《微积分》定积分教学课件

微积分定积分教学欢迎来到定积分的精彩世界！本课程将带您深入理解定积分的概念、性质、计算方法以及在各个领域的广泛应用从黎曼和的定义开始，我们将逐步探索牛顿莱布尼茨公式，掌握各种积分技巧，并最终能够运用定积分解决几-何、物理、经济学等领域的实际问题准备好迎接挑战，一起探索微积分的奥秘吧！课程目标理解定积分的概念与应用掌握定积分的概念熟练运用定积分的计算方法应用定积分解决实际问题通过本课程的学习，您将能够清晰地理我们将系统地学习牛顿莱布尼茨公式、本课程将介绍定积分在几何、物理、经-解定积分的定义、几何意义以及与不定换元积分法、分部积分法等多种计算方济学等领域的应用，让您能够运用所学积分的联系，为后续的深入学习打下坚法，并通过大量的例题练习，让您能够知识解决平面图形面积、旋转体体积、实的基础熟练地解决各种定积分问题变力做功等实际问题预备知识导数，不定积分回顾导数不定积分12导数是微积分的基础，它描述不定积分是导数的逆运算，它了函数的变化率我们需要掌表示的是一个函数的原函数集握导数的定义、计算方法以及合我们需要掌握不定积分的常见函数的导数定义、计算方法以及常见函数的原函数导数与不定积分的关系3导数和不定积分是互逆的运算，它们之间有着紧密的联系理解这种关系对于学习定积分至关重要定积分的定义黎曼和分割将积分区间分割成若干个小区间[a,b]近似在每个小区间上选取一个代表点，用函数在该点的值乘以小区间的长度来近似计算该小区间的面积求和将所有小区间上的近似面积加起来，得到黎曼和取极限当小区间的最大长度趋近于零时，黎曼和的极限就是定积分的值分割，近似，求和，取极限分割Partition将积分区间分割成个小区间，每个小区间的长度可以不同，记为[a,b]nΔxᵢ近似Approximate在每个小区间[xᵢ₋₁,xᵢ]上选取一个点ξᵢ，用fξᵢ*Δxᵢ来近似表示该小区间上的面积求和Summation将所有小区间上的近似面积加起来，得到黎曼和Σfξᵢ*Δxᵢi=1ton取极限Limit当分割越来越细，即所有Δxᵢ的最大值趋近于0时，黎曼和的极限就是定积分∫fxdxfrom a tob定积分的几何意义面积负面积当函数在区间上小于等于时，fx[a,b]02定积分表示函数曲线与轴之间的面积的x正面积负值1当函数在区间上大于等于fx[a,b]0时，定积分表示函数曲线与轴之间的x总面积面积当函数在区间上既有正值又有fx[a,b]负值时，定积分表示函数曲线与轴之间3x的面积的代数和定积分的几何意义图示正面积区域负面积区域混合区域函数曲线位于轴上方，定积分值为正，表函数曲线位于轴下方，定积分值为负，表函数曲线既位于轴上方又位于轴下方，x x x x示该区域的面积示该区域面积的负值定积分值为各区域面积的代数和定积分的性质线性性质常数倍性质1，其中为常数∫kfxdx=k∫fxdx from a to b k和差性质2∫[fx±gx]dx=∫fxdx±∫gxdx froma to b线性性质是定积分的重要性质，它使得我们可以将复杂的积分问题分解成简单的积分问题来解决定积分的性质区间可加性∫区间分割如果，则acb∫fxdx froma to b=∫fxdx froma toc+∫fxdx fromc tob区间可加性意味着我们可以将一个积分区间分成若干个小区间，分别计算每个小区间上的积分，然后将结果加起来，得到整个积分区间上的积分值定积分的性质保号性如果函数fx在区间[a,b]上大于等于0，则定积分∫fxdxfrom a tob大于等于0；如果函数fx在区间[a,b]上小于等于0，则定积分∫fxdxfrom a tob小于等于0定积分的性质比较定理定理内容几何解释如果fx≥gx在[a,b]上成立，那么∫fxdx≥∫gxdx froma to可以理解为，如果一个函数始终在另一个函数之上，那么它所围这意味着积分的大小关系与函数本身的大小关系一致成的面积也更大适用于比较两个函数积分值的大小b定积分的性质估值定理估值定理公式若在上成立，则m≤fx≤M[a,b]mb-a≤∫fxdx≤Mb-a froma tob估值定理含义函数的定积分值介于其在积分区间上的最小值与最大值分别乘以区间长度的积之间主要用于估计积分值的范围定积分的计算牛顿莱布尼-茨公式公式内容1，其中是的一个原函∫fxdx=Fb-Fa froma tob Fx fx数，即Fx=fx公式意义2牛顿莱布尼茨公式建立了定积分与不定积分之间的联系，是-计算定积分的重要工具它将计算定积分转化为求原函数的问题牛顿莱布尼茨公式证明-设在上连续，是的一个原函数，则将分割成fx[a,b]Fx fxFx=fx[a,b]个小区间，根据微分中值定理，存在∈₋，使得₋nξᵢxᵢ₁,xᵢFxᵢ-Fxᵢ₁=Fξ₋对所有小区间求和，得到ᵢxᵢ-xᵢ₁=fξᵢΔxᵢFb-Fa=ΣfξᵢΔxᵢi=1to当趋于无穷大时，收敛于，因此n nΣfξᵢΔxᵢ∫fxdx froma tob∫fxdx=Fb-Fa牛顿莱布尼茨公式例题简单函数-例题解题步骤计算首先求出的一个原函数然后根据牛顿莱布尼茨∫x²dx from0to1x²Fx=x³/3-公式，∫x²dx=F1-F0=1³/3-0³/3=1/3from0to1牛顿莱布尼茨公式例题复-合函数例题1计算∫2x+1³dx from0to1解题步骤2求出的一个原函数运用牛顿莱布尼茨2x+1³Fx=2x+1⁴/8-公式，∫2x+1³dx=F1-F0=3⁴/8-1⁴/8=80/8=10from0to1牛顿莱布尼茨公式例题三-角函数例题计算∫sinx dx from0toπ解题步骤找到的原函数应用公式，sinx Fx=-cosx∫sinx dx=Fπ-F0=-cosπ--cos0=1+1=2from0toπ换元积分法第一换元法方法描述第一换元法（凑微分法）是指通过适当的变量代换，将复杂的积分转化为可以直接应用基本积分公式的形式适用情况当被积函数可以表示为时，可以使用第一换元法，fgxgx令，则，原积分变为u=gx du=gxdx∫fudu换元积分法第一换元法例题解题步骤例题1令，则，原积分变为u=x²du=2x dx计算∫x*cosx²dx21/2∫cosu du=1/2sinu+C=1/2sinx²+C换元积分法第二换元法方法描述1第二换元法是指通过建立的函数关系，将被积函数中的替换成关于的函数，从而简化x=φt xt积分计算适用情况当被积函数中含有、或等形式时，√a²-x²√a²+x²√x²-a²2可以使用三角换元法，令、或x=asint x=atant x=asect第二换元法通常涉及三角函数或反三角函数，在化简复杂积分表达式时非常有效换元积分法第二换元法例题∫计算实例计算∫√1-x²dx设，则，，原积分变为x=sint dx=cost dt√1-x²=cost∫cos²t dt=1/2∫1+cos2t dt=1/2t+1/2sin2t+C=1/2arcsinx+x√1-x²+C分部积分法公式推导分部积分法源于导数的乘法法则设u和v是关于x的函数，则uv=uv+uv对两边积分，得到∫uvdx=∫uvdx+∫uvdx，即uv=∫vdu+∫udv移项，得到∫udv=uv-∫vdu分部积分法例题1例题解题步骤计算设，，则，根据分部积分公式，∫x*eˣdx u=x dv=eˣdx du=dx v=eˣ∫x*eˣdx=x*eˣ-∫eˣdx=x*eˣ-eˣ+C分部积分法例题2题目详细步骤12计算设，，则，运用分部∫lnx dxu=lnx dv=dx du=1/x dx v=x积分公式，∫lnx dx=xlnx-∫x*1/x dx=xlnx-∫dx=xlnx-x+C分部积分法例题3例题演示解题指南计算设，，则，应用∫x²*sinx dxu=x²dv=sinx dxdu=2x dxv=-cosx分部积分，再次∫x²*sinx dx=-x²cosx+∫2x*cosx dx分部积分，设，，则，u=2x dv=cosx dxdu=2dxv=因此，原式sinx=-x²cosx+2xsinx-∫2sinx dx=-x²cosx+2xsinx+2cosx+C反常积分无穷区间上的积分定义计算方法当积分区间的上限或下限为无穷大时，我们称之为无穷区间上若∫fxdx froma to+∞存在，则定义∫fxdx froma to+∞=的反常积分limt→+∞∫fxdx froma to t；若limt→+∞∫fxdx froma存在，则称该反常积分收敛，否则称其发散to t反常积分无穷区间上的积分例题步骤解析示例原式1=limt→+∞∫1/x²dx from1tot=limt→+∞[-1/x]from1tot=计算∫1/x²dx from1to+∞2所以，该反limt→+∞-1/t+1=1常积分收敛，且值为1反常积分无界函数的积分定义介绍1如果函数在积分区间上的某一点无界，例如在处，我们称之为无界函数的反常积fx[a,b]x=c分如何求解若在处无界，则定义fx x=c∫fxdx froma tob=2⁻⁺limt→c∫fxdx froma tot+lims→c∫fxdx froms；若两个极限都存在，则称该反常积分收敛，否则称其发tob散这类积分需要特别注意无界点，并将其作为积分区间的分割点，分别求极限反常积分无界函数的积分例题∫实战演练计算∫1/√xdx from0to1由于在处无界，所以原式⁺1/√x x=0=limt→0∫1/√xdx from t to1=⁺⁺因此，该反常积分limt→0[2√x]fromtto1=limt→02-2√t=2收敛，且值为2定积分的应用平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积如果函数fx在区间[a,b]上大于等于0，则函数曲线与x轴之间的面积为∫fxdx froma tob；如果fx在[a,b]上小于等于0，则面积为-∫fxdxfrom a tob；如果要求两条曲线fx和gx之间的面积，其中fx≥gx，则面积为∫[fx-gx]dx froma tob平面图形面积例题简单图形例题解答计算直线与轴在区间上所围成的三角形的面积所求面积为结果y=x x[0,1]∫x dx from0to1=[x²/2]from0to1=1/2与几何方法计算的三角形面积一致平面图形面积例题复杂图形例题设计解题分析12求曲线与直线所围成的图形的面积先求出两条曲线的交点，解得和在区y=x²y=x x²=x x=0x=1间上，，因此所求面积为[0,1]x≥x²∫x-x²dx from0to1=[x²/2-x³/3]from0to1=1/2-1/3=1/6定积分的应用旋转体的体积绕x轴旋转如果函数在区间上连续，则由曲线、直线、以fx[a,b]y=fx x=a x=b及轴所围成的图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为x xV=π∫[fx]²dx froma tob绕y轴旋转如果函数在区间上连续，则由曲线、直线、x=gy[c,d]x=gy y=c y=以及轴所围成的图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为d yy V=π∫[gy]²dy fromc tod旋转体体积例题绕轴旋转x实例计算由曲线、直线、以及轴所围成的图形绕y=√x x=1x=4xx轴旋转一周所得到的旋转体的体积计算步骤所求体积为V=π∫√x²dx from1to4=π∫x dx from1to4=π[x²/2]from1to4=π8-1/2=15/2π旋转体体积例题绕轴旋转y求解方法例题1所求体积为V=π∫y²²dy from0to2由曲线，直线，及轴x=y²y=0y=2y2=π∫y⁴dy from0to2=π[y⁵/5]from围成的图形绕轴旋转一周的体积y0to2=32/5π定积分的应用曲线的弧长公式解析1如果函数在区间上具有连续导数，则曲线y=fx[a,b]y=fx在区间上的弧长为[a,b]L=∫√1+[fx]²dx froma tob这个公式基于勾股定理，将曲线分割成无数小段，每小段近似为直线，然后求和取极限曲线弧长例题参数方程L参数方程弧长若曲线由参数方程给出，弧长x=xt,y=yt,α≤t≤βL=∫√[xt]²+[yt]²dt fromαtoβ例如，计算圆的弧长x=rcost,y=rsint,0≤t≤2πxt=-rsint,yt=rcost L=∫√-rsint²+rcost²dt from0to2π=∫r dtfrom0to2π=2πr定积分的应用变力做功如果一个物体在变力Fx的作用下，从x=a移动到x=b，则变力所做的功为W=∫Fxdx fromatob变力做功问题是定积分在物理学中的重要应用，它可以用来计算弹簧的伸缩、气体的膨胀等过程中所做的功变力做功例题弹簧题目分析与解答一个弹簧在自然状态下的长度为，在外力作用下伸长到弹簧的伸长量根据胡克定10cm x=12cm-10cm=2cm=

0.02m时，需要做的功为多少？已知弹簧的劲度系数律，所求功为12cm k=Fx=kx=20x W=∫20x dx from0to

0.02=20N/m[10x²]from0to

0.02=10*

0.02²=

0.004J定积分的应用液体静压力基本概念计算公式12液体对浸没在其内的物体表面产生的压力称为液体静压如果物体表面垂直于液面，且深度为，则液体静压力h P=力∫ρgh dA，其中ρ为液体密度，g为重力加速度，dA为面积微元液体静压力例题案例分析计算一个垂直放置在水中的矩形闸门所受到的静压力闸门高，宽2m，顶部距离水面，水的密度，重力加速度3m1mρ=1000kg/m³g=

9.8m/s²解题思路设为闸门上一点到水面的距离，则静压力y P=∫ρgy*3dy from1to3=3ρg∫y dyfrom1to3=3ρg[y²/2]from1to3=3*1000*

9.8*9/2-1/2=117600N定积分的数值计算矩形法方法概述矩形法是一种简单的数值积分方法，它将积分区间分割成若干个小区间，然后用矩形的面积来近似计算每个小区间上的积分值公式，其中为每个小区间上的一个∫fxdx≈ΣfxᵢΔxfromatob xᵢ点，为小区间的长度可以选择左端点、右端点或中点作为Δxxᵢ定积分的数值计算梯形法梯形法则计算公式1梯形法使用梯形面积来近似定积分将∫fxdx≈Δx/2*[fx₀+2fx₁+分成个小区间，每个小区间上的[a,b]n22fx₂+...+2fx₁+fx]fromₙ₋ₙ面积近似为梯形面积atob，其中Δx=b-a/n定积分的数值计算辛普森法辛普森法则1辛普森法使用二次曲线来近似函数，从而更精确地计算定积分它比矩形法和梯形法更准确计算公式2∫fxdx≈Δx/3*[fx₀+4fx₁+2fx₂+4fx₃+...+，其中2fx₂+4fx₁+fx]fromatobΔx=b-ₙ₋ₙ₋ₙ，为偶数a/n n辛普森法能够提供更高的数值精度，特别适用于光滑函数的积分计算数值计算方法的误差分析Δx误差来源数值积分方法的误差主要来源于离散化过程，即用有限个点的值来近似整个函数误差大小与步长有关，越小，误差越小ΔxΔx矩形法的误差较大，梯形法和辛普森法的误差相对较小辛普森法通常具有更高的精度，但计算量也相对较大选择合适的数值积分方法需要综合考虑精度和计算量定积分的物理应用质心质心是物体质量的平均位置对于一维物体，质心的坐标为x̄=∫xρx dx/∫ρx dx，其中ρx为密度函数对于二维物体，质心的坐标为x̄=∫xρx,y dA/∫ρx,y dA，ȳ=∫yρx,y dA/∫ρx,y dA，其中ρx,y为密度函数，dA为面积微元定积分的物理应用转动惯量转动惯量定义计算公式转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，它反映了物体抵抗转动对于连续物体，转动惯量I=∫r²dm，其中r为物体上一点到转轴状态变化的程度的距离，为质量微元dm定积分的物理应用引力万有引力定律1两个物体之间的引力大小与它们的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比引力计算2对于连续物体，可以通过定积分来计算引力将物体分割成无数个质量微元，然后计算每个质量微元对另一个物体的引力，最后将所有引力加起来定积分在经济学中的应用消费者剩余概念解析消费者剩余是指消费者愿意为某种商品支付的价格与实际支付的价格之间的差额它反映了消费者从购买商品中获得的额外效用计算方法消费者剩余，其中为需求函数，为CS=∫Dqdq-p*q from0to qDq p市场价格，为市场数量q定积分在经济学中的应用生产者剩余生产者剩余定义生产者剩余是指生产者实际收到的价格与他们愿意接受的最低价格之间的差额它反映了生产者从销售商品中获得的额外利润计算公式生产者剩余，其中为供给PS=p*q-∫Sqdq from0to qSq函数，为市场价格，为市场数量p q定积分与概率论概率密度函数概率密度函数积分意义概率密度函数描述了连续随机变量在某1对于概率密度函数，在区间上fx[a,b]个取值附近的概率密度它是一个非负的积分表示随机变2∫fxdx fromatob函数，其在整个取值范围上的积分等于量取值在区间上的概率[a,b]1定积分与概率论期望值期望值定义1期望值是随机变量的平均取值，它反映了随机变量的中心位置计算公式2对于连续随机变量，期望值，EX=∫xfx dxfrom-∞to+∞其中为概率密度函数fx期望值可以用来预测随机变量的平均表现，在决策分析中具有重要作用定积分与概率论方差²σ方差概念方差是衡量随机变量离散程度的物理量，它反映了随机变量的取值相对于期望值的偏离程度对于连续随机变量，方差，其中为概率密度函数，为期望值方差越大，随机变量VarX=∫x-EX²fx dxfrom-∞to+∞fx EX的离散程度越高定积分总结概念回顾定积分是微积分中的核心概念之一，它起源于黎曼和，定义为黎曼和的极限定积分的几何意义是函数曲线与轴之间的面积的代数和定积分与不定积分之间通过牛顿莱布尼茨x-公式联系起来，使得我们可以通过求原函数来计算定积分定积分总结计算方法回顾基本公式换元积分法分部积分法数值计算方法掌握牛顿莱布尼茨公式，能熟悉第一换元法和第二换元掌握分部积分公式，能够解了解矩形法、梯形法和辛普-够直接计算一些简单函数的法，能够将被积函数进行适决一些无法直接应用基本公森法，能够在无法求得精确定积分当的变量代换，简化积分计式和换元积分法的定积分问解的情况下，通过数值方法算题近似计算定积分定积分总结应用回顾几何应用1计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长物理应用2计算变力做功、液体静压力、质心、转动惯量、引力经济学应用3计算消费者剩余、生产者剩余概率论应用4计算概率密度函数、期望值、方差习题基本计算题练习1练习2计算计算∫x³+2x+1dxfrom0to∫cos2xdxfrom0to2π/4练习3计算∫x*e^x²dxfrom0to1习题应用题练习1计算曲线与直线所围成的图形的面积y=x²y=4练习2一个弹簧在自然状态下的长度为，在外力作用下伸长到20cm时，需要做的功为多少？已知弹簧的劲度系数25cm k=10N/m拓展阅读多元函数积分三重积分三重积分是在三维区域上对三元函数进2行的积分，它可以用来计算物体的体二重积分积、物体的质量等1二重积分是在二维区域上对二元函数进行的积分，它可以用来计算曲面的面曲线积分与曲面积分积、物体的质量等曲线积分和曲面积分是在曲线和曲面上进行的积分，它们可以用来计算力场做3功、流量等拓展阅读特殊函数积分伽马函数1伽马函数是阶乘函数在复数域上的推广，它在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用贝塔函数2贝塔函数是与伽马函数密切相关的特殊函数，它在概率论、统计学和物理学中都有广泛的应用学习特殊函数的积分可以帮助我们解决一些复杂的积分问题，并加深对微积分的理解。