随机分析与随机微积分课件

随机分析与随机微积分欢迎来到随机分析与随机微积分的世界！本课程旨在介绍随机过程的基本概念、理论和应用，特别是布朗运动、随机积分和随机微分方程通过本课程的学习，您将掌握处理不确定性和随机性的数学工具，为深入研究金融、物理和工程等领域奠定基础课程概述课程目标主要内容学习要求本课程旨在使学生掌握课程主要包括概率论基学生需要认真听讲，积随机分析的基本概念和础回顾、随机过程基础、极参与课堂讨论，按时方法，培养学生运用随布朗运动、随机积分基完成作业，并通过考试机微积分解决实际问题础、积分、公式、鼓励学生阅读相关文献，ItôItô的能力课程内容涵盖随机微分方程、线性随深入理解课程内容，并概率论基础、随机过程、机微分方程、非线性随尝试运用所学知识解决布朗运动、随机积分、机微分方程、马尔可夫实际问题公式、随机微分方程过程与柯尔莫戈罗夫方Itô以及在金融中的应用程、鞅理论基础、定理以及Girsanov公式等内Feynman-Kac容第一章概率论基础回顾概率空间随机变量分布函数123概率空间是概率论的基本框架，用于随机变量是将随机事件映射到实数的分布函数描述了随机变量取值小于或描述随机事件及其发生的可能性它函数，它可以是离散的或连续的随等于某个给定值的概率它是研究随由样本空间、事件域和概率测度三部机变量是概率论中重要的概念，用于机变量的重要工具，可以用来计算各分组成，是进行概率计算和分析的基描述随机现象的数量特征种概率，并为统计推断提供基础础概率空间样本空间事件概率测度样本空间包含了所有可能的实验结果例事件是样本空间的一个子集，表示一组可概率测度是定义在事件域上的函数，用于如，掷骰子的样本空间是，能的结果例如，掷骰子得到偶数的事件衡量事件发生的可能性概率测度必须满{1,2,3,4,5,6}抛硬币的样本空间是正面反面样本空是事件是概率论中研究的基本足非负性、规范性和可列可加性它是概{,}{2,4,6}间是构建概率模型的基础对象率论的核心概念随机变量定义离散型随机变量连续型随机变量随机变量是一个将样本空间中的每个元离散型随机变量只能取有限个或可数个连续型随机变量可以取某个区间内的任素映射到一个实数的函数它可以是离值例如，掷骰子得到的点数，某地区意值例如，人的身高、气温等连续散型随机变量或连续型随机变量随机一年内发生的交通事故次数等离散型型随机变量的概率分布可以用概率密度变量是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的概率分布可以用概率质量函函数来描述随机现象的数量特征数来描述分布函数定义分布函数定义为随机变量取值小于或等于的概率，即Fx Xx Fx分布函数是描述随机变量概率分布的重要工具=PX≤x性质分布函数具有单调不减、右连续、且在正负无穷处的极限分别为和等性质这些性质保证了分布函数能够完整地描述随机变量10的概率分布常见分布常见的分布包括正态分布、均匀分布、指数分布、泊松分布等这些分布在实际问题中有着广泛的应用，例如正态分布常用于描述自然现象，泊松分布常用于描述稀有事件数学期望与方差计算方法对于离散型随机变量，数学期望是所有可2能取值与其对应概率的乘积之和对于连定义续型随机变量，数学期望是概率密度函数与其对应取值的积分数学期望是随机变量的平均值，反映了1随机变量的中心位置方差是随机变量的离散程度的度量，反映了随机变量的性质波动大小数学期望具有线性性，方差具有可加性3（对于独立随机变量）这些性质在概率计算和统计推断中非常有用第二章随机过程基础随机过程的定义1随机过程是随时间演化的随机变量的集合，用于描述动态随机现象它是随机分析的基础，在金融、物理和工程等领域有着广泛的应用分类2随机过程可以根据时间参数的取值范围分为离散时间过程和连续时间过程，也可以根据状态空间的类型进行分类不同的分类方式适用于不同的问题特征随机过程的特征包括均值函数、自相关函数和协方差函数这些3特征描述了随机过程的统计性质，对于理解和分析随机过程至关重要随机过程的定义概念数学表示示例随机过程是依赖于时间的一系列随机变量的随机过程可以用∈表示，其中常见的随机过程包括马尔可夫过程、泊松过{Xt,t T}Xt集合可以将其看作是一个随时间变化的随是时间的随机变量，是时间参数集时间程、布朗运动等这些随机过程在不同的领t T机函数例如，股票价格随时间的波动、气参数集可以是离散的或连续的域有着广泛的应用温随季节的变化等随机过程的分类离散时间过程连续时间过程状态空间离散时间过程是指时间参数集是离散的连续时间过程是指时间参数集是连续的状态空间是指随机变量所有可能取值T TXt随机过程例如，股票每日收盘价、每月随机过程例如，布朗运动、扩散过程等的集合状态空间可以是离散的或连续的销售额等离散时间过程通常用时间序列连续时间过程通常用随机微分方程来描述例如，掷骰子的状态空间是{1,2,3,4,5,来表示，气温的状态空间是实数集6}随机过程的特征均值函数自相关函数协方差函数123均值函数定义为随机过程在自相关函数定义为随机过程协方差函数定义为随机过程μt XtRt,s XtCt,s Xt时间的数学期望，即在时间和的协方差，即在时间和的协方差，即tμt=E[Xt]t sRt,s=t sCt,s=均值函数描述了随机过程的平均水平自相关函数描述了协方差函Cov[Xt,Xs]E[Xt-μtXs-μs]随时间的变化随机过程在不同时间点的相关性数描述了随机过程在不同时间点的协变关系常见随机过程马尔可夫过程泊松过程马尔可夫过程是指未来状态只依泊松过程是指在单位时间内发生赖于当前状态，而与过去状态无事件的次数服从泊松分布的随机关的随机过程马尔可夫过程在过程泊松过程常用于描述稀有金融建模、排队论等领域有着广事件的发生，例如，单位时间内泛的应用到达银行的顾客人数高斯过程高斯过程是指任意有限个时间点的随机变量都服从多元高斯分布的随机过程高斯过程在机器学习、信号处理等领域有着广泛的应用第三章布朗运动定义性质应用布朗运动是一种连续时布朗运动具有连续性、布朗运动在金融建模中间随机过程，用于描述马尔可夫性和独立增量用于描述股票价格的波微小粒子在液体或气体性等重要性质这些性动，在物理学中用于描中的随机运动它是随质使得布朗运动成为构述粒子的扩散，在生物机分析中最重要的随机建随机模型的理想选择学中用于描述分子的运过程之一，在金融建模、动它是一种通用的随物理学等领域有着广泛机模型的应用布朗运动的定义历史背景数学定义物理解释布朗运动最初由植物学家罗伯特布朗在布朗运动是一个满足以下条件的随机布朗运动是由液体或气体中的分子对微小·Wt年观察到，他发现悬浮在水中的花粉过程；对于任意，服粒子进行随机碰撞引起的由于分子运动1827W0=0t0Wt颗粒会进行不规则的随机运动后来，爱从正态分布；对于任意，增的不规则性，微小粒子会受到各个方向的N0,t0st因斯坦用数学模型解释了这种现象量服从正态分布且与力的不平衡，从而产生随机运动Wt-Ws N0,t-s独立Ws布朗运动的性质连续性马尔可夫性12布朗运动的路径是连续的，这布朗运动具有马尔可夫性，这意味着在任意时间点，布朗运意味着未来状态只依赖于当前动的值都是确定的，不会发生状态，而与过去状态无关马跳跃连续性是布朗运动的重尔可夫性简化了对布朗运动的要特征之一分析独立增量性3布朗运动具有独立增量性，这意味着在不相交的时间区间内，布朗运动的增量是相互独立的独立增量性使得布朗运动易于建模和计算布朗运动的应用金融建模物理学生物学布朗运动在金融建模中被广泛应用于描布朗运动在物理学中被用于描述粒子的布朗运动在生物学中被用于描述分子的述股票价格、利率、汇率等金融资产的扩散、热运动等现象例如，爱因斯坦运动、细胞的迁移等现象例如，细胞波动模型就是基于布朗用布朗运动解释了分子的运动，并提出膜上的蛋白质分子的运动可以用布朗运Black-Scholes运动的期权定价模型了扩散方程动来近似描述第四章随机积分基础概念随机积分是一种对随机过程进行积分的数学工具与确定性积分不同，随机积分需要考虑积分过程的随机性，因此更加复杂类型常见的随机积分类型包括积分和积分它们定义ItôStratonovich方式不同，适用于不同的问题积分在金融数学中应用广泛，Itô积分在物理学中应用广泛Stratonovich意义随机积分是随机分析的重要组成部分，为解决涉及随机过程的积分问题提供了理论基础和方法它在金融建模、信号处理等领域有着广泛的应用随机积分的概念定义与确定性积分的区别挑战随机积分是对于随机过程的积分，其积分确定性积分的积分对象是确定性函数，积由于随机过程的路径是不规则的，因此随对象是随机变量，积分结果也是随机变量分结果是一个确定的数值而随机积分的机积分的定义和计算比确定性积分更加复它与确定性积分有着本质的区别积分对象是随机过程，积分结果是一个随杂需要引入新的数学工具和方法机变量或随机过程随机积分的类型积分积分1Itô2Stratonovich积分是一种常用的随机积分积分是一种基于中ItôStratonovich类型，其定义基于左端点取值点取值的随机积分类型积分在金融数学中应用广泛，积分在物理学中应ItôStratonovich例如，用于定义随机微分方程用广泛，例如，用于描述随机的解力作用下的运动比较3积分和积分的定义方式不同，导致它们在性质和应用上ItôStratonovich有所差异积分满足公式，积分满足链式法则ItôItôStratonovich随机积分的意义理论价值实际应用研究方向随机积分是随机分析的重要组成部分，随机积分在金融建模、信号处理、随机随机积分的研究方向包括随机积分的扩为研究随机过程的性质和行为提供了理控制等领域有着广泛的应用例如，用展、随机积分的数值计算、随机积分在论基础它为解决涉及随机过程的积分于定义随机微分方程的解、估计随机信不同领域的应用等这些研究方向将推问题提供了数学工具号的参数、设计最优控制策略动随机分析的发展第五章积分Itô定义构造性质积分是随机积分的一积分的构造需要先定积分具有线性性、零ItôItôItô种，由日本数学家伊藤义简单过程的积分，然均值性和等距性等重Itô清于世纪年代提出后通过逼近的方法将积要性质这些性质使得2040它在金融数学中有着重分推广到一般过程这积分易于计算和分析Itô要的应用，例如，用于是一个严谨的数学过程构建模型Black-Scholes积分的定义Itô数学表达直观理解与积分的对比Riemann设是布朗运动，是适应的随机过程，积分可以理解为对布朗运动的微小增量与积分不同，积分的定义依赖Wt ft ItôRiemann Itô则积分定义为₀进行加权求和由于布朗运动的路径是不于分割区间的选取方式积分选取左端Itô∫ᵗfs dWs=lim∑Itô₊₁，其中极限是在均方规则的，因此积分的定义需要仔细考虑点，而积分可以选取任意点ftᵢWtᵢ-WtᵢItôRiemann意义下取的积分的构造Itô简单过程一般过程12简单过程是指取有限个值的随一般过程是指取无限个值的随机过程，例如，分段常数过程机过程，例如，连续过程对对于简单过程，积分可以显于一般过程，积分需要通过ItôItô式地计算出来简单过程的逼近来定义逼近方法3常用的逼近方法包括均方逼近和一致逼近均方逼近是指在均方意义下逼近，一致逼近是指在一致意义下逼近积分的性质Itô线性性零均值性积分具有线性性，这意味着对积分具有零均值性，这意味着ItôItô于任意常数和，以及任意随机对于任意随机过程，都有₀a bft E[∫ᵗ过程和，都有₀零均值性是积ft gt∫ᵗafs+fs dWs]=0Itô₀分的重要特征之一bgs dWs=a∫ᵗfs dWs+₀b∫ᵗgs dWs等距性Itô积分具有等距性，这意味着对于任意随机过程，都有₀ItôItôft E[∫ᵗfs₀等距性是积分的重要性质，用于计算积dWs²]=E[∫ᵗfs²ds]ItôItôItô分的方差第六章公式Itô一维公式多维公式应用ItôItô一维公式描述了随机多维公式是一维公公式在金融衍生品定ItôItôItôItô过程的函数的变化它式的推广，用于描述多价、随机微分方程求解、是随机微积分中最重要个随机过程的函数的变随机控制等领域有着广的公式之一，为计算随化它在金融建模、信泛的应用它是随机分机过程的函数提供了方号处理等领域有着广泛析的重要工具法的应用一维公式Itô定理陈述证明思路示例设是过程，其中是布一维公式的证明基于泰勒展开，并利用例如，设，则Xt=fWt,t ItôWt ItôXt=Wt²dXt=dt+2Wt朗运动，是具有连续偏导数的函数，布朗运动的性质证明过程中需要仔细处这个例子说明了即使是零均值fx,t dWtWt则理随机项，并利用等距性的，也不是零均值的dXt=∂f/∂t+1/2∂²f/∂x²dt+∂f/∂x ItôWt²dWt多维公式Itô扩展形式12多维公式是将一维公式推设₁₂ItôItôXt=fW t,W t,...,广到多个布朗运动的情况它是过程，其中W t,tItôₙ在金融建模、信号处理等领域₁₂是相W t,W t,...,W tₙ有着广泛的应用互独立的布朗运动，₁fx,₂是具有连续偏导x,...,x,tₙ数的函数，则dXt=∂f/∂t+1/2∑ᵢ∂²f/∂xᵢ²dt+∑ᵢ∂f/∂xᵢdWᵢt应用场景3多维公式常用于处理涉及多个随机因素的问题，例如，多资产期权定Itô价、多维随机控制等公式的应用Itô金融衍生品定价随机微分方程求解公式在金融衍生品定价中被广公式可以用于求解某些类型的ItôItô泛应用于推导期权价格的偏微分随机微分方程例如，可以通过方程例如，模型公式将随机微分方程转化为更Black-Scholes Itô的推导就依赖于公式容易求解的形式Itô随机控制公式在随机控制中被用于推导最优控制策略例如，可以通过公式将ItôItô随机控制问题转化为更容易求解的优化问题第七章随机微分方程定义随机微分方程是指包含随机项的微分方程与常微分方程不同，随机微分方程的解是一个随机过程，而不是一个确定的函数类型随机微分方程可以分为线性和非线性线性的解通SDE SDE SDE常可以显式地表示出来，而非线性的解通常需要通过数值方SDE法来近似解的概念随机微分方程的解可以分为强解和弱解强解是指满足方程的随机过程，弱解是指存在一个概率空间和一个随机过程，使得该随机过程满足方程随机微分方程的定义数学表达与常微分方程的区别解释随机微分方程可以用以下形式表示常微分方程的解是一个确定的函数，而随随机微分方程可以用于描述受随机因素影dXt，其中机微分方程的解是一个随机过程随机微响的动态系统例如，股票价格的波动、=aXt,t dt+bXt,t dWtXt是随机过程，是布朗运动，和分方程需要考虑随机项的影响，因此更加化学反应的速率等Wt ax,t是已知的函数复杂bx,t随机微分方程的类型线性非线性1SDE2SDE线性是指系数和非线性是指系数和SDE ax,t bx,SDE ax,t都是关于的线性函数的随机中至少有一个不是关于t xbx,t x微分方程线性的解通常的线性函数的随机微分方程SDE可以显式地表示出来非线性的解通常需要通过SDE数值方法来近似系统3SDE系统是指包含多个随机过程的随机微分方程组系统常用于描SDE SDE述多个相互作用的随机系统随机微分方程解的概念强解弱解强解是指满足随机微分方程的随弱解是指存在一个概率空间和一机过程强解的存在性需要满足个随机过程，使得该随机过程满一定的条件，例如，系数和足随机微分方程弱解的存在性ax,t满足利普希茨条件和线性增条件比强解弱，因此更容易存在bx,t长条件唯一性随机微分方程的解可能存在多个，也可能不存在唯一性是指随机微分方程的解是唯一的强解的唯一性意味着弱解也是唯一的第八章线性随机微分方程一般形式解法示例线性随机微分方程的一求解线性随机微分方程常见的线性包括几SDE般形式为的方法包括变量替换法、何布朗运动和dXt=atXt Ornstein-积分因子法和特征函数过程几何+ct dt+btXt+Uhlenbeck，其中法这些方法可以将线布朗运动常用于描述股dt dWtat,是已知的函性转化为更容易求票价格的波动，bt,ct,dt SDE数，是布朗运动解的形式过Wt Ornstein-Uhlenbeck程常用于描述利率的波动线性的一般形式SDE数学表达系数解释特殊情况线性可以用以下形式表示系数表示漂移项的线性系数，表示当时，线性退化为常微分方程SDE dXt=at ctbt=0SDE，漂移项的常数项，表示扩散项的线性当时，线性退化为随机积分方atXt+ct dt+btXt+dt dWtbt at=0SDE其中是随机过程，是布朗运动，系数，表示扩散项的常数项这些系程这些特殊情况更容易求解Xt Wt dt是已知的函数数决定了线性的性质at,bt,ct,dt SDE线性的解法SDE变量替换法积分因子法12变量替换法是指通过引入新的积分因子法是指通过乘以一个变量，将线性转化为更容积分因子，将线性转化为SDE SDE易求解的形式例如，可以通可以进行积分的形式积分因过引入积分因子，将线性子的选取需要满足一定的条件，SDE转化为积分方程例如，积分因子是可积的Itô特征函数法3特征函数法是指通过求解随机过程的特征函数，来获得随机过程的概率分布特征函数法常用于求解线性的解SDE线性示例SDE几何布朗运动过程Ornstein-Uhlenbeck几何布朗运动是指满足以下SDE的随机过程dXt=μXt dt+Ornstein-Uhlenbeck过程是指满足σXt dWt，其中μ是漂移系数，以下SDE的随机过程dXt=θμσ是波动率，Wt是布朗运动几-Xt dt+σdWt，其中θ是回复何布朗运动常用于描述股票价格速度，μ是长期均值，σ是波动率，的波动Wt是布朗运动Ornstein-过程常用于描述利率的Uhlenbeck波动解析与数值解比较对于某些线性，可以获得解析解，也可以通过数值方法来近似求解SDE比较解析解和数值解可以验证数值方法的精度第九章非线性随机微分方程特点非线性是指系数和中至少有一个不是关于的线SDE ax,t bx,t x性函数的随机微分方程非线性的解通常需要通过数值方法SDE来近似近似方法求解非线性的近似方法包括线性化、摄动法和矩闭合法这SDE些方法可以将非线性转化为更容易求解的形式SDE数值方法求解非线性的数值方法包括方法、SDE Euler-Maruyama Milstein方法和随机方法这些方法可以近似求解非线性Runge-Kutta的解SDE非线性的特点SDE复杂性解析解的困难研究意义非线性的解通常不存在解析表达式，由于非线性项的存在，非线性的解析非线性在金融建模、物理学、工程学SDE SDE SDE需要通过数值方法来近似非线性的解通常难以获得只有在少数特殊情况下，等领域有着广泛的应用研究非线性SDE SDE分析和求解比线性更加复杂才能获得非线性的解析解的解法和性质具有重要的理论和实际意义SDE SDE非线性的近似方法SDE线性化摄动法矩闭合法123线性化是指将非线性在某个点摄动法是指将非线性视为某个矩闭合法是指通过求解随机过程的低SDE SDE附近进行线性展开，从而得到一个线已知的微小扰动，然后通过摄阶矩来近似求解非线性矩闭SDESDE性线性化后的更容易求动展开来近似求解摄动法的精度依合法需要对高阶矩进行截断，从而得SDESDE解，但其解的精度依赖于线性化的点赖于扰动的大小到一个封闭的方程组非线性的数值方法SDE方法方法Euler-Maruyama Milstein方法是一种常用方法是一种比Euler-Maruyama MilsteinEuler-的求解的数值方法，它是方法精度更高的数值方SDE Maruyama方法的推广法方法需要计算扩散项Euler Euler-Milstein方法的精度较低，但易的导数，因此实现起来更加复杂Maruyama于实现随机方法Runge-Kutta随机方法是一类精度更高的数值方法，可以用于求解各种类型Runge-Kutta的随机方法的实现比较复杂，但其精度较高SDE Runge-Kutta第十章马尔可夫过程与柯尔莫戈罗夫方程马尔可夫性前向方程后向方程马尔可夫性是指未来状态只依赖于当前状态，柯尔莫戈罗夫前向方程描述了马尔可夫过程柯尔莫戈罗夫后向方程描述了马尔可夫过程而与过去状态无关的性质具有马尔可夫性的概率密度函数随时间的变化前向方程也的函数的期望值随时间的变化后向方程与的随机过程称为马尔可夫过程称为福克普朗克方程前向方程是相互对偶的-马尔可夫性定义性质在中的体现SDE马尔可夫性是指对于任意，马尔可夫性简化了对随机过程的分析和建如果随机过程是的解，且的ts E[fXt|Xt SDESDE，其中模具有马尔可夫性的随机过程更容易求系数只依赖于当前状态，则具有马尔Xs]=E[fXt|Xs,Xu,us]Xt是任意函数这意味着未来状态只依解和预测可夫性例如，几何布朗运动和fx Ornstein-赖于当前状态，而与过去状态无关过程都具有马尔可夫性Uhlenbeck柯尔莫戈罗夫前向方程推导解释12柯尔莫戈罗夫前向方程的推导柯尔莫戈罗夫前向方程描述了基于马尔可夫性和泰勒展开概率密度函数随时间的变化推导过程中需要仔细处理极限通过求解前向方程，可以获得和积分，并利用概率密度函数随机过程在任意时刻的概率分的性质布应用3柯尔莫戈罗夫前向方程在物理学、化学、生物学等领域有着广泛的应用例如，可以用于描述粒子的扩散、化学反应的速率、种群的增长等柯尔莫戈罗夫后向方程推导解释柯尔莫戈罗夫后向方程的推导基柯尔莫戈罗夫后向方程描述了函于马尔可夫性和条件期望推导数的期望值随时间的变化通过过程中需要仔细处理极限和积分，求解后向方程，可以获得随机过并利用条件期望的性质程的函数的期望值与前向方程的关系柯尔莫戈罗夫后向方程与前向方程是相互对偶的后向方程描述了函数的期望值随时间的变化，而前向方程描述了概率密度函数随时间的变化第十一章鞅理论基础鞅的定义停时可选停时定理鞅是指满足一定条件的停时是指一个随机变量，可选停时定理描述了鞅随机过程鞅在随机分其取值表示停止观察随在停时处的期望值可析中有着重要的应用，机过程的时间停时在选停时定理在金融建模、例如，用于证明随机分析中有着重要的信号处理等领域有着广定理和应用，例如，用于定义泛的应用Girsanov公式可选停时定理Feynman-Kac鞅的定义数学表达直观理解例子设是一个随机过程，是一个信息流，鞅可以理解为一个公平的游戏在公平的布朗运动是一个鞅随机游走也是一个鞅Xt Ft则是鞅，如果满足以下条件游戏中，你当前的期望值等于你未来的期在公平的游戏中，你的财富也是一个鞅Xt E[|Xt|]；，其中望值，无论你过去输赢如何∞E[Xt+s|Ft]=Xt s0停时概念性质12停时是指一个随机变量，其取停时可以用于定义随机过程在τ值表示停止观察随机过程的时某个随机时刻的值停时在随间停时的定义需要满足一定机分析中有着重要的应用，例的条件，例如，∈，如，用于定义可选停时定理{τ≤t}Ft其中是一个信息流Ft在随机分析中的作用3停时可以用于分析随机过程的性质例如，可以利用停时证明布朗运动的某些性质，例如，布朗运动首次到达某个值的时刻是停时可选停时定理定理陈述证明思路设是一个鞅，是一个停时，可选停时定理的证明基于鞅的定Xtτ则，如果满足一义和停时的性质证明过程中需E[Xτ]=E[X0]定的条件，例如，是有界的，或要仔细处理期望和条件期望，并τ者是有界的利用鞅的性质Xt应用可选停时定理在金融建模、信号处理等领域有着广泛的应用例如，可以利用可选停时定理计算期权的期望收益第十二章定理Girsanov定理内容证明概要应用定理描述了在定理的证明基定理在金融数Girsanov Girsanov Girsanov改变概率测度后，布朗于导数学、滤波理论、随机控Radon-Nikodym运动的性质如何变化和鞅的性质证明过程制等领域有着广泛的应定理在金融数中需要仔细处理积分和用它是随机分析的重Girsanov学中有着重要的应用，条件期望，并利用鞅的要工具例如，用于推导期权价性质格的风险中性测度定理内容Girsanov数学表述直观解释重要性设是在概率测度下的布朗运动，定理说明，通过改变概率测度，定理在金融数学中有着重要的应Wt Pθt Girsanov Girsanov是一个适应的随机过程，则存在一个概率可以将一个具有漂移项的随机过程转化为用，例如，可以用于推导期权价格的风险测度，使得在下，₀是一个布朗运动这意味着，在不同的概率中性测度风险中性测度是指在期权定价Q QWt-∫ᵗθs ds布朗运动概率测度与的关系由测度下，随机过程的性质可能会发生变化时，所有资产的期望收益率都等于无风险Q P导数给出利率的概率测度Radon-Nikodym dQ/dP=exp-₀₀∫ᵀθs dWs-1/2∫ᵀθs²ds定理证明概要Girsanov主要步骤关键点12定理的证明主要包括定理证明的关键点在Girsanov Girsanov以下步骤定义于构造合适的Radon-Radon-Nikodym导数；证明导数，并证明其是鞅Nikodym Radon-Radon-导数是鞅；利用公导数的构造需要满足Nikodym ItôNikodym式证明在新的概率测度下，一定的条件，例如，Wt Radon-₀是布朗运动导数的期望值为-∫ᵗθs dsNikodym1技巧3定理的证明需要用到一些随机分析的技巧，例如，公式、鞅Girsanov Itô的性质、条件期望的性质等定理应用Girsanov金融数学滤波理论随机控制定理在金融数学中被广泛应用定理在滤波理论中被用于设计定理在随机控制中被用于设计GirsanovGirsanovGirsanov于期权定价、利率模型、信用风险模型最优滤波器例如，可以利用最优控制策略例如，可以利用Girsanov等例如，可以利用定理推导定理推导卡尔曼滤波器的公式定理推导线性二次高斯控制器GirsanovGirsanov期权价格的公式的公式Black-Scholes第十三章公Feynman-Kac式定理内容推导应用公式描述公式的推公式在期Feynman-Kac Feynman-Kac Feynman-Kac了偏微分方程的解与随导基于公式和鞅的性权定价、量子力学、扩Itô机过程的期望值之间的质推导过程中需要仔散过程等领域有着广泛关系公细处理积分和条件期望，的应用它是随机分析Feynman-Kac式在金融数学、量子力并利用鞅的性质的重要工具学、扩散过程等领域有着广泛的应用公式内容Feynman-Kac数学表述物理解释意义设是以下偏微分方程的解公式说明，偏微分方程的解公式在金融数学、量子力学、ux,t∂u/∂t+Feynman-Kac Feynman-Kac可以表示为随机过程的函数的期望值这扩散过程等领域有着广泛的应用例如，μx,t∂u/∂x+1/2σx,t²∂²u/∂x²-Vx,tu，，则意味着，可以通过模拟随机过程来近似求可以利用公式计算期权价格=0ux,T=hx ux,t=E[hXT Feynman-Kac，其中解偏微分方程exp-∫ᵗᵀVXs,s ds|Xt=x]Xt是满足以下的随机过程SDE dXt=μXt,tdt+σXt,t dWt公式推导Feynman-Kac主要步骤关键点12公式的推导主要公式证明的关键Feynman-Kac Feynman-Kac包括以下步骤定义随机过程；点在于构造合适的随机过程，利用公式计算随机过程的函并证明其函数是鞅随机过程Itô数的微分；证明随机过程的函的构造需要满足一定的条件，数是鞅；利用鞅的性质推导例如，随机过程的扩散项和漂公式移项需要与偏微分方程的系数Feynman-Kac相匹配与偏微分方程的联系3公式建立了偏微分方程与随机过程之间的联系通过Feynman-Kac公式，可以将偏微分方程的求解问题转化为随机过程的模Feynman-Kac拟问题公式应用Feynman-Kac期权定价量子力学公式在期权定价中公式在量子力学中Feynman-Kac Feynman-Kac被广泛应用于求解期权价格的偏被用于求解薛定谔方程例如，微分方程例如，可以利用可以利用公式计算Feynman-Kac公式求解欧式期权、粒子的传播子Feynman-Kac美式期权、奇异期权等的价格扩散过程公式在扩散过程中被用于求解扩散方程例如，可以利用Feynman-Kac公式计算粒子的扩散概率Feynman-Kac第十四章随机分析在金融中的应用模型Black-ScholesBlack-Scholes模型是一种用于期权定价的数学模型该模型基于布朗运动和Itô公式，并假设市场是无摩擦的、无套利的Black-Scholes模型是金融工程学的重要组成部分利率模型利率模型是用于描述利率波动的数学模型常见的利率模型包括Vasicek模型、Cox-Ingersoll-Ross模型和Hull-White模型这些模型基于随机微分方程，并假设利率是随机过程信用风险模型信用风险模型是用于评估债券违约风险的数学模型常见的信用风险模型包括结构模型和简约模型这些模型基于随机过程，并假设债券的违约是随机事件模型Black-Scholes假设推导局限性模型基于以下假设股票价模型的推导基于公式和模型存在一些局限性，例如，Black-Scholes Black-Scholes ItôBlack-Scholes格服从几何布朗运动；市场是无摩擦的，无套利原则通过构造一个无风险组合，假设股票价格服从几何布朗运动，这与实即没有交易成本和税收；市场是无套利的，可以推导出期权价格满足的偏微分方程，际市场情况并不完全符合；假设市场是无即没有可以无风险获得收益的机会；无风然后求解该偏微分方程即可得到摩擦的，这忽略了交易成本和税收的影响；Black-险利率是常数；期权是欧式期权公式假设无风险利率是常数，这与实际市场情Scholes况并不完全符合利率模型短期利率模型远期利率模型12短期利率模型是用于描述短期远期利率模型是用于描述远期利率波动的数学模型常见的利率曲线的数学模型常见的短期利率模型包括模型、远期利率模型包括Vasicek Heath-模型和模型这些模型Cox-Ingersoll-Ross Jarrow-Morton模型这些模型基基于随机微分方程，并假设远Hull-White于随机微分方程，并假设短期期利率是随机过程利率是随机过程应用3利率模型在金融市场中有着广泛的应用，例如，用于定价利率衍生品、评估利率风险、管理资产负债表等总结与展望课程回顾前沿研究方向学习建议本课程介绍了随机分析随机分析的前沿研究方建议您在学习随机分析的基本概念、理论和应向包括分数布朗运动、的过程中，多做习题、用，特别是布朗运动、跳跃扩散过程、随机偏多阅读文献、多思考问随机积分和随机微分方微分方程、机器学习中题同时，也建议您将程通过本课程的学习，的随机优化等这些研随机分析应用于实际问您将掌握处理不确定性究方向将推动随机分析题中，例如，金融建模、和随机性的数学工具的发展信号处理、随机控制等。