨公式的前提是函数在区间上连续，且是的一个原函数如果函数不满足这些条-fx[a,b]Fx fx件，则不能直接使用牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式是微积分中最重要的公式之一--连接微分和积分牛顿莱布尼茨公式-微积分基本定理是连接微分和积分的桥梁到∫a bfxdx=Fb-Fa定积分的换元法与分部积分法定积分的计算定积分的换元法与分部积分法是计算定积分的重要工具与不定积分类似，定积分也可以使用换元法和分部积分法进行计算但需要注意的是，在使用换元法时，需要同时改变积分的上下限在使用分部积分法时，也需要计算积分上下限的函数值本节将详细介绍定积分的换元法与分部积分法，并提供一些例题换元法到到，其中分部积∫a bfgxgxdx=∫ga gbfudu u=gx分法到到到选择合适的换元方法和、，∫a bu dv=uv|a b-∫a bv duu dv可以简化定积分的计算定积分的换元法和分部积分法在解决一些复杂的积分问题时非常有用换元法1同时改变积分的上下限分部积分法2计算积分上下限的函数值反常积分无穷区间上的积分与无界函数的积分反常积分是指积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分对于无穷区间上的积分，需要计算当积分上限趋于无穷大时的极限对于无界函数的积分，需要计算当积分点趋于无界点时的极限本节将详细介绍反常积分的概念和计算方法，并提供一些例题无穷区间上的积分到到，到∫a∞fxdx=lim b→∞∫a bfxdx∫-∞b到，到到fxdx=lim a→-∞∫a bfxdx∫-∞∞fxdx=∫-∞cfxdx到无界函数的积分如果在处无界，则到+∫c∞fxdx fxx=c∫a b到到，然后分别计算这两个积分的极限fxdx=∫acfxdx+∫c bfxdx反常积分在解决一些物理问题和概率问题时非常有用无穷区间无界函数计算极限计算极限定积分的应用计算平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积对于由函数曲线和轴所围成的平面图形，其x面积等于函数在相应区间上的定积分对于由两条函数曲线所围成的平面图形，其面积等于两条函数之差在相应区间上的定积分本节将详细介绍利用定积分计算平面图形面积的方法，并提供一些例题由函数曲线和轴所围成的平面图形，其面积等于到由两条y=fxx∫a b|fx|dx函数曲线和所围成的平面图形，其面积等于到y=fx y=gx∫a b|fx-需要注意的是，需要先求出两条曲线的交点，确定积分的上下限定积分在gx|dx计算平面图形面积时非常有用曲线与轴x1到∫a b|fx|dx两条曲线2到∫a b|fx-gx|dx定积分的应用计算旋转体的体积定积分可以用来计算旋转体的体积旋转体是指由平面图形绕轴或轴旋转所形成的立体图形旋转体的体积可以通过积分计算得到本节将详细介绍x y利用定积分计算旋转体体积的方法，并提供一些例题绕轴旋转的旋转体体积到绕轴旋转的旋转体体积到需要注意的是，需要将函数表示成或x V=π∫a b[fx]^2dx yV=π∫c d[gy]^2dy x y的函数形式定积分在计算旋转体体积时非常有用例如，可以利用定积分计算球的体积、圆锥的体积等绕轴绕轴x y到到V=π∫a b[fx]^2dx V=π∫c d[gy]^2dy定积分的应用计算曲线的弧长定积分可以用来计算曲线的弧长对于由函数所表示的曲线，其弧长可以通过积分计算得到本节将详细介绍利用定积分计算曲线y=fx弧长的方法，并提供一些例题曲线弧长公式到需要注意的是，需要先计算出函数的导数，然后代入弧长公式进行计算定积分在计算L=∫a bsqrt1+[fx]^2dx曲线弧长时非常有用例如，可以利用定积分计算圆的周长、椭圆的周长等代入弧长公式21计算导数计算积分3多元函数的基本概念二元函数的定义与几何意义多元函数是指自变量多于一个的函数二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为二元函数的定义包括定义域和对z=fx,y应法则二元函数的几何意义是空间中的一个曲面理解多元函数的概念，掌握二元函数的定义和几何意义，是学习多元微积分的基础本节将详细介绍二元函数的概念，并提供一些例题二元函数的定义域是指自变量和的取值范围二元函数的对应法则是指自变量和如何对应到因变量二元函数的图像是x y x y z空间中的一个曲面通过研究二元函数，可以解决一些空间几何问题和优化问题定义域1对应法则2空间曲面3偏导数偏导数的定义与计算偏导数是多元函数的重要概念，是描述函数在某一个方向上的变化率的工具偏导数的定义是固定其他自变量，只对一个自变量求导偏导数可以用来研究函数的单调性、极值等性质理解偏导数的概念，掌握偏导数的定义，是学习多元微积分的关键本节将详细介绍偏导数的定义和计算方法，并提供一些例题偏导数的定义对于二元函数，对的偏导数是指固定，对求导，记作或对的偏导数是指固定，对z=fx,y x yx∂z/∂x fxyx求导，记作或计算偏导数时，只需要将其他自变量看作常数，然后按照一元函数的求导法则进行计算y∂z/∂y fy固定其他自变量1对一个自变量求导2全微分全微分的定义与计算全微分是多元函数的重要概念，是描述函数增量的线性近似的工具全微分的定义是函数增量的线性部分全微分可以用来近似计算函数值理解全微分的概念，掌握全微分的定义，是学习多元微积分的关键本节将详细介绍全微分的定义和计算方法，并提供一些例题全微分的定义对于二元函数z=fx,y，全微分dz=∂z/∂xdx+∂z/∂ydy=fx dx+fy dy全微分表示函数增量的线性部分，可以用来近似计算函数值例如，计算fx+Δx,y+Δy的近似值，可以使用fx+Δx,y+Δy≈fx,y+∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔyThe componentsof thetotal differential.多元复合函数求导复合函数的偏导数多元复合函数求导是指计算由多个函数复合而成的函数的偏导数例如，设，，，则是和的复合函数z=fu,v u=gx,y v=hx,yz xy计算对和的偏导数需要用到链式法则本节将详细介绍多元复合函数求导的方法，并提供一些例题z xy链式法则，需要注意的是，需要明确每个函数的∂z/∂x=∂z/∂u∂u/∂x+∂z/∂v∂v/∂x∂z/∂y=∂z/∂u∂u/∂y+∂z/∂v∂v/∂y自变量和因变量，然后正确应用链式法则多元复合函数求导在解决一些物理问题和工程问题时非常有用链式法则用于计算复合函数的偏导数隐函数求导多元隐函数的偏导数多元隐函数是指由一个方程确定的多元函数，例如多元隐函数求导是指计算多元隐函数的偏导数由于隐函数不能Fx,y,z=0直接写成的形式，因此需要用到特殊的求导方法通常的方法是对方程两边同时求偏导数，然后解出相应的偏导数本z=fx,y节将详细介绍多元隐函数求导的方法，并提供一些例题对于方程，如果要求，则对方程两边同时对求偏导数，得到，解出Fx,y,z=0∂z/∂xx∂F/∂x+∂F/∂z∂z/∂x=0∂z/∂x=需要注意的是，在求偏导数过程中，需要将看作和的函数多元隐函数求导在解决一些几何问题和物理-∂F/∂x/∂F/∂z zxy问题时非常有用方程两边求偏导数解出偏导数将看作和的函数得到隐函数的偏导数zxy空间曲线的切线与法平面切向量与法向量空间曲线是指由参数方程表示的曲线，例如空间曲线的rt=xt,yt,zt切线是指与曲线相切的直线，切向量是指切线的方向向量空间曲线的法平面是指与切线垂直的平面，法向量是指法平面的方向向量本节将详细介绍空间曲线的切线与法平面，并提供一些例题切向量法向量切线方程rt=xt,yt,zt n=rt x-xt/法平面方程xt=y-yt/yt=z-zt/zt xtx-xt+yty这些公式在解决一些空间几何问题时非常有用-yt+ztz-zt=0切向量1rt=xt,yt,zt法向量2n=rt方向导数与梯度方向导数的计算方向导数是多元函数的重要概念，是描述函数在某一个方向上的变化率的工具梯度是指函数在某一点变化最快的方向，梯度的方向是函数增长最快的方向本节将详细介绍方向导数与梯度，并提供一些例题方向导数的定义设是一个单位向量，则函数在方向上的方向导l fx,y l数为，其中是与轴的夹角梯∂f/∂l=∂f/∂xcosα+∂f/∂ysinααl x度方向导数等于梯度与方向向量的点积grad f=∂f/∂x,∂f/∂y∂f/∂l梯度在优化问题中非常有用，可以用来寻找函数的最大值或最=grad f·l小值方向导数梯度多元函数的极值极值的必要条件与充分条件多元函数的极值是指函数在某一点的局部最大值或最小值极值的必要条件是指函数在极值点处的一阶偏导数都等于零极值的充分条件是指利用二阶偏导数判断极值点是否为极大值点或极小值点本节将详细介绍多元函数的极值，并提供一些例题极值的必要条件如果x0,y0是函数fx,y的极值点，则∂f/∂xx0,y0=0，∂f/∂yx0,y0=0极值的充分条件设A=∂^2f/∂x^2x0,y0，B=∂^2f/∂x∂yx0,y0，C=∂^2f/∂y^2x0,y0，则如果AC-B^20且A0，则x0,y0是极小值点；如果AC-B^20且A0，则x0,y0是极大值点；如果AC-B^20，则x0,y0不是极值点；如果AC-B^2=0，则需要进一步判断这些条件在优化问题中非常有用必要条件1一阶偏导数都等于零充分条件2利用二阶偏导数判断条件极值与拉格朗日乘数法求解条件极值条件极值是指在满足一定约束条件下的极值例如，求解函数fx,y在gx,y=0的条件下的极值拉格朗日乘数法是一种求解条件极值的方法其基本思想是将约束条件转化为拉格朗日函数，然后求解拉格朗日函数的极值本节将详细介绍拉格朗日乘数法，并提供一些例题拉格朗日函数Lx,y,λ=fx,y+λgx,y求解步骤

1.求解方程组∂L/∂x=0，∂L/∂y=0，∂L/∂λ=

02.求解方程组的解x0,y0,λ

03.x0,y0就是条件极值点拉格朗日乘数法在经济学、物理学等领域都有重要应用例如，可以用来求解最优生产方案、最小能量状态等构建拉格朗日函数Lx,y,λ=fx,y+λgx,y求解方程组∂L/∂x=0，∂L/∂y=0，∂L/∂λ=0得到极值点x0,y0二重积分的概念二重积分的定义与几何意义二重积分是多元积分的重要概念，是计算空间图形的面积、体积等几何量的工具二重积分的定义是将一个平面区域分成若干个小区域，然后计算每个小区域上函数值的近似和，最后取极限二重积分的几何意义是空间曲面与xy平面所围成的体积本节将详细介绍二重积分的定义和几何意义，并提供一些例题二重积分的定义将平面区域D分成n个小区域，每个小区域的面积为Δσi，在每个小区域上取一点xi,yi，则二重积分∫∫D fx,ydσ=lim n→∞Σi=1到n fxi,yiΔσi二重积分的几何意义二重积分∫∫D fx,ydσ表示以平面区域D为底，以z=fx,y为顶的空间图形的体积计算近似和21分割区域取极限3二重积分的计算直角坐标系下的计算二重积分的计算方法有多种，其中最常用的是直角坐标系下的计算在直角坐标系下，二重积分可以转化为两次单积分的计算本节将详细介绍二重积分在直角坐标系下的计算方法，并提供一些例题计算步骤确定积分区域将积分区域表示成型区域或型区域根据积分区域的类型，选择合适的积分顺序按照

1.D

2.D xy

3.

4.积分顺序，计算两次单积分例如，如果积分区域是型区域，则到到；如果D x∫∫D fx,ydσ=∫a b[∫φ1xφ2x fx,ydy]dx积分区域是型区域，则到到选择合适的积分顺序可以简化计算过程D y∫∫D fx,ydσ=∫c d[∫ψ1yψ2y fx,ydx]dy确定积分区域1表示成型或型区域2xy选择积分顺序3计算两次单积分4二重积分的计算极坐标系下的计算除了直角坐标系，二重积分还可以使用极坐标系进行计算在极坐标系下，二重积分可以简化为关于和的积分本节将详细介ρθ绍二重积分在极坐标系下的计算方法，并提供一些例题计算步骤确定积分区域将积分区域表示成极坐标系下的形式将直角坐标系下的函数转化为极坐标系下的

1.D

2.D

3.fx,y函数计算二重积分选择极坐标系可以简化某些积分的计fρcosθ,ρsinθ

4.∫∫D fx,ydσ=∫∫D fρcosθ,ρsinθρdρdθ算，例如，当积分区域是圆形或扇形时确定积分区域1表示成极坐标形式2函数转换3计算二重积分4三重积分的概念三重积分的定义与计算三重积分是多元积分的重要概念，是计算空间物体的质量、体积等物理量的工具三重积分的定义是将一个空间区域分成若干个小区域，然后计算每个小区域上函数值的近似和，最后取极限三重积分的计算方法有多种，包括直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等本节将详细介绍三重积分的定义和计算方法，并提供一些例题三重积分的定义将空间区域Ω分成n个小区域，每个小区域的体积为ΔVi，在每个小区域上取一点xi,yi,zi，则三重积分∫∫∫Ωfx,y,zdV=limn→∞Σi=1到n fxi,yi,ziΔVi三重积分在计算空间物体的质量、体积、重心等物理量时非常有用X YTripleIntegral.曲线积分的概念第一类曲线积分与第二类曲线积分曲线积分是指在曲线上的积分第一类曲线积分（也称为对弧长的曲线积分）是指对曲线上的弧长进行积分第二类曲线积分（也称为对坐标的曲线积分）是指对曲线上的坐标进行积分本节将详细介绍第一类曲线积分与第二类曲线积分的概念和计算方法，并提供一些例题第一类曲线积分，其中是曲线，是定义在曲线上的函数，是弧长元素第二类曲线积分，∫L fx,yds Lfx,y Lds∫L Px,ydx+Qx,ydy其中是曲线，和是定义在曲线上的函数，和是坐标元素的微分曲线积分在物理学和工程学中有重要应用，例如，计算变L Px,y Qx,y Ldx dy力沿曲线所做的功曲线积分曲线积分的计算曲线积分的计算方法曲线积分的计算方法取决于曲线的表示形式和积分的类型对于参数方程表示的曲线，可以将曲线积分转化为关于参数的积分对于显式方程表示的曲线，可以将曲线积分转化为关于自变量的积分本节将详细介绍曲线积分的计算方法，并提供一些例题设曲线的参数方程为，，∈，则第一类曲线积分到L x=xt y=yt t[α,β]∫Lfx,yds=∫αβfxt,ytsqrt[xt]^2+第二类曲线积分到曲线积分的计算[yt]^2dt∫L Px,ydx+Qx,ydy=∫αβ[Pxt,ytxt+Qxt,ytyt]dt需要注意曲线的方向参数方程显式方程转化为关于参数的积分转化为关于自变量的积分格林公式格林公式的应用格林公式是连接曲线积分和二重积分的桥梁格林公式指出，在一定条件下，沿闭曲线的第二类曲线积分等于以为边界的区域上的二重积L L D分利用格林公式可以将曲线积分转化为二重积分，从而简化计算本节将详细介绍格林公式，并提供一些例题格林公式∮∬，其L Px,ydx+Qx,ydy=D∂Q/∂x-∂P/∂ydσ中是的边界，且按逆时针方向需要注意的是，使用格林公式的前LDL提是满足一定的条件，例如，和具有一阶连续偏导数格林Px,y Qx,y公式在计算面积、流量等物理量时非常有用连接曲线积分和二重积分1∮∬L Px,ydx+Qx,ydy=D∂Q/∂x-2∂P/∂ydσ曲面积分的概念第一类曲面积分与第二类曲面积分曲面积分是指在曲面上的积分第一类曲面积分（也称为对面积的曲面积分）是指对曲面上的面积进行积分第二类曲面积分（也称为对坐标的曲面积分）是指对曲面上的坐标进行积分本节将详细介绍第一类曲面积分与第二类曲面积分的概念和计算方法，并提供一些例题第一类曲面积分，其中是曲面，是定义在∫∫Σfx,y,zdSΣfx,y,z曲面上的函数，是面积元素第二类曲面积分ΣdS∫∫ΣPx,y,zdydz，其中是曲面，、+Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdyΣPx,y,z Qx,y,和是定义在曲面上的函数，、和是坐标元z Rx,y,zΣdydz dzdxdxdy素的微分曲面积分在物理学和工程学中有重要应用，例如，计算流体流过曲面的流量曲面积分曲面积分的计算曲面积分的计算方法曲面积分的计算方法取决于曲面的表示形式和积分的类型对于参数方程表示的曲面，可以将曲面积分转化为关于参数的积分对于显式方程表示的曲面，可以将曲面积分转化为关于自变量的积分本节将详细介绍曲面积分的计算方法，并提供一些例题设曲面的参数方程为，∈，则第一类曲面Σru,v=xu,v,yu,v,zu,vu,v D积分第二类曲面∫∫Σfx,y,zdS=∫∫D fxu,v,yu,v,zu,v|ru×rv|dudv积分需要根据曲面的方向选择合适的正方向，然后计算相应的积分曲面积分的计算需要注意曲面的方向参数方程1转化为关于参数的积分显式方程2转化为关于自变量的积分高斯公式与斯托克斯公式公式的应用高斯公式和斯托克斯公式是矢量分析中的重要公式高斯公式是连接曲面积分和三重积分的桥梁，它指出，在一定条件下，沿闭曲面Σ的第二类曲面积分等于以Σ为边界的区域Ω上的三重积分斯托克斯公式是连接曲线积分和曲面积分的桥梁，它指出，在一定条件下，沿闭曲线L的第二类曲线积分等于以L为边界的曲面Σ上的第二类曲面积分本节将详细介绍高斯公式和斯托克斯公式，并提供一些例题高斯公式∯ΣPx,y,zdydz+Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdy=∭Ω∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂zdV，其中Σ是Ω的边界，且Σ的方向指向外侧斯托克斯公式∮L Px,y,zdx+Qx,y,zdy+Rx,y,zdz=∬Σ∂R/∂y-∂Q/∂zdydz+∂P/∂z-∂R/∂xdzdx+∂Q/∂x-∂P/∂ydxdy，其中L是Σ的边界，且L的方向与Σ的方向满足右手规则这些公式在计算流量、环量等物理量时非常有用高斯公式连接曲面积分和三重积分斯托克斯公式连接曲线积分和曲面积分.无穷级数常数项级数与函数项级数无穷级数是指无穷多个数的和常数项级数是指各项都是常数的级数，例如到函数项级数是指各项都是函数的级数，例如到Σn=1∞1/n^2Σn=1本节将详细介绍常数项级数与函数项级数的概念和性质，并提供一些例题∞x^n.常数项级数的收敛性是指部分和数列的极限是否存在如果部分和数列的极限存在，则称级数收敛，否则称级数发散函数项级数的收敛性是指对于每个，级数是否收敛如果对于某个区间内的所有，级数都收敛，则称级数在该区间内收敛级数在数学分析和应用数学中都有重要应用，例如，xx函数的幂级数展开1常数项级数函数项级数2收敛级数的性质收敛级数的性质收敛级数具有许多重要的性质，这些性质可以用来判断级数的收敛性或简化级数的计算常见的性质包括线性性质、加括号性质、绝对收敛与条件收敛等本节将详细介绍收敛级数的性质，并提供一些例题线性性质如果到和到都收敛，则到也收敛，且到到Σn=1∞anΣn=1∞bnΣn=1∞an+bnΣn=1∞an+bn=Σn=1到；如果到收敛，则对于任意常数，到也收敛，且到∞an+Σn=1∞bnΣn=1∞an cΣn=1∞canΣn=1∞can=cΣn=1到加括号性质如果在级数中加括号后得到的级数收敛，则原级数不一定收敛；如果原级数收敛，则加括号后得到的级数一∞an定收敛，且和不变绝对收敛与条件收敛如果到收敛，则称级数到绝对收敛；如果到Σn=1∞|an|Σn=1∞anΣn=1∞an收敛，但到发散，则称级数到条件收敛Σn=1∞|an|Σn=1∞an线性性质1加括号性质2绝对收敛与条件收敛3正项级数的审敛法比较审敛法与比值审敛法正项级数是指各项都是正数的级数审敛法是指判断级数是否收敛的方法对于正项级数，常用的审敛法包括比较审敛法和比值审敛法本节将详细介绍比较审敛法和比值审敛法，并提供一些例题比较审敛法如果存在一个收敛的正项级数到，且对于所有，都有，则级数到收敛；如果存在Σn=1∞bn nan≤bnΣn=1∞an一个发散的正项级数到，且对于所有，都有，则级数到发散比值审敛法设Σn=1∞bn nan≥bnΣn=1∞an limn→∞，则如果，则级数收敛；如果，则级数发散；如果，则需要进一步判断这些方法在判断级数的收an+1/an=ρρ1ρ1ρ=1敛性时非常有用比较审敛法1比值审敛法2。