现代控制理论课件东北大学

现代控制理论东北大学-欢迎来到现代控制理论的精彩世界！本课程由东北大学倾力打造，旨在引领您探索控制工程的前沿领域我们将深入研究控制系统的基本概念、数学模型、稳定性分析、控制设计方法以及非线性控制技术通过本课程的学习，您将掌握现代控制理论的核心知识，具备解决实际控制问题的能力，为未来的工程实践和学术研究奠定坚实的基础课程简介与目标课程简介课程目标本课程系统地介绍现代控制理论的基本概念、分析方法和设计技本课程的目标是使学生掌握现代控制理论的基本知识和技能，能术课程内容涵盖线性系统理论、非线性系统控制、鲁棒控制、够运用现代控制理论解决实际工程问题具体目标包括理解控自适应控制、系统辨识和卡尔曼滤波等通过理论讲解、案例分制系统的基本概念，掌握数学模型的建立方法，熟悉稳定性分析析和实验实践，帮助学生掌握现代控制理论的核心内容和控制设计技术，了解非线性控制方法，掌握系统辨识和卡尔曼滤波等控制系统的基本概念控制对象控制器12控制对象是指需要进行控制的控制器是控制系统的核心组成物理系统或过程控制对象的部分，用于产生控制信号，以特性直接影响控制系统的设计实现对控制对象的期望控制效和性能了解控制对象的数学果控制器的设计需要考虑控模型是控制系统设计的基础制对象的特性、控制目标和性能指标反馈3反馈是指将控制对象的输出信号反馈到控制器，用于修正控制信号，提高控制系统的精度和鲁棒性反馈是闭环控制系统的关键特征开环与闭环控制系统开环控制系统闭环控制系统开环控制系统是指控制器的输出信号直接作用于控制对象，没有闭环控制系统是指控制器的输出信号作用于控制对象，同时将控反馈环节开环控制系统结构简单，但抗干扰能力差，精度较低制对象的输出信号反馈到控制器，形成闭合回路闭环控制系统适用于控制对象特性已知且稳定的场合抗干扰能力强，精度高适用于控制对象特性未知或变化的场合数学模型的重要性系统分析的基础控制设计的依据系统仿真的工具数学模型是分析控制系统性能的基础数学模型是控制系统设计的重要依据数学模型是进行系统仿真的重要工具通过数学模型，可以研究系统的稳定控制器的设计需要基于控制对象的数通过系统仿真，可以验证控制器的设性、可控性和可观性等重要特性学模型，以实现期望的控制效果计效果，优化控制系统的性能传递函数的定义传递函数是指在零初始条件下，线性时不传递函数可以用一个复变量的函数表示，传递函数是频域分析和控制系统设计的重变系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普通常记为，其中是拉普拉斯变换的要工具通过传递函数，可以分析系统的Gs s拉斯变换之比传递函数是描述线性系统复变量传递函数包含了系统动态特性的频率响应特性，设计满足性能指标的控制输入输出关系的重要工具全部信息器传递函数的性质线性性1传递函数只适用于线性系统对于非线性系统，不能直接使用传递函数进行分析和设计时不变性2传递函数只适用于时不变系统对于时变系统，传递函数会随时间变化，不能准确描述系统的动态特性因果性3传递函数只适用于因果系统因果系统是指输出只取决于当前和过去的输入，不取决于未来的输入状态空间表达式状态变量状态变量是指能够完全描述系统动态行为的最小一组变量状态变量的选择不是唯一的，但选择不同的状态变量会得到不同的状态空间表达式状态方程状态方程是描述状态变量随时间变化的微分方程状态方程描述了系统的内部动态行为输出方程输出方程是描述系统输出与状态变量之间关系的代数方程输出方程描述了系统的外部输出特性状态变量的选择易于测量选择易于测量的变量作为状态变量便2于进行状态反馈控制和状态观测器设计物理变量选择具有明确物理意义的变量作为状态1变量例如，机械系统的位置、速度和加速度，电路系统的电压和电流线性独立选择线性独立的变量作为状态变量保3证状态空间表达式的唯一性和可解性状态空间模型的建立确定状态变量1建立状态方程2建立输出方程3验证模型4建立状态空间模型的一般步骤包括确定状态变量、建立状态方程、建立输出方程和验证模型其中，确定状态变量是建立状态空间模型的关键线性系统的状态空间模型状态方程xt=Axt+But输出方程yt=Cxt+Dut矩阵A状态矩阵，描述状态变量之间的动态关系矩阵B输入矩阵，描述输入对状态变量的影响矩阵C输出矩阵，描述状态变量对输出的影响矩阵D直接传递矩阵，描述输入对输出的直接影响线性系统的状态空间模型由状态方程和输出方程组成状态方程描述了状态变量随时间的变化规律，输出方程描述了系统输出与状态变量之间的关系矩阵A、B、C和D是状态空间模型的重要参数，描述了系统的动态特性非线性系统的线性化泰勒展开雅可比矩阵使用泰勒展开将非线性函数在平衡点附近进行线性化忽略高阶对于多变量非线性系统，使用雅可比矩阵计算线性化模型雅可项，保留一阶项，得到线性化的近似模型比矩阵是所有偏导数组成的矩阵，描述了非线性函数在平衡点附近的线性近似状态转移矩阵定义性质应用123状态转移矩阵是指描述系统状态从状态转移矩阵具有重要的性质，如状态转移矩阵可以用于计算系统的初始时刻到任意时刻转移的矩阵状态转移矩阵的逆等于状态转移矩状态响应、分析系统的稳定性、设状态转移矩阵是状态空间分析的重阵的负时间，状态转移矩阵满足群计状态反馈控制器等要工具的性质等状态转移矩阵的计算拉普拉斯变换法将状级数展开法将状态转数值积分法使用数值态方程进行拉普拉斯变移矩阵展开为级数形式，积分方法求解状态方程，换，求解状态变量的拉然后计算级数的值该得到状态转移矩阵的近普拉斯变换，然后进行方法适用于状态矩阵似值该方法适用于状A拉普拉斯反变换，得到为常数矩阵的情况态矩阵为时变矩阵的A状态转移矩阵情况可控性与可观性可控性可观性重要性可控性是指系统所有状态变量都可以可观性是指系统所有状态变量都可以可控性和可观性是控制系统设计的重在有限时间内通过控制输入达到任意通过有限时间的输出观测出来可观要概念只有当系统既可控又可观时，期望值的能力可控性是状态反馈控性是状态观测器设计的前提条件才能设计出有效的控制器和观测器制的前提条件可控性的判据秩判据1可控性矩阵的秩等于系统状态变量的个数可控性矩阵由输入矩阵和状态矩阵计算得到B A判据PBH2对于系统所有特征值，传递函数矩阵的秩等于系统状态变量的个数判据是一种频域判据，适用于单输入单输出系PBH统李雅普诺夫判据3存在正定对称矩阵，满足李雅普诺夫方程，则系统可控李P雅普诺夫判据是一种时域判据，适用于线性时不变系统可观性的判据秩判据判据李雅普诺夫判据PBH可观性矩阵的秩等于系统状态变量的个数对于系统所有特征值，传递函数矩阵的秩存在正定对称矩阵，满足李雅普诺夫方P可观性矩阵由输出矩阵和状态矩阵计等于系统状态变量的个数判据是一程，则系统可观李雅普诺夫判据是一种C APBH算得到种频域判据，适用于单输入单输出系统时域判据，适用于线性时不变系统控制系统的稳定性分类稳定性可以分为渐近稳定、李雅普诺夫稳定和不稳定渐近稳定是指系统状态2不仅有界，而且最终收敛到平衡状态定义李雅普诺夫稳定是指系统状态有界，但1不一定收敛到平衡状态不稳定是指系稳定性是指系统在受到扰动后，能够恢统状态无界复到平衡状态的能力稳定性是控制系统正常工作的前提条件重要性控制系统的稳定性是控制系统设计的重3要目标只有当系统稳定时，才能保证控制系统的正常工作稳定性判据劳斯判据劳斯表1第一列元素2变号次数3劳斯判据是一种用于判断线性系统稳定性的代数判据通过构造劳斯表，分析劳斯表第一列元素的符号变化，可以判断系统是否稳定稳定性判据奈奎斯特判据奈奎斯特曲线1开环传递函数2临界点3奈奎斯特判据是一种用于判断线性系统稳定性的频率域判据通过绘制开环传递函数的奈奎斯特曲线，分析奈奎斯特曲线与临界点的位置关系，可以判断系统是否稳定根轨迹分析定义根轨迹是指系统开环传递函数极点随增益变化在复平面上的轨迹作用分析系统稳定性、性能指标重要性根轨迹分析是控制系统设计的重要工具通过根轨迹，可以了解系统闭环极点的位置，从而设计满足性能指标的控制器根轨迹分析是一种用于分析线性系统稳定性和性能的重要方法通过绘制根轨迹，可以了解系统闭环极点的位置，从而设计满足性能指标的控制器绘制根轨迹的规则起点和终点分支数对称性根轨迹的起点是开环极点，终点是开环根轨迹的分支数等于开环极点的个数根轨迹关于实轴对称零点绘制根轨迹需要遵循一定的规则，包括起点和终点、分支数、对称性、渐近线、分离点和会合点等掌握这些规则可以帮助我们快速准确地绘制根轨迹使用根轨迹进行系统分析稳定性分析性能分析12通过根轨迹分析，可以判断系通过根轨迹分析，可以了解系统在不同增益下的稳定性如统在不同增益下的性能指标，果根轨迹位于平面右半部分，如超调量、调节时间和稳态误s则系统不稳定差等控制器设计3通过根轨迹分析，可以指导控制器设计，使系统满足期望的稳定性和性能指标状态反馈控制状态反馈控制是指将系极点配置是状态反馈控可控性是状态反馈控制统状态变量反馈到控制制的重要设计方法通的前提条件只有当系器，用于产生控制信号，过选择合适的反馈增益，统可控时，才能通过状以实现对控制对象的期可以将系统的闭环极点态反馈控制将系统的闭望控制效果状态反馈配置在期望的位置，从环极点配置在任意期望控制可以改变系统的动而实现期望的系统动态的位置态特性，提高系统的稳特性定性和性能极点配置设计步骤确定期望的闭环极点位置

1.步骤计算反馈增益矩阵

2.步骤验证设计结果

3.极点配置设计是一种常用的状态反馈控制设计方法极点配置设计的步骤包括确定期望的闭环极点位置、计算反馈增益矩阵和验证设计结果状态观测器设计目的类型状态观测器用于估计系统状态变量的值当系统状态变量无法直状态观测器可以分为全维状态观测器和降维状态观测器全维状接测量时，需要使用状态观测器来估计状态变量的值，以便进行态观测器估计系统所有状态变量的值，降维状态观测器只估计部状态反馈控制分状态变量的值全维状态观测器设计误差应用123全维状态观测器估计系统所有状态全维状态观测器的观测误差是指系全维状态观测器广泛应用于控制系变量的值全维状态观测器的设计统状态变量的真实值与观测器估计统设计中例如，可以与状态反馈需要满足可观性条件全维状态观值之间的差观测误差的动态特性控制器结合使用，实现状态反馈控测器的动态特性由观测器极点决定由观测器极点决定选择合适的观制测器极点可以使观测误差快速收敛到零降维状态观测器降维状态观测器只估计降维状态观测器的设计降维状态观测器计算量部分状态变量的值当比全维状态观测器复杂较小，适用于计算资源部分状态变量可以直接需要选择合适的输出变有限的场合测量时，可以使用降维量和状态变量，以满足状态观测器来减少计算可观性条件量分离定理内容状态反馈控制器和状态观测器的设计可以独立进行即，先设计状态反馈控制器，再设计状态观测器，然后将两者结合起来，可以保证系统的稳定性和性能意义分离定理简化了控制系统的设计过程可以将复杂的控制系统设计问题分解为两个相对简单的子问题状态反馈控制器设计和状态观测器设计限制分离定理只适用于线性系统对于非线性系统，分离定理不一定成立分离定理是现代控制理论的重要定理分离定理指出，状态反馈控制器和状态观测器的设计可以独立进行，然后将两者结合起来，可以保证系统的稳定性和性能李雅普诺夫稳定性理论定义方法李雅普诺夫稳定性理论是一种用于判断系统稳定性的重要理论李雅普诺夫稳定性理论包括李雅普诺夫第一方法和李雅普诺夫第李雅普诺夫稳定性理论不需要求解系统的解，而是通过构造李雅二方法李雅普诺夫第一方法是将非线性系统线性化，然后使用普诺夫函数来判断系统的稳定性线性系统稳定性判据来判断系统的稳定性李雅普诺夫第二方法是直接构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性李雅普诺夫第一方法线性化线性系统稳定性判据12将非线性系统在平衡点附近进使用线性系统稳定性判据（如行线性化忽略高阶项，保留劳斯判据或奈奎斯特判据）判一阶项，得到线性化的近似模断线性化系统的稳定性如果型线性化系统稳定，则非线性系统在平衡点附近局部稳定局限性3李雅普诺夫第一方法只能判断非线性系统在平衡点附近的局部稳定性不能判断非线性系统的全局稳定性李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法是如果能够找到满足条件李雅普诺夫函数的构造直接构造李雅普诺夫函的李雅普诺夫函数，则比较困难没有通用的数来判断系统的稳定性可以判断系统的全局稳方法可以构造李雅普诺李雅普诺夫函数是一种定性李雅普诺夫第二夫函数需要根据具体标量函数，其值随时间方法是判断非线性系统系统选择合适的李雅普单调递减，且在平衡点全局稳定性的重要方法诺夫函数处为零李雅普诺夫函数的选取能量函数对于物理系统，可以选择系统的能量函数作为李雅普诺夫函数能量函数通常是正定的，且其导数是负定的二次型函数对于线性系统，可以选择二次型函数作为李雅普诺夫函数二次型函数的形式为，其中是正定对Vx=xPx P称矩阵克拉索夫斯基函数对于非线性系统，可以选择克拉索夫斯基函数作为李雅普诺夫函数克拉索夫斯基函数的形式为Vx=，其中是非线性函数，fxPfx fxP是正定对称矩阵李雅普诺夫函数的选取是李雅普诺夫稳定性分析的关键需要根据具体系统选择合适的李雅普诺夫函数常用的李雅普诺夫函数包括能量函数、二次型函数和克拉索夫斯基函数等线性二次型调节器LQR定义优点线性二次型调节器（）是一种最优控制方法，用于设计线性设计简单，易于实现可以保证系统的稳定性和性能LQR LQR LQR系统的状态反馈控制器的目标是使系统的性能指标最小化，可以处理多输入多输出系统LQRLQR性能指标通常是一个二次型函数，包括状态变量和控制输入设计步骤LQR建立系统状态空间模选择权重矩阵

11.

22.型需要选择状态变量的权重矩阵需要建立系统的状态方程和输和控制输入的权重矩阵Q R出方程状态空间模型是LQR权重矩阵Q和R决定了系统性设计的基础能指标的权重求解黎卡提方程

33.需要求解代数黎卡提方程，得到正定对称矩阵黎卡提方程是P LQR设计的核心方程权重矩阵的选择状态变量的权重矩阵控制输入的权重矩阵权重矩阵和的选择Q RQ R反映了对状态变量的控反映了对控制输入的限需要根据具体系统进行制要求越大，表示制越大，表示对控调整可以通过仿真实Q R对状态变量的控制要求制输入的限制越高，系验来选择合适的权重矩越高，系统响应速度越统响应速度越慢，超调阵，以实现期望的系统快，超调量越大量越小性能鲁棒控制基础定义鲁棒控制是指在系统存在不确定性的情况下，仍然能够保证系统稳定性和性能的控制方法意义实际控制系统通常存在不确定性，如模型误差、参数变化和外部干扰等鲁棒控制可以提高系统对不确定性的适应能力，保证系统的稳定性和性能方法常用的鲁棒控制方法包括无穷控H制、滑模控制和自适应控制等鲁棒控制是现代控制理论的重要分支鲁棒控制的目标是在系统存在不确定性的情况下，仍然能够保证系统稳定性和性能不确定性模型加性不确定性乘性不确定性加性不确定性是指不确定性以加性的形式存在于系统模型中加乘性不确定性是指不确定性以乘性的形式存在于系统模型中乘性不确定性通常用于描述模型误差和外部干扰性不确定性通常用于描述参数变化和非线性特性无穷控制H目标方法12无穷控制的目标是使闭环系无穷控制的设计需要求解黎H H统的无穷范数最小化无卡提方程或线性矩阵不等式H H穷范数反映了系统对不确定性（）求解黎卡提方程或LMI的抑制能力无穷范数越小，可以得到满足性能指标的H LMI表示系统对不确定性的抑制能控制器力越强，鲁棒性越好应用3无穷控制广泛应用于控制系统设计中例如，可以用于设计飞行控H制系统、机器人控制系统和电力系统等滑模控制滑动模态1切换函数2控制律3滑模控制是一种鲁棒控制方法，其特点是具有对参数变化和外部干扰不敏感的特性滑模控制通过设计切换函数，使系统状态在有限时间内到达滑动模态，并在滑动模态上保持运动，从而实现对系统的控制滑模控制原理滑动阶段系统状态在滑动模态上保持运动的过程2到达阶段1系统状态从初始状态到达滑动模态的过程稳定性滑动模态的稳定性是滑模控制的关键需要保证滑动模态是渐近稳定的，才能3使系统状态最终收敛到平衡状态滑模面设计线性滑模面线性滑模面的形式为，sx=Cx其中是常数矩阵线性滑模面设C计简单，但鲁棒性较差非线性滑模面非线性滑模面的形式为，sx=fx其中是非线性函数非线性滑fx模面设计复杂，但鲁棒性较好终端滑模面终端滑模面可以使系统状态在有限时间内收敛到平衡状态终端滑模面具有较好的鲁棒性和快速性滑模面设计是滑模控制的关键需要选择合适的滑模面，以实现期望的系统性能常用的滑模面包括线性滑模面、非线性滑模面和终端滑模面等抖振现象与解决方法抖振现象解决方法抖振现象是指系统状态在滑动模态附近高频振荡的现象抖振现常用的解决方法包括使用饱和函数代替符号函数、使用边界层象会影响系统的控制精度和稳定性方法和使用高阶滑模控制等这些方法可以减少抖振现象，提高系统的控制精度和稳定性自适应控制模型未知参数估计12自适应控制是指在系统模型未自适应控制通常包括两个环节知或参数变化的情况下，能够参数估计和控制律设计参数自动调整控制器参数，以实现估计用于估计系统模型参数，对系统的控制自适应控制具控制律设计用于产生控制信号有较强的适应能力，适用于复杂和不确定系统稳定性3自适应控制的稳定性是一个重要问题需要保证参数估计和控制律设计能够使系统稳定常用的稳定性分析方法包括李雅普诺夫稳定性理论和自适应律设计等自适应控制原理参数估计1控制律设计2稳定性分析3自适应控制的原理是根据系统输出和输入信号，在线估计系统参数，然后根据估计的参数设计控制器，使系统达到期望的性能自适应控制需要解决参数估计和控制律设计的稳定性和收敛性问题模型参考自适应控制MRAC参考模型1自适应律2控制律3模型参考自适应控制（）是一种常用的自适应控制方法的目标是使系统输出跟踪参考模型输出通过设计自适MRAC MRACMRAC应律，自动调整控制器参数，使系统输出跟踪参考模型输出系统辨识定义系统辨识是指根据系统输入输出数据，建立系统数学模型的过程系统辨识是控制系统设计的重要环节精确的系统模型是设计高性能控制器的基础方法常用的系统辨识方法包括最小二乘法、最大似然法和卡尔曼滤波等应用系统辨识广泛应用于控制系统设计中例如，可以用于建立飞行控制系统模型、机器人控制系统模型和电力系统模型等系统辨识是现代控制理论的重要分支系统辨识的目标是根据系统输入输出数据，建立系统数学模型系统辨识方法概述时域方法频域方法时域方法是指直接根据系统时域输入输出数据建立系统模型的方频域方法是指根据系统频域输入输出数据建立系统模型的方法法常用的时域方法包括最小二乘法、最大似然法和子空间辨识常用的频域方法包括频率响应分析和传递函数估计等法等最小二乘法原理优点缺点123最小二乘法的原理是使模型输出与简单易于实现对噪声敏感实际输出之间的误差平方和最小化最小二乘法是一种常用的参数估计方法最小二乘法简单易于实现，但对噪声比较敏感递归最小二乘法递归最小二乘法是一种递归最小二乘法可以用递归最小二乘法计算量在线参数估计方法递于自适应控制系统中，较小，适用于实时控制归最小二乘法可以根据实现对系统参数的在线系统新的输入输出数据，不估计和控制器的自动调断更新参数估计值递整归最小二乘法适用于时变系统的参数估计卡尔曼滤波定义卡尔曼滤波是一种最优估计方法，用于估计线性系统的状态卡尔曼滤波考虑了系统噪声和测量噪声的影响，可以得到状态的最优估计值应用卡尔曼滤波广泛应用于控制系统设计中例如，可以用于估计飞行器的位置和速度、机器人的姿态和位置等优点状态最优估计值卡尔曼滤波是现代控制理论的重要工具卡尔曼滤波的目标是根据系统输入输出数据，估计系统的状态卡尔曼滤波原理预测更新根据系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的状态值根据当前时刻的测量值，更新状态估计值更新过程考虑了系统噪声和测量噪声的影响卡尔曼滤波的推导状态方程测量方程12线性系统的状态方程描述了状线性系统的测量方程描述了测态变量随时间的变化规律状量值与状态变量之间的关系态方程是卡尔曼滤波的基础测量方程是卡尔曼滤波的重要组成部分噪声3卡尔曼滤波考虑了系统噪声和测量噪声的影响系统噪声和测量噪声通常假设为高斯白噪声卡尔曼滤波的应用导航系统卡尔曼滤波机器人卡尔曼滤波可金融卡尔曼滤波可以可以用于估计飞行器、以用于估计机器人的姿用于预测股票价格和汇船舶和车辆的位置和速态和位置率度非线性控制方法简介反步法反步法是一种递归设计方法，用于设计非线性系统的控制器反步法的基本思想是将系统分解为多个子系统，然后逐个子系统设计控制器输入-状态线性化输入-状态线性化是一种将非线性系统转换为线性系统的方法通过坐标变换和状态反馈，可以将非线性系统转换为线性系统，然后使用线性控制方法设计控制器滑模控制滑模控制是一种鲁棒控制方法，其特点是具有对参数变化和外部干扰不敏感的特性非线性控制方法是现代控制理论的重要组成部分非线性控制方法用于解决非线性系统的控制问题常用的非线性控制方法包括反步法、输入-状态线性化和滑模控制等反步法递归设计虚拟控制输入反步法是一种递归设计方法，用于设计非线性系统的控制器反反步法通过引入虚拟控制输入，将复杂的非线性系统分解为多个步法的基本思想是将系统分解为多个子系统，然后逐个子系统设简单的子系统然后，针对每个子系统设计控制器，使虚拟控制计控制器输入跟踪期望值输入状态线性化-坐标变换状态反馈12通过坐标变换，将非线性系统通过状态反馈，将非线性系统的状态变量转换为新的状态变的输入转换为新的输入新的量新的状态变量满足线性关输入与状态变量满足线性关系系线性系统3经过坐标变换和状态反馈后，非线性系统转换为线性系统可以利用线性控制理论设计控制器模型预测控制MPC模型预测控制（）的关键是系统模型需要考虑约束条件，MPC MPC MPC是一种先进的控制方法，的准确性和优化算法的如控制输入的幅值和速其特点是基于系统模型效率准确的系统模型率限制，以及状态变量预测未来行为，并优化可以提高预测精度，高的范围限制约束条件控制输入，以实现期望效的优化算法可以实现的引入使得能够更MPC的控制目标广泛实时控制好地适应实际系统MPC应用于工业控制、机器人和车辆控制等领域原理MPC预测模型用于预测系统未来行为的模型预测模型可以是线性模型或非线性模型优化目标用于描述控制目标的函数优化目标通常是一个二次型函数，包括状态变量和控制输入约束条件用于描述系统约束条件的限制约束条件包括控制输入的幅值和速率限制，以及状态变量的范围限制的原理是基于预测模型、优化目标和约束条件，求解最优控制输入MPC通过不断重复预测和优化过程，实现对系统的控制MPC应用MPC工业控制1机器人2车辆控制3模型预测控制广泛应用于工业控制、机器人和车辆控制等领域在工业控制中，可以用于优化化工过程和电力系统的运行在机MPC器人领域，可以用于实现机器人的路径规划和运动控制在车辆控制领域，可以用于实现车辆的自动驾驶和车道保持MPCMPC。