《二次函数图像复习课件》

二次函数图像复习课件欢迎来到二次函数图像复习课件！本课件旨在帮助大家系统回顾二次函数图像的相关知识点，掌握其基本特征、表达式、图像变换以及在实际问题中的应用通过本课件的学习，相信大家能够更加深入地理解二次函数，提升解题能力，并在未来的学习和工作中灵活运用课程目标知识目标能力目标素养目标理解二次函数的定义、一般形式、顶点能够根据题目条件灵活选择二次函数的培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学式和交点式；掌握抛物线的基本特征，表达式；能够准确画出二次函数图像，建模和直观想象等核心素养；提升学生如开口方向、对称轴、顶点坐标等；熟并能根据图像分析函数性质；能够运用的解题能力、分析问题能力和创新思维悉判别式的作用，并能根据的值判二次函数解决实际问题，如物理学中的能力；激发学生对数学学习的兴趣，培ΔΔ断图像与轴的交点情况；掌握二次函抛物线运动、经济学中的成本函数、工养学生良好的学习习惯和科学精神x数的最值求法以及图像的平移、拉伸、程学中的桥梁设计等；能够熟练运用配压缩和对称变换方法、求根公式和韦达定理解决二次方程二次函数的定义定义关键点12形如自变量的最高次数是；y=ax²+bx+c a,b,x2是常数，的函数叫，保证是二次函数；c a≠0a≠0a,做二次函数是常数，不能含有未知b,c数注意3二次函数的定义域是全体实数，值域取决于的正负和判别式的aΔ值二次函数的一般形式表达式y=ax²+bx+c a≠0的作用a决定抛物线的开口方向和开口大小，越大，开口越小|a|的作用b与共同决定对称轴的位置，对称轴为a x=-b/2a的作用c决定抛物线与轴的交点，交点坐标为y0,c二次函数的图像抛物线定义二次函数的图像是一条曲线，这条曲线叫做抛物线形状抛物线是轴对称图形，具有对称轴和顶点位置抛物线的位置由的值共同决定，决定开口方向和a,b,c a大小，决定对称轴位置，决定与轴的交点b c y抛物线的基本特征开口方向对称轴顶点时，开口向上；抛物线是轴对称图形，抛物线的最高点或最a0时，开口向下对称轴为低点，顶点坐标为a0x=-b/2a-b/2a,f-b/2a二次函数的三种表达式一般式1y=ax²+bx+c a≠0，便于确定与y轴的交点顶点式2y=ax-h²+k a≠0，便于确定顶点坐标h,k交点式3y=ax-x₁x-x₂a≠0，便于确定与x轴的交点x₁,0和x₂,0一般式y=ax²+bx+c应用2已知抛物线上三点坐标，常选用一般式求解特点1直接看出与轴的交点y0,c注意需要通过公式求对称轴，x=-b/2a3再求顶点坐标顶点式y=ax-h²+k特点1直接看出顶点坐标h,k应用2已知顶点坐标或最值，常选用顶点式求解注意3需要通过变形展开得到一般式，才能确定与轴的交点y交点式₁₂y=ax-x x-x特点直接看出与轴的交点₁和₂1x x,0x,0应用2已知与轴的两个交点，常选用交点式求解x注意3需要通过变形展开得到一般式，才能确定与y轴的交点和顶点坐标二次函数图像的开口方向a0a0抛物线开口向上，在对称轴左侧，随的增大而减小；在对抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对y x y x称轴右侧，随的增大而增大有最小值，最小值为顶点纵称轴右侧，随的增大而减小有最大值，最大值为顶点纵y x y x坐标坐标时的图像特征a0开口向上有最小值12图像呈形，底部朝上在顶点处取得最小值，顶点纵坐标U y≥对称轴左侧递减对称轴右侧递增34在对称轴左侧，随的增大而减小在对称轴右侧，随的增大而增大y x y x时的图像特征a0开口向下图像呈倒形，顶部朝下U有最大值在顶点处取得最大值，顶点纵坐标y≤对称轴左侧递增在对称轴左侧，随的增大而增大y x对称轴右侧递减在对称轴右侧，随的增大而减小y x二次函数图像的对称轴定义公式作用抛物线是轴对称图形，对称轴是经过顶对称轴方程为确定抛物线的位置，判断增减性，求解x=-b/2a点且垂直于轴的直线最值x对称轴公式x=-b/2a推导1通过配方法将一般式化为顶点式y=ax²+bx+cy=ax+，可得对称轴为b/2a²+4ac-b²/4a x=-b/2a应用2直接根据的值求出对称轴，简化计算a,b注意3公式中的是二次函数一般式中的系数，注意符号a,b二次函数的顶点位置2位于对称轴上，横坐标为x=-b/2a定义1抛物线的最高点或最低点，是抛物线上最特殊的点作用确定最大值或最小值，是图像变换的3基准点顶点坐标-b/2a,f-b/2a求解1先用公式求出横坐标，再代入函数表达式求出纵坐标x=-b/2a简化2可直接记住顶点坐标公式，减少计算量注意3纵坐标f-b/2a表示将x=-b/2a代入函数表达式得到的值二次函数图像与轴的交点y性质1任何二次函数图像都与轴有且只有一个交点y求解2令，求出的值，即为交点纵坐标x=0y一般式3在一般式中，的值即为交点纵坐标y=ax²+bx+c c轴交点坐标y0,c含义作用表示当时，的取值，即函数在时的函数值快速确定图像与轴的交点，辅助画图和分析函数性质x=0y x=0y二次函数图像与轴的交点x个数求解12二次函数图像与轴可能有令，解方程x y=0ax²+bx+个、个或个交点，求出的值，即为交012c=0x点横坐标判别式3交点个数由判别式决定Δ=b²-4ac求轴交点的方法x公式法配方法直接使用求根公式x=-b±将方程ax²+bx+c=0配方，求解转化为的形式，√b²-4ac/2a x+m²=n再求解图像法画出二次函数图像，观察图像与轴的交点x判别式的作用Δ=b²-4acΔ0Δ=0Δ0方程有两个不相等的方程有两个相等的实方程没有实数根，图实数根，图像与轴数根，图像与轴有像与轴没有交点x x x有两个交点一个交点相切时的图像特征Δ0两个交点1图像与轴有两个不同的交点，分别位于对称轴两侧x实数根2方程有两个不相等的实数根ax²+bx+c=0符号3在两个交点之间，的符号与相反；在两个交点之外，y ay的符号与相同a时的图像特征Δ=0相切2图像与x轴相切，切点坐标为-b/2a,0一个交点1图像与轴只有一个交点，该点位于x对称轴上实数根方程有两个相等的实ax²+bx+c=03数根，即x=-b/2a时的图像特征Δ0无交点1图像与轴没有交点，图像完全位于轴上方或下方x x无实数根2方程没有实数根ax²+bx+c=0符号3图像上所有点的值符号相同，与的符号相同y a二次函数的最值存在性1当时，有最小值；当时，有最大值a0a0位置2在顶点处取得最值，最值为顶点纵坐标应用3解决实际问题，如求最大利润、最小成本等最大值和最小值的求法顶点式公式法注意若函数表达式为顶点式，最值在实际问题中，需考虑自变量的取值y=ax-h²+k=f-b/2a=4ac-b²/4a x则当时，最小值为；当范围，确定最值是否在定义域内a0k a0时，最大值为k二次函数图像的平移原则顶点表达式123左加右减，上加下减图像平移，实际上是顶点的平移，掌握平移后的函数表达式，方便的值不变解题a向右平移个单位h表达式顶点变化将替换为，得到新的顶点横坐标加，纵坐标不变x x-h h函数表达式注意所有点的横坐标都加，纵坐标不变h向左平移个单位h表达式顶点变化注意将替换为，顶点横坐标减，纵坐所有点的横坐标都减，x x+h hh得到新的函数表达式标不变纵坐标不变向上平移个单位k表达式1将函数表达式加上，得到新的函数表达式k顶点变化2顶点纵坐标加，横坐标不变k注意3所有点的纵坐标都加，横坐标不变k向下平移个单位k顶点变化2顶点纵坐标减，横坐标不变k表达式1将函数表达式减去，得到新的函数k表达式注意所有点的纵坐标都减，横坐标不变k3二次函数图像的拉伸和压缩原理1通过改变的值，改变抛物线的开口大小a顶点2顶点坐标不变，只有开口大小发生变化对称轴3对称轴位置不变，与轴的交点发生变化y时的图像变化|a|1变化1图像变得更瘦，开口变小“”距离2图像上的点距离轴更远x注意3的符号不变，开口方向不变a时的图像变化0|a|1变化距离注意图像变得更胖，开口变大图像上的点距离轴更近的符号不变，开口方向不变“”x a二次函数图像的对称变换关于轴关于轴1y2x将替换为，值不变将替换为，值不变x-xyy-y x关于原点3将替换为，替换为x-xy-y关于轴的对称y特点表达式对称轴为轴，图像左右对称函数表达式中只含有的偶数y x次项，即y=ax²+c注意若原函数不是关于轴对称的，对称变换后函数表达式会发生变化y关于轴的对称x特点表达式注意图像上下翻转，开口将替换为，得到图像与轴的交点不y-y x方向改变新的函数表达式变，顶点纵坐标变为相反数关于原点的对称特点1图像旋转，中心对称图形180°表达式2将替换为，替换为，得到新的函数表达式x-xy-y注意3顶点坐标变为相反数，开口方向可能改变二次函数与一次函数的关系图像2二次函数是抛物线，一次函数是直线定义域1都是全体实数交点直线与抛物线可能有个、个或0123个交点二次函数与一次函数图像的交点个数1可能没有交点，相切（一个交点），或有两个交点关系2交点个数取决于方程的根的个数ax²+bx+c=kx+b注意3可以通过联立方程组求解交点坐标求解二次函数与一次函数的交点步骤联立两个函数表达式，得到一个关于的方程1x判别式2求解方程的判别式，判断交点个数Δ求解3若Δ≥0，解方程求出x的值，再代入任一函数表达式求出y的值，得到交点坐标二次函数的应用物理学中的抛物线运动抛射体高度抛射体的运动轨迹近似为抛物线，如投掷铅球、篮球等可以用二次函数描述抛射体的高度与时间的关系，求解最大高度、射程等二次函数的应用经济学中的成本函数成本利润12可以用二次函数描述生产成可以通过求解二次函数的最本与产量之间的关系值，确定最佳产量，使利润最大化风险3需要结合实际情况，综合考虑成本、利润和风险等因素二次函数的应用工程学中的桥梁设计拱形力学美观桥梁的拱形结构可以设计成抛物线，通过分析抛物线的力学性质，优化桥抛物线形的桥梁具有美观的视觉效果，增加桥梁的承重能力梁设计，提高安全性和稳定性提升城市形象解二次方程的图像法步骤交点局限画出二次函数观察图像与轴的交只能求出近似解，精y=ax²x的图像点，交点横坐标即为确度不高+bx+c方程的根配方法解二次方程步骤1将方程配方，转化为的形式ax²+bx+c=0x+m²=n求解2若，则，解得n≥0x+m=±√n x=-m±√n特点3适用于任何二次方程，计算量较大，但能加深对二次函数性质的理解求根公式解二次方程判别式2根据判别式的值判断根的Δ=b²-4ac情况公式1x=-b±√b²-4ac/2a优点3简单快捷，适用于任何二次方程韦达定理及其应用内容1若₁和₂是方程的两个根，则₁₂，₁₂x xax²+bx+c=0x+x=-b/a x*x=c/a应用2已知一个根，可以求出另一个根；可以求出两根之和或两根之积注意3方程必须有实数根才能使用韦达定理二次函数的图像分析题型给定图像给定条件根据图像判断的符号，求对称轴、顶点坐标、与坐标根据条件画出图像，再根据图像分析函数性质，解决相关问题a,b,c轴的交点等已知顶点和一点求二次函数表达式顶点式代入12先设函数表达式为顶点式将已知点的坐标代入函数表y，其中达式，求出的值=ax-h²+k h,k a为顶点坐标确定3将的值代入函数表达式，得到最终的函数表达式a已知对称轴和两点求二次函数表达式对称轴代入设对称轴为，将两点坐标代入函数表达式x=-b/2a=h y=则，得到两个方程b=-2ah ax²+bx+c求解联立三个方程，解出的值，得到最终的函数表达式a,b,c已知三点求二次函数表达式一般式代入求解设函数表达式为一般将三点坐标代入函数联立三个方程，解出a,式表达式，得到三个方的值，得到最终y=ax²+bx+c b,c程的函数表达式二次函数图像的最值问题顶点1确定抛物线的顶点坐标，判断开口方向定义域2考虑自变量的取值范围，确定最值是否在定义域内x求解3若顶点在定义域内，则顶点纵坐标为最值；若顶点不在定义域内，则最值在定义域边界处取得二次函数图像的交点问题判别式求解方程的判别式，判断交点个数Δ2联立1将两个函数表达式联立，得到一个关于的方程求解x若，解方程求出的值，再代入Δ≥0x任一函数表达式求出的值，得到交y3点坐标二次函数与绝对值函数图像1先画出二次函数图像，再将轴下方的部分关于轴对称到上方，得到绝对值函数的图像x x性质2绝对值函数的值恒为非负数，图像始终位于轴上方或在轴上xx注意3分段讨论绝对值函数，转化为分段函数求解分段函数中的二次函数定义1在不同的区间内，函数表达式不同，每个区间对应一个函数图像2在每个区间内，画出对应的函数图像，注意衔接点性质3分段函数可能不连续，需要分段讨论其性质二次函数的参数问题分类分析求解参数可能出现在函数表达式的各个位置，分析参数对函数图像的影响，如开口方根据题目条件，建立关于参数的方程或如等向、对称轴、顶点坐标等不等式，求解参数的取值范围a,b,c复习要点总结定义与表达式1理解二次函数的定义、一般式、顶点式和交点式图像与性质2掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点等解题方法3熟练运用配方法、求根公式、韦达定理等解决二次函数相关问题应用4能够运用二次函数解决实际问题，如物理、经济、工程等领域的问题练习与提高巩固基础完成课后练习，巩固基本知识和解题方法拓展视野查阅相关资料，了解二次函数在不同领域的应用挑战难题尝试解决一些难度较高的题目，提升解题能力反思总结及时反思总结学习过程中的经验和教训，不断提升学习效率。