离散数学概念回顾：课件展示

离散数学概念回顾欢迎来到离散数学概念回顾课程离散数学是计算机科学和数学的重要基础，研究离散结构和有限数学对象的性质本课程将系统地回顾离散数学的核心概念，包括数理逻辑、集合论、关系、函数、图论、代数系统以及形式语言与自动机离散数学与连续数学不同，它关注的是分立的、非连续的数学结构这些知识对于算法设计、数据结构、人工智能、密码学和计算理论等领域都有深远的应用通过这门课程，您将建立坚实的数学基础，为后续的专业课程和实际问题解决奠定基础课程概述离散数学的定义课程重要性12离散数学是研究离散结构的数离散数学是计算机科学的理论学分支，其对象通常是可数的、基础，对算法设计、数据结构、有限的或离散的与连续数学人工智能和密码学等领域至关不同，离散数学不涉及极限和重要掌握离散数学的概念和连续变化的概念，而是专注于方法有助于提高逻辑思维能力，离散对象之间的关系和性质培养抽象思考和问题解决的技能主要内容板块3本课程涵盖七大核心板块数理逻辑、集合论、关系、函数、图论、代数系统以及形式语言与自动机每个板块都包含基本概念、理论和实际应用，旨在帮助学生建立完整的离散数学知识体系第一部分数理逻辑命题逻辑逻辑运算谓词逻辑研究简单陈述句的真假性及其组合命题逻包括否定、合取、析取、蕴含和等价等基本扩展了命题逻辑，引入个体词、谓词和量词辑是推理系统的基础，为我们提供了一种用操作这些操作允许我们构建复杂的逻辑表谓词逻辑能够表达更复杂的数学命题和自然符号表示和分析逻辑语句的方法达式并分析其真值语言表述命题逻辑命题的定义真值表命题是一个确定的陈述句，它或者为真，或者为假，但不能既真真值表是表示命题公式在所有可能的真值赋值下的真值情况的表又假例如，北京是中国的首都是一个真命题，而是格对于含有个命题变元的公式，真值表有行真值表是分2+3=6n2^n一个假命题注意，疑问句、感叹句、命令句等不是命题析命题公式性质的重要工具，能够帮助我们确定公式的类型（重言式、矛盾式或可满足式）逻辑联结词否定¬1否定是一元操作，表示命题的真值取反如果为真，则为p¬p假；如果为假，则为真例如，若为今天下雨，则p¬p p¬p合取∧2为今天不下雨合取是二元操作，表示且的关系∧当且仅当和都为p q p q真时才为真例如，今天下雨且天气冷只有在同时下雨和天析取∨3气冷时才为真析取是二元操作，表示或的关系∨当和至少有一个p qp q为真时为真例如，我去看电影或者去图书馆在两种选择中蕴含至少实现一种时为真4→蕴含是二元操作，表示如果那么的关系当且仅当......p→q为假或为真时为真例如，如果下雨，那么地面湿在不下p q等价↔5雨或地面湿的情况下为真等价是二元操作，表示当且仅当的关系当且仅当和p↔qp具有相同真值时为真等价关系在逻辑等值变换中特别重要q命题公式命题公式的定义公式的递归定义真值表构造命题公式是由命题变元通过逻辑联结词构所有命题变元都是命题公式如果对于给定的命题公式，我们可以通过构造

1.

2.A成的表达式命题公式是命题逻辑的基本是命题公式，则也是命题公式如果真值表来确定其在所有可能的真值赋值下¬A

3.研究对象，它们表示复杂的逻辑关系基和都是命题公式，则∧、∨、的真值首先列出所有命题变元的可能真A B A B A B本的命题变元（如、、等）是最简单的和都是命题公式只有通过值组合，然后按照运算优先级（通常是括p qr A→B A↔B

4.命题公式有限次使用上述规则得到的表达式才是命号、否定、合取、析取、蕴含、等价）依题公式次计算公式的真值等值演算基本等值式代入规则等价关系的基本法则，包括双重否定律、1在等价公式中，可以用等价的公式替换其幂等律、交换律、结合律、分配律、德摩2中的子公式，结果仍然等价根律、吸收律等等值演算应用置换规则4通过等值演算可以简化复杂公式，判断公若两个公式等价，那么在任何公式中，将3式类型，或将公式转化为特定形式如范式其中一个子公式替换为与之等价的公式，得到的新公式与原公式等价范式合取范式析取范式范式转换合取范式是一个或多个析取子句的合取式每析取范式是一个或多个合取子句的析取式每任何命题公式都可以转换为等价的合取范式或个析取子句是由一个或多个文字（命题变元或个合取子句是由一个或多个文字（命题变元或析取范式转换步骤包括消去双条件和条

1.其否定）通过析取连接而成例如，其否定）通过合取连接而成例如，件；使用德摩根律将否定移到变元上；使

2.

3.∨∧∨是一个合取范式合取范式∧∨∧是一个析取范式析取范式用分配律将公式转换为所需的形式这种转换p q¬p rp q¬p r常用于判定公式的可满足性对于判断公式是否为重言式很有用是逻辑分析和证明中的重要技术主范式主合取范式主析取范式真值表与主范式的关系主合取范式是一种特殊的合取范式，其中每主析取范式是一种特殊的析取范式，其中每主范式可以直接从真值表中导出对于主析个析取子句恰好包含所有命题变元（或其否个合取子句恰好包含所有命题变元（或其否取范式，选取真值表中结果为真的行，将每定）各一次每个析取子句对应真值表中的定）各一次每个合取子句对应真值表中的个变元根据其真值写成肯定或否定形式，然一个使公式为假的赋值例如，对于命题公一个使公式为真的赋值例如，对于命题公后用合取连接这些变元，最后用析取连接所式，其主合取范式为∨式，其主析取范式为有合取子句主合取范式的构造与此类似，p→q¬p qp→q∧∨∧∨∧但选取结果为假的行并取反¬p¬q¬p qp q推理理论推理的定义推理是从已知前提得出结论的过程在形式逻辑中，推理被表示为若前提都为真，则结论1A1,A2,...,An B也为真推理的形式化推理可以形式化为∧∧∧当且仅当这个蕴含式是重言式时，该推理2A1A

2...An→B是有效的有效推理规则常见的有效推理规则包括肯定前件、否定后Modus Ponens3件、假言三段论、析取三段论、合取引入、合Modus Tollens取消去等谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，引入了个体词、谓词和量词等概念个体词表示讨论范围内的对象，如张

三、这本书等谓词表示对象具有的性质或关系，如是学生、大于等量词分为全称量词（∀）和存在量词（∃）全称量词∀表示对所有，存在量词∃表示存在通过引入这些元素，谓词逻xxxx辑能够表达更丰富的语义内容，描述更复杂的数学命题和自然语言陈述谓词公式谓词公式的构成谓词公式的递归定义解释与模型谓词公式由个体常量、个体变量、谓词符所有原子谓词公式都是谓词公式如谓词公式的解释包括确定一个论域（个体

1.

2.号、联结词和量词组成最简单的谓词公果是谓词公式，则也是谓词公式的集合）和对谓词符号、函数符号和常量A¬A

3.式是原子谓词公式，形如，其中是如果和是谓词公式，则∧、∨、符号的解释在给定解释下，谓词公式可Px PA B A B A B谓词符号，是个体变量复杂的谓词公和都是谓词公式如果是以被赋予真值如果存在一个解释使谓词x A→B A↔B

4.A式可以通过逻辑联结词和量词构建谓词公式，是个体变量，则∀和∃公式为真，则称该公式是可满足的如果x xAxA都是谓词公式在所有解释下公式都为真，则称其为有效式谓词演算量词等值公式1谓词逻辑中重要的等值关系德摩根律推广2¬∀xPx≡∃x¬Px和¬∃xPx≡∀x¬Px量词分配律3∀xPx∧Qx≡∀xPx∧∀xQx和∃xPx∨Qx≡∃xPx∨∃xQx置换规则4允许用等价公式替换谓词公式中的子公式代入规则5允许将项代入自由变量，但需避免变量捕获谓词演算是谓词逻辑中推导和证明定理的系统通过应用置换规则和代入规则，我们可以从已知公式推导出新的公式量词的存在增加了演算的复杂性，但也使得系统能够处理更丰富的数学命题第二部分集合论集合关系基本概念包括子集、真子集、相等等关系，描述集合之间的从属和等价关系集合的定义、表示方法和基本操作，是集合2论的核心内容1集合运算并集、交集、补集和差集等运算，以及3这些运算的性质和规律集合恒等式5特殊集合4描述集合运算规律的各种等式，是集合论的理论基础幂集、笛卡尔积等特殊集合构造，扩展了集合论的应用范围集合的基本概念集合的定义列举法表示集合是具有某种特定性质的对象的全列举法通过直接列出集合的所有元素体，这些对象称为集合的元素集合来表示集合，元素之间用逗号分隔，是离散数学的基本概念，为其他数学整个集合用花括号括起来例如，{1,分支提供了基础集合中的元素是明表示由到的五个自然数2,3,4,5}15确的、无序的，且不重复计数例如，组成的集合这种方法适用于元素数所有正偶数构成一个集合，所有自然量有限的集合对于无限集合，我们数构成另一个集合通常列出足够多的元素，然后用省略号表示剩余元素描述法表示描述法通过一个谓词来表示集合，即，表示满足条件的所有元Px{x|Px}Px素的集合例如，是偶数且表示小于的所有偶数的集合，即x{x|x x10}10{2,描述法特别适合表示由某种规则定义的集合，尤其是元素数量无限的集4,6,8}合集合间的基本关系子集关系真子集关系相等关系如果集合的每个元素如果⊆且（即如果⊆且⊆，则A A B A≠B B A BBA都是集合的元素，则中至少有一个元素不在称集合和相等，记作BA B称是的子集，记作中），则称是的真这意味着和包A BA A BA=BAB⊆子集关系具有自子集，记作⊂真子含完全相同的元素集ABAB反性、传递性，但不具集关系强调了两个集合合相等关系具有自反性、有对称性例如，的不相等性例如，对称性和传递性，是一{1,2}{1,是的子集，而是的真子集，种等价关系在集合论{1,2,3}2}{1,2,3}自然数集是整数集的子但不是中，两个集合相等当且{1,2,3}{1,2,3}集空集是任何集合的的真子集真子集关系仅当它们的元素完全相子集，即⊆对任何集不具有自反性同，与元素的排列顺序∅A合都成立无关A集合的运算并集∪1两个集合A和B的并集，记作A∪B，是由所有属于A或属于B（或同时属于两者）的元素组成的集合形式化定义为A∪B={x|x∈A或x∈B}并集运算是交换的、结合的，且与自身的并集等于自身例如，{1,2}∪{2,3}={1,2,3}交集2∩两个集合A和B的交集，记作A∩B，是由所有同时属于A和B的元素组成的集合形式化定义为A∩B={x|x∈A且x∈B}交集运算也是交换的、结合的如果A∩B=∅，则称A和B为不相交的或互斥的例如，{1,2}∩{2,3}={2}补集或3AĀ在给定全集U下，集合A的补集是U中所有不属于A的元素的集合记作A或Ā，定义为A={x|x∈U且x∉A}补集运算满足双重补律A=A例如，在全集U={1,2,3,4,5}下，如果A={1,3,5}，则A={2,4}差集4−集合A与B的差集，记作A−B，是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合形式化定义为A−B={x|x∈A且x∉B}差集可以用补集表示A−B=A∩B差集运算不具有交换性例如，{1,2,3}−{2,3,4}={1}，而{2,3,4}−{1,2,3}={4}幂集2^n4元素个数基本示例若集合A包含n个元素，则A的幂集包含2^n个元素{1,2}的幂集为{∅,{1},{2},{1,2}}，共4个元素，验这是因为对于A中的每个元素，我们都有两种选择证了2^2=4包含或不包含它8扩展示例{a,b,c}的幂集包含8个元素∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}这里2^3=8幂集是给定集合A的所有子集构成的集合，记作PA或2^A形式化定义为PA={X|X⊆A}幂集包含空集（作为任意集合的子集）和A本身（作为A的子集）幂集满足多种性质，例如对于任意集合A和B，如果A⊆B，则PA⊆PB；PA∪B=PA∪PB；PA∩B=PA∩PB在计算机科学中，幂集的概念广泛应用于组合问题、算法设计和数据结构优化笛卡尔积几何表示集合表示扩展到多个集合笛卡尔积可以在几何上表示为平面上的点集两个集合和的笛卡尔积，记作，是笛卡尔积可以扩展到多个集合，形成有序ABA×B n例如，表示二维平面上的所有点，其中所有可能的有序对构成的集合，其中元组例如，∈R×R a,b A×B×C={a,b,c|a A,是实数集笛卡尔积提供了表示多维空间∈且∈形式化定义为∈∈多集合笛卡尔积在数据库理R a A b BA×B={a,b B,c C}的数学基础，在计算机图形学和坐标几何中∈且∈例如，如果且论中尤为重要，它是关系代数的基础，用于b|a Ab B}A={1,2}有广泛应用，则表示关系数据模型中的表格和查询结果B={a,b}A×B={1,a,1,b,2,a,2,b}集合恒等式基本律集合表达式含义交换律A∪B=B∪A集合的并和交运算与元素顺序A∩B=B∩A无关结合律A∪B∪C=A∪B∪C集合运算可以任意分组进行A∩B∩C=A∩B∩C分配律A∩B∪C=A∩B∪A∩C集合运算之间的相互分配关系A∪B∩C=A∪B∩A∪C德摩根律A∪B=A∩B并集的补等于各补集的交；交A∩B=A∪B集的补等于各补集的并吸收律A∪A∩B=A集合与自身的交并运算后的简A∩A∪B=A化集合论中的恒等式是描述集合运算性质的基本规律这些恒等式不仅是集合论的理论基础，也为集合运算的化简和推导提供了工具理解并掌握这些恒等式对解决复杂的集合问题至关重要这些集合恒等式可以通过维恩图直观地验证，也可以通过集合的定义和元素的成员关系进行严格的证明在实际应用中，这些恒等式帮助我们简化集合表达式，优化集合运算，提高算法效率第三部分关系关系的定义关系是笛卡尔积的子集，描述了不同集合元素之间的联系关系理论为描述和分析现实世界中的各种关联提供了数学基础关系的表示关系可以通过有序对集合、关系矩阵、关系图等多种方式表示不同的表示方法适用于不同的应用场景和分析需求关系的性质关系可以具有自反性、对称性、传递性等性质这些性质定义了关系的基本特征，对于分类和应用关系至关重要特殊关系等价关系和偏序关系是两类重要的特殊关系，它们在数学和计算机科学中有广泛的应用，如集合划分和数据排序关系的定义二元关系的定义定义域与值域12从集合A到集合B的二元关系R是A×B关系R⊆A×B的定义域是{a∈A|存的子集，记作R⊆A×B如果a,在b∈B使得a,b∈R}，即所有与某b∈R，则称a与b有关系R，记作个B中元素有关系的A中元素构成的aRb二元关系是最基本的关系类型，集合关系R的值域是{b∈B|存在它描述了两个集合元素之间的关联a∈A使得a,b∈R}，即所有与某个例如，如果A是学生集合，B是课程A中元素有关系的B中元素构成的集集合，那么选修关系R包含所有学合定义域和值域描述了关系涉及的生,课程对，表示该学生选修了该课元素范围程关系的表示方法3关系有多种表示方法，包括

1.集合表示直接列出关系中的所有有序对；

2.矩阵表示用0-1矩阵表示元素之间是否有关系；

3.关系图用图形表示，顶点表示元素，边表示关系；

4.表格表示尤其在数据库中，用表格行表示关系中的有序对不同表示方法适用于不同的分析和操作需求关系的性质自反性对称性传递性如果对于集合中的每个元素，都有如果对于任意∈，当∈时，如果对于任意∈，当∈且A a a,a,b A a,b R a,b,c Aa,b R∈，则称关系是自反的例如，在自也有∈，则称关系是对称的例∈时，也有∈，则称关系a R R b,a R R b,c Ra,c R R然数集上的小于或等于关系是自反的，如，相等关系是对称的，因为如果等是传递的例如，小于关系是传递的，a因为每个数都小于或等于自身相反，如于，则也等于如果对于任意∈，因为如果小于且小于，则小于b b aa,b Aa b b ca c果对于集合中的每个元素，都有当∈且时，有∉，则称传递性是许多重要关系的特征，如等价关Aaa,a,b Ra≠bb,a R∉，则称关系是反自反的小于关关系是反对称的小于关系是反对称系和偏序关系在图论中，传递性对应于a R RR系是反自反的，因为没有数小于自身的，因为如果小于，则不可能小于路径的存在性，是分析关系结构的重要工a bba具关系的运算逆关系复合关系关系的逆关系，记作，定义若是从到的关系，是从到的RR^-1R AB SB C为∈关系，则和的复合关系，记作R^-1={b,a|a,b R}R S逆关系本质上是将原关系中的每个有∘或，定义为∘S RRS S R={a,c序对的元素顺序颠倒例如，如果存在∈使得∈且R|bBa,b Rb,是父亲关系，那么就是孩∈复合关系类似于函数的复合，R^-1c S}子关系逆关系满足表示通过中间元素建立的间接关系R^-1^-1=，即逆关系的逆关系就是原关系例如，如果是父亲关系，是兄RRS如果是对称的，则弟关系，那么∘表示叔叔关系RR=R^-1SR关系的幂关系的次幂定义为，∘（）关系的幂表示R n R^n R^1=RR^n+1=R^nRn≥1通过多步关系连接建立的关系例如，在图论中，表示可以通过步到达的顶R^n n点关系如果表示直接朋友关系，那么表示朋友的朋友关系，表示RR^2R^3朋友的朋友的朋友关系，依此类推等价关系等价类1等价关系将集合划分为不相交的子集等价关系的性质2自反性、对称性和传递性实例应用3模运算、集合划分、同构关系数学意义4等价关系为抽象和分类提供数学基础等价关系是同时满足自反性、对称性和传递性的二元关系它是关系理论中最重要的关系类型之一，在数学和计算机科学中有广泛应用等价关系的核心作用是将集合分割成互不相交的子集，称为等价类经典的等价关系例子包括集合上的相等关系；整数上的模n同余关系，如模4同余将整数分成{...,-4,0,4,8,...}、{...,-3,1,5,9,...}、{...,-2,2,6,10,...}和{...,-1,3,7,11,...}四个等价类；平面上的平行关系（对直线）在程序设计中，等价关系用于实现哈希表、并查集等数据结构，支持高效的元素分组和查找等价类等价类的定义等价类的性质商集给定集合上的等价关等价类具有以下重要性由等价关系在集合上A R A系，元素∈的等价质对于任意∈，导出的所有等价类构成Ra A

1.a A类是所有与有关系的∈（由自反性）；的集合称为关于的商a Ra[a]

2.A R元素构成的集合，记作对于任意∈，要么集，记作，即a,b AA/RA/R=或，即，要么∈商集是集[a][a]_R[a]=[a]=[b]{[a]|aA}∈∈或（等价类要合的一个划分，它在{x A|a,x R[a]∩[b]=∅A等价类是等价关么相同，要么不相交）；许多数学抽象和构造中aRx}系将集合分割的基本单所有等价类的并集等起着重要作用，如商群、

3.位，每个元素都属于唯于整个集合，即商环、商拓扑空间等A一的等价类∪∈_{aA}[a]=A偏序关系定义常见例子偏序关系是同时满足自反性、反对称性和集合上的包含关系⊆是典型的偏序关传递性的二元关系偏序关系描述了元素1系；自然数上的整除关系也是偏序关之间的大小或包含等次序关系，但2系；实数上的小于或等于关系同样≤允许有不可比较的元素是偏序关系直观表示特殊元素偏序关系可以通过哈斯图直观地表示，其在偏序集中，最小元、最大元、极小元、4中顶点表示元素，边表示直接的次序关系极大元等特殊元素描述了集合的边界和极3哈斯图是理解和分析偏序结构的重要工具值情况，在优化问题中尤为重要哈斯图哈斯图是表示偏序集的有向无环图，其中每个顶点代表偏序集中的一个元素，当元素小于元素且之间没有其他元素时，从到有一条边a ba b为了简化表示，哈斯图省略了自反性和传递性产生的边，只保留必要的边，同时通常将边的方向通过垂直位置隐含表示（较小的元素放在下方）哈斯图广泛用于离散数学、组合数学和计算机科学中，帮助我们直观理解偏序结构典型应用包括表示集合的包含关系，如的2^{1,2,3}哈斯图；表示整数的整除关系，如上的整除关系哈斯图；表示格结构，如布尔代数的哈斯图在分析算法和数据结构时，哈{1,2,3,4,6,12}斯图也是研究拓扑排序和依赖关系的重要工具第四部分函数函数的基本概念函数是从定义域到值域的映射，为每个输入唯一指定一个输出函数是描述变量之间依赖关系的数学工具，在所有科学领域都有广泛应用函数的性质单射、满射和双射是函数的三个重要性质，它们描述了函数的输入和输出之间的对应关系这些性质在集合论、代数学和密码学中有重要应用函数的运算复合函数和逆函数是函数的两种基本运算复合函数将两个函数连接起来，逆函数则反转了函数的输入和输出关系理解这些运算有助于解决复杂的函数问题函数的基本概念函数的定义函数的表示方法12函数f从集合A到集合B是一种对应关函数有多种表示方法

1.箭头图或映系，它将A中的每个元素映射到B中的射图，用箭头连接定义域元素和对应唯一一个元素记作f:A→B，其中的值域元素；

2.解析表达式，如fxA称为函数的定义域，B称为函数的陪=x²；

3.表格，列出输入和对应的输域函数f的值域是{fa|a∈A}，即出；

4.图像，如在坐标平面上的曲线A中元素通过f映射得到的B中元素的不同的表示方法适用于不同的场景和集合函数可以看作是一种特殊的二分析需求每种表示方法都有其优势元关系，它满足对于每个a∈A，存和局限性，选择合适的表示方法有助在唯一的b∈B使得a,b∈f于更好地理解和应用函数特殊函数3恒等函数I_A:A→A，定义为I_Aa=a，将每个元素映射到自身常量函数c_B:A→B，定义为c_Ba=b（固定的b∈B），将所有元素映射到同一个值特征函数χ_S:A→{0,1}，对于S⊆A，定义为χ_Sa=1如果a∈S，否则χ_Sa=0，用于表示集合的成员关系这些特殊函数在函数理论和应用中有重要地位函数的性质单射（一对一）满射（映上）双射（一一对应）函数f:A→B是单射的，如果对于任意a₁,a₂∈A，函数f:A→B是满射的，如果对于任意b∈B，存函数f:A→B是双射的，如果它既是单射又是满当a₁≠a₂时，有fa₁≠fa₂，或等价地，当在a∈A使得fa=b换句话说，函数的值域等射双射建立了定义域和陪域之间的一一对应关fa₁=fa₂时，有a₁=a₂单射确保不同的输入于其陪域，即fA=B满射确保函数的输出覆盖系，对于A中的每个元素，B中有且仅有一个对产生不同的输出，这意味着每个输出值最多有一了整个陪域，这意味着B中的每个元素都是A中应元素，反之亦然双射函数尤为重要，因为它个输入与之对应单射函数在密码学中尤为重要，某个元素的像满射函数在构造证明和算法设计们保证了逆函数的存在性，使得我们可以在两个因为它保证了编码过程的可逆性中经常用于确保覆盖所有可能的情况集合之间建立完美的对应关系有限集合之间存在双射当且仅当它们具有相同的基数复合函数复合函数的定义复合函数的性质复合函数的应用给定函数和，它们的复合函复合函数具有多项重要性质结合性若复合函数在数学和计算机科学中有广泛应用f:A→B g:B→C

1.f:

1.数∘定义为∘，即，，，则∘∘在计算机图形学中，多个变换（如平移、旋转、g f:A→C g fa=gfa A→B g:B→C h:C→D hg f=先对应用函数，再对结果应用函数复合函∘∘；单位元对于任意函数，缩放）可以通过复合函数连接成单一变换；a f g hg f

2.f:A→B

2.数的定义域是函数的定义域，值域是函数作有∘和∘，其中是恒等函数；在函数式编程中，函数复合是构建复杂程序的f gI_B f=f f I_A=fI用于的值域后得到的集合，即复合如果和都是单射，则∘也是单射；如基本技术；在密码学中，多轮加密可以看作f gfA

3.f g g f

4.

3.函数是将两个映射连接起来形成新映射的基本果和都是满射，则∘也是满射；如果是加密函数的复合；在微积分中，链式法则fggf

5.f

4.方式和都是双射，则∘也是双射用于计算复合函数的导数；在数据处理中，ggf

5.数据转换管道可以建模为函数复合。