基本几何图形的性质与判定课件

基本几何图形的性质与判定本演示文稿旨在全面探讨基本几何图形的性质与判定我们将从几何学的基石——点、线、面入手，逐步深入研究各种几何图形的定义、性质、判定方法及其相互关系通过本课件的学习，期望能够帮助大家建立扎实的几何基础，提高空间想象能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等几何和解决实际问题打下坚实的基础几何学的基石点、线、面点线面点是几何学中最基本的概念，它没有线是由无数个点组成的集合它可以面是由无数条线组成的集合它可以大小，没有面积，只有位置点是构是直线，也可以是曲线直线向两方是平面，也可以是曲面平面向四方成所有几何图形的基础在坐标系无限延伸，没有端点线是构成平面无限延伸，没有边界面是构成立体中，点可以用坐标来精确表示图形和立体图形的重要元素图形的表面点的性质与表示点的性质点的表示12点没有大小，只有位置它是在平面直角坐标系中，点可以构成几何图形的基本元素两用坐标x,y来表示在空间个点确定一条直线直角坐标系中，点可以用坐标x,y,z来表示点的重要性3点是所有几何图形的基础，理解点的性质对于学习几何至关重要直线的定义与特征直线的定义直线的特征直线是两点之间最短的距直线没有曲率，是连接两点离它向两方无限延伸，没之间最短的路径在平面有端点直线可以用两个点上，两条直线的位置关系有来确定平行、相交和重合三种情况直线的重要性直线是构成许多几何图形的重要组成部分，例如三角形、四边形等理解直线的性质对于学习几何至关重要直线的表示方法代数表示几何表示向量表示在平面直角坐标系中，直线可以用一次方直线可以用两个点来确定，例如直线AB直线可以用一个点和一个方向向量来确程Ax+By+C=0来表示其中A,B,C为常也可以用一个点和一个斜率来确定，例如定例如经过点Px0,y0，方向向量为v的数，且A和B不能同时为零经过点Px0,y0，斜率为k的直线直线线段的概念与度量线段的概念1线段是直线上两点之间的一段，它有两个端点线段可以用它的两个端点来表示，例如线段AB线段的度量2线段的长度可以用尺子或者其他测量工具来测量线段的长度是两端点之间的距离线段的长度是一个非负实数线段的中点3线段的中点是线段上到两端点距离相等的点线段的中点将线段分成两条长度相等的线段射线方向与起始点射线的定义射线是直线上从一个点出发，向一个方向无限延伸的部分射线有一个端点，没有另一个端点射线的表示射线可以用它的端点和一个方向上的点来表示，例如射线OA其中O是端点，A是射线上的另一点射线的方向射线的方向由端点和射线上的另一点确定射线的方向可以用向量来表示平面的基本性质平面的性质2平面上任意两点之间的连线都在平面平面的定义上平面可以无限延伸平面可以用一个希腊字母来表示，例如平面α1平面是一个无限延伸的二维曲面它没有厚度，只有长度和宽度平平面的应用面可以用三个不共线的点来确定平面是构成许多几何图形的基础，例3如正方体、长方体等平面在建筑、工程设计等领域有广泛的应用平面上的点与线点在平面上1点可以在平面内，也可以在平面外如果点在平面内，则称点在平面上线在平面上2直线可以在平面内，也可以与平面相交如果直线在平面内，则称直线在平面上线与平面的关系3如果直线与平面相交，则交点称为直线与平面的交点如果直线与平面平行，则直线与平面没有交点角的定义与分类角的定义1角是由两条有公共端点的射线组成的图形这两条射线叫做角的边，公共端点叫做角的顶点角的表示2角可以用角的顶点、角的两条边上的点或者一个希腊字母来表示例如∠AOB、∠α角的单位3角的度量单位是度、分、秒1度等于60分，1分等于60秒锐角、直角、钝角锐角直角钝角小于90°的角叫做锐角锐角是小于直等于90°的角叫做直角直角是两条互大于90°且小于180°的角叫做钝角钝角的角锐角在日常生活中很常见，相垂直的直线所形成的角直角在建角是大于直角且小于平角的角钝角例如剪刀的开合角度筑、工程设计等领域有广泛的应用在一些特殊的设计中也会用到平角与周角平角1等于180°的角叫做平角平角是一条直线所形成的角平角在测量角度、确定方向等方面有重要的应用周角2等于360°的角叫做周角周角是绕一个点旋转一周所形成的角周角在描述旋转、圆等概念时有重要的作用角的度量单位度、分、秒度的定义分的定义将圆周分成360等份，每一份所1度等于60分，记作1°=60分对的圆心角叫做1度，记作1°是比度更小的角度单位，用于更度是角的度量单位中最常用的单精确地表示角度位秒的定义1分等于60秒，记作1=60秒是最小的角度单位，用于极其精确地表示角度，例如在天文观测中互余角与互补角互余角互补角如果两个角的和等于90°，那么这两如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为余角余角是相对而言的，个角互为补角补角也是相对而言不能单独说一个角是余角的，不能单独说一个角是补角对顶角与邻补角对顶角1两条直线相交后，只有一个公共顶点且两边互为反向延长线的两个角，叫做对顶角对顶角相等邻补角2两条直线相交后，有公共顶点和一条公共边，且两条不共边的角互为邻补角邻补角互补，即两个角的和等于180°平行线的定义与判定平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线平行线可以用符号//来表示，例如直线a//直线b平行线的判定平行线的判定方法有很多种，例如同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行平行公理平行公理的重要性平行公理的内容平行公理是研究平行线的重要基1经过直线外一点，有且只有一条直础，它确定了平行线的存在性和唯2线与这条直线平行平行公理是欧一性基于平行公理，可以推导出几里得几何中的一个基本公理许多关于平行线的性质和判定定理同位角、内错角、同旁内角同位角1两条直线被第三条直线所截，位置相同的角叫做同位角同位角在截线的同侧，位于被截线的同侧内错角2两条直线被第三条直线所截，位于两条直线之间，截线的两侧的角叫做内错角同旁内角3两条直线被第三条直线所截，位于两条直线之间，截线的同侧的角叫做同旁内角平行线的性质定理性质定理11两直线平行，同位角相等这是平行线最基本的性质，也是证明其他性质定理的基础性质定理22两直线平行，内错角相等这个性质定理可以用来证明角的相等关系性质定理33两直线平行，同旁内角互补这个性质定理可以用来证明角的互补关系平行线的判定定理判定定理判定定理判定定理123同位角相等，两直线平行这是判定内错角相等，两直线平行这个判定同旁内角互补，两直线平行这个判两直线平行的最基本的方法定理可以用来证明两直线平行定定理也可以用来证明两直线平行垂线的定义与性质垂线的定义1当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足垂线的性质2过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短点到直线的距离距离的定义距离的计算直线外一点到这条直线的垂线段点到直线的距离可以用点到直线的长度，叫做点到直线的距离的距离公式来计算该公式涉及点到直线的距离是一个非负实到点的坐标和直线的方程数距离的应用点到直线的距离在解决实际问题中有广泛的应用，例如计算最短路径、优化布局等垂线段最短原理证明连接直线外一点与直线上各点的所有可以使用勾股定理来证明垂线段最线段中，垂线段最短这个性质是几短通过比较斜边和直角边的长度，何学中的一个基本原理可以得出垂线段最短的结论三角形的定义与分类三角形的定义1由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形有三个顶点、三条边和三个内角三角形的分类2三角形可以按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形也可以按照边的关系分为等腰三角形和等边三角形锐角三角形、直角三角形、钝角三角形锐角三角形三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形锐角三角形的三个内角都小于90°直角三角形有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形直角三角形中，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边钝角三角形有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形钝角三角形中，钝角所对的边是最长的边等腰三角形的性质性质12等腰三角形的两个底角相等这个性定义质可以通过证明三角形全等来得出1有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一性质2条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角等腰三角形的顶角平分线、底边上的3中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”等边三角形的性质定义1三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形是一种特殊的等腰三角形性质12等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°性质23等边三角形的各边上的中线、高和角平分线都重合，且都等于三角形的边长的√3/2三角形内角和定理定理内容1三角形的三个内角的和等于180°这个定理是几何学中的一个基本定理定理证明2可以通过辅助线将三角形的三个内角转化为一个平角，从而证明三角形的内角和等于180°定理应用3三角形内角和定理可以用来计算三角形的内角，也可以用来证明其他几何定理三角形外角性质外角的定义外角的性质三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外外角每个顶点都有两个外角，这两个外角是对顶角，相角大于任何一个与它不相邻的内角等全等三角形的判定方法全等三角形的定义1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角相等判定方法2全等三角形的判定方法有边边边SSS、边角边SAS、角边角ASA、角角边AAS和直角三角形全等的判定HL边边边SSS定理内容三边对应相等的两个三角形全等这是判定三角形全等的一种基本方法定理应用已知两个三角形的三边长，就可以判断这两个三角形是否全等该定理在实际问题中也有广泛的应用边角边SAS定理内容定理应用两边及其夹角对应相等的两个三角形已知两个三角形的两边长和夹角的大全等这是判定三角形全等的另一种小，就可以判断这两个三角形是否全常用方法等在实际问题中，也经常用到该定理角边角ASA定理内容1两角及其夹边对应相等的两个三角形全等这是判定三角形全等的一种方法定理应用2已知两个三角形的两个角和夹边的长度，就可以判断这两个三角形是否全等这个定理在解决某些几何问题时非常有效角角边AAS定理内容定理应用两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等这是判定三已知两个三角形的两个角和一个角的对边的长度，就可以判断角形全等的一种方法这两个三角形是否全等在一些特定的几何问题中，AAS定理非常有用直角三角形全等的判定HL定理应用HL定理内容HL已知两个直角三角形的斜边和一条1斜边和一条直角边对应相等的两个直角边的长度，就可以判断这两个2直角三角形全等HL定理是判定直直角三角形是否全等HL定理在解角三角形全等的一种特殊方法决与直角三角形相关的问题时非常方便相似三角形的定义与性质相似三角形的定义1对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形的形状相同，但大小可以不同相似三角形的性质2相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方相似三角形的判定方法判定方法11两角对应相等的两个三角形相似这是判定三角形相似的最常用的方法之一判定方法22两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似这个方法需要同时满足边的比例关系和夹角的相等关系判定方法33三边对应成比例的两个三角形相似这个方法只需要判断边的比例关系，不需要考虑角的关系平行于三角形一边的直线定理内容定理应用平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的对应线段成这个定理可以用来计算线段的长度，也可以用来证明线段之比例这个定理是相似三角形的一个重要应用间的比例关系在解决几何问题时，经常用到这个定理相似三角形的面积比面积比公式1相似三角形的面积比等于相似比的平方相似比是指相似三角形对应边的比值公式应用2已知两个相似三角形的相似比，就可以计算它们的面积比这个公式在解决实际问题时非常有用勾股定理定理内容定理证明直角三角形两直角边的平方勾股定理有多种证明方法，和等于斜边的平方即a²+例如面积法、拼图法等不b²=c²，其中a和b是直角同的证明方法体现了数学思边，c是斜边维的多样性定理应用勾股定理在解决直角三角形相关的问题中非常有用，例如计算边长、判断三角形的形状等在建筑、工程设计等领域也有广泛的应用勾股定理的逆定理定理内容定理应用如果三角形两边的平方和等于第三边勾股定理的逆定理可以用来判断一个的平方，那么这个三角形是直角三角三角形是否是直角三角形在实际问形即如果a²+b²=c²，那么这个三题中，经常需要判断一个角是否是直角形是直角三角形，c是斜边角，这时就可以用到勾股定理的逆定理四边形的定义与分类四边形的定义1由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接所组成的封闭图形叫做四边形四边形有四个顶点、四条边和四边形的分类2四个内角四边形可以分为平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等不同的四边形具有不同的性质和特征平行四边形的性质定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形性质1平行四边形的对边平行且相等这个性质是平行四边形最基本的性质之一性质2平行四边形的对角相等这个性质可以用来计算平行四边形的内角性质3平行四边形的对角线互相平分这个性质可以用来证明线段的相等关系平行四边形的判定判定方法2判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形这个方法可以用来证明四边形两组对边分别平行的四边形是平行四2是平行四边形边形这个方法是根据定义来判定1判定方法的3一组对边平行且相等的四边形是平3行四边形这个方法结合了平行和判定方法5相等的条件5判定方法4对角线互相平分的四边形是平行四边4形这个方法可以通过对角线的关系两组对角分别相等的四边形是平行四来判定边形这个方法可以通过角的相等关系来判定矩形的性质定义1有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形是一种特殊的平行四边形性质12矩形的四个角都是直角这是矩形区别于其他平行四边形的重要特征性质23矩形的对角线相等且互相平分这个性质可以用来计算矩形的对角线的长度矩形的判定判定方法11有一个角是直角的平行四边形是矩形这个方法是根据定义来判定的判定方法22对角线相等的平行四边形是矩形这个方法可以通过对角线的关系来判定判定方法33有三个角是直角的四边形是矩形这个方法可以通过角的数量关系来判定菱形的性质定义性质性质性质123有一组邻边相等的平行四菱形的四条边都相等这菱形的对角线互相垂直平菱形的对角线平分一组对边形叫做菱形菱形是一是菱形区别于其他平行四分这个性质可以用来计角这个性质可以用来计种特殊的平行四边形边形的重要特征算菱形的面积算菱形的内角菱形的判定判定方法判定方法判定方法123123有一组邻边相等的平行四边形是菱对角线互相垂直平分的四边形是菱四条边都相等的四边形是菱形这形这个方法是根据定义来判定形这个方法可以通过对角线的关个方法可以通过边的数量关系来判的系来判定定正方形的性质定义性质1有一组邻边相等且有一个角是直正方形的四个角都是直角，四条角的平行四边形叫做正方形正边都相等这是正方形最基本的方形是一种特殊的矩形，也是一性质种特殊的菱形性质2正方形的对角线相等、互相垂直平分，且平分每一组对角正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形正方形的判定判定方法判定方法判定方法123有一组邻边相等的矩有一个角是直角的菱对角线相等且互相垂形是正方形这个方形是正方形这个方直平分的四边形是正法是在矩形的基础上法是在菱形的基础上方形这个方法直接增加邻边相等的条增加一个角是直角的通过对角线的关系来件条件判定梯形的定义与分类梯形的定义1一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形平行的两边叫做梯形的底，较长的底叫做下底，较短的底叫做上底，不平行的两边叫做腰梯形的分类2梯形可以分为一般梯形、等腰梯形和直角梯形等腰梯形的两腰相等，直角梯形有一个角是直角等腰梯形的性质定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形是一种特殊的梯形性质1等腰梯形的同一底上的两个角相等这个性质可以通过证明三角形全等来得出性质2等腰梯形的对角线相等这个性质可以用来计算等腰梯形的对角线的长度圆的定义与基本要素圆的定义圆的基本要素1平面上到定点的距离等于定长的所圆心、半径、直径、弧、弦是圆的2有点组成的图形叫做圆定点叫做基本要素理解这些基本要素是学圆心，定长叫做半径习圆的重要基础圆心、半径、直径圆心1圆心是圆的中心点，到圆上任意一点的距离都相等圆心通常用字母O表示半径2半径是连接圆心和圆上任意一点的线段半径的长度就是圆的半径半径通常用字母r表示直径3直径是经过圆心且两端都在圆上的线段直径的长度是半径的两倍直径通常用字母d表示弧、弦、圆心角弧1圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧弧分为优弧、劣弧和半圆三种大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，等于半圆的弧叫做半圆弦2连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦圆心角3顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫做圆心角圆心角的度数等于它所对的弧的度数圆周角定理定理内容定理应用圆周角等于它所对的弧的度数的一半圆周角是指顶点在圆圆周角定理可以用来计算圆周角的度数，也可以用来证明其上，角的两边与圆相交的角他几何定理例如，同弧所对的圆周角相等圆内接四边形定义1如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形圆叫做这个四边形的外接圆性质2圆内接四边形的对角互补，即相对的两个角的和等于180°这个性质是解决圆内接四边形相关问题的重要依据切线的判定与性质切线的定义切线的判定与圆只有一个公共点的直线经过半径外端且垂直于这条叫做圆的切线这个公共点半径的直线是圆的切线这叫做切点个判定方法是证明一条直线是圆的切线的常用方法切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径这个性质是解决与切线相关问题的重要依据弦切角定理定理内容定理应用弦切角等于它所夹的弧所对的圆周弦切角定理可以用来计算弦切角的度角弦切角是指顶点在圆上，一边是数，也可以用来证明其他几何定理圆的切线，另一边是圆的弦的角这个定理是解决与切线和弦相关问题的重要工具正多边形的定义与性质正多边形的定义1各边都相等，各角都相等的多边形叫做正多边形正多边形是一种特殊的正多边形正多边形的性质2正多边形的中心角相等，每个内角都相等，每个外角都相等正多边形可以内接于圆，也可以外切于圆。