本科生线性代数课程课件

本科生线性代数课程欢迎来到本科生线性代数课程！本课程旨在为学生提供线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力通过本课程的学习，学生将掌握线性方程组、矩阵代数、向量空间、特征值与特征向量、线性变换、内积空间和二次型等核心内容，并了解线性代数在计算机图形学、数据分析和物理学等领域的应用希望大家通过本课程的学习，能够扎实掌握线性代数的基础知识，为后续的专业学习和研究打下坚实的基础课程简介目标、内容、考核课程目标课程内容考核方式使学生掌握线性代数的基本概念、理论本课程主要包括线性方程组、矩阵代课程考核将包括平时作业、期中考试和和方法，培养学生的数学思维和解决实数、向量空间、特征值与特征向量、线期末考试平时作业主要考察学生对基际问题的能力通过本课程的学习，学性变换、内积空间和二次型等核心内本概念和方法的掌握程度，期中考试和生将能够运用线性代数知识解决计算机容我们将深入探讨这些概念的定义、期末考试则全面考察学生对课程内容的图形学、数据分析和物理学等领域的实性质和应用，并通过大量的例题和习题理解和应用能力我们将根据学生的综际问题，并为后续的专业学习和研究打帮助学生巩固所学知识合表现进行评分下坚实的基础线性代数的重要性理论基础应用广泛12线性代数是现代数学的重要分线性代数在计算机科学、工程支，是学习高等数学和其他专学、经济学、物理学等领域都业课程的基础它为我们提供有着广泛的应用例如，在计了研究线性问题的工具和方算机图形学中，线性代数被用法，是解决实际问题的有力武于描述和处理图像；在数据分器析中，线性代数被用于降维和聚类；在物理学中，线性代数被用于描述量子力学等思维训练3学习线性代数可以培养学生的逻辑思维、抽象思维和创新思维通过解决线性代数问题，学生可以提高分析问题和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础预备知识回顾集合论函数数域集合的概念、集合的运算（并集、交函数的概念、函数的定义域和值域、数域的概念、常见的数域（有理数集、补集）、集合的关系（包含、相函数的表示方法（解析式法、图像域、实数域、复数域）了解数域的等）熟悉集合的表示方法（列举法、列表法）熟悉常见函数的性质性质和运算规则法、描述法）（单调性、奇偶性、周期性）第一章线性方程组线性方程组的概念1了解线性方程组的定义、线性方程组的表示方法（一般式、矩阵形式）掌握线性方程组的基本概念线性方程组的解法2掌握高斯消元法、矩阵的初等变换能够运用这些方法求解线性方程组线性方程组解的结构3了解线性方程组解的类型（唯一解、无穷解、无解）掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构线性方程组的概念定义线性方程组是由若干个含有未知数的线性方程组成的方程组每个方程的未知数次数都为，且未知数之间只有加法和数乘1运算表示方法线性方程组可以用一般式表示，也可以用矩阵形式表示矩阵形式可以更简洁地表达线性方程组基本概念包括线性方程组的解、线性方程组的系数矩阵、线性方程组的增广矩阵等理解这些基本概念是学习线性方程组的基础线性方程组的解法高斯消元法初等行变换初等行变换包括交换两行、用非零常数乘以某一行、将某一行乘以一个常数加2高斯消元法到另一行这些变换不会改变线性方程组的解高斯消元法是一种求解线性方程组的常1用方法它通过一系列的初等行变换，行阶梯形矩阵将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵，从而求出线行阶梯形矩阵是指满足一定条件的矩性方程组的解阵，其非零行的第一个非零元素称为该行的首项行阶梯形矩阵可以用来判断3线性方程组是否有解，并可以用来求解线性方程组矩阵的初等变换定义矩阵的初等变换是指对矩阵进行的以下三种变换交换两行（列）；用一个非零常数1乘以某一行（列）；将某一行（列）乘以一个常数加到另一行（列）初等矩阵2初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵初等矩阵可以用来表示矩阵的初等变换作用3矩阵的初等变换可以用来求解线性方程组、求矩阵的逆、判断矩阵的秩等是线性代数中非常重要的工具行阶梯形矩阵与简化行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵1定义非零行（即至少包含一个非零元素的行）在零行之上；每个非零行的先导元素（即该行最左边的非零元素）严格位于上面行的先导元素的右边；先导元素所在列下方都是零entries简化行阶梯形矩阵2定义是一个行阶梯形矩阵；每个先导元素都是；每个先导元素是该元素所在列的1唯一非零元素应用3行阶梯形矩阵和简化行阶梯形矩阵可以用来判断线性方程组是否有解，并可以用来求解线性方程组线性方程组解的结构唯一解无穷解无解线性方程组的解有三种类型唯一解、无穷解和无解唯一解是指线性方程组只有一个解；无穷解是指线性方程组有无数个解；无解是指线性方程组没有解线性方程组解的类型取决于系数矩阵和增广矩阵的秩齐次线性方程组定义解的结构应用齐次线性方程组是指常数项全为零的线性如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则齐次线性方程组在很多领域都有应用，例方程组齐次线性方程组的解的结构比较齐次线性方程组有非零解；如果系数矩阵如，在求解特征值和特征向量时，需要求特殊，它一定有零解，是否有非零解取决的秩等于未知数的个数，则齐次线性方程解齐次线性方程组于系数矩阵的秩组只有零解非齐次线性方程组定义解的结构非齐次线性方程组是指常数项不全为零的线性方程组非齐次线非齐次线性方程组的解的结构取决于系数矩阵和增广矩阵的秩性方程组的解的结构比较复杂，它可能有唯一解、无穷解或无如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则非齐次线性方程组有解解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则非齐次线性方程组无解克拉默法则定义公式应用123克拉默法则是指用行列式求解线性克拉默法则的公式比较简单，只需克拉默法则可以用来求解线性方程方程组的一种方法它适用于未知要计算系数行列式和用常数项替换组，也可以用来判断线性方程组是数个数等于方程个数，且系数行列系数行列式中的某一列得到的行列否有解但克拉默法则只适用于特式不为零的线性方程组式即可殊的线性方程组，对于一般的线性方程组，需要用高斯消元法求解第二章矩阵代数矩阵的概念与运算特殊矩阵了解矩阵的定义、矩阵的表示方了解零矩阵、单位矩阵、对角矩法、矩阵的加法、数乘、乘法等阵等特殊矩阵的定义和性质掌运算掌握矩阵的基本概念和运握这些特殊矩阵的特点算规则矩阵的逆了解矩阵的逆的定义和性质掌握求矩阵的逆的方法矩阵的概念与运算定义1矩阵是由若干个数按一定规则排列成的矩形数表矩阵可以用大写字母表示，例如、、等A BC运算2矩阵的运算包括加法、数乘、乘法等矩阵的加法和数乘比较简单，矩阵的乘法需要满足一定的条件，且不满足交换律应用3矩阵在很多领域都有应用，例如，在求解线性方程组、表示线性变换、进行数据分析等特殊矩阵零矩阵、单位矩阵、对角矩阵零矩阵零矩阵是指所有元素都为零的矩阵零矩阵用表示，它是矩O阵加法的单位元单位矩阵单位矩阵是指对角线上的元素都为，其余元素都为零的矩1阵单位矩阵用表示，它是矩阵乘法的单位元I对角矩阵对角矩阵是指非对角线上的元素都为零的矩阵对角矩阵的性质比较简单，可以用来简化矩阵的运算矩阵的转置性质矩阵的转置有一些重要的性质，例如，2，A^T^T=A A+B^T=A^T+，，定义B^T kA^T=kA^T AB^T=B^T A^T1矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的矩阵矩阵的转置用表示A A^T应用矩阵的转置在很多领域都有应用，例3如，在求解最小二乘问题、进行数据分析等矩阵的逆定义对于一个阶矩阵，如果存在一个阶矩阵，使得，则称矩阵是可n An B AB=BA=I A1逆的，矩阵称为矩阵的逆矩阵，用表示BA A^{-1}性质2矩阵的逆有一些重要的性质，例如，，A^{-1}^{-1}=A AB^{-1}=，，B^{-1}A^{-1}kA^{-1}=1/kA^{-1}A^T^{-1}=A^{-1}^T求法3求矩阵的逆的方法有很多，例如，可以用伴随矩阵法、初等变换法等不同的方法适用于不同的情况矩阵的初等矩阵定义1由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵有三种类型交换矩阵、倍乘矩阵、加法矩阵性质初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵也是初等矩阵用初等矩阵左乘一个矩阵，相当于2对该矩阵进行一次相应的初等行变换；用初等矩阵右乘一个矩阵，相当于对该矩阵进行一次相应的初等列变换应用3初等矩阵可以用来表示矩阵的初等变换，也可以用来求解线性方程组、求矩阵的逆等分块矩阵分块矩阵是指将一个矩阵分成若干个子矩阵，然后将这些子矩阵看作矩阵的元素进行运算分块矩阵可以用来简化矩阵的运算，也可以用来处理大型矩阵矩阵的秩定义性质求法矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（列）矩阵的秩有一些重要的性质，例如，矩阵求矩阵的秩的方法有很多，例如，可以用向量的最大个数矩阵的秩是矩阵的一个的秩等于其转置的秩，矩阵的秩小于等于初等变换法、行列式法等不同的方法适重要性质，它可以用来判断线性方程组是其行数和列数，矩阵的秩等于其非零奇异用于不同的情况否有解，也可以用来判断向量组是否线性值的个数相关第三章向量空间向量的概念与运算向量的线性相关与线性无关向量空间的定义了解向量的定义、向量的表示方法、向了解向量的线性相关与线性无关的定了解向量空间的定义、子空间的定义量的加法、数乘、内积等运算掌握向义掌握判断向量组是否线性相关的方掌握向量空间的基本概念和性质量的基本概念和运算规则法向量的概念与运算定义运算12向量是指既有大小又有方向的向量的运算包括加法、数乘、量向量可以用箭头表示，箭内积等向量的加法满足平行头的长度表示向量的大小，箭四边形法则，向量的数乘是指头的方向表示向量的方向将向量的每个分量乘以一个常数，向量的内积是指两个向量对应分量乘积的和应用3向量在很多领域都有应用，例如，在物理学中，向量可以用来表示力、速度、加速度等；在计算机图形学中，向量可以用来表示点、线、面等向量的线性组合定义线性表示对于向量组V，如果向量b可以表线性表示是指将一个向量表示成示成向量组V中若干个向量的线若干个向量的线性组合线性表性组合，则称向量b可以由向量示是向量空间中的一个重要概组V线性表示念应用向量的线性组合在很多领域都有应用，例如，在求解线性方程组、表示线性变换等向量的线性相关与线性无关定义1对于向量组，如果存在不全为零的数，使得V k1,k2,...,kn，则称向量组线性相关；否k1v1+k2v2+...+knvn=0V则，称向量组线性无关V判断方法2判断向量组是否线性相关的方法有很多，例如，可以用行列式法、秩法等不同的方法适用于不同的情况应用3向量的线性相关与线性无关在很多领域都有应用，例如，在判断线性方程组是否有解、求解矩阵的秩等向量空间的定义定义向量空间是指满足一定条件的向量集合向量空间需要满足加法和数乘的封闭性、加法的交换律和结合律、存在零向量和负向量、数乘的结合律和分配律等性质向量空间有一些重要的性质，例如，向量空间中任意两个向量的线性组合仍然属于该向量空间，向量空间中存在唯一的零向量，向量空间中任意向量都存在唯一的负向量应用向量空间是线性代数中的一个重要概念，它为我们提供了研究线性问题的框架子空间性质子空间是向量空间的一个重要组成部2分子空间也满足向量空间的性质，例定义如，子空间中存在唯一的零向量，子空1间中任意向量都存在唯一的负向量如果向量空间的一个非空子集满足V W加法和数乘的封闭性，则称是的子W V空间应用子空间在很多领域都有应用，例如，在3求解线性方程组、表示线性变换等向量空间的基与维数基向量空间的一组线性无关的向量，如果中任意向量都可以表示成这组向量的线性V V1组合，则称这组向量是的一组基V维数2向量空间的基所包含的向量个数称为的维数V V应用3向量空间的基与维数是向量空间的重要性质，它们可以用来描述向量空间的大小和结构坐标定义1在向量空间中选取一组基，则中任意向量都可以表示成这组基的线性组合，这组线性组合的系数称为该V V向量在这组基下的坐标性质2向量在不同基下的坐标不同，但它们之间存在一定的关系坐标可以用来描述向量在不同基下的位置应用坐标在很多领域都有应用，例如，在计算机图形学中，坐标可3以用来表示点的位置；在数据分析中，坐标可以用来表示数据的特征第四章特征值与特征向量数据降维图像处理机器学习特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们在很多领域都有应用，例如，在数据降维、图像处理、机器学习等掌握特征值与特征向量的定义和性质，对于理解线性代数的应用非常重要特征值与特征向量的定义定义性质应用对于n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量特征值和特征向量有一些重要的性质，例特征值和特征向量在很多领域都有应用，v，使得Av=λv，则称λ是A的一个特征如，特征向量只能是列向量；属于不同特例如，在求解线性方程组、表示线性变换值，v是A的对应于特征值λ的特征向量征值的特征向量线性无关；特征值的代数等重数等于特征空间的维数特征多项式定义性质对于阶矩阵，其特征多项式是指，其中是变特征多项式的根就是矩阵的特征值特征多项式可以用来求解n AdetλI-AλA量，I是单位矩阵特征多项式是一个关于λ的n次多项式矩阵的特征值特征空间的基定义基12对于矩阵A的特征值λ，其对特征空间的基是指特征空间的应的特征空间是指所有特征向一组线性无关的向量，且特征量加上零向量组成的集合特空间中任意向量都可以表示成征空间是向量空间A的一个子这组向量的线性组合空间应用3特征空间的基可以用来描述特征空间的大小和结构特征空间的维数等于特征值的代数重数矩阵的相似定义性质对于n阶矩阵A和B，如果存在可相似矩阵有一些重要的性质，例逆矩阵P，使得B=P^{-1}AP，如，相似矩阵有相同的特征值，则称矩阵A和B相似相似矩阵有相同的秩应用矩阵的相似在很多领域都有应用，例如，在矩阵的对角化、线性变换的矩阵表示等矩阵的对角化定义1对于阶矩阵，如果存在可逆矩阵，使得是对角n AP P^{-1}AP矩阵，则称矩阵可以对角化A条件2矩阵可以对角化的条件是有个线性无关的特征向量AAn应用3矩阵的对角化在很多领域都有应用，例如，在求解线性方程组、表示线性变换等实对称矩阵的对角化定义实对称矩阵是指元素都是实数，且满足的矩阵实对A^T=A称矩阵有一些特殊的性质，例如，实对称矩阵的特征值都是实数，实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交对角化实对称矩阵一定可以对角化，且存在正交矩阵，使得P P^{-是对角矩阵1}AP应用实对称矩阵的对角化在很多领域都有应用，例如，在求解二次型、进行主成分分析等第五章线性变换线性变换的矩阵表示2了解线性变换的矩阵表示掌握如何用矩阵表示线性变换线性变换的定义1了解线性变换的定义、线性变换的性质掌握线性变换的基本概念线性变换的核与值域了解线性变换的核与值域的定义和性3质掌握线性变换的维数定理线性变换的定义定义设和是向量空间，是从到的映射，如果满足加法和数乘的性质，则称是V W T VWT T1线性变换性质2线性变换有一些重要的性质，例如，线性变换将零向量映射为零向量，线性变换保持线性组合应用3线性变换在很多领域都有应用，例如，在计算机图形学中，线性变换可以用来表示旋转、缩放、平移等线性变换的矩阵表示矩阵表示1在有限维向量空间中，线性变换可以用矩阵表示线性变换的矩阵表示取决于所选取的基转换2通过选择不同的基，可以得到线性变换的不同矩阵表示不同的矩阵表示描述的是同一个线性变换，只是在不同的坐标系下观察而已应用3线性变换的矩阵表示在很多领域都有应用，例如，在计算机图形学中，线性变换的矩阵表示可以用来实现图形的变换线性变换的核与值域线性变换的核是指所有被线性变换映射为零向量的向量组成的集合线性变换的值域是指所有被线性变换映射到的向量组成的集合线性变换的核和值域都是向量空间的子空间线性变换的维数定理维数定理意义线性变换的维数定理是指，对于从向量空间V到向量空间W的线线性变换的维数定理揭示了线性变换的核和值域之间的关系它性变换T，有dimV=dimkerT+dimimT，其中是一个重要的定理，在很多领域都有应用是的核，是的值域kerT TimT T线性变换的逆逆变换条件如果线性变换是从到的线性变换，且存在从到的线性变线性变换存在逆变换的条件是是双射，即是单射和满射只T VW WV TTT换S，使得ST=IV，TS=IW，则称S是T的逆变换，记为T^{-有双射的线性变换才存在逆变换1}第六章内积空间内积的定义内积空间的性质正交向量与正交基123了解内积的定义、内积的性质掌了解内积空间的性质掌握内积空了解正交向量与正交基的定义掌握内积的基本概念间的基本概念和性质握正交向量与正交基的基本概念和性质内积的定义定义性质设V是实向量空间，如果对于V中内积需要满足对称性、线性性、任意两个向量x和y，都存在唯一正定性等条件只有满足这些条的实数与之对应，且满足一定的件的二元函数才能称为内积条件，则称是和的内积x y应用内积在很多领域都有应用，例如，在计算向量的长度、计算向量的夹角、判断向量是否正交等内积空间的性质柯西不等式1在内积空间中，有，其中是的长度，||=||x||||y||||x||x是的长度||y||y三角不等式2在内积空间中，有||x+y||=||x||+||y||平行四边形法则3在内积空间中，有||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2向量的长度与夹角长度在内积空间中，向量的长度定义为x||x||=sqrt夹角在内积空间中，向量和的夹角定义为x ycosθ=/||x||||y||应用向量的长度和夹角在很多领域都有应用，例如，在计算机图形学中，可以用来计算物体的距离和角度正交向量与正交基正交基在内积空间中，如果一组基中的向量两2两正交，则称这组基为正交基正交向量1在内积空间中，如果两个向量的内积为零，则称这两个向量正交应用正交向量和正交基在很多领域都有应用，例如，在傅里叶分析、小波分析3等格拉姆施密特正交化-正交化格拉姆施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法该方法通-1过一系列的投影运算，将每个向量投影到由前面向量构成的子空间的正交补空间中过程格拉姆施密特正交化过程可以分为几个步骤首先，选择第一个向量；然-2后，将第二个向量投影到第一个向量的正交补空间中；接着，将第三个向量投影到由前两个向量构成的子空间的正交补空间中，以此类推应用3格拉姆施密特正交化在很多领域都有应用，例如，在求解最小-二乘问题、进行数据分析等正交投影定义1在内积空间中，对于向量和子空间，在上的正交投影是指中与正交的向量，其中是中x W x WW x-p pp W的向量性质2正交投影是中与最接近的向量正交投影可以用来求解最小二乘问题Wx应用3正交投影在很多领域都有应用，例如，在信号处理、图像处理等最小二乘法数据点实际值预测值最小二乘法是一种求解线性方程组的近似解的方法当线性方程组无解或解不唯一时，可以用最小二乘法求解一个近似解，使得误差的平方和最小第七章二次型定义标准化正定性二次型是指只含有二次项的齐次多项式二次型可以通过配方法或正交变换法进行二次型的正定性是指二次型的值恒大于二次型可以用矩阵表示标准化，即将二次型化为只含有平方项的零正定二次型在很多领域都有应用，例形式如，在优化问题中，正定二次型可以保证目标函数的极小值存在二次型的定义定义应用含有n个变量x1,x2,...,xn的二次齐次多项式称为二次型二二次型在很多领域都有应用，例如，在曲线和曲面的分类、优化次型可以用矩阵表示，即fx=x^T Ax，其中A是对称矩阵问题等二次型的矩阵表示矩阵表示唯一性12任何二次型都可以表示成矩阵二次型的矩阵表示是唯一的的形式，即fx=x^T Ax，通过矩阵表示，可以将二次型其中A是对称矩阵对称矩阵的研究转化为矩阵的研究称为二次型的矩阵A应用3二次型的矩阵表示在很多领域都有应用，例如，在二次型的标准化、正定性的判断等二次型的标准化配方法正交变换法配方法是指通过一系列的配方，正交变换法是指通过正交变换，将二次型化为只含有平方项的形将二次型化为只含有平方项的形式配方法比较直观，但计算量式正交变换法计算量较小，但较大需要求解特征值和特征向量应用二次型的标准化在很多领域都有应用，例如，在曲线和曲面的分类、优化问题等正定二次型定义1对于二次型，如果对于任意非零向量，都有，则fx xfx0称是正定二次型正定二次型的矩阵是正定矩阵fx判别法2判断二次型是否正定，可以用顺序主子式法或特征值法顺序主子式法是指，如果二次型的顺序主子式都大于零，则该二次型是正定二次型；特征值法是指，如果二次型的特征值都大于零，则该二次型是正定二次型应用3正定二次型在很多领域都有应用，例如，在优化问题中，正定二次型可以保证目标函数的极小值存在合同矩阵定义性质应用对于n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵合同矩阵有一些重要的性质，例如，合合同矩阵在很多领域都有应用，例如，P，使得B=P^TAP，则称矩阵A和B合同矩阵有相同的正惯性指数和负惯性指在二次型的标准化、正定性的判断等同数，合同矩阵有相同的秩第八章线性代数的应用数据分析线性代数在数据分析中有着广泛的应2用，例如，用矩阵表示数据、用奇异值分解进行数据降维等计算机图形学1线性代数在计算机图形学中有着广泛的应用，例如，用矩阵表示图形的变换、物理学用向量表示图形的点和线等线性代数在物理学中有着广泛的应用，例如，在量子力学中，用矩阵表示物理3量、用特征值和特征向量描述物理系统的状态等线性代数在计算机图形学中的应用图形变换用矩阵表示图形的变换，例如，平移、旋转、缩放等通过矩阵乘法可以实现图形的1复合变换投影2用矩阵表示图形的投影，例如，平行投影、透视投影等通过投影可以将三维图形显示在二维屏幕上光照模型3用向量表示光照方向、物体表面法向量等通过向量运算可以计算物体表面的光照强度线性代数在数据分析中的应用数据降维1用奇异值分解等方法进行数据降维，可以减少数据的维度，提高数据分析的效率聚类2用等方法进行数据聚类，可以将数据分成若干个类别，方便进行数据分K-means析回归3用最小二乘法等方法进行数据回归，可以建立数据之间的关系，方便进行数据预测线性代数在物理学中的应用量子力学电磁学力学线性代数在物理学中有着广泛的应用，例如，在量子力学中，用矩阵表示物理量、用特征值和特征向量描述物理系统的状态等；在电磁学中，用向量表示电场和磁场；在力学中，用向量表示力和运动等。