课件：计算几何基础教程 ACM讲座

计算几何基础教程讲座-ACM欢迎参加计算几何基础教程讲座本课程专为ACM竞赛选手设计，将系统介绍计算几何的核心概念、常用算法及其实现技巧无论您是初学者还是有一定经验的程序员，都能从中获取宝贵的知识，提升解决几何问题的能力计算几何作为算法设计中的重要分支，不仅在竞赛中频繁出现，也广泛应用于计算机图形学、机器人学、地理信息系统等众多领域掌握这些知识将为您的编程技能增添有力的工具课程概述计算几何的竞赛价值课程内容安排12计算几何在ACM竞赛中占有重本课程从基础概念入手，逐步要地位，约10-15%的题目涉及深入到高级算法涵盖向量运几何算法掌握计算几何不仅算、线段与多边形操作、凸包能够解决专门的几何题，还能算法、圆与三角形的性质、空提升解决复杂问题的思维能力，间几何等内容，同时关注精度增强空间想象力和算法设计能问题和实际编程技巧力学习目标3通过本课程学习，您将能够理解并实现常见的计算几何算法，掌握处理精度问题的技巧，能够分析几何问题并选择合适的算法解决，提高在ACM竞赛中的解题能力计算几何简介定义与应用领域在计算机科学中的地位常见问题类型计算几何是研究如何设计、分析几何算法作为计算机科学的重要分支，计算几何连计算几何常见问题包括凸包构建、点的包的学科，专注于处理点、线、面等几何对接了纯数学理论与实际应用，提供了解决含性测试、线段求交、三角剖分、最近点象的计算问题它广泛应用于计算机图形空间关系问题的算法框架它是算法设计对查找、Voronoi图构建等这些问题构学、地理信息系统、机器人学、分子生物中处理空间数据的核心工具，对于提高程成了计算几何的基础，也是ACM竞赛中常学、VLSI设计等多个领域序的效率和准确性至关重要见的题型基本数学概念回顾向量矩阵三角函数向量是具有大小和方向矩阵是数字排列成的矩三角函数是研究三角形的量在计算几何中，形阵列在计算几何中，边角关系的函数在计我们通常使用直角坐标矩阵常用于表示坐标变算几何中，三角函数用系表示向量，如二维向换，如平移、旋转和缩于计算角度、距离和面量x,y或三维向量放掌握矩阵运算对理积熟悉正弦、余弦、x,y,z向量是处理几解几何变换和实现复杂正切等函数及其关系，何问题的基础工具，通算法至关重要对解决旋转、投影等问过向量运算可以简化许题有重要意义多几何计算浮点数精度问题浮点数表示的局限性精度误差的影响处理精度问题的策略计算机中的浮点数使用有限位数表示，在计算几何算法中，小的精度误差可能常用策略包括使用足够大的精度界限无法精确表达所有实数IEEE754标准导致严重后果例如，判断三点是否共ε进行相等性比较；采用整数计算代替下，即使是简单的小数如

0.1也无法精确线、点是否在多边形内等问题，微小的浮点运算；使用有理数精确计算；应用表示，这导致在几何计算中可能出现意浮点误差都可能导致判断结果完全相反，符号扰动技术避免退化情况；以及使用外的误差进而影响算法的正确性专门的几何计算库点的表示与基本运算二维平面上点的表示点与点之间的距离计算点的坐标变换二维平面上的点通常用有序对x,y表示，在两点P1x1,y1和P2x2,y2之间的欧几里得点的坐标变换包括平移、旋转和缩放平移程序中可以使用结构体或类实现在C++中，距离计算公式为√x2-x1²+y2-y1²在是坐标加上位移向量；旋转可以通过三角函我们常定义结构体Point{double x,y;}来表实际编程中，我们可以使用平方距离进行比数或矩阵实现；缩放则是坐标乘以缩放因子示点，同时可以重载运算符以简化点的操作较，避免开方运算提高效率这些变换是高级几何算法的基础向量基础向量的定义和表示向量加减法向量的数乘向量是既有大小又有方向的量，可以表示为向量加法遵循平行四边形法则，代数上表示向量与标量的乘法称为数乘，表示为一个有序数对x,y在计算几何中，向量通为x1,y1+x2,y2=x1+x2,y1+y2向量减k·x,y=k·x,k·y，其中k为实数数乘改变常由起点和终点两个点确定，表示为从起点法可视为加上相反向量，即x1,y1-向量的长度，当k为负数时还会改变向量的指向终点的有向线段向量可以用于表示位x2,y2=x1-x2,y1-y2向量运算是构建复方向数乘在计算几何中常用于缩放和反向移、力或速度等物理量杂几何算法的基础操作向量点积点积的定义两个向量a=ax,ay和b=bx,by的点积或内积定义为a·b=ax·bx+ay·by点积是一个标量，既可以通过坐标分量相乘再相加计算，也可以通过向量长度和夹角计算a·b=|a|·|b|·cosθ点积的几何意义点积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一向量长度的乘积点积的符号反映两向量夹角的关系正值表示夹角为锐角，零值表示垂直，负值表示钝角点积的应用实例点积广泛应用于计算几何中，如判断两向量是否垂直点积为

0、夹角的余弦值计算、判断两向量方向的相似度、计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度等在ACM竞赛中，点积常用于各种几何判定向量叉积叉积的定义1二维向量a=ax,ay和b=bx,by的叉积或外积定义为a×b=ax·by-ay·bx叉积是一个标量，与三维叉积不同，二维叉积可以看作三维叉积的z分量叉积也可以表示为|a|·|b|·sinθ，其中θ是两向量的夹角叉积的几何意义2二维向量叉积的几何意义是以两向量为邻边的平行四边形的有向面积叉积的符号反映了第二个向量相对于第一个向量的相对方向正值表示b在a的逆时针方向，负值表示顺时针方向，零值表示共线叉积在计算面积中的应用3叉积在计算几何中有广泛应用，如判断点的左右关系，计算多边形面积，判断线段相交，以及凸包算法特别地，多边形顶点按顺序计算相邻边的叉积和，可得到多边形的有向面积的两倍直线的表示方法点斜式一般式参数方程点斜式是通过一个点x0,y0和斜率k确定直线y-一般式将直线表示为Ax+By+C=0任何二维直线都参数方程将直线表示为x=x0+t·dx,y=y0+t·dy，其y0=kx-x0此表示方法直观，但当直线垂直于x轴时可以用一般式表示，包括垂直于坐标轴的情况在计算中dx,dy是方向向量，t是参数参数方程适合表示线斜率不存在，需要特殊处理在编程实现中，我们通常几何程序中，通常使用一般式存储直线，因为它能统一段和射线，也便于计算直线上的点在射线追踪和交点避免使用点斜式来避免处理斜率无穷大的情况处理所有情况，且便于进行直线间的位置关系判断计算中，参数方程尤为有用直线间的位置关系垂直线判定两条直线垂直的条件是它们的法向量垂直，即A1·A2+B1·B2=0这源于向量点积为2零表示垂直的性质垂直线判定在构建垂平行线判定直平分线和计算投影点时非常有用两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0平行的条件是它们的法1直线交点计算向量平行，即A1/A2=B1/B2且两条不平行直线必有唯一交点已知两直A1/A2≠C1/C2平行线判定在许多几何线方程A1x+B1y+C1=0和算法中都是基础操作A2x+B2y+C2=0，其交点可通过克莱默法则求解x=B1·C2-B2·C1/A1·B2-3A2·B1,y=A2·C1-A1·C2/A1·B2-A2·B1点到直线的距离计算公式推导点Px0,y0到直线Ax+By+C=0的距离d可以通过点到直线的垂线长度计算通过向量投影原理，可推导出距1离公式d=|Ax0+By0+C|/√A²+B²，其中分子是点代入直线方程的结果，分母是直线法向量的长度实现代码在实际编程中，可以定义函数计算点到直线距离为避免浮点误差，当仅需比较不同点2到同一直线的距离时，可以省略分母计算，直接比较分子的绝对值，提高效率应用举例点到直线距离计算在许多算法中都有应用，如求点到线段的最短距离、计算多边形与直线的最近点、判断点是否在某个范围内等3在机器学习中的支持向量机SVM算法中也用到了这一概念线段的表示与基本性质线段的端点表示线段长度计算线段中点坐标线段通常用两个端点表示，记为线段AB，线段AB的长度等于端点A和B之间的欧几里线段AB的中点M的坐标为MxA+xB/2,其中A和B是平面上的点在代码中，可以得距离|AB|=√xB-xA²+yB-yA²在yA+yB/2中点是线段上的特殊点，在许用一对点表示线段，如struct Segment比较不同线段长度时，可以直接比较平方距多几何算法中有重要应用，如构造垂直平分{Point a,b;};线段与直线不同，它有限长离，避免开平方运算，提高计算效率线、三角形中线和中点四边形等且有明确的起点和终点判断点是否在线段上基于向量的方法基于面积的方法代码实现与优化判断点P是否在线段AB通过计算三角形面积也实际编程中，为处理浮上，可以检查三点是否可判断点是否在线段上点误差，通常使用误差共线且P在A和B之间如果三点构成的三角形范围ε比较浮点数另外，共线可通过向量叉积判面积为零即三点共线，可先进行快速排斥试验断P-A×B-A=0；且P的横坐标和纵坐标都检查P的坐标是否在以A位置关系可通过点积判在线段两端点坐标的范和B为对角的矩形范围内，断P-A·B-A≥0且围内，则P在线段AB上不在则直接排除，提高P-B·A-B≥0，表示P效率在线段AB上线段相交判定快速排斥实验快速排斥实验基于这样的事实如果两线段相交，则每个线段的两个端点必然分别位于另一线段所在直线的两侧通过比较线段在x和y方向上的投影是否有重叠，可以快速排除不可能相交的情况跨立实验跨立实验检查线段是否相互跨立对于线段AB和CD，计算向量叉积A-C×D-C和B-C×D-C，如果两者符号相反，说明A和B分别位于直线CD的两侧同理检查C和D是否位于直线AB的两侧完整判定算法实现完整的线段相交判定算法首先进行快速排斥实验，如果通过再进行跨立实验特殊情况下，如果两线段共线且有重叠部分，也视为相交实现时需考虑浮点误差和边界情况处理多边形的表示顶点序列表示多边形最常用的表示方法是按顺序通常是逆时针存储所有顶点的坐标在C++中，可以使用vector存储顶点序列这种表示法直观且便于实现多边形的各种操作，如计算面积、判断点是否在多边形内等边序列表示多边形也可以表示为边的集合，每条边由两个连续顶点确定边序列表示在某些算法中更为方便，如判断多边形是否为凸多边形检查所有相邻边的转向是否一致、计算多边形的周长等有序边表示法有序边表Ordered EdgeTable,OET将多边形的边按y坐标排序存储，便于扫描线算法处理每条边存储其端点信息、斜率倒数等这种表示法主要用于多边形填充、裁剪和求交等高级算法多边形的面积计算三角剖分法向量叉积法代码实现与效率分析将多边形分割成若干个三角形，然后累加利用向量叉积计算有向面积的方法更为高向量叉积法的代码实现简洁高效，时间复这些三角形的面积通常选取多边形的一效假设多边形顶点按逆时针排列为杂度为On，空间复杂度为O1该方法个顶点，将其与所有非相邻顶点连接，形P₀,P₁,...,P，则其面积为适用于任意简单多边形，甚至可以处理自ₙ₋₁成n-2个三角形该方法直观但实现复杂，S=½·|∑i=0to n-1xᵢyᵢ₊₁-xᵢ₊₁yᵢ|，相交多边形得到有向面积在竞赛中，特别是对于复杂多边形其中P=P₀这实际上是利用叉积计算这是计算多边形面积的首选方法ₙ各边与原点构成的三角形面积判断点是否在多边形内射线法从目标点向任意方向发射一条射线，计算与多边形边界的交点数1转角法2计算从目标点到多边形各顶点的向量之间的转角和三角剖分法3将多边形剖分为三角形，判断点是否在任一三角形内射线法Ray CastingAlgorithm是最常用的方法，若交点数为奇数，则点在多边形内部；若为偶数，则在外部实现时需特别处理射线恰好经过顶点或与边重合的情况转角法基于如下事实对于多边形内的点，环绕该点一周的角度和为2π；对于外部点，角度和为0该方法计算量较大，但处理某些特殊情况更为稳健在编程实现中，需要注意浮点误差处理，特别是当点位于多边形边上时的判断射线法在大多数情况下是首选算法，因其实现简单且效率高凸包问题简介凸包的定义凸包在实际中的应常见的凸包算法概用述凸包是包含给定点集的最小凸多边形形象地凸包算法广泛应用于计主要的凸包算法包括说，想象用一根橡皮筋算机图形学、模式识别、Graham扫描算法、围绕所有点，橡皮筋最碰撞检测等领域在机Jarvis步进法礼品包装终形成的形状就是凸包器人路径规划中，凸包算法、Andrew算法单凸包的顶点是原始点集用于避障；在图像处理调链、分治法等这些的一个子集，且构成的中，用于形状分析；在算法各有特点，时间复凸多边形能包含所有原设施选址问题中，用于杂度从On log n到始点确定覆盖范围On²不等，适用于不同场景扫描算法Graham算法原理1Graham扫描算法首先找到一个确定在凸包上的点通常是纵坐标最小的点，然后将其他点按照与该点的极角排序排序后，算法按顺序处理各点，维护一个凸多边形，遇到使凸性破坏的点时则回退步骤详解

21.找出纵坐标最小的点P₀若有多个则取横坐标最小者；

2.以P₀为原点，将其他点按极角从小到大排序；

3.将P₀和排序后的第一个点压入栈；

4.对剩余点，判断栈顶两点与当前点的转向，若不是逆时针则弹栈，直到满足凸性；

5.处理完所有点后，栈中元素即为凸包顶点代码实现3实现Graham扫描时，极角排序可用叉积判断两向量的相对方向，栈的操作可用向量进行核心在于判断三点构成的转向若叉积为正，表示逆时针转向，保留；若为负，表示顺时针，需回退算法时间复杂度主要由排序决定，为On logn算法Andrew与扫描的对比算法步骤GrahamAndrew算法也称单调链算法与

1.将所有点按x坐标从小到大排序；Graham扫描都是计算凸包的经典

2.分别构造上凸链和下凸链，上算法，时间复杂度均为On logn凸链从最左点出发，下凸链从最右不同之处在于Andrew算法按x坐点出发；

3.构造过程中使用标排序点集，而非按极角；Graham扫描相似的栈操作，确保Andrew算法分别构造上下两条凸链上三点转向的一致性；

4.合并链，而Graham扫描一次构造整个上下凸链去掉重复的端点得到完凸包整凸包实现要点Andrew算法的关键在于维护单调性和凸性上凸链时，保留叉积小于0的点顺时针转向；下凸链时，保留叉积大于0的点逆时针转向实现时需注意边界情况处理，特别是共线点的处理旋转卡壳算法求解最远点对最远点对一定出现在凸包的顶点上旋转卡壳从凸包上任意一对对踵点开始，逐步旋转支撑线，更新最远距离具体步骤是算法思想2找到x坐标最小和最大的点作为初始对踵点，然后按逆时针方向旋转，计算所有可旋转卡壳算法基于这样的观察在凸多能的点对距离，取最大值边形上寻找特殊点对如最远点对，可1以通过模拟卡尺旋转的方式高效解决时间复杂度分析算法先求出点集的凸包，然后在凸包上旋转一条直线，在旋转过程中更新所需旋转卡壳算法的时间复杂度为On，其信息中n是凸包的顶点数加上预先计算凸包的时间On logn，总体复杂度为On3logn这比暴力枚举所有点对的On²方法要高效得多，特别是在处理大规模点集时圆的基本性质圆的方程圆心和半径圆周上点的参数方程圆的标准方程为x-a²+y-b²=r²，其中圆心是到圆上任意点距离相等的点，这个距圆周上任意点的坐标可以用参数方程表示a,b是圆心坐标，r是半径圆的一般方程离就是圆的半径在编程中，圆常表示为x=a+r·cosθ,y=b+r·sinθ，其中为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中圆心坐标为-struct Circle{Point center;doubleθ∈[0,2π是参数这一表示法在绘制圆、D/2,-E/2，半径为√D²/4+E²/4-F在计radius;}圆心和半径完全确定了一个圆，离散采样圆周点、计算圆上等分点等任务中算几何中，通常使用圆心和半径直接表示圆是圆最基本的属性非常有用点与圆的位置关系内部点、外部点、圆上点判定最近点计算应用实例点Px,y与圆C圆心a,b，半径r的位置关系判给定圆外一点P，求圆上与P最近的点QQ一定点与圆位置关系判断在许多几何问题中都有应用，断基于点到圆心的距离若距离小于r，则P在圆在圆心O与P的连线上，且位于圆周上如果P如判断目标是否在某个范围内、计算点到圆的最内部；若距离等于r，则P在圆上；若距离大于r，在圆内，则圆上所有点到P的距离都大于P到圆短距离、碰撞检测等在游戏开发、物理模拟和则P在圆外部计算时通常比较平方距离与r²的心的距离，此时最近点不唯一机器人导航中尤为常见大小，避免开方运算直线与圆的交点代数方法几何方法特殊情况处理将直线方程y=kx+b代入圆的方程x-利用点到直线距离公式，计算圆心到直线的编程实现时需注意数值精度问题和特殊情况a²+y-b²=r²，得到关于x的二次方程根距离d若dr，则直线与圆无交点；若d=r，例如，直线与圆相切时，由于浮点误差，计据方程的判别式，可以判断直线与圆的位置则直线与圆相切；若d算的交点可能不精确此外，还需处理垂直关系判别式大于0表示有两个交点，等于于坐标轴的直线等特殊情况0表示相切，小于0表示无交点圆与圆的位置关系相离、相切、相交判定交点计算公共面积计算123两圆C₁圆心O₁，半径r₁和C₂圆心O₂，半径当两圆相交时，交点可通过解方程组x-a₁²+y-两圆相交的公共面积计算较为复杂，需先求出交点，r₂的位置关系取决于圆心距离d与半径之和、差的b₁²=r₁²和x-a₂²+y-b₂²=r₂²求得实际计然后计算两个扇形减去两个三角形的面积和具体公关系若dr₁+r₂，则两圆外离；若d=r₁+r₂，算中，可利用余弦定理确定交点到各圆心的夹角，再式涉及反三角函数，在实际编程中需特别注意数值稳则两圆外切；若|r₁-r₂|用参数方程求出交点坐标当两圆相切时，交点在连定性接两圆心的直线上三角形的心重心内心外心三角形的重心是三条中线的交点，也是三角三角形的内心是三条角平分线的交点，也是三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，形三个顶点质量相等时的平衡点若三角形三角形内切圆的圆心内心到三条边的距离也是三角形外接圆的圆心外心到三个顶点顶点为Ax₁,y₁、Bx₂,y₂、相等内心坐标计算公式的距离相等外心坐标计算涉及行列式，或Cx₃,y₃，则重心坐标为Ia·x₁+b·x₂+c·x₃/a+b+c,可通过三条垂直平分线的方程解交点得到Gx₁+x₂+x₃/3,y₁+y₂+y₃/3重a·y₁+b·y₂+c·y₃/a+b+c，其中a、b、若三角形为钝角三角形，外心位于三角形外心到三角形任一顶点的距离平方之和最小c分别是BC、AC、AB边的长度部三角形面积计算方法海伦公式向量叉积法12海伦公式适用于已知三边长a、已知三角形三个顶点坐标b、c的情况S=√ss-as-Ax₁,y₁、Bx₂,y₂、bs-c，其中s=a+b+c/2是Cx₃,y₃，可通过向量叉积半周长海伦公式避免了使用计算面积三角函数，计算精度较高，在S=½|AB×AC|=½|x₂-数值计算中广泛使用x₁y₃-y₁-x₃-x₁y₂-y₁|这种方法在计算几何中最为常用，可以处理任意位置的三角形行列式法3三角形面积也可以用行列式表示S=½|det[x₁,y₁,1],[x₂,y₂,1],[x₃,y₃,1]|=½|x₁y₂-y₃+x₂y₃-y₁+x₃y₁-y₂|行列式法本质上与向量叉积法等价，只是表达形式不同多边形的三角剖分定义与应用耳切法单调多边形的线性时间剖分多边形的三角剖分是将多边形划分为若干耳切法是一种简单直观的三角剖分算法若多边形是单调的即可以被某条直线分为个三角形，使得这些三角形的并集等于原首先找出多边形的一个耳朵即一个凸顶两条单调链，则可以在On时间内完成多边形，且三角形内部互不相交三角剖点，连接其相邻顶点形成的三角形位于多三角剖分算法维护一个顶点栈，按特定分在计算机图形学中广泛应用，如地形建边形内部，将该三角形从多边形中切除，顺序处理顶点，每次在满足条件时连接栈模、多边形填充、网格生成等递归处理剩余多边形对于n个顶点的简中顶点形成三角形这比一般多边形的单多边形，总能切分出n-2个三角形On²耳切法更高效扫描线算法简介算法思想1用一条假想的线从一个方向扫过平面事件点处理2当扫描线遇到特殊点时更新状态状态维护3维护扫描线当前位置的相关信息扫描线算法是计算几何中解决平面问题的强大工具其核心思想是想象一条直线通常是水平或垂直线从一端扫过整个平面，在扫描过程中维护与当前扫描线相交的几何对象信息扫描过程中的关键点如线段端点、交点等称为事件点，按特定顺序如按y坐标从小到大处理每遇到一个事件点，就更新当前状态，如加入新线段、删除结束线段、处理交点等扫描线算法广泛应用于线段求交、多边形面积并、最近点对等问题其时间复杂度通常为On logn，空间复杂度为On，其中n是几何对象数量该算法的关键在于高效维护扫描线状态，通常使用平衡树等数据结构线段求交扫描线方法-问题描述1线段求交问题是计算几何中的经典问题给定平面上n条线段，求出所有相交点暴力方法需要On²时间复杂度，而扫描线算法可将时间复杂度降至On+klog算法步骤n，其中k是交点数量

21.将所有线段的端点按y坐标排序，构成事件队列；

2.维护一个状态结构如平衡树存储当前与扫描线相交的线段，按x坐标排序；

3.遇到线段上端点时将其加入状态结构，并检查与相邻线段是否相交；

4.遇到线段下端点时将其从状态结构中时间复杂度分析3删除，并检查原本在其两侧的线段是否相交；

5.遇到已知交点时，交换相交线段在状态结构中的顺序，并检查新相邻的线段是否相交排序端点需要On logn时间；每次插入、删除、查找操作需要Olog n时间；总共有2n个端点和k个交点，因此总时间复杂度为On+klog n当交点数k很大时最坏情况k可达On²，算法效率不如暴力法，但在实际应用中交点通常较少，扫描线算法更高效最近点对问题实现细节与优化分治算法思路关键优化是处理跨越分割线的点对将分割线问题定义分治算法的基本思路是

1.将点集按x坐标排序；两侧距离不超过d的点按y坐标排序，对每个点最近点对问题是计算几何中的基本问题给定

2.将点集分为左右两部分；

3.递归求解左右两只需检查其后有限个点可证明不超过6个另平面上n个点，求距离最近的一对点暴力枚部分的最近点对距离dL和dR；

4.取外，可以使用预排序避免重复排序，进一步优举所有点对需要On²时间，但使用分治法可d=mindL,dR；

5.考虑跨越分割线的点对，化算法基于这些优化，算法可以在On log以将时间复杂度降至On logn只需检查在分割线两侧距离不超过d的点，这n时间内解决问题可以在On时间内完成平面最小生成树三角剖分DelaunayDelaunay三角剖分是平面点集的一种特殊三角剖分，具有最大化最小角的性质其对偶图是Voronoi图Delaunay三角剖分的每个三角形的外接圆内部不包含任何其他点，这使得它非常适合构建平面最小生成树算法应用Kruskal构建平面最小生成树的一种有效方法是

1.计算点集的Delaunay三角剖分；

2.提取三角剖分的所有边；

3.对边按长度排序；

4.使用Kruskal算法在这些边上构建最小生成树这种方法避免了考虑所有可能的点对连接时间复杂度分析计算Delaunay三角剖分的时间复杂度为On logn；Delaunay三角剖分含有On条边；对边排序需要On logn时间；Kruskal算法的时间复杂度为Om logm，其中m是边数，这里m=On因此，总体时间复杂度为Onlog n凸多边形的交问题描述半平面交算法应用实例给定两个凸多边形，求它们的交集这个半平面交算法的基本思路是

1.将两个凸凸多边形求交在碰撞检测、可见性计算、问题在计算机图形学、GIS和机器人路径多边形的边表示为半平面直线将平面分为区域划分等领域有广泛应用例如，在机规划中有重要应用两个凸多边形的交仍两部分，边的内侧部分为半平面；

2.求解器人路径规划中，障碍物和可行区域通常然是凸多边形可能为空，可以通过求解这些半平面的交集；

3.半平面交算法可以表示为凸多边形，通过计算它们的交集可半平面交来高效计算在On logn时间内完成，其中n是两个多以确定安全路径；在GIS中，不同图层的边形的总边数叠加分析也需要多边形求交运算点集的最小包围圆随机增量算法随机增量算法是解决最小包围圆问题的高效方法

1.随机打乱点集顺序；

2.从空集开始，逐个添加点；

3.对于每个新点，如果它在当前圆内，则继续；否则，以该点2问题定义为圆周上的点，重新计算最小包围圆；

4.重新计算时，利用之前的信息，只考虑已最小包围圆是包含给定点集的半径最小处理的点的圆这个问题在设施选址、图像处理1和模式识别等领域有重要应用最小包实现要点围圆的圆周上至少有两个点，且这些点将圆心包围关键实现步骤包括

1.计算过一点的最小包围圆；

2.计算过两点的最小包围圆直3径为这两点的连线；

3.计算过三点的最小包围圆三点确定一个圆算法的期望时间复杂度为On，是解决该问题的最优算法之一矩形面积并问题描述给定平面上n个轴平行矩形即矩形的边分别平行于x轴和y轴，求这些矩形覆盖的总面积这个问题在VLSI设计、图像处理和1计算机图形学中有重要应用直接计算面积并不容易，因为矩形可能重叠扫描线算法应用扫描线算法是解决矩形面积并的经典方法

1.将矩形的垂直边按x坐标排序；

2.使用扫描线从左向右2扫描；

3.维护一个数据结构通常是线段树记录当前扫描线与矩形的交集；

4.每当遇到矩形的左边或右边，更新数据结构并计算面积增量线段树优化线段树是处理此类问题的理想数据结构

1.将y坐标离散化；

2.建立线段树，每个节点维护区间被覆盖的长度；

3.对于矩形的左边，在相应y区间3上加1；对于右边，减1；

4.每次更新后，计算当前覆盖长度与扫描线前进距离的乘积，累加得到总面积算法的时间复杂度为On logn多边形布尔运算交、并、差运算扫描线算法应用特殊情况处理123多边形布尔运算包括交集∩、并集∪和差集-多边形布尔运算可以通过扫描线算法实现

1.找出所实现中需注意多种特殊情况

1.退化情况，如边重合、交集产生两个多边形共有的区域；并集产生两个多边有边的交点；

2.使用扫描线从下到上扫描，维护与扫顶点落在另一多边形的边上等；

2.数值精度问题，特形覆盖的全部区域；差集产生第一个多边形中不被第描线相交的边序列；

3.根据不同边的内外标记，按布别是交点计算；

3.自相交多边形的处理；

4.结果多二个多边形覆盖的区域这些运算在CAD/CAM、尔运算类型决定结果多边形的边界；

4.拼接这些边界边形可能包含多个连通分量处理这些情况需要稳健GIS和计算机图形学中有广泛应用形成结果多边形的算法设计和精确的数值计算计算几何在图形学中的应用碰撞检测光线追踪可见性计算碰撞检测是游戏和物理光线追踪是一种真实感可见性计算用于确定场模拟中的核心问题，涉图形渲染技术，通过模景中哪些部分对观察者及判断两个或多个几何拟光线的物理行为生成可见经典算法包括Z缓对象是否相交基本算图像核心操作是计算冲、画家算法、BSP树法包括包围盒测试、分光线与场景中几何对象等在城市规划、建筑离轴定理和GJK算法的交点光线-三角形、设计中，视域分析用于高效的碰撞检测通常采光线-球体等交点计算都确定从特定位置可见的用多层次方法先用简涉及计算几何算法为区域，这涉及复杂的几单的包围体进行粗略检加速计算，通常使用各何运算和空间查询测，再用精确算法进行种空间数据结构，如细节检测BVH、KD树等三维几何基础三维点和向量平面方程三维变换三维空间中，点和向量用三元组x,y,z表三维空间中的平面可以用法向量n=A,B,C三维变换包括平移、旋转、缩放等，通常示向量运算扩展到三维加减法仍是分和平面上一点P₀表示n·P-P₀=0，展用4×4齐次坐标矩阵表示这种表示法将量相加减；点积a·b=ax·bx+ay·by+az·bz；开为Ax-x₀+By-y₀+Cz-z₀=0，平移和线性变换统一到一个矩阵中，便于叉积a×b=ay·bz-az·by,az·bx-ax·bz,即Ax+By+Cz+D=0，其中D=-A·x₀-变换的组合和计算三维旋转可分解为绕ax·by-ay·bx，得到一个垂直于a和b的向B·y₀-C·z₀平面也可以由三个不共线的三个坐标轴的基本旋转，或用四元数表示量向量模长|a|=√ax²+ay²+az²点确定以避免万向锁问题三维物体的表示多面体曲面体素多面体是由平面多边形面构成的三维物体曲面用于表示光滑的三维形状常用的曲面体素是三维空间的基本单位，类似于二维图常用的表示方法包括面-顶点表示法存储每包括参数曲面如贝塞尔曲面、B样条曲面、像中的像素体素模型将空间离散化为规则个面的顶点序列和半边数据结构记录边的NURBS和隐式曲面如球体、椭球体、超三维网格，每个体素包含属性值如密度、连接关系多面体是三维建模的基础，适二次曲面参数曲面适合精确建模和设计，颜色体素表示便于进行体积运算和模拟，合表示具有明确边界的物体，如建筑物、机隐式曲面适合表示简单几何形状和进行布尔在医学成像、体积渲染和物理模拟中广泛使械零件等运算用三维凸包算法问题扩展增量法12三维凸包是包含给定点集的最小凸增量法是一种直观的三维凸包算法多面体与二维凸包类似，三维凸

1.从一个初始四面体开始；

2.逐个包的顶点是原始点集的子集，但复加入剩余点；

3.对于每个新点，找杂度显著增加三维凸包的面数最出所有对该点可见的面即点位于多可达On，其中n是点数三维面的外侧；

4.删除这些可见面，凸包算法在机器视觉、分子建模和并用连接新点与可见面边界的三角机器人学中有重要应用形替代它们；

5.更新数据结构该算法的期望时间复杂度为On logn分治法3分治法将点集分为两部分，分别计算其凸包，然后合并合并步骤是算法的核心需要找到两个凸包之间的公共切平面，并移除被切平面分隔的面三维凸包的分治算法实现较为复杂，时间复杂度为On logn，但在实践中可能不如增量法高效空间划分八叉树树树KD BSP八叉树是三维空间的递KD树是k维空间的二叉二叉空间划分树BSP树归划分结构，将空间分空间划分树，每层按一是一种更一般的空间划为八个等大的立方体子个维度划分空间在三分结构，使用任意方向空间每个节点要么是维空间中，KD树轮流使的平面划分空间每个叶节点包含数据，要么用x、y、z坐标划分空间，内部节点对应一个划分有八个子节点八叉树每个内部节点对应一个平面，将空间分为两部适合表示均匀分布的数划分平面KD树适合处分BSP树在计算机图据，广泛应用于体素建理非均匀分布的数据，形学中广泛用于可见性模、碰撞检测和空间查在最近邻搜索、范围查排序、阴影计算和CSG询构建八叉树的时间询等任务中表现优异操作BSP树的构建较复杂度为On logn，构建平衡KD树的时间复为复杂，但提供了灵活其中n是点数杂度为On logn的空间表示计算几何在机器人学中的应用路径规划路径规划是确定机器人从起点到终点的无碰撞路径基本方法包括可见图法在障碍物顶点间连接可见线、元胞分解将空间划分为简单区域和概率路线图随机采样配置空间复杂环境中常用RRT和PRM等随机采样算法，结合KD树加速最近邻搜索运动规划运动规划扩展了路径规划，考虑机器人的动力学约束关键问题包括配置空间构建将机器人和障碍物转换到同一空间、轨迹优化满足速度、加速度约束和多机器人协调高维配置空间中，基于采样的规划和优化方法是主流障碍物避免障碍物避免是机器人实时导航的关键能力，需要感知环境、预测障碍物运动并规划安全路径常用技术包括势场法将目标视为吸引力场，障碍物视为斥力场、窗口法在速度空间中搜索安全轨迹和基于模型预测的控制这些方法都依赖于高效的几何算法图Voronoi定义与性质构造算法应用举例Voronoi图是平面的一种划分，对于给定点构造Voronoi图的经典算法是Fortune算法，Voronoi图在多领域有广泛应用在GIS中集P={p₁,p₂,...,p}，Voronoi图将平面使用扫描线技术在On logn时间内构建用于最近设施查找和服务区域划分；在机器ₙ分为n个区域，每个区域包含与特定点pᵢ最算法维护一条抛物线前沿beach line，表人学中用于构建安全路径沿Voronoi边行近的所有点Voronoi图的边是两个相邻区示到扫描线和到某个点等距的点集另一种走可最大化与障碍物的距离；在材料科学域的分界线，是两点的垂直平分线；方法是直接从Delaunay三角剖分构造，因中建模晶体生长；在计算生物学中分析蛋白Voronoi图的顶点是三个或更多区域的交点为两者是对偶图增量算法也常用于构造质结构；在无线网络中优化基站覆盖Voronoi图三角剖分Delaunay与图的对偶关系构造算法VoronoiDelaunay三角剖分是Voronoi图的对偶构造Delaunay三角剖分的常用算法包括图连接Voronoi相邻区域对应的点，

1.逐点插入法Bowyer-Watson算法得到Delaunay三角形的边Delaunay逐个插入点，找出其外接圆包含新点的三角剖分具有最优性质最大化最小角所有三角形，删除这些三角形并重新三避免细长三角形，且满足空圆性质任角剖分空洞；

2.分治法将点集分为两一三角形的外接圆内不包含其他点这部分，递归构造Delaunay三角剖分，然些性质使其成为许多应用的理想选择后合并；

3.翻转算法从任意三角剖分开始，通过边翻转操作逐步达到Delaunay性质在插值中的应用Delaunay三角剖分在数据插值中有重要应用，特别是地形建模给定不规则分布的高程点，通过Delaunay三角剖分构建三角形网格，然后在每个三角形内使用线性或更高阶插值这种方法保留了数据点的精确值，且产生光滑的插值结果，避免了规则网格插值可能出现的伪影计算几何在中的应用GIS空间数据结构空间查询地图投影GIS系统需要高效存储和查询大量空间数空间查询是GIS的核心功能，包括点查询地图投影将地球表面近似为椭球体映射据常用的空间索引结构包括R树及其变给定点是否在区域内、范围查询找出指到平面，涉及复杂的几何变换常用投影种R*树、R+树、四叉树和网格索引这定范围内的对象、最近邻查询找出离查包括等角投影如墨卡托投影，保持角度、些结构支持范围查询、最近邻查询等空间询点最近的对象和空间关系查询如相交、等面积投影保持面积和等距投影保持某操作，加速GIS分析和可视化四叉树适包含、接触等这些查询的高效实现依赖些方向的距离不同投影适合不同应用，合栅格数据，R树适合矢量数据，特别是于计算几何算法和空间索引结构GIS系统需要支持投影变换和坐标系转换不规则边界的多边形曲线拟合与插值贝塞尔曲线样条曲线最小二乘法123贝塞尔曲线由控制点定义，不一定经过除端点外的控样条曲线是由多段多项式或有理函数拼接而成的光滑最小二乘法用于数据拟合，寻找最佳逼近给定数据点制点n阶贝塞尔曲线由n+1个控制点定义，曲线形曲线B样条曲线和NURBS非均匀有理B样条是最的曲线方法是最小化拟合曲线与数据点之间距离的状反映了控制点的分布贝塞尔曲线广泛应用于计算常用的样条曲线与贝塞尔曲线相比，样条曲线提供平方和常用的拟合模型包括多项式曲线、指数曲线机图形学和字体设计，具有直观的几何解释和良好的更好的局部控制能力和更高的数值稳定性，是和对数曲线最小二乘法在数据分析、信号处理和科数学性质，如端点连续性和凸包性质CAD/CAM系统中的标准曲线表示学计算中广泛应用多边形化简算法算法Douglas-PeuckerDouglas-Peucker算法是最著名的线状要素简化算法基本思路是

1.连接首尾点形成一条直线；

2.找出距离该直线最远的点，若距离小于阈值ε，则简化为直线；

3.否则，在该点处分割，递归处理两部分该算法保留轮廓的关键特征点，广泛应用于地图简化和数据压缩可视化保持算法可视化保持算法强调保留多边形的视觉特征，特别是轮廓的形状此类算法考虑每个点的视觉重要性，如曲率、可见性和周围点的分布相比纯几何准则，这些算法在简化生物形状、建筑轮廓等具有显著视觉特征的对象时效果更好应用场景多边形化简算法在多个领域有重要应用

1.地图综合，根据比例尺简化地图要素；

2.三维模型简化，减少渲染复杂度；

3.移动设备上的地理数据传输，减少带宽需求；

4.科学可视化，简化大规模数据集以提高交互性能几何约束求解图论方法图论方法将几何对象表示为图的顶点，约束表示为边通过分析约束图的结构，可以识别约束子系统并确定求解顺序常用问题定义2算法包括约束图分解和树分解方法这些方法将复杂的约束系统分解为更小的、可几何约束求解是确定满足给定几何关系独立求解的部分，提高求解效率如相切、共线、平行、垂直、距离等1的几何对象位置和尺寸的过程这在数值方法CAD系统、参数化设计和机器人运动学中有重要应用约束可以表示为方程组，数值方法直接求解约束方程，常用技术包求解这些方程是核心挑战括牛顿-拉夫森迭代、梯度下降和启发式优化数值方法适用于任意约束系统，但3可能面临局部最优解、收敛性和初值敏感性等问题实际系统通常结合符号计算和数值方法，提高求解的稳定性和效率计算几何算法的鲁棒性精度问题再探浮点计算的精度问题在计算几何中尤为严重，常见的错误包括退化情况处理失败如三点共线、不一致的拓扑结构如多边形自相交、误差累积在迭代算法中尤为明显和数值不稳定性在条件数较大的情况下退化情况处理退化情况是几何算法的主要挑战之一，例如三点共线、四点共圆等常用处理策略包括符号扰动Simulation ofSimplicity，通过添加微小扰动使问题变为非退化；精确判断，使用精确算术避免浮点误差；特殊情况处理，为每种退化情况编写专门代码鲁棒算法设计原则设计鲁棒几何算法的原则包括使用适当的精度如有理数或多精度浮点数；避免不必要的除法和开方操作；使用一致的判断准则如点在线段上；预处理输入数据，排除病态输入；使用经过验证的几何库如CGAL而非自行实现基础操作并行计算几何算法并行化的挑战数据划分策略并行凸包算法计算几何算法的并行化面临特殊挑战

1.有效的数据划分是并行几何算法的关键

1.并行凸包算法是并行计算几何的代表性例数据依赖性，如排序步骤和增量构造；

2.空间划分，将几何对象按位置分配给不同子

1.预处理阶段，将点集划分为子集；

2.负载均衡，几何数据往往分布不均匀；

3.处理器；

2.对象划分，将对象均匀分配，并行阶段，各处理器计算子集的凸包；

3.同步开销，特别是在细粒度并行中；

4.算忽略空间位置；

3.任务划分，将算法分解合并阶段，将局部凸包合并为全局凸包法重构，许多经典算法本质上是串行的，为可并行执行的子任务；

4.混合策略，结关键是设计高效的合并算法，如并行链形需要新的并行友好算法合多种划分方法，适应数据特性和任务需法Parallel ChainMethod，以最小化求处理器间通信随机化计算几何算法随机化技术简介期望线性时间凸包算法12随机化技术在算法设计中引入随机随机增量法是一种期望线性时间的性，打破最坏情况输入的规律性凸包算法

1.随机打乱点集顺序；在计算几何中，随机化主要有两种

2.从最初几个点构建初始凸包；

3.形式输入随机化随机排列输入依次处理剩余点，维护当前凸包；数据和算法随机化算法本身包含

4.对于每个新点，检查是否在当前随机决策随机化算法通常具有凸包内，若在外部则更新凸包算简单实现和良好的期望性能法的关键是高效定位新点相对于当前凸包的位置，通常使用冲突图来加速利弊分析3随机化算法优势简化复杂问题的实现；避免最坏情况输入；通常有较好的平均性能；适应动态数据劣势结果可能随机运行而变化；最坏情况性能可能很差；难以调试和性能分析；在某些安全关键应用中不适用在实践中，随机化算法通常是确定性算法的有力补充近似几何算法近似算法的必要性在大规模几何问题中，精确解可能计算复杂度过高1近似凸包ε-2构造一个与真实凸包距离不超过ε的多边形近似最近邻搜索3寻找距离查询点距离在1+ε倍最近距离内的点随着数据规模增长，许多几何问题的精确解变得计算昂贵近似算法牺牲一定精度换取效率提升，特别适合大数据场景和实时应用例如，凸包计算的精确算法复杂度为On logn，而某些近似算法可达到On+1/εε-近似凸包是一个多边形，其中任何点到原始凸包的距离不超过ε常用算法包括网格近似法和极点采样法这些算法可将顶点数从On减少到O1/ε^d-1/2，其中d是维度，显著降低存储和处理成本近似最近邻ANN搜索是高维空间中的关键操作基于空间划分的算法如LSH局部敏感哈希和随机投影树可在亚线性时间内找到近似最近邻这些技术在大规模图像检索、推荐系统和机器学习中有广泛应用计算几何库介绍简介其他常用库比较CGAL Boost.GeometryCGALComputational GeometryBoost.Geometry是Boost库的一部分，专注其他值得关注的计算几何库包括

1.Algorithms Library是最全面的开源计算几于通用几何概念、基本算法和空间索引其优LibGeoDecomp，专注于并行几何算法；

2.何库，提供高效且可靠的几何算法实现势在于与C++标准库无缝集成、编译时多态性GDAL/OGR，侧重地理空间数据处理；

3.CGAL特点包括泛型编程设计，支持多种数和高性能Boost.Geometry支持点、线、多PCLPoint CloudLibrary，专门处理点云数值类型；模块化结构，分为核心、基本和高级边形等几何类型，提供基础操作如距离计算、据；

4.OpenMesh，用于多边形网格处理；

5.包；严格的鲁棒性保证，特别是处理退化情况；面积计算和布尔运算，以及R树等空间索引结Clipper，高效的多边形布尔运算库选择合广泛的算法覆盖，从基础操作到复杂问题如三构适的库应考虑应用需求、性能要求、许可证限角剖分和曲面重建制和与现有代码的兼容性竞赛中的计算几何题型分析ACM常见题型总结解题策略ACM竞赛中的计算几何题目通常涵盖以下有效的计算几何解题策略包括

1.建立几何类型

1.基础几何运算点线距离、多边形直觉，通过画图理解问题；

2.掌握常用模板，面积；

2.位置关系判断点在多边形内、线如向量运算、凸包算法等；

3.处理精度问题，段相交；

3.凸包构建及应用；

4.最近点对、使用ε比较或整数计算；

4.考虑特殊情况，最远点对问题；

5.圆和多边形的交集计算；如退化情况、边界情况；

5.分析算法复杂度，

6.扫描线问题线段求交、矩形面积并；

7.选择适合问题规模的算法；

6.增强对偶思维，三角剖分问题；

8.计算几何的特殊应用如有时从对偶角度思考可简化问题视域计算、机器人路径规划典型例题讲解以一道经典题目为例给定n个点，求其凸包的周长解题步骤

1.使用Graham扫描或Andrew算法计算凸包；

2.计算凸包相邻顶点间距离之和关键在于正确实现凸包算法和处理精度问题另一典型题是计算多边形的核从核内任意点可以看到多边形的所有点，可通过半平面交算法解决编程实现注意事项代码模板化精度控制技巧边界情况处理计算几何算法通常有固控制精度的常用技巧

1.几何算法中常见的边界定模式，适合模板化

1.使用ε判等，如|a-b|ε情况包括

1.退化情况创建基础几何类点、向认为a=b；

2.使用整数如三点共线；

2.重合量、线段等及其运算；计算，如坐标乘以常数点或重合线段；

3.点恰

2.实现常用几何判定如后取整；

3.避免除法和好在边界上；

4.极端输点在线段上、线段相交；开方，替换为乘法和平入如所有点共线处理

3.封装复杂算法如凸包、方比较；

4.使用极坐标策略包括预先检测特点在多边形内模板应排序时，优先判断象限殊情况；增加容错机制；保持简洁、正确性和一再用叉积；

5.对于特殊使用符号扰动；彻底测致性，便于快速调用和问题，考虑使用有理数试边界情况忽视边界修改库或多精度库情况往往是几何算法错误的主要来源计算几何算法的调试技巧可视化调试1可视化是调试几何算法的强大工具

1.使用绘图库如matplotlib、Processing实时显示算法执行过程；

2.输出关键步骤的几何状态如扫描线位置、当前凸包；

3.绘制中间结果与期望结果的对比；

4.为复杂算法创建动画，帮助理解执行流程可视化不仅助于发现错误，也有助于算法优化测试用例设计2有效的测试用例应覆盖

1.小规模基本情况如三角形、矩形；

2.边界情况退化、共线点等；

3.随机生成的大规模数据；

4.特殊分布如网格排列、旋涡形分布；

5.已知有解的问题如正多边形的凸包构建完整测试套件，包含手动验证的结果，可大幅提高代码可靠性常见错误分析3计算几何算法中的常见错误包括

1.精度问题如浮点比较不当；

2.索引错误如多边形顶点环绕方向；

3.边界条件处理不当如点在线段端点；

4.算法理解偏差如凸包中的极点排序；

5.逻辑漏洞如遗漏某些特殊情况出错时，从最简单的测试用例开始调试，逐步增加复杂度计算几何前沿研究方向离散微分几何离散微分几何研究离散曲面的微分性质，是传统微分几何在计算机科学中的延伸核心问题包括离散曲率计算、离散最小曲面和离散共形映射这一领域在计算机图形学、数字几何处理和物理模拟中有重要应用，如三维模型变形、参数化和纹理映射计算拓扑学计算拓扑学研究形状的拓扑性质及其计算方法主要内容包括持续同调、拓扑数据分析和Reeb图这些技术能够从高维数据中提取本质结构特征，在数据分析、科学可视化和形状匹配中有广泛应用计算拓扑学为理解复杂数据提供了新的视角几何深度学习几何深度学习是深度学习与计算几何的交叉领域，专注于处理具有几何结构的数据，如点云、网格和图形核心技术包括点云卷积网络、图卷积网络和流形学习这一领域在3D感知、分子建模和社交网络分析中展现出巨大潜力，推动了AI在几何问题上的应用学习资源推荐经典教材在线课程实践平台123推荐的计算几何教材包括《Computational Geometry:优质在线课程包括Coursera上的Computational Geometry伊实践平台推荐LeetCode的几何算法题集；Codeforces的几何专题Algorithms andApplications》Mark deBerg等著，被誉为计算利诺伊大学；edX上的Computational Geometry普林斯顿大学；比赛；ProjectEuler上的几何问题；GeoGebra，用于几何算法可视化；几何入门的圣经；《Geometric Algorithmsand DataStructures》MIT OpenCourseWare的Geometric FoldingAlgorithms；Visualization ofGeometric Algorithms网站，展示各种算法的动态Kurt Mehlhorn，侧重数据结构；《Computational Geometryin YouTube上的Computational GeometryTutorial系列；Khan过程；CGAL官方示例，提供实际编程指导；GitHub上的开源项目，C》Joseph ORourke，注重实践；《Discrete andAcademy的基础几何视频，适合预备知识学习这些课程提供不同深如computational-geometry和Algorithms库中的几何模块Computational Geometry》Satyan L.Devadoss，理论性较强；度和角度的计算几何知识《CGAL算法库》的官方用户手册，对实际编程很有帮助总结与展望未来应用人工智能与几何算法的深度融合1核心算法掌握2凸包、三角剖分、交点计算和空间划分基础概念理解3向量运算、点线关系和多边形操作本课程系统地介绍了计算几何的基础知识和核心算法从向量和点的基本运算，到线段、多边形处理，再到凸包、三角剖分等高级算法，我们建立了计算几何的完整知识体系特别强调了精度问题的处理和算法的鲁棒性，这是实际编程中的关键挑战计算几何是一个不断发展的领域，未来将更多地与人工智能、大数据分析和物理模拟融合随着计算能力的提升，更复杂的几何算法将在实时应用中得到应用掌握这些知识，不仅有助于解决ACM竞赛中的几何题目，也为将来从事图形学、GIS、机器人学等领域的研究和开发打下基础学习建议从基础开始，打牢向量运算基础；注重实践，编写和测试每个算法；建立几何直觉，通过可视化理解算法；掌握模板，但理解原理更重要；持续学习，关注领域最新发展祝各位在计算几何的学习之路上取得成功！。