数学分析课件

数学分析课程概述欢迎来到数学分析课程！本课程是高等数学中最重要的基础课程之一，将带领大家探索数学思维的精髓和严谨之美数学分析主要研究函数、极限、微积分等概念，是理工科学生必修的核心课程通过本课程的学习，你将掌握分析数学问题的基本方法和技巧，为后续高等数学课程奠定坚实基础在接下来的课程中，我们将从实数系统开始，逐步深入到极限、连续、微分、积分以及级数理论，系统地构建数学分析的知识体系让我们一起踏上这段充满挑战与收获的数学之旅！课程目标与学习方法知识目标能力目标掌握数学分析的基本概念、定理和培养抽象思维能力、逻辑推理能力方法，包括极限论、微分学、积分和数学建模能力，学会用数学分析学和级数理论等核心内容，理解这的方法解决实际问题，提高数学素些概念的严格定义和深刻内涵养和创新思维学习方法注重概念理解与定理证明，多做习题巩固知识，养成独立思考的习惯，善于总结归纳，建立知识框架，合理安排学习时间，保持学习的连续性数学分析是一门需要持续积累的学科，建议每天保持2-3小时的学习时间，理论与实践相结合，遇到困难时及时与老师和同学交流讨论第一章实数系数的发展历程1从最初的自然数，到整数、有理数，再到无理数的发现，数系不断扩充完善，最终形成了完备的实数系统，满足了数学和物理世界的需求实数系的构成2实数系由有理数和无理数组成，可以用数轴上的点一一对应表示实数系具有连续性，填补了数轴上的所有空隙，是微积分的理论基础实数系的重要性3实数系的完备性为微积分的严格化奠定了基础，使得极限、连续、导数等概念能够被精确定义，是整个数学分析的理论基石理解实数系的特性是学习后续数学分析内容的关键，请务必牢固掌握这一基础知识实数的性质代数性质实数系满足加法和乘法的交换律、结合律和分配律，构成了一个完备的有序域这些基本运算法则是数学计算的基础，保证了数学运算的一致性序性质实数之间存在大小关系，满足全序关系的性质对于任意两个不同的实数，总有一个大于另一个，这种序关系与实数的代数运算相容完备性实数系最重要的性质是完备性，即任何有上界的非空实数集合必有上确界，任何有下界的非空实数集合必有下确界这一性质使得极限过程成为可能稠密性有理数在实数集中稠密，即在任意两个不同的实数之间，总存在至少一个有理数；同样，无理数在实数集中也是稠密的确界原理确界的定义下确界的定义上确界非空数集S的上确界是S的最小1下确界非空数集S的下确界是S的最大上界，记为sup S2下界，记为inf S确界的应用确界存在定理4确界原理是分析数学中最基本的定理之一，任何有上界的非空实数集必有上确界；任3是极限存在性证明的重要工具何有下界的非空实数集必有下确界确界原理体现了实数系的完备性，是实数区别于有理数的本质特征在证明序列极限存在性、函数性质等问题时，确界原理发挥着关键作用理解并掌握确界原理，是学好数学分析的重要基础数列极限的定义数列的概念1数列是一个按照某种规律排列的无穷有序数组，通常表示为{a}或a₁,a₂,a₃,...ₙ收敛数列2如果存在实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当nN时，|a-A|εₙ恒成立，则称数列{a}收敛于Aₙ发散数列不满足收敛条件的数列称为发散数列，包括无穷大数列和振荡数3列两种情况数列极限是数学分析中最基本的概念之一，是后续学习函数极限、连续性和微积分的基础理解数列极限的精确定义，对于掌握极限思想至关重要在实际应用中，我们常常需要判断一个数列是否收敛，以及确定其极限值语言ε-N精确定义的必要性定义的含义12ε-Nε-N语言提供了描述数列极限的对于任意给定的精度要求ε0，严格数学语言，克服了直观认总能找到一个位置N，使得当n识的局限性，使极限概念建立超过N后，数列的所有项与极限在严谨的数学基础上，避免了值的距离都小于这表达了数ε模糊和歧义列项无限接近极限的本质定义的应用3ε-N语言不仅用于定义极限，还是证明极限性质、判断数列收敛性的重要工具掌握这种语言是深入理解数学分析的关键步骤学习ε-N语言时，可以结合几何解释ε确定了极限值附近的邻域范围，N确定了数列从何处开始永远留在这个邻域内这种精确的数学语言虽然初学时较为抽象，但对培养严谨的数学思维至关重要数列极限的性质极限的唯一性收敛数列的有界性四则运算法则如果数列{a}收敛，则其极若数列{a}收敛，则{a}收敛数列的和、差、积、商ₙₙₙ限唯一这保证了我们在计一定有界这是判断数列发（除数不为零）的极限等于算极限时不会得到矛盾的结散的有力工具如果一个数各数列极限的和、差、积、果，是极限理论的基础性质列无界，则它一定发散然商这些性质大大简化了复而，有界性只是收敛的必要杂数列极限的计算条件，不是充分条件夹逼准则如果对于所有足够大的n，有a≤b≤c，且limₙₙₙa=lim c=A，则limₙₙb=A夹逼准则是处理复ₙ杂极限的有力工具重要数列极限极限类型表达式极限值适用条件等比数列lim q^n0|q|1指数与幂lim n^α/a^n0α0,a1特殊数列lim1+1/n^n en→∞幂函数与对数lim n^α/ln^βn∞α0,β0阶乘与幂lim n!/n^n0n→∞这些重要极限是解决许多极限问题的基础特别是1+1/n^n的极限e，是自然对数的底数，在数学分析中有着广泛的应用掌握这些基本极限及其证明方法，对于解决复杂的极限问题非常重要在实际计算中，我们常常需要将复杂的极限问题转化为这些基本极限，或者利用它们来应用夹逼准则、单调有界准则等方法子列与部分极限子列的定义部分极限聚点与上下极限数列{a}的子列是指从原数列中按照某种数列{a}的部分极限是指{a}的某个子数列{a}的所有部分极限构成其聚点集ₙₙₙₙ规则选取的一部分项所组成的新数列，通列的极限一个数列可能有多个部分极限，数列的上极限lim sup是其最大部分极限，常表示为{a}，其中{n}是严格递增也可能只有一个下极限lim inf是其最小部分极限ₙₖₖ的自然数列例如，数列{-1^n}有两个部分极限1和-当且仅当上极限等于下极限时，数列收敛，例如，数列{1,2,3,4,5,...}的一个子列可以1，分别对应于奇数项子列和偶数项子列的且其极限等于这个共同值是{2,4,6,...}，即所有的偶数项极限函数极限的定义函数极限的本质当自变量无限接近某一值时，函数值无限接近的确定值1两种基本类型2自变量趋于有限值x→a和自变量趋于无穷x→∞单侧极限3左极限x→a⁻和右极限x→a⁺严格数学定义4基于ε-δ语言的精确数学表述函数极限是分析数学中最基础的概念之一，它描述了函数在某一点附近的渐近行为与数列极限不同，函数极限涉及到变量在连续区间上的变化，因此其定义更为复杂理解函数极限的定义，是深入学习连续性、可导性等后续概念的关键在实际应用中，函数极限广泛用于描述物理、工程等领域中的变化率、瞬时速度等概念，是理解自然界变化规律的重要数学工具语言ε-δ定义图解极限证明示例应用与扩展ε-δ通过图形直观理解ε-δ定义给定任意ε0，使用ε-δ语言证明极限时，关键是找到ε和δε-δ语言不仅用于定义函数极限，还可扩展总能找到δ0，使得当0|x-a|δ时，|fx-之间的关系例如，证明limx→2x²=4时，应用于连续性、一致连续性等概念的严格定L|ε始终成立图中水平带宽为2ε，垂直带需要通过代数运算确定适当的δ值，使得当义掌握这种语言是理解高等分析学的基础宽为2δ|x-2|δ时，|x²-4|ε尽管ε-δ语言初学时较为抽象难懂，但它提供了描述极限的精确数学语言，消除了直观认识可能带来的误解和模糊性，是数学分析严谨性的体现函数极限的性质极限的唯一性局部有界性12如果函数fx在点a处的极限存在，则这个极限是唯一的这一性质保如果函数fx在点a处有极限，则fx在a的某个去心邻域内有界这一证了我们在计算极限时结果的一致性和确定性，是极限理论的基石性质可用于判断极限不存在若函数在点的任意小邻域内都无界，则极限不存在保号性四则运算法则34若limx→afx=A且A0，则存在a的某个去心邻域，使得在该邻域内函数极限满足加、减、乘、除（除数不为零）的运算法则这些性质大fx0；类似地，若A0，则在某去心邻域内fx0这一性质在不等大简化了复杂函数极限的计算，使我们能够将复杂极限分解为简单极限式证明中经常使用的组合理解并熟练应用这些性质，对于解决实际极限问题和进一步学习函数连续性、导数等概念至关重要重要函数极限这些基本极限在函数极限计算中具有重要地位，特别是sinx/x的极限为1，是三角函数极限计算的基础掌握这些基本极限及其证明方法，对于解决复杂的极限问题非常重要在实际计算中，我们常常需要将复杂的极限问题转化为这些基本极限，或者利用它们来应用等价无穷小替换、洛必达法则等方法熟练掌握这些重要极限，能够提高极限计算的效率和准确性无穷小量与无穷大量无穷小量的定义无穷小量的阶比较无穷大量如果函数fx当x→a时的极限为0，则称fx如果limx→afx/gx=0，则称fx是比如果函数fx当x→a时的极限为∞，则称为当x→a时的无穷小量无穷小量是表征gx高阶的无穷小量，记为fx=ogx；fx为当x→a时的无穷大量无穷大量与无函数趋近于零的快慢程度的重要工具如果极限等于非零常数c，则称fx是与穷小量互为倒数若fx为无穷小量，则gx同阶的无穷小量，记为fx~cgx1/fx为无穷大量，反之亦然例如，当x→0时，x,x²,sinx都是无穷小量，但它们趋于零的速度不同无穷小量的阶比较是解决复杂极限问题的例如，当x→0时，1/x,1/x²,tanx都是无穷重要方法大量函数的连续性连续性的定义如果函数fx在点x₀处的极限存在且等于函数值fx₀，即limx→x₀fx=fx₀，则称函数在点x₀处连续连续性要求函数在该点的左极限、右极限和函数值三者相等语言表述ε-δ函数fx在点x₀处连续，当且仅当对于任意给定的ε0，存在δ0，使得当|x-x₀|δ时，|fx-fx₀|ε恒成立这是连续性的严格数学定义区间上的连续性函数fx在区间上连续，是指fx在区间内每一点都连续对于闭区间[a,b]，还要求fx在左端点a处右连续，在右端点b处左连续连续函数具有许多重要性质连续函数的运算连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍是连续函数此外，连续函数的复合函数也是连续函数，这大大扩展了我们能够处理的连续函数类别连续函数的性质有界性定理最值定理在闭区间[a,b]上连续的函数fx在该区间上在闭区间[a,b]上连续的函数fx在该区间上有界，即存在常数M0，使得对于任意一定能取得最大值和最小值，即存在x∈[a,b]，都有|fx|≤M这是连续函数最x₁,x₂∈[a,b]，使得对于任意x∈[a,b]，都有12基本的性质之一fx₂≤fx≤fx₁零点定理介值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，且43若函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa·fb0，则至少存在一点ξ∈a,b，使fa≠fb，则对于fa与fb之间的任意值C，得fξ=0这是介值定理的特殊情况，常用至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=C这表明于方程求解连续函数的图像是不间断的这些性质是连续函数理论的核心，它们不仅有深刻的理论意义，还广泛应用于函数分析、微分方程求解和数值计算等领域间断点及其分类第一类间断点第二类间断点间断点的判定左、右极限都存在但不相等的点，或者左右极左极限或右极限至少有一个不存在的点第二判断函数间断点的步骤首先检查函数在该点限都存在且相等但不等于函数值的点第一类类间断点包括无穷间断点、振荡间断点等多种是否有定义；其次计算左右极限是否存在并相间断点可进一步分为可去间断点和跳跃间断点类型等；最后比较极限值与函数值合理运用这些两种步骤可以有效分析函数的连续性•无穷间断点函数在该点趋于无穷，如•可去间断点左右极限相等但不等于函数x=0处的1/x值，可通过重新定义该点的函数值使函数•振荡间断点函数在该点附近无限振荡，连续如x=0处的sin1/x•跳跃间断点左右极限都存在但不相等，函数值在该点跳跃一致连续性一致连续的定义普通连续与一致连续的区别一致连续的判定定理函数fx在区间I上一致连续，是指对于任普通连续性允许δ值随着点x的不同而变化，闭区间上的连续函数必定一致连续意给定的ε0，存在δ0，使得对于区间I而一致连续要求同一个δ适用于区间上的所（Cantor定理）这是一个重要的判定定上的任意两点x₁,x₂，当|x₁-x₂|δ时，都有有点直观地说，一致连续函数的变化速理，说明在闭区间上，连续性自动蕴含一|fx₁-fx₂|ε率在整个区间上是有上界的致连续性一致连续强调的是δ值的选取只与ε有关，例如，函数fx=x²在任意有界区间上一致但在开区间或无界区间上，连续函数不一而与具体的点x无关，这比普通连续性的要连续，但在无界区间0,+∞上不一致连续定一致连续，需要进一步验证判断一个求更强函数是否一致连续，常常需要回到定义或利用导数有界性导数的定义导数的概念起源1导数概念源于对物体瞬时速度和曲线切线斜率的研究，是微积分中最核心的概念之一早期由牛顿和莱布尼茨分别发展，用于描述自然界中的变化率导数的极限定义2函数fx在点x₀处的导数定义为fx₀=limh→0[fx₀+h-fx₀]/h，表示函数在该点的瞬时变化率这个极限如果存在，则称函数在点x₀处可导导数的等价定义3导数也可定义为fx₀=limx→x₀[fx-fx₀]/x-x₀，这两种定义是等价的在实际计算中，有时使用左导数和右导数的概念，即分别考虑h→0⁻和h→0⁺的极限可导性与连续性4如果函数在点x₀处可导，则函数在该点必定连续这是因为可导性要求的极限存在，蕴含了函数在该点的连续性但反之不成立，连续函数不一定可导，如|x|在x=0处连续但不可导导数的几何意义切线斜率变化率割线到切线的极限导数fx₀表示函数图像在点x₀,fx₀处的导数表示函数值相对于自变量的瞬时变化率从几何角度看，导数可视为割线斜率在割线切线斜率这是导数最直观的几何解释，帮在物理中，位移对时间的导数是速度，速度逐渐接近切线过程中的极限当两点之间的助我们理解导数作为函数图像在某点陡峭对时间的导数是加速度，这些都是导数作为距离无限缩小时，割线逐渐接近切线，割线程度的度量变化率的具体应用斜率逐渐接近切线斜率正导数表示函数在该点递增，负导数表示函在经济学中，边际成本、边际收益等概念也这种解释直观地展示了导数的极限本质，帮数在该点递减，导数的绝对值越大，函数变是基于导数的变化率解释助我们理解导数定义中极限的几何含义化越剧烈导数的运算法则导数运算法则是微积分中最基本的计算工具，它们大大简化了复杂函数的求导过程基本法则包括常数函数的导数为零；幂函数x^n的导数为nx^n-1；指数函数e^x的导数仍为e^x；对数函数ln|x|的导数为1/x；三角函数sin x的导数为cos x，cos x的导数为-sin x复合函数的导数通过链式法则计算如果y=fu且u=gx，则dy/dx=dy/du·du/dx此外，函数和的导数等于导数的和，函数积的导数遵循乘积法则，函数商的导数遵循商数法则熟练掌握这些法则，对于解决实际问题至关重要高阶导数高阶导数的定义函数fx的二阶导数是fx的导数，记为fx或f^2x；三阶导数是fx的导数，记为fx或f^3x；依此类推，可定义任意阶导数高阶导数描述了函数变化率的变化率莱布尼茨记号使用莱布尼茨记号，一阶导数表示为df/dx，二阶导数表示为d²f/dx²，n阶导数表示为d^nf/dx^n这种记号在物理学和工程学中广泛使用，特别适合表示变量替换和隐函数求导高阶导数的计算高阶导数的计算可以逐阶进行，也可以利用一些特殊函数的高阶导数公式例如，e^ax的n阶导数为a^n·e^ax；sinax+b的n阶导数有规律第4k+1阶导数为a^4k+1·sinax+b，以此类推高阶导数的应用高阶导数在泰勒展开、微分方程求解、函数凹凸性分析等方面有重要应用在物理学中，加速度是位移的二阶导数，加加速度jerk是位移的三阶导数，描述了运动的更深层次特性隐函数求导隐函数的概念1隐函数是指由方程Fx,y=0所确定的函数关系y=fx，其中函数f不能显式表示出来例如，方程x²+y²=1确定了隐函数关系，可以表示为y=±√1-x²，但在某些情况下，隐函数无法显式表示隐函数求导法2隐函数求导的基本思想是将方程两边同时对x求导，将y视为x的函数，应用链式法则和复合函数求导法则，最后解出dy/dx这种方法避免了显式表示函数，直接求得导数表达式实例分析3例如，对方程x²+y²=1求导，两边对x求导得2x+2y·dy/dx=0，解得dy/dx=-x/y在椭圆方程x²/a²+y²/b²=1中，隐函数求导得到dy/dx=-b²/a²·x/y，这是椭圆任意点切线斜率的表达式高阶隐函数导数4隐函数的高阶导数可以通过对一阶导数表达式继续求导获得，但计算通常较为复杂在某些应用中，如曲线的曲率计算、特殊微分方程求解等，需要用到隐函数的高阶导数参数方程求导参数方程的概念参数方程的导数参数方程是用参数t表示的方程组x=xt,由参数方程确定的曲线，其切线斜率导y=yt，描述了平面上的曲线参数方程1数可通过链式法则计算dy/dx=可以表示显函数y=fx无法表示的曲线，2dy/dt/dx/dt，条件是dx/dt≠0这如圆、椭圆等闭曲线个公式是参数方程求导的基础应用举例二阶导数计算摆线参数方程x=at-sint,y=a1-cost，参数方程的二阶导数可通过一阶导数继续4导数dy/dx=dy/dt/dx/dt=sint/1-求导获得d²y/dx²=ddy/dx/dx=3cost=tant/2，可用于研究摆线的切线[d²y/dt²dx/dt-和法线性质dy/dtd²x/dt²]/[dx/dt³]，计算相对复杂微分的概念微分的定义微分的几何意义高阶微分函数y=fx在点x处的微分定义为从几何角度看，微分dy表示函数图像在点一阶微分dy的微分称为二阶微分，记为dy=fxdx，其中dx是自变量x的增量x,fx处的切线上，当自变量增加dx时对d²y；依此类推可定义任意阶微分当自微分dy可理解为函数增量Δy=fx+dx-fx应的纵坐标增量当dx足够小时，这个切变量x的增量dx为常数时，高阶微分与高的线性主部，当dx很小时，dy可近似代替线增量接近实际函数增量阶导数有简单关系d^n y=Δy f^nxdx^n微分提供了一种近似计算函数增量的方法微分与导数紧密相关导数是微分与自变fx+dx≈fx+fxdx，这是线性近似的高阶微分在泰勒展开、微分方程和数值分量增量之比，即fx=dy/dx；微分是导数基础析中有重要应用，是研究函数局部行为的与自变量增量之积，即dy=fxdx重要工具微分中值定理罗尔定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=0几何上，罗尔定理表明若曲线两端点高度相同，则曲线上至少有一点切线水平拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何上，这表明曲线上至少有一点切线平行于连接两端点的弦柯西中值定理如果函数fx和gx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且对任意x∈a,b都有gx≠0，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fb-fa/gb-ga=fξ/gξ这是拉格朗日定理的推广中值定理的应用微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，广泛应用于函数性质研究、不等式证明、极限计算等方面例如，利用拉格朗日中值定理可以证明若fx恒为0，则fx为常数函数泰勒公式多项式近似用多项式函数局部逼近一般函数1阶泰勒公式n2fx=fa+fax-a+fax-a²/2!+...+f^nax-a^n/n!+R_nx拉格朗日余项3R_nx=f^n+1ξx-a^n+1/n+1!,其中ξ在a与x之间麦克劳林公式4在点a=0处展开的特殊泰勒公式泰勒公式是高等数学中最重要的公式之一，它将任意可微函数表示为幂级数形式，提供了用简单多项式近似复杂函数的方法常见函数的麦克劳林展开式e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...；sin x=x-x³/3!+x⁵/5!-...；cos x=1-x²/2!+x⁴/4!-...泰勒公式广泛应用于数值计算、函数逼近、极限计算、微分方程求解等领域通过控制余项，可以获得函数值的近似计算，且可以估计误差范围这是将理论分析与实际计算联系起来的桥梁函数的极值极值的定义1如果存在点x₀的一个邻域，使得对于该邻域内的任意点x≠x₀，都有fxfx₀，则称x₀为函数fx的极小值点，fx₀为极小值；若都有fx必要条件2如果函数fx在点x₀处可导且取得极值，则fx₀=0换言之，函数的极值点必定是函数的驻点（导数为零的点）或者不可导点这是判断极值的第一步，称为费马定理充分条件3若函数fx在点x₀处的一阶导数为零，二阶导数存在，则当fx₀0时，x₀为极小值点；当fx₀0时，x₀为极大值点；当fx₀=0时，需要进一步判断这是利用二阶导数判断极值类型的方法高阶导数判别法4若函数fx在点x₀处的导数fx₀=fx₀=...=f^n-1x₀=0，但f^nx₀≠0，则当n为偶数且f^nx₀0时，x₀为极小值点；当n为偶数且f^nx₀0时，x₀为极大值点；当n为奇数时，x₀不是极值点函数的单调性单调性的定义1如果对于区间I上的任意两点x₁fx₂，则称函数在区间I上单调递减单调递增和单调递减统称为单调函数导数与单调性2如果函数fx在区间I上可导，且对于区间上的任意点x都有fx0，则函数fx在该区间上单调递增；如果都有fx0，则函数在该区间上单调递减这是利用导数判断函数单调性的基本方法单调性的判断步骤3要判断函数fx的单调性1求函数的导数fx；2确定导数的符号，通常需要解不等式fx0或fx0；3根据导数符号确定函数在各区间上的单调性这种方法将函数的单调性问题转化为代数不等式问题单调性应用4函数单调性在求解方程、证明不等式、确定函数值域等问题中有重要应用例如，对于单调函数，方程fx=0在其定义域内至多有一个根；利用复合函数的单调性可以证明一些复杂不等式曲线的凹凸性凹凸性定义二阶导数判别法拐点如果函数fx的图像位于其任意如果函数fx在区间I上有二阶如果函数fx在点x₀处的凹凸性两点之间的弦的下方，则称函导数，且对于区间上的任意点x发生改变，则称点x₀,fx₀为数在该区间上是凹的凹向上；都有fx0，则函数在该区间函数图像的拐点拐点是曲线如果图像位于弦的上方，则称上是凹的；如果都有fx0，形状发生显著变化的位置，通函数是凸的凹向下凹凸性描则函数在该区间上是凸的这常发生在二阶导数等于零或不述了曲线的弯曲方向是最常用的判断凹凸性的方法存在的点应用与意义凹凸性分析在函数图像绘制、优化问题求解、经济学中的边际效用分析等方面有重要应用例如，在经济学中，边际效用递减规律对应于效用函数的凸性曲线的渐近线渐近线的概念水平渐近线铅直渐近线斜渐近线渐近线是当点在曲线上无限远如果limx→±∞fx=b，则直如果limx→a⁻fx=±∞或如果当x→±∞时，fx-离原点时，点到直线的距离趋线y=b是曲线y=fx的水平渐limx→a⁺fx=±∞，则直线kx+b→0，则直线y=kx+b是于零的直线渐近线描述了曲近线水平渐近线描述了曲线x=a是曲线y=fx的铅直渐近曲线y=fx的斜渐近线其中线在无穷远处的行为，是曲线当x趋于正无穷或负无穷时的线铅直渐近线通常出现在函k=limx→±∞fx/x，图形的重要特征极限行为数的间断点处b=limx→±∞[fx-kx]曲线的渐近线可分为三类水例如，函数y=1/x在x→±∞时的例如，函数y=1/x在x=0处的例如，函数y=x²+x/x-1有平渐近线、铅直渐近线和斜渐极限都是0，因此x轴y=0是左右极限都是无穷，因此y轴斜渐近线y=x+2斜渐近线描近线，分别对应于曲线在不同其水平渐近线有些函数可能x=0是其铅直渐近线函数述了曲线在无穷远处近似于一方向上的无穷远行为有两条不同的水平渐近线，分y=tan x有无数条铅直渐近线条直线的行为，比水平渐近线别对应x→+∞和x→-∞x=π/2+nπ，n为整数提供了更精确的近似。