榆中县韦营初级中学《相似三角形判定》课件

相似三角形判定欢迎大家参加榆中县韦营初级中学相似三角形判定课程相似三角形是几何学中的重要概念，它不仅在数学理论中占有重要地位，也广泛应用于实际生活中的测量、工程设计、艺术创作等领域在这节课中，我们将深入探讨相似三角形的定义、判定方法以及其在各个领域的应用通过学习相似三角形的原理，你将能够解决许多实际问题，并提高数学思维能力课程目标理解相似三角形的概念掌握相似三角形的判定方法掌握相似三角形的定义，明确对应角相等和对应边成比熟练应用AA判定法、SAS例的含义，能够正确识别相判定法和SSS判定法判定两似三角形个三角形是否相似，理解各种判定方法的原理和适用条件能够应用相似三角形解决实际问题相似三角形的定义对应角相等对应边成比例两个三角形的所有对应角分别相等如果三角形与三角两个三角形的所有对应边的比值相等如果三角形与三ABC ABC形相似，则∠∠，∠∠，∠∠角形相似，则DEF A=D B=E C=F DEFAB/DE=BC/EF=CA/FD当两个角相等时，根据三角形内角和为，第三个角也必这种比例关系是相似三角形的核心特征，也是许多实际应用的180°然相等理论基础相似三角形保持了形状不变，仅大小可能不同可以将其看作是一个三角形的放大或缩小相似三角形的符号符号表示对应角表示我们使用符号∼表示相似关当我们写△∼△时，表ABC DEF系，例如△∼△表示示∠与∠对应相等，∠与∠ABC DEFA D B E三角形与三角形相似对应相等，∠与∠对应相等ABC DEFC F在书写相似三角形时，应注意对应顶点的顺序，确保对应角相符号中顶点的顺序非常重要，因等为它指示了哪些角是对应的对应边表示在△∼△中，对应边为与，与，与ABC DEFAB DE BC EF CA FD这些对应边的比值相等，即这个比值我们称为相AB/DE=BC/EF=CA/FD似比相似三角形的性质对应角相等相似三角形的对应角分别相等，这是相似三角形最直观的性质这一性质使得两个三角形的形状保持相同对应边成比例相似三角形的对应边长的比值相等，这个比值就是相似比如果相似比为，则一个三角形的每条边都是另一个三角形对应边的倍k k面积比等于相似比的平方如果两个三角形相似，且相似比为，则它们的面积比为这是一个非常重要的性质，在解决面积问题时经常用到k k²相似三角形判定方法概述判定法SAS边角边相似判定法如果两个三角形有两组对应边成比例，且夹角相等，则这两个判定法三角形相似AA角角相似判定法如果两个三角形有这种方法需要两条边和一个角的信息两个对应角相等，则这两个三角形相判定法似SSS这是最常用的判定方法，因为只需要三边相似判定法如果两个三角形的三组确认两个角相等即可对应边成比例，则这两个三角形相似这种方法只需要边长信息，无需角度信息判定法（角角相似）AA判定条件数学表达如果两个三角形有两个对应角相等，那么第三对对应角也相对于△和△，如果∠∠且∠∠，则可以推ABC DEFA=D B=E等，且两个三角形相似导出∠∠，且△∼△C=F ABC DEF这是因为三角形的三个内角和为，当已知两个角时，第判定法是最简单的相似三角形判定方法，只需要两个角的180°AA三个角可以通过减去已知两角的和来确定信息，不需要任何边长信息180°在实际应用中，当我们能够测量角度但难以测量边长时，判定法特别有用例如在测量远处物体高度或距离时，经常使用这种AA方法判定法示例AA示例问题在△和△中，∠，∠，∠，∠判断这两个三角形ABC PQRA=42°B=65°P=42°Q=65°是否相似，并说明理由分析过程根据题目条件，△中有∠，∠；△中有∠，∠ABC A=42°B=65°PQR P=42°Q=65°可以看出∠∠，∠∠，即两个三角形有两对对应角相等A=P=42°B=Q=65°应用判定法AA根据判定法，如果两个三角形有两对对应角相等，则第三对对应角也相等，AA且两个三角形相似所以△的第三个角∠ABC C=180°-42°-65°=73°△的第三个角∠PQR R=180°-42°-65°=73°结论因此，∠∠，且△∼△C=R=73°ABC PQR判定法练习题AA练习练习12在△和△中，∠，∠，∠，如图所示，在△中，∥，，，ABC DEFA=35°C=68°D=35°ABC DE BC AD=2DB=4AE=3∠判断这两个三角形是否相似？如果相似，写出相似求的长度F=68°EC关系解因为∥，所以∠∠，∠∠DE BC ADE=ABC AED=ACB解△中，∠ABC B=180°-35°-68°=77°根据判定法，△∼△AA ADE ABC△中，∠DEF E=180°-35°-68°=77°由相似比例关系AE/AC=AD/AB所以∠∠，∠∠，∠∠，根据判定法，A=D B=E C=F AA得，解得，因此3/AC=2/6AC=9EC=AC-AE=9-3=6△∼△ABC DEF判定法（边角边相似）SAS判定条件如果两个三角形有两组对应边成比例，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似数学表达对于△和△，如果且∠∠，则ABC DEFAB/DE=AC/DF A=D△∼△ABC DEF要点解析判定法要求对应边成比例的两组边必须是对应相等角的两SAS边，即这两组边必须是相等角的夹边判定法结合了角度和边长信息，在某些情况下比判定法更容易应用，尤SAS AA其是当已知两组对应边长和一个角度时判定法示例SAS示例问题分析步骤在△和△中，首先，我们有∠∠，即ABC DEFA=D=60°∠∠，，两个三角形有一对对应角相等A=D=60°AB=4cm，，AC=6cm DE=6cm DF=9cm接下来，计算两组对应边的比值判断这两个三角形是否相似AB/DE=4/6=2/3AC/DF=6/9=2/3应用判定法SAS根据条件，△和△有一对对应角相等（∠∠），并且这ABC DEFA=D=60°个角的两边成比例（）AB/DE=AC/DF=2/3根据判定法，△∼△SAS ABC DEF判定法练习题SAS练习题3判断并证明1题目条件2△和△中，∠∠，，，，ABC MNPB=N=90°AB=5BC=12MN=10NP=24解题思路3检查角和角，计算边的比例关系B N求解过程4∠∠，计算边比，B=N=90°AB/MN=5/10=1/2BC/NP=12/24=1/2结论5由判定法，∠∠且，所以△∼△SAS B=N AB/MN=BC/NP ABCMNP判定法（三边相似）SSS判定条件如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似这是最直接的相似三角形判定方法，只需要考虑边长信息数学表达对于△和△，如果，则△∼ABC DEFAB/DE=BC/EF=CA/FD ABC△这三个比值相等的值就是相似比DEF应用条件当只有边长信息而没有角度信息时，可以使用判定法在实际测量中，SSS有时测量边长比测量角度更容易，此时判定法特别有用SSS注意事项在应用判定法时，必须确保按照正确的对应关系计算比值三组对应SSS边必须都成相同的比例，才能判定两个三角形相似判定法示例SSS6cm8cm△的边△的边ABC ABABC BC第一个三角形的第一条边第一个三角形的第二条边10cm△的边ABC CA第一个三角形的第三条边在另一个三角形△中，，，判断这两个三角形是否相PQR PQ=9cm QR=12cm RP=15cm似解计算三组对应边的比值，，AB/PQ=6/9=2/3BC/QR=8/12=2/3CA/RP=10/15=2/3由于三组对应边的比值都相等，根据判定法，△∼△，相似比为SSS ABC PQR2:3判定法练习题SSS三角形第一条边第二条边第三条边△ABC AB=3BC=4CA=5△DEF DE=6EF=8FD=10练习根据上表中的数据，判断△和△是否相似4ABC DEF解计算三组对应边的比值AB/DE=3/6=1/2BC/EF=4/8=1/2CA/FD=5/10=1/2由于三组对应边的比值都相等（都等于），根据判定法，△∼△，相似比为1/2SSS ABC DEF1:2相似三角形判定方法比较判定法判定法判定法AA SAS SSS优点只需要角度信优点结合角度和边优点只需边长信息，最简单直接长信息，可确定相似息，可直接确定相似比比缺点无法确定相似比缺点要求特定夹角缺点需要全部边长数据适用场景已知角度适用场景已知一个信息，或存在平行线角和其两边比例适用场景只有边长关系信息可用特殊情况直角三角形的相似判定判定定理判定定理HL LL如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个三两个三角形相似角形相似这是直角三角形特有的判定方法，简化了一般三角形的判定条这也是直角三角形特有的判定方法，利用了勾股定理的性质件数学表达对于直角三角形和（∠∠），数学表达对于直角三角形和（∠∠），ABC DEFC=F=90°ABC DEFC=F=90°如果，则△∼△如果，则△∼△AB/DE=AC/DF ABC DEF BC/EF=AC/DF ABC DEF直角三角形由于具有特殊性质，其相似判定比一般三角形更为简化利用这些特殊判定方法，可以更高效地解决涉及直角三角形的相似问题直角三角形相似判定示例判定法应用判定法应用HL LL△和△都是直角三角形，∠∠，，，，△和△都是直角三角形，∠∠，，，，ABC DEFC=F=90°AB=10AC=6DE=5PQR XYZR=Z=90°PQ=8QR=6XY=4DF=3YZ=3斜边与一直角边的比值，两直角边的比值，AB/DE=10/5=2AC/DF=6/3=2QR/YZ=6/3=2PR/XZ=由判定法，△∼△根据勾股定理，HL ABC DEF PR=√PQ²+QR²=10XZ=√XY²+YZ²=5所以，由判定法，△∼△PR/XZ=10/5=2LL PQRXYZ平行线分割三角形平行线分割定理如果一条直线平行于三角形的一边，则这条直线将三角形的其余两边按相同的比例分割相似三角形结论一条平行于三角形一边的直线，将把该三角形分成两个相似的三角形，其中一个与原三角形相似比例关系如果在△中，∥，则反之，如ABC DEBC AD/AB=AE/AC果，则∥AD/AB=AE/AC DEBC平行线分割三角形的性质在证明题和计算题中非常常用，它提供了一种构造相似三角形的方法，也是解决中考几何题的重要工具平行线分割三角形示例示例问题证明相似在△中，点在上，点在上，且∥已知证明在上述条件下，△∼△ABC D AB EAC DEBC ADE ABC，，求的长度AB=6BD=2AC=9AE•因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC（内错角相等）•由于DE∥BC，根据平行线分割三角形的性质•同理，∠AED=∠ACB（内错角相等）•AD/AB=AE/AC•再由三角形内角和为180°，可得∠DAE=∠BAC•AD=AB-BD=6-2=4•因此，△ADE和△ABC有三对对应角相等•代入比例关系4/6=AE/9•由AA判定法，△ADE∼△ABC•解得AE=6相似三角形在测量中的应用测量原理高度测量利用相似三角形的对应边成比例的性通过制造相似三角形，利用影子、棒1质，可以间接测量难以直接测量的高尺或镜子，可以测量高大物体（如树度、距离等木、建筑物）的高度实际应用距离测量相似三角形在测绘、导航、建筑设计利用相似三角形原理，可以测量河流等领域有广泛应用，是解决实际测量宽度、山谷深度等难以直接测量的距问题的重要工具离测量高度的实例影子法测树高镜子反射法某同学身高米，在阳光下他的影子长利用镜子的反射原理测量物体高度将镜子

1.

51.2米，同时一棵树的影子长米如何求树的平放在地上，观察者后退直到能在镜子中看8高度？到物体顶端解阳光照射角度相同，形成的三角形相根据光的反射定律，观察者眼睛、镜子和物似设人和影子构成直角三角形△，树体顶端构成相似三角形，可以通过测量观察ABC和影子构成直角三角形△根据判者到镜子的距离、观察者眼睛高度和镜子到DEF AA定法，△∼△物体的距离来计算物体高度ABC DEF由相似比例关系树高人高树影人影/=/代入数据，解得米h/

1.5=8/

1.2h=10棒尺测高法竖直放置一根已知长度的棒尺，利用人眼、棒尺顶端和待测物体顶端构成的相似三角形关系测量高度这些方法都基于相似三角形原理，是古代测量高大物体的智慧结晶，至今仍有实用价值相似三角形在工程中的应用相似三角形在各种工程项目中有广泛应用在建筑设计中，相似三角形原理用于确定比例和结构强度桥梁工程师利用相似三角形设计桁架结构，保证桥梁既坚固又节省材料水坝建设中，三角形设计能够均匀分散水压力通信塔和输电塔的设计也大量应用相似三角形原理，确保在各种气候条件下的稳定性桥梁设计中的相似三角形桁架结构设计受力分析桥梁中的桁架通常由多个相似三角形构成，形成稳定的网状结构工程师通过分析桁架中相似三角形的受力情况，计算各构件的应三角形是最稳定的几何形状，能够有效分散和传递力，提高桥梁力分布相似三角形的性质使得可以通过小比例模型预测实际桥的承载能力梁的受力情况材料优化历史发展利用相似三角形的面积比与相似比平方的关系，工程师可以优化从古罗马的拱桥到现代的悬索桥，三角形结构一直是桥梁设计的材料使用，既保证结构强度，又节约建设成本这是现代桥梁设核心元素随着工程力学的发展，相似三角形的应用越来越精确计的重要考量因素和广泛相似三角形在艺术中的应用绘画构图建筑美学分形艺术艺术家常用三角形构图法创造稳定且富从埃及金字塔到现代建筑，相似三角形相似三角形是创造分形图案的基础元素有动感的画面莱昂纳多达芬奇的《最被广泛应用于建筑设计中黄金三角形之一谢尔宾斯基三角形是一种由无限··后的晚餐》和拉斐尔的《雅典学院》都（其中两边比为黄金比例）尤其受到建递归的相似三角形组成的分形，被广泛采用了相似三角形构图，创造出和谐的筑师青睐，因为它能创造出令人愉悦的应用于现代艺术和计算机图形设计中视觉效果视觉比例黄金分割与相似三角形黄金三角形五角星与黄金比例应用实例黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，正五角星中包含个黄金三角形连接黄金三角形被广泛应用于设计、产10logo其中底边与腰的比值等于黄金比例（约正五边形的各个顶点形成的五角星，其品包装、海报设计等领域许多著名品）这种三角形在自然界和艺中的三角形都满足黄金比例关系牌的标志中都蕴含着黄金三角形的比1:

1.618术设计中广泛存在例黄金三角形可以无限分割成更小的相似这种几何关系在古希腊时期就被发现，在摄影构图中，黄金三角形法则帮助摄三角形，每个都保持黄金比例，形成一被毕达哥拉斯学派视为神圣几何的体影师创造出平衡且动感的画面，增强照种美丽的数学模式现，也是他们的秘密标志片的艺术感染力相似三角形的性质面积比k²4面积比与相似比关系相似比为的示例2如果两个三角形相似，且相似比为，则它们的相似比为时，面积比为，即大三角形面积k22²=4面积比为是小三角形的倍k²49相似比为的示例3相似比为时，面积比为，即大三角形面积33²=9是小三角形的倍9这一性质可以形式化表示为如果△∼△，相似比为（即对应边的比值为），则ABC DEFk k△△这一性质在解决与面积相关的问题时非常有用，尤其是当直接计算面积比较S ABC/S DEF=k²困难时面积比等于相似比的平方，这一结论也适用于所有相似多边形，是平面几何中的重要性质面积比例练习题练习练习56在△中，点在上，点在上，∥，两个相似三角形的面积比为，求它们的相似比ABC D AB EAC DEBC4:9，求△与△的比值AD:DB=2:1S ADES ABC解析解析•设相似比为k•由于DE∥BC，所以△ADE∼△ABC•根据面积比=相似比的平方，有k²=4/9•AD:AB=2:3（因为AD:DB=2:1，所以AD=2x，DB=x，所以•k=2/3）AB=3x•因此，两个三角形的相似比为2:3•相似比为2/3验证如果相似比为，则面积比应为，与题目条2:32/3²=4/9•根据面积比=相似比的平方，得到件相符△△S ADE:S ABC=2/3²=4/9相似三角形的性质周长比周长比性质推导过程应用意义如果两个三角形相似，则它们的周长比等由相似三角形的定义，对应边成比例，即周长比等于相似比的性质在解决与周长相于相似比这是相似三角形的另一个重要关的问题时非常有用，尤其是在计算不规AB/DE=BC/EF=CA/FD=k性质则图形的周长时所以，，AB=k·DEBC=k·EFCA=k·FD形式化表示如果△∼△，相似这一性质也用于模型设计、地图绘制等需ABC DEF三角形的周长为ABC比为，则要按比例缩放的场景k AB+BC+CA/DE+EF+FD=AB+BC+CA=k·DE+k·EF+k·FD=kDE+EFk+FD因此，两三角形周长比为k周长比例练习题相似三角形的性质高线比高线定义三角形的高线是从一个顶点垂直于对边的线段每个三角形有三条高线，分别对应三个顶点高线比性质如果两个三角形相似，那么它们对应高线的比值等于相似比这是相似三角形的又一重要性质数学表达如果△∼△，相似比为，则，其中表示从顶点到的高线ABC DEFk hA/hD=hB/hE=hC/hF=k hAA BC推导与证明利用相似三角形的定义和三角形面积公式可以证明这一性质由于面积比为，而底边比为，所以高比必然为k²k k高线比例练习题题目描述解题思路两个相似三角形△和△的相利用相似三角形的高线比等于相似比ABC DEF1似比为从到的高线长为厘的性质解决设从到的高线为3:5A BC9A BC2米，求从到的高线长，从到的高线为D EFhA D EF hD计算过程最终结果由题意，相似比，厘米4k=3/5hA=9解得厘米hD=9×5/3=153根据高线比性质，，即hA/hD=k因此，从到的高线长为厘米DEF159/hD=3/5相似三角形的性质中线比中线比定理相似三角形的对应中线比等于相似比中线定义连接顶点与对边中点的线段数学表示如果△∼△，相似比为，则ABCDEFk mA/mD=mB/mE=mC/mF=k性质应用中线比性质可用于解决复杂几何问题和中点四边形问题证明方法可通过相似三角形分解或向量方法证明此性质中线比例练习题三角形边边边中线a bc ma△ABC6810△DEF

912157.5练习已知两个三角形的边长如上表所示，求△的中线的长度8ABC ma解析首先验证两三角形是否相似，，，三组对应边成比例，由判定AB/DE=6/9=2/3BC/EF=8/12=2/3CA/FD=10/15=2/3SSS法，△∼△，相似比为ABCDEF2:3由相似三角形的中线比等于相似比，有已知，所以ma/mD=2/3mD=

7.5ma=

7.5×2/3=5因此，△的中线的长度为ABC ma5相似三角形的性质角平分线比角平分线定义角平分线比性质数学表达角平分线是从三角形一个如果两个三角形相似，那如果△∼△，ABCDEF顶点出发，将该角平分的么它们对应角平分线的比相似比为，则k射线与对边的交点所形成值等于相似比这与高线，其lA/lD=lB/lE=lC/lF=k的线段每个三角形有三比和中线比的性质类似中表示顶点的角平分lA A条角平分线线应用价值角平分线比性质在解决一些复杂几何问题和证明题中有重要应用，特别是在需要构造辅助线的情况下角平分线比例练习题练习角平分线额外性质9两个相似三角形△和△的相似比为已知△除了角平分线长度比等于相似比外，角平分线还有一些其他重ABCPQR2:5ABC的角的角平分线长为厘米，求△的角的角平分线要性质A4PQR P长•内角平分线将对边分成与邻边成比例的两部分解析•三角形的三条内角平分线交于一点，这点是三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心•设△ABC的角A的角平分线为lA，△PQR的角P的角平分线为•在相似三角形中，对应内切圆半径比也等于相似比lP•由题意，△ABC∼△PQR，相似比为2:5这些性质在解决高级几何问题时非常有用•根据角平分线比性质，lA/lP=2/5•已知lA=4厘米，所以4/lP=2/5解得厘米•lP=4×5/2=10相似三角形综合应用题

（一）问题描述在△中，点在上，是△的高线已知，，求△的面积ABCD BCAD ABC BC=8AD=6BD=3ABC问题分析由于是高，所以∠考虑利用直角三角形判定相似，然后利用相似三角形的面积关系求AD ADB=90°解解题过程在△和△中，∠∠（是高），∠和ABD ADCADB=ADC=90°AD BAD∠都是公共角所以△∼△DAC ABDADC设相似比为k=BD:DC=3:8-3=3:5由面积比等于相似比的平方，△△S ABD:S ADC=3/5²=9/25设△，则△S ABD=SS ADC=25/9S因此△△△S ABC=S ABD+SADC=S+25/9S=9+25/9·S=34/9·S由△，得△S ABD=1/2·BD·AD=1/2·3·6=9S ABC=34/9·9=34相似三角形综合应用题

（二）练习在△中，是上一点，是上一点，且∥已知，，，求的长度10ABCD AB EAC DEBC AB=12AD=8AC=15AE解析因为∥，所以△∼△（平行线分割三角形）根据相似比关系，，即解得DEBCADEABC AD/AB=AE/AC8/12=AE/15AE=10练习在直角三角形中，∠，，点在斜边上，⊥已知，求的长度11ABC C=90°AB=5D ABCD ABBD=2CD解析在△和△中，∠∠，∠∠，所以△∼△（判定法）由相似比，即ACD ABCC=C CDA=CBA=90°ACD ABCAA AD/AB=CD/BC5-但需要先求，利用勾股定理2/5=CD/BC BC相似三角形综合应用题

（三）等腰三角形中的相似相似中的比例计算复合图形问题在等腰三角形中，，点是上的一如果两个相似三角形的周长比为，则它们的面在菱形中，点是上一点，连接交对ABC AB=AC DBC3:5ABCD EBC AE点，连接并延长交的延长线于点求证积比为多少？角线于点若，，求的值AD ABE BDF BE=2EC=3BF:FD△∼△ADB AEC解析设相似比为，则周长比为，即解法需利用多个相似三角形关系和射影定理这类k kk=3/5证明在△中，（等腰条件）问题考查对相似三角形性质的综合应用能力ABC AB=AC由面积比等于相似比的平方，所以面积比为在△中，∠∠（等腰三角形的性质）ABD ABD=A k²=3/5²=9/25在△中，∠∠（等腰三角形的性质）因此，两个相似三角形的面积比为AEC AEC=A9:25而∠∠（同位角相等，因为延长与ADB=ACE AD延长相交）AB所以△和△有两对对应角相等，由判ADB AECAA定法，△∼△ADB AEC相似三角形在立体图形中的应用立体截面中的相似三角形投影与相似空间几何问题在许多立体图形中，不同高度的平行截三维空间中物体的投影也常与原物体形在解决空间几何问题时，识别相似三角面会形成相似图形例如，金字塔的水成相似关系例如，日照时物体的影子形是简化问题的重要方法例如，在计平截面是与底面相似的多边形，棱锥的形成的图形与物体本身常具有相似关算二面角、斜截面面积等问题时，常需平行截面也是相似图形系，这是测量高大物体的原理基础要利用相似三角形的性质这些相似关系可以用来计算立体图形的通过分解复杂的空间关系为平面上的相表面积、体积以及其他几何量相似比在透视学中，物体在不同距离的投影平似三角形关系，可以大大降低问题的难与截面到顶点的距离比有直接关系面上的像也构成相似关系，这是绘画和度摄影中透视原理的基础棱锥中的相似三角形棱锥的基本性质棱锥是由一个多边形底面和一个不在底面所在平面内的顶点连接而成的立体图形棱锥的侧面是由顶点到底面各边的连线形成的三角形平行截面定理如果一个平面平行于棱锥的底面，则该平面截棱锥所得的截面是与底面相似的多边形截面与底面的相似比等于截面到顶点的距离与棱锥高的比值侧面三角形的相似当棱锥被平行于底面的平面截断时，原侧面三角形与截断后剩余的侧面三角形相似这些相似关系可用于计算棱锥的表面积和体积体积比与相似比截断后剩余的小棱锥与原棱锥相似，它们的体积比等于相似比的立方这是相似立体图形的普遍性质，与相似平面图形面积比等于相似比的平方类似圆锥中的相似三角形轴截面的相似性平行截面的关系投影应用圆锥的轴截面是一个等腰三角形当圆圆锥的任意两个平行于底面的截面是相圆锥在平行光照射下形成的影子具有相锥被平行于底面的平面截断时，轴截面似图形（圆形）截面半径与到顶点距似性质通过分析圆锥及其影子形成的被分成两个相似的等腰三角形这种相离成正比，这一性质可用于解决圆锥截相似三角形，可以解决许多与投影相关似关系是计算圆锥截断体体积和表面积面问题利用相似三角形，可以证明截的几何问题这种思想在天文学中测量的基础面面积与到顶点距离的平方成正比天体距离时也有应用相似三角形与比例线段基本线段比例定理如果一条直线平行于三角形的一边，则它将其他两边按相同的比例分割这是相似三角形在线段比例方面的直接应用分割线段定理如果三条直线从一点出发，被两条平行线截得的线段，这些线段比例相等这一性质是相似三角形在平行投影中的应用中点连线定理连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且长度为第三边的一半这是比例线段的特殊情况，可以通过相似三角形证明调和比与相似调和四点组与投影几何中的相似三角形有密切关系通过相似三角形可以证明许多调和比性质，这在高级几何中有重要应用相似三角形与射影定理梅涅劳斯定理如果一条直线与三角形的三边（或其延长线）相交，则所得六条线段的特定积为1这个定理可以通过相似三角形来证明，是平面几何中的重要定理塞瓦定理如果从三角形的三个顶点分别引出三条直线交于一点，则这些直线在三角形各边上所截的六条线段的特定积为与梅涅劳斯定理类似，它也可以通过相似三角形证明1投影几何的基础相似三角形是投影几何的基础之一通过相似三角形可以研究投影变换下保持不变的性质，这对计算机图形学和视觉几何有重要意义测量应用射影原理在测量远距离或难以接近的物体时非常有用通过建立相似三角形关系，可以间接测量物体的尺寸，这是许多实用测量技术的理论基础相似三角形与平行四边形对角线性质中点四边形定理平行四边形的对角线相互平分，这可任意四边形的四边中点连接所得的四以通过相似三角形来证明对角线将1边形是平行四边形这一重要定理可平行四边形分成四个三角形，这些三2以通过相似三角形和中点连线性质来角形中存在多组相似关系证明变换与相似面积关系平行四边形可以看作是由平移变换得利用相似三角形可以证明许多关于平4到的，而相似三角形则涉及到相似变行四边形面积的定理，比如平行四边3换研究这两种变换的关系，可以深形面积等于底乘高，以及关于对角线入理解几何变换的本质划分的面积关系相似三角形与梯形中位线性质等腰梯形中的相似梯形的面积计算梯形的中位线平行于两底边，且长度等等腰梯形具有特殊的对称性，使得它可梯形的面积公式可以通过将梯形分解为于两底边长度的平均值这一性质可以以分解为多对相似三角形这些相似关三角形，并利用相似三角形的性质来推通过相似三角形来证明系可用于证明等腰梯形的各种性质导这种分解方法不仅直观，而且能够体现几何思想具体地，如果在梯形中作对角线，对角线将梯形分成两个三角形，利用平行线例如，等腰梯形的对角线相等，对角线例如，将梯形沿对角线分成两个三角分割三角形形成的相似关系，可以证明与底边形成的三角形之间存在相似关形，这两个三角形虽然不相似，但可以中位线的长度性质系通过分析这些相似三角形，可以更通过进一步构造找到相似关系，从而推深入理解等腰梯形的几何性质导出梯形面积公式相似三角形与圆切线割线定理弦切角定理幂定理与相似-从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的圆的切线与经过切点的弦所成的角，等于圆的幂定理指出，从平面上一点引向圆的平方等于割线的外部线段与整个割线的积弦所对的圆周角这一定理是圆几何中的所有割线，其外部线段与整个割线的积都这一定理可以通过相似三角形来证明重要定理，可以利用相似三角形来证明相等，这个常数被称为该点对圆的幂通过构造适当的三角形，并分析它们之间幂定理可以通过相似三角形来证明，它是具体地，根据切线和割线与圆的位置关系，的角度关系和相似性，可以简洁地证明弦圆几何中的基本定理，在反演几何和构造可以构造相似三角形，然后利用相似三角切角定理，体现几何证明的优美性问题中有广泛应用形的边长比例关系来证明该定理相似三角形在解析几何中的应用2D3D坐标平面中的相似空间解析几何在解析几何中，可以通过坐标变换来研究相似三角三维空间中的相似三角形可以通过向量和矩阵表示形如果两个三角形相似，则它们的顶点坐标之间存相似变换在三维空间中表现为缩放和旋转的组合在线性变换关系∞向量方法使用向量可以简化相似三角形的许多性质证明向量的线性组合和内积提供了处理相似问题的强大工具在解析几何中，相似三角形的研究既可以使用传统的坐标方法，也可以使用现代的向量方法向量方法通常能提供更简洁的证明和更深刻的洞察例如，利用向量可以简单地表示三角形的中线、高线、角平分线等，并证明它们在相似变换下的性质解析几何方法也是计算机图形学中处理相似变换的基础在计算机中绘制和变换图形时，常用矩阵表示相似变换，这种方法高效且易于实现相似三角形与坐标系相似变换与相似三角形缩放变换旋转变换缩放变换是将图形的所有点到某固定旋转变换是将图形绕某一点旋转一定点（缩放中心）的距离按相同比例改角度的变换旋转本身不会改变图形变的变换这是最基本的相似变换，的大小，但与缩放结合使用时，可以能保持图形的形状不变生成更一般的相似变换组合变换翻转变换将上述基本变换按不同顺序组合，可翻转变换（或反射变换）是将图形关以得到各种复杂的相似变换在相似于直线或点对称的变换翻转与缩放变换下，三角形的相似性质保持不结合，也能产生保持相似性的变换变相似三角形的构造方法平行线法利用平行线分割三角形的性质，可以构造与给定三角形相似的三角形具体地，在三角形的一边上取一点，然后过该点作平行于另一边的直线，即比例法可得到一个相似三角形根据相似三角形的对应边成比例的性质，可以通过设定边长比例来构造相似三角形例如，将原三角形的所有边长乘以相同的系数，即可得到一个角度法相似三角形根据相似三角形的对应角相等的性质，可以通过构造具有相同角的三角形来获得相似三角形这种方法特别适用于已知角度但不知道确切边长的情中心投影法况通过中心投影，可以将一个三角形投影成与之相似的三角形这种方法在透视学和视觉艺术中有广泛应用，是理解三维空间投影的基础利用尺规作图构造相似三角形已知三角形，按给定比例构造相似三角形给定三角形和比例，如何用尺规作出与相似且相似比为的三角形？ABC kABC kDEF步骤一画射线先任取一点，从作一条射线，在射线上标出点，使得D DD DD=k·AB步骤二确定第二个顶点从作一条与∠相等的角，在这个角的一边上截取DA DE=k·BC步骤三完成构造从作一条与∠相等的角，从作一条与∠相等的角，这两条线的交点即为E CDBF验证结果根据判定法，△∼△，且相似比为可以测量各对应边的比值进行验证AA DEF ABC k相似三角形的证明题型角度法证明边长法证明辅助线法证明利用对应角相等来证明两个三角形相似利用对应边成比例来证明两个三角形相通过作辅助线来创造相似条件这类题这类题目通常需要找出两对相等的角，似这类题目要么使用判定法，要目需要找到合适的辅助线，将原问题转SSS然后应用判定法角度相等关系可能么使用判定法需要通过已知条件化为已知的相似条件常见的辅助线包AA SAS需要根据平行线、垂直线等条件来确定推导出对应边的比例关系，这可能涉及括平行线、高线、角平分线等作辅助例如，利用平行线的内错角相等、垂直到勾股定理、平行线分割三角形的性质线是解决复杂几何证明的重要技巧，需线段的垂直性等性质等有时需要通过代数运算来证明比例要丰富的几何直觉和创造性思维关系证明题示例

（一）题目在△中，是角的角平分线，点在上已知，，，求证△∼△ABCADADBC AB=12AC=8BD=9DC=6ABD ACD分析题目中是角平分线，这意味着∠∠可以考虑使用判定法来证明相似，需要找出AD BAD=DAC SAS对应边的比例关系证明第一步根据是角的角平分线，有∠∠ADABAD=DAC第二步计算对应边的比值，AB/AC=12/8=3/2BD/DC=9/6=3/2第三步由判定法，两三角形有一对对应角相等SAS（∠∠），且包含这个角的两组对应边成比例BAD=DAC（），所以△∼△AB/AC=BD/DC=3/2ABD ACD证明题示例

（二）题目在△中，是边上一点，是边上一点，是边上一点已知，，求证△∼△ABCDBC EAB FAC BD:DC=2:1AE:EB=2:1AF:FC=2:1DEF ABC证明根据题意，，，BD:BC=2:3AE:AB=2:3AF:AC=2:3由平行线分割三角形的性质，点将分成比为，点将分成比为，这意味着∥同理，∥，∥EAB2:1DBC2:1DE ACDF ABEF BC由于的三边分别平行于的三边，所以△与△的对应角分别相等根据判定法，△∼△DEF ABCDEF ABCAA DEFABC进一步，可以计算出△与△的相似比为，即对应边长的比值DEFABC2:3相似三角形在中考题中的应用计算题作图题证明题利用相似三角形的性质计算未利用尺规作出与给定三角形相证明两个三角形相似，或利用知边长、角度或面积这类题似的三角形此类题目考查对相似三角形证明其他几何性质目通常需要先证明相似关系，相似三角形构造方法的掌握，中考中的证明题一般难度适中，然后利用比例关系求解中考以及对几何作图基本技能的应侧重于基本判定方法的应用和中常见的题型包括平行线分割用需要理解相似变换的本质简单的推理过程，不会涉及过三角形、影子测高等实际应用和几何作图的规则于复杂的辅助构造问题实际应用题将相似三角形原理应用于实际问题，如测量高度、距离等这类题目强调几何知识的实用性，考查将抽象几何知识转化为解决实际问题的能力中考真题解析

（一）年某地中考题解析续2022如图所示，在△中，∠，是的中点，（）由（）已证△∼△，且是的中点，所以ABC ACB=90°D AB21CDE CABDAB⊥于点CE ABE DE=1/2·AB（）求证△∼△；根据相似比，1CDE CABCE/CA=DE/AB=1/2（）若，，求的长已知，所以2AB=10AC=6CE AC=6CA=6解析因此CE=CA·DE/AB=6·1/2=3（）由题意，∠，∠，所以所以1ACB=90°CED=90°CE=3∠∠ACB=CED这道题综合考查了相似三角形的判定和性质应用通过判AA又因为是的中点，所以定法证明相似，再利用相似比计算未知边长解题关键是正确DABAD=DB=1/2·AB识别相似条件并应用比例关系在△和△中，∠∠，∠∠（共CDE CABACB=CED CDE=CAB角），所以△∼△（判定法）CDE CABAA中考真题解析

（二）年某地中考题2021一道关于平行四边形与相似三角形的综合题题目描述在平行四边形中，点在上，点在上，且ABCD EAB FBC AE:EB=BF:FC=1:2问题要求求证△∼△，并求△与△的面积比DEF DCADEF DCA解题思路利用平行线分割三角形的性质，证明相似关系，再计算面积比结论5△∼△，面积比为DEF DCA1:9课程总结相似三角形的定义和性质三种判定方法相似三角形是指对应角相等且判定相似三角形的方法包括AA对应边成比例的三角形相似判定法（两角相等）、判SAS三角形具有周长比等于相似定法（两边比例相等且夹角相比、面积比等于相似比的平等）和判定法（三边比例SSS方、对应高线、中线、角平分相等）每种方法适用于不同线的比值等于相似比等重要性情况，灵活选择可简化解题过质程实际应用相似三角形广泛应用于测量高度和距离、工程设计、艺术创作等领域掌握相似三角形的原理和方法，可以解决许多实际问题，培养几何思维和空间想象能力谢谢聆听提问环节课后练习现在是提问时间，欢迎同学们针对课程内容提出问题如有不为巩固今天所学知识，请完成以下练习理解的地方，请随时举手提问相似三角形是几何学中非常重•证明题在△ABC中，D是BC边上一点，AD是角A的角平要的概念，掌握好相似三角形的判定方法和性质，对今后学习分线求证AB/AC=BD/DC其他几何知识和解决实际问题都有很大帮助•计算题已知两相似三角形的周长比为2:5，求面积比•应用题一座高塔的影子长15米，同时一根2米高的竿的影子长米，求塔高3。