二次函数图像与性质课件

二次函数图像与性质本演示文稿旨在全面探讨二次函数及其图像的性质通过回顾一次函数和反比例函数，我们将逐步深入二次函数的定义、一般形式、图像特征以及各种应用本课件将结合例题分析，帮助学生掌握二次函数的核心概念和解题技巧，为中考做好充分准备课程导入回顾一次函数和反比例函数一次函数反比例函数一次函数是形如的函数，其中和是常数，反比例函数是形如的函数，其中是常数，其图y=kx+b k b k≠0y=k/x kk≠0其图像是一条直线，决定了直线的斜率，决定了直线与轴像是双曲线，决定了双曲线的位置和形状kby k的交点什么是二次函数？定义解析二次函数是指形如的函数，其中、和是常数，且y=ax²+bx+c a b c a≠0二次函数的关键特征在于自变量的最高次数为系数决定了抛物线的开x2a口方向和大小，和则影响抛物线的位置b c二次函数在数学和实际应用中都具有重要地位，例如描述抛物运动、计算最大最小值等理解二次函数的定义是掌握其性质的基础/二次函数的一般形式y=ax²+bx+c a≠0一般形式系数的意义12二次函数的一般形式为决定了抛物线的开口方向和y=a，其中、、大小，和影响抛物线的位ax²+bx+c a b cb c是常数，且置a≠0重要条件3是二次函数成立的必要条件，若，则函数变为一次函数a≠0a=0二次函数的图像抛物线二次函数的图像是一种特殊的曲线，被称为抛物线抛物线具有对称性，其形状类似于字母或倒抛物线的开口方向由二次项系数决定，时U Ua a0开口向上，时开口向下a0抛物线在实际生活中有很多应用，例如桥梁的拱形结构、喷泉的水流轨迹等掌握抛物线的特征对于理解和应用二次函数至关重要抛物线的开口方向由决定a当二次项系数时，抛物线开口向上这意味着函数具有最小当二次项系数时，抛物线开口向下这意味着函数具有最大a0a0值，且在顶点处取得值，且在顶点处取得时，开口向上a0当二次函数中的系数大于时，抛物线的开口向上这意味着随着值的增大或减小，值最终都会趋向于正无穷y=ax²+bx+c a0x y大此时，函数存在最小值，该最小值在抛物线的顶点处取得开口向上的抛物线常用于模拟成本曲线、生产函数等，其最小值表示最低成本或最低投入时，开口向下a0当二次函数中的系数小于时，抛物线的开口向下这意y=ax²+bx+c a0味着随着值的增大或减小，值最终都会趋向于负无穷大此时，函数存在x y最大值，该最大值在抛物线的顶点处取得开口向下的抛物线常用于模拟利润曲线、收益函数等，其最大值表示最大利润或最大收益抛物线的对称轴抛物线具有高度的对称性，其对称轴是一条通过顶点且垂直于轴的直线对称轴可以将抛物线分成完全相同的两部分对称轴的位x置由二次函数的系数和决定a b对称轴在解决二次函数问题中具有重要作用，例如求顶点坐标、判断函数增减性等对称轴的方程x=-b/2a对称轴方程顶点坐标重要应用二次函数的对称轴方对称轴的坐标与顶点坐标的坐标利用对称轴方程可以快速确定抛物线y=ax²+bx+c x x程为该公式表明对称轴的相同，均为因此，求出对称的对称性和顶点位置，简化二次函数x=-b/2a-b/2a位置仅由系数和决定，与常数轴方程即可确定顶点横坐标问题的求解过程ab c无关抛物线的顶点坐标抛物线的顶点是抛物线上的最高点（当时）或最低点（当时）a0a0顶点坐标是确定抛物线位置和性质的重要参数顶点坐标可以通过公式计算或通过配方法求得顶点坐标在解决实际问题中具有广泛应用，例如求最大利润、最小成本等顶点坐标公式-b/2a,4ac-b²/4a顶点坐标公式1二次函数的顶点坐标为y=ax²+bx+c-b/2a,4ac-b²/4a坐标x2顶点横坐标为，与对称轴方程相同-b/2a坐标y3顶点纵坐标为，表示函数的最大值或最小值4ac-b²/4a例题求二次函数y=x²-2x+的对称轴和顶点坐标3对于二次函数，其中，，y=x²-2x+3a=1b=-2c=3对称轴方程为x=-b/2a=--2/2*1=1顶点坐标为-b/2a,4ac-b²/4a=1,4*1*3--2²/4*1=1,2抛物线的平移抛物线的平移是指将抛物线沿着坐标轴方向移动，而不改变其形状和大小抛物线的平移可以通过改变二次函数的表达式来实现平移分为左右平移和上下平移掌握抛物线的平移规律可以帮助我们更好地理解和应用二次函数左右平移y=ax-h²+kh02当时，抛物线向右平移个单h0h位平移规律1将抛物线左右平移个单位，y=ax²h得到新的函数表达式y=ax-h²h0当时，抛物线向左平移个单h0|h|3位上下平移y=ax²+k平移规律1将抛物线上下平移个单位，得到新的函数表达式y=ax²k y=ax²+kk02当时，抛物线向上平移个单位k0kk03当时，抛物线向下平移个单位k0|k|例题将向上平移个单位，再向右平移个单y=x²21位首先，将向上平移个单位，得到y=x²2y=x²+2然后，将向右平移个单位，得到y=x²+21y=x-1²+2因此，最终的函数表达式为y=x-1²+2二次函数与轴的交点x交点意义1二次函数与轴的交点是指抛物线与轴相交的点交点的坐标为，其坐标是方程x x y0x ax²+bx+c=0的根交点个数2二次函数与轴的交点个数取决于判别式的值xΔ=b²-4ac重要应用3求二次函数与轴的交点是解决许多实际问题的关键，例如求x方程的根、判断函数是否有零点等交点个数的判断判别式Δ=b²-4ac有两个交点Δ0有一个交点Δ=0没有交点Δ0时，有两个交点Δ0当判别式大于时，二次函数与轴有两个不同Δ=b²-4ac0y=ax²+bx+c x的交点这意味着方程有两个不相等的实根ax²+bx+c=0这两个交点的坐标可以通过求根公式±计算得到x x=-b√Δ/2a时，有一个交点Δ=0当判别式等于时，二次函数与轴有一个交Δ=b²-4ac0y=ax²+bx+c x点这意味着方程有两个相等的实根，也称为重根ax²+bx+c=0该交点的坐标可以通过公式计算得到x x=-b/2a时，没有交点Δ0当判别式小于时，二次函数与轴没有交点Δ=b²-4ac0y=ax²+bx+c x这意味着方程没有实根，只有虚根ax²+bx+c=0在这种情况下，抛物线完全位于轴上方（当时）或下方（当x a0a0时）例题求二次函数与y=x²+2x+1轴的交点x01判别式交点个数对于二次函数y=x²+2x+1，其中a=1，由于Δ=0，因此二次函数与x轴有一个b=2，c=1判别式Δ=b²-4ac=2²-4交点*1*1=0-1交点坐标交点的坐标为xx=-b/2a=-2/2*1因此，交点坐标为=-1-1,0二次函数的最大值和最小值最大值当时，二次函数存在最大值，该最大值在抛物线的顶点a0处取得最小值当时，二次函数存在最小值，该最小值在抛物线的顶点a0处取得顶点坐标最大值最小值等于顶点纵坐标，可以通过顶点坐标公式计算/得到时，有最小值a0当二次函数的系数大于时，抛物线开口向上，函数存在y=ax²+bx+c a0最小值该最小值在抛物线的顶点处取得，其值为顶点纵坐标4ac-b²/4a最小值表示函数在所有值中能够达到的最小值x y在实际问题中，求最小值常用于优化问题，例如求最小成本、最短距离等时，有最大值a0当二次函数的系数小于时，抛物线开口向下，函数存在y=ax²+bx+ca0最大值该最大值在抛物线的顶点处取得，其值为顶点纵坐标4ac-b²/4a最大值表示函数在所有值中能够达到的最大值x y在实际问题中，求最大值常用于优化问题，例如求最大利润、最高产量等最大值最小值顶点纵坐标/顶点纵坐标二次函数的最大值或最小值等于抛物线的顶点纵坐标通过求出顶点纵坐标，即可确定函数的最大值或最小值例题求二次函数的最大值y=-x²+4x-1对于二次函数y=-x²+4x-1，其中a=-1，b=4，c=-1由于a0，因此函数存在最大值顶点纵坐标为4ac-b²/4a=4*-1*-1-4²/4*-1=3因此，二次函数的最大值为3二次函数的性质总结开口方向由决定，开口向上，开口向下a a0a0对称轴方程为x=-b/2a顶点坐标公式为-b/2a,4ac-b²/4a最值有最小值，有最大值，均为顶点纵坐标a0a0开口方向、对称轴、顶点、最值开口方向1开口向上，开口向下a0a0对称轴2x=-b/2a顶点坐标3-b/2a,4ac-b²/4a最值4顶点纵坐标利用图像解决实际问题喷泉高度桥梁设计商品利润利用抛物线模拟喷泉水利用抛物线设计桥梁拱利用抛物线模拟商品利流轨迹，求解最大高形结构，保证稳定性和润与售价关系，求解最度美观性大利润喷泉高度问题喷泉喷出的水流轨迹可以近似看作抛物线通过建立适当的坐标系，可以利用二次函数来描述水流轨迹利用二次函数的性质，可以求解水流的最大高度和射程例如，假设水流轨迹满足，则水流的最大高度为顶点纵坐标，可以通过顶点坐标公式计算得到y=-

0.1x²+x桥梁拱形设计问题拱形结构设计要点桥梁的拱形结构可以利用抛物线来设计，保证桥梁的稳定性和承在设计桥梁拱形结构时，需要考虑桥梁的跨度、高度、材料等因重能力通过调整二次函数的系数，可以改变拱形的形状和大素，以及车辆的荷载情况，确保桥梁的安全可靠小商品利润最大化问题利润模型商品利润与售价之间通常存在一定的函数关系，可以利用二次函数来模拟利润函数通常是关于售价的二次函数，其最大值表示最大利润求解方法通过求利润函数的顶点坐标，可以确定使利润最大化的售价需要注意的是，售价不能过高或过低，需要考虑市场需求和成本因素例题某商品售价与销量关系，求利润最大化假设某商品售价为元时，销量为件，成本为元件则利润函数x100-x20/为该函数为关于的二次函y=x-20*100-x=-x²+120x-2000x数，其最大值在顶点处取得顶点横坐标为x=-b/2a=-120/2*-1=因此，当售价为元时，利润最大，最大利润为6060y=-60²+120*60元-2000=1600二次函数的应用建立数学模型理解题意确定变量12仔细阅读题目，明确已知条件选择合适的自变量和因变量，和所求问题并明确它们的含义和单位建立函数关系式3根据题意，建立自变量和因变量之间的函数关系式，通常是二次函数建模步骤理解题意，确定变量，建立函数关系式理解题意1明确问题的背景、目标和约束条件确定变量2选择合适的自变量和因变量，并明确它们的取值范围建立函数关系式3根据问题的实际情况，建立自变量和因变量之间的函数关系式，并进行验证和修正例题农田灌溉问题问题描述建模分析某农田需要进行灌溉，灌溉水量与农作物产量之间存在一定的函可以利用二次函数来模拟灌溉水量与农作物产量之间的关系，假数关系已知灌溉水量过少或过多都会影响农作物产量，求最佳设产量函数为，其中表示灌溉水量通过求y=-ax²+bx+c x灌溉水量产量函数的顶点坐标，可以确定使产量最大化的灌溉水量二次函数的综合应用与一次函数结合与不等式结合求解二次函数与一次函数的交点问题求解二次函数与不等式的关系问题与一次函数结合图像关系2观察二次函数和一次函数的图像，分析它们之间的位置关系交点问题1求解二次函数与一次函数的交点，即求解方程组应用举例例如，判断二次函数与一次函数是否有3交点，或求解交点坐标与不等式结合不等式求解1利用二次函数的图像和性质，求解不等式区间分析2分析二次函数在不同区间内的取值情况，确定不等式的解集应用举例3例如，求解二次函数大于或小于的的取值范围00x例题求二次函数与一次函数交点问题已知二次函数，一次函数，求它们的交点坐标y=x²-2x+1y=x-1解联立两个函数表达式，得到方程，化简得到x²-2x+1=x-1x²-3x+2=解方程得到或将代入一次函数表达式，得到；将0x=1x=2x=1y=0x代入一次函数表达式，得到因此，两个函数的交点坐标为和=2y=11,02,1二次函数的图像变换伸缩变换对称变换改变二次函数的系数，使图像变宽或变窄将二次函数的图像关于轴或轴对称x y伸缩变换值越大，图像越窄；值越小，y=ax²a a图像越宽对称变换关于轴对称关于轴对称x y将关于轴对称，得到将关于轴对称，得到y=fx xy=-fx y=fx y y=f-x例题将关于轴对称y=x²x1原函数原函数为y=x²-1对称函数将原函数关于轴对称，得到xy=-x²二次函数的参数影响的影响a决定开口方向和大小的影响b影响对称轴的位置的影响c决定与轴的交点y对图像的影响a,b,c的影响的影响的影响abc的绝对值越大，抛物线越窄；的绝对值影响对称轴的位置，从而影响抛物线的决定抛物线与轴的交点，即轴截a abcyy越小，抛物线越宽整体位置距例题改变的值，观察抛物线变化ax y=

0.5x^2y=x^2y=2x^2通过改变a的值，可以观察到抛物线的开口大小发生变化a的绝对值越大，抛物线越窄；a的绝对值越小，抛物线越宽当a为

0.5时，抛物线较宽；当a为1时，抛物线宽度适中；当a为2时，抛物线较窄二次函数图像的绘制描点法顶点式通过计算一系列点的坐标，将它们连接起来，得到抛物线图像利用顶点式，确定顶点坐标和开口方向，快速绘y=ax-h²+k制抛物线图像利用描点法步骤选取一系列值；计算对应的值；将坐标点在坐标系

1.x

2.y

3.1中标出；连接这些点，得到抛物线图像

4.利用顶点式步骤1将二次函数转化为顶点式；确定顶点坐标和

1.y=ax-h²+k

2.h,k开口方向由决定；根据顶点和开口方向，大致绘制抛物线图a

3.像；可选取少量点进行验证和修正

4.例题绘制的图像y=x²-4x+3转化为顶点式1y=x²-4x+3=x-2²-1确定顶点2顶点坐标为2,-1开口方向3，开口向上a=10绘制图像4根据顶点和开口方向，大致绘制抛物线图像，并可选取少量点进行验证和修正二次函数的学习技巧多做练习理解概念总结归纳通过大量的练习，巩固深入理解二次函数的概对所学知识进行总结归知识，熟练掌握各种题念和性质，灵活运用纳，形成知识体系型多做练习，巩固知识练习的重要性练习的技巧熟能生巧，通过大量的练习，可以巩固所学知识，加深对二次函选择合适的练习题，由易到难，循序渐进做完练习后，及时检数的理解查和总结，找出错误原因，并进行订正理解概念，灵活运用概念理解1深入理解二次函数的定义、性质、图像等概念灵活运用2能够根据具体问题，灵活运用二次函数的性质和方法，解决实际问题总结归纳，形成体系知识梳理1对所学知识进行梳理，形成知识框架体系构建2将各个知识点联系起来，形成完整的知识体系常见题型分析求对称轴和顶点坐标利用对称轴方程和顶点坐标公式求解求与轴的交点利用判别式判断交点个数，并求x解方程的根ax²+bx+c=0求最大值和最小值判断开口方向，并求解顶点纵坐标解决实际问题建立数学模型，利用二次函数的性质求解二次函数综合题解题策略分析题意明确已知条件和所求问题，确定解题思路灵活运用综合运用二次函数的性质、图像、公式等，灵活解题注意细节注意计算的准确性，以及答案的规范性中考真题分析分析历年中考真题中关于二次函数的考点和题型，总结解题经验，提高应试能力通过对中考真题的分析，可以更好地了解中考的命题趋势和难度，为中考做好充分准备。