第2讲排列及排列数5种题型总结

第讲排列及排列数种题型总结25【考点分析】考点一排列的有关概念

①定义一般地，从〃个丕圆元素中取出〃2加个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同的元素中取出m个元素的一个排列.

②相同排列两个排列相同，当且仅当两个排列的元素相回，且元素的排列顺序也相同.考点二排列数与排列数公式

①排列数从n个不同元素中取出〃〃加个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号41表示./，、

②排列数公式4二及12♦・・〃_加+1=；特别地，4；=〃〃—l〃—2x・・・2xl=〃！〃一刈！加，且加刍，规定0!=

1.【题型目录】题型一排列的概念题型二排列数的计算题型三解排列数方程和不等式题型四证明排列数恒等式题型五排列的简单应用【典型例题】题型一排列的概念［例1］下列问题是排列问题的是A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B.平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C.集合｛囚,2，〃3,…，*｝的含有三个元素的子集有多少个？D.从高三19班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题.所以10-x9-x6,所以x—7x—120,X2x8,xeN,所以不等式A；6x A「的解集为{8},故选D.【题型专练】

1.若Ar=10A3则〃=（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【分析】根据排列数的计算公式即可求解.【详解】由题意，得2〃（2〃一1）

（22）=10〃（〃一1）（〃—2）,化简可得4〃—2=5〃—10,解得“=

8.故选:B

2.已知Af-A；+0!=4,则加的可能取值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】CD【分析】将题设中的方程化为Af=6,从而可求加的可能取值.【详解】因为A—|A；+0!=4,所以Af—；X6+1=4,所以Af=6,其中7%eN,〃2《3,而A；=1,A；=3,A；=A=6,所以加的值可能是2或

3.故选CD.

3.不等式464一2的解集为（）.A.{2,3,4,5,6,7,8}B.{2,3,4,5,6}C.{8,9,10,11}.网D【答案】D【分析】按照排列数和组合数的定义计算即可.818i【详解】由题意得MM6x而二亚，・・・8-x!0,10-x!0,/.10-x!6x8-x!,10-x9-x6,2解得X-19X+840,7X12,X x8,/.7x8,x eN\即x=8；故选D.

4.1解方程:A*=140方;2解不等式A；6A『.【答案】1x=3；2{3,4,5,6,7}.【分析】1根据排列数的定义化简可求解；2根据排列数的定义化简可求解.【详解】1原方程可化为2x+l・2x・2x—l・2x—2=140・x・x-l・x—2,化简得4/-35x+69x-lx=O,23解•得x=3,或1=—,或x=l,或x=

0.42X+1242X+1GN*由〈、勺，得且xwN*.x3X GN*V所以原方程的解为x=

3.9!6x9!2原不等式可化为左一--——其中2x«9,xeN\整理得x9-x!9-X+2!-21x+1040,即x-8x-130,所以x8或x

13.因为2x«9,XGN\所以2Vx8,xeN*.所以原不等式的解集为{3,4,5,6,7}.

5.解不等式3+W2/3+6心；【答案】{2,3,4}【解析】利用排列数的计算公式进行求解;【详解】因为丛=x+lxxT，4+2=X+2X+1,4M=X+1X,所以不等式可化为3xx-l«2x+2+6x,解得-;x4,Xx2,xeN,所以不等式的解集为{2,3,4}.【点睛】本题主要考查排列数和组合数的有关计算，明确计算公式的求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.题型四证明排列数恒等式【例1】下列各式中，等于加的是A.m!AB.AC.A『D.〃A；+1【答案】CD【分析】根据排列数公式依次判断选项即可得到答案.1・〃I【详解】对选项A,初A=L^W〃！，故A错误.对选项B,A-I/=〃+1!*〃!,故B错误.n\.A对选项C,A〃=-—V7=^!,故C正确.〃一〃+1!对选项D,〃A2；=〃・〃—1!=〃！，故D正确.故选CD【例2】1求证〃+1!-〃!二〃♦〃！；、n112求证7----右二1-7---示；123nT3求和・—1--HL+—〈山水个.2!3!4!77+1!【答案】1证明见解析；2证明见解析；31一丁\,【分析】按照阶乘的定义即可求解.【详解】1证明〃+1!—〃！=〃+1拉!一疝=〃,〃！.n_n-n\+112证明:n3由2知〃+1!九+1!〃+1!•加及+1!.加n\77+1!123综上—I----------1------FL2!3!4!口【―例13】求2证:31\1T所以一+—+—+L+------------十2!3!4!U217+1!n\2~~kl_―I!【答案】见详解.【分析】1根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立;2利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.【详解】1左边=£；；-4；=〃〃+14二;-〃娼=川+〃_4;=〃24；=右边,，结论成立,即川一看=总€；；2当时,〃+1!n\H+172!kn\左边二k\左一1!k\左左一1!=右边,k\n\・•・结论成立，即k\女一1!k\【题型专练】

1.下列等式正确的是n\B.A-1A.〃+IA”A T病D.—^A+,=An-mremC.【答案】ACD【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可.拉（〃+1）!,i选项A正确;、/、【详解】对于A,++n二雷，_.〃！〃！对于A=[_（阳_.!=（〃_加+1）!，所以选项B错误；〃（〃[）.（；；对于C,y^=2）!!,选项©正确；））nyn-\nyn-\

1.1n\n\对于D,--------A=----------•r7-77YT7=7Ti=A〃，选项D正确n-m n-m[〃—（加+1）_|!故选ACD.n

112.证明ru，并利用这一结果化简1239“，2!3!4!10!123n々2!3!4!+先证出111【答案】

（1）证明见详解•，1一而；

（2）1-7—77；.【分析】

（1）由力！=〃x（〃—l）x（〃-2）x・・・x2xl可得（力+1）!=（力+l）x〃！，n11[二匹二一m下式子成立，进而求出前9项的和即可；/、n11

（2）根据证出的-逅值式子成立，求出前〃项的和即可；n_n+l-l_〃+l1_11〃+l!/+1!〃+l!〃+l!n\+123=1$所以上+*+2+…+-------j----―2!3!4!10!1!2!2!3!9!10!2n〃+1-1_〃+11_11解因为.+1!—〃+1!—〃+]!一〃+1!一3一〃+1!n1111—二1,77+1!〃+n+l!1!2!2!3!n\题型五排列的简单应用［例1］从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（）A.10B.60C.243D.15【答案】B【分析】根据排列定义即可求解.【详解】不同的方法总数是A；=5x4x3=60故选B【例2】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（）A.60种B.80种C.100种D.120种【答案】D【分析】利用排列的定义直接列式求解.【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共£=6仓电4=120（种）.故选:D.【例3】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A.6B.12C.15D.30【答案】D【分析】由已知，根据题意可使用插空法，将2个新节目有顺序插入5个节目形成的6个空中，直接列式求解即可.【详解】因为增加了两个新节目.将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，所以原来5个节目形成6个空，新增的2个节目插入到6个空中，共有A=6x5=30种插法.故选D.【例4】若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（）个.A.60B.53C.20D.3，【答案】C【分析】根据的“伞数”定义，十位数只能是3,4,5,然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和，【详解】由题意得十位数只能是3,4,5,当十位数是3时，个位和百位只能是1,2,“伞数”共有A；=2个；当十位数是4时，个位和百位只能是1,2,3,“伞数”共有A；=6个；当十位数是5时，个位和百位只能是1,2,3,4,“伞数”共有A；=12个；所以“伞数”共有20个，故选C.【例5】某诗词大会共设有十场比赛，每场比赛都有一首特别设计的开场诗词.若将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A.144种B.48种C.36种D.72种【答案】C【分析】先利用捆绑法将《将进酒》与《望岳》进行捆绑后与另外两首诗歌进行全排，然后将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插到三个空里，再用分步计数可求得答案.【详解】解由题意得分两步进行分析将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有W=6种排法；再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空外的3个空里，有m=6种排法，则后六场开场诗词的排法有6x6=36（种）.故选C【例6】（多选题）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排.（）A.若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种B.若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种C.甲、乙不相邻的排法有82种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABD【分析】利用捆绑法可判断A；分别算出甲在最左端时以及乙在最左端时的排法数，可判断B;用插空法可判断C；先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，计算排法数，可判断D.【详解】对于A,甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，把甲、乙看作一个人，两人只有一种排法，然后与其他人全排列，排法共有A=24（种），A正确对于B,甲在最左端时，排法有A=24（种），乙在最左端时，排法有A；A；=18（种），排法共有24+18=42（种），B正确；对于C,先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排进三人中间及两端的4个位置中，排法共有A；A；=72（种），C错误；对于D,先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，排法共有A；=20（种），D正确.故选ABD.【例7］现有8个人（5男3女）站成一排.

（1）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？

（2）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？

（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？

（4）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？

（5）甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？

（6）女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】

（1）5040；

（2）4320；

（3）21600；

（4）20160；

（5）14400；

（6）2880【分析】

（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；

（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；

（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；

（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；

（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；

（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【详解】

（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有A；种情况，则甲必须站在排头有A；=5040种排法;

（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A；种情况，将这个整体与5名男生全排列，有A种情况，则女生必须排在一起的排法有A；A=4320种；

（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有A；种情况，将剩下的6人全排列，有A种情况，则甲、乙两人不能排在两端有A；A=21600种排法；

（4）根据题意，将8人全排列，有A；种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有:A；=20160种不同的排法；

（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有A；种情况，将剩下的6人全排列，有A种情况，甲、乙不能排在前3位，有A；A=14400种不同排法；

（6）根据题意，将5名男生全排列，有A；种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有A种情况，则女生两旁必须有男生，有A；A=2880种不同排法.【题型专练】

1.在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”，截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的方法种数是（）A.14B.12C.10D.8【答案】B【分析】首先确定各单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可得结果.【详解】各单位名额互不相同，则8个名额的分配方式有｛1,2,5｝、｛1,3,4｝两种，对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有A；种，所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为2A；=12种.故选B

2.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（）A.戏剧放在中间的不同放法有7!种B.诗集相邻的不同放法有6!种C.四大名著互不相邻的不同放法有4k3!种D.四大名著不放在两端的不同放法有6x4!种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理计数后进行判断即可.【详解】选项A戏曲书只有一本，所以其余6本书可以全排列，共有6!种不同排列方法；选项B诗集共2本，把诗集当成一本，不同方法有6!种，这两本又可交换位置，所以不同放法总数为2x6!；选项C四大名著互不相邻，那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书，共有3!种放法，这四本书又可以全排列，所以不同放法总数为4!x3!；选项D四大名著可以在第2至第6这5个位置上任选4个位置放置，共有A；种放法，这四本书放好后，其余3本书可以在剩下的3个位置上全排列，所以共有不同放法总数为A；x3!故选C.

3.2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A.40B.240C.120D.360【答案】D【分析】用分步乘法计数原理，第一步选一首合唱歌曲最后唱，第二步在剩下的6首歌曲中选3首在排列,由此可得.【详解】根据题意，在3首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有3种安排方法，在其他6首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A=120种安排方法，则有3x120=360种不同的安排方法，故选D.

4.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A.48种B.36种C.24种D.20种故选D【例2】从集合｛3,5,7,9,11｝中任取两个元素，

①相加可得多少个不同的和？

②相除可得多少个不同的商

③作为椭圆二+匚=1（〉0/〉0）中的，3可以得到多少个焦点在X轴上的椭圆方程？

④作为双曲线a b~22亍一齐=1（0/0）中的Q,b,可以得到多少个焦点在X轴上的双曲线方程？A.

①②③④B.

②④C.

②③D.

①④上面四个问题属于排列问题的是（）【答案】B【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序.【详解】•••加法满足交换律，，

①不是排列问题;;除法不满足交换律，，

②是排列问题;若方程=+工a b=10,力0）表不焦点在X轴上的椭I员I,则必有ah,故

③不是排列问题;2在双曲线会-齐二l（Q〉0力0）中不管人还是方程均表示焦点在X轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故

④是排列问题.故选B.【例3】（多选题）下列问题中，属于排列问题的有（）A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线C.D.从1,2,3,4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数【答案】AD【分析】根据排列的定义即可得到结果【详解】对于A,因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确；对于B,因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误；对于C,五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，C错误；对于D,四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确.故选AD【例4】（多选题）下列问题中，属于排列问题的是（）【答案】B【分析】由题意,将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御咬换位置,最后安排数”，根据分步计数原理即可求解.【详解】解因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，又“数”不在最后,“射”和“御”两次相邻,所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有A；种排法，再将“射”和御”交换位置有A；种排法，最后安排“数”有A；种排法，所以根据分步计数原理共有A；A；A；=36种排法，故选B.

5.六个人站成一排照相，其中甲乙要相邻的站法种数有（）A.720B.120C.240D.360【答案】C【分析】相邻问题，由捆绑法求解【详解】将甲乙捆绑视为整体,共有=2x120=240种故选C

6.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种.【答案】24【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有A；=2种，然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有A=6种，因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，利用插空法排列甲，排法有A；=2种，所以不同的排列方法有A；・A；♦A；=2x6x2=2”h故答案为

247.七名学生站成一排，其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有种.【答案】3120【分析】分甲站在中间和甲不站在中间考虑，按照分步计数原理和分类计数原理计算即可.【详解】若甲站在中间，则乙有6种站法，其余5人有A；=120种站法，共有6x120=720种；若甲不站在中间，有4种不同的站法，则乙有5种站法，其余5人有A；=120种站法，共有4x5x120=2400种；按照分类计数原理可得共有2400+720=3120种.故答案为

3120.

8.排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合条件的排法共有种.【答案】2880【分析】根据分步乘法计数原理即可求解【详解】第一步，先排两头，从5个独唱节目中选2排两头，有A；种；第二步，排其余的3独唱节目，然后把3个合唱节目插入到3独唱节目产生的4个空位中，有A A种由分步乘法计数原理，符合条件的排法共有A；A A；=2880种，综上所述，符合条件的排法共有2880种，故答案为

28809.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？1甲不站两端2甲、乙必须相邻；3甲、乙不相邻；4甲、乙之间间隔两人；【答案】1480种；2240种；3480种；4144种【分析】1在中间的4个位中选一个，排上甲，其余的人任意排可得答案；2把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列可得答案；3先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中排列可得答案；4先把甲乙排好，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，先把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，根据分步计数原理，求得甲乙之间间隔两人的排法即可.现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有A；种，故共有A；.A；=480种.把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有A；.A；=240种站法.⑶先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有A・A；=480种.先把甲乙排好，有A；种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有A；种，先把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有A；种，根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有A；・A]A；=144种.

10.快毕业了，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？每题都要用数字作答1两名女生必须相邻而站；24名男生互不相邻；3若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站.【答案】11440；2144；3210【分析】1由捆绑法求解2由插空法求解3由倍缩法求解1将两名女生视为整体，共有A・A；=1440种2先排老师和女生，再将男生插入到4个空位中，共有A；.A=6x24=144种A734名男生按确定顺序站，共有^=210种A.有10个车站，共有多少种不同的车票B.有10个车站，共有多少种不同的票价C.平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段D.从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法【答案】ACD【分析】根据排列的概念逐项判断即可.【详解】A有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；B有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题；C平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；D从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题.故选ACD.【题型专练】

1.下面问题中，是排列问题的是（）A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B.从40人中选5人组成篮球队C.从100人中选2人抽样调查D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合【答案】A【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据排列及排列数的定义，可得对于A中，由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于C中，从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于D中，从1,2,3,4,5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.故选A.

2.下列问题属于排列问题的是（）

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作基运算.A.

①④B.

①②C.

④D.

①③④【答案】A【分析】根据已知条件，结合排列的定义，即可求解.【详解】解

①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列,

②选出的2人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列，

③5人一组无顺序，故不属于排列，

④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列，综上所述，属于排列的为

①④.故选A.

3.（多选题）从集合｛3,5,7,9,11｝中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（）.A.相加可得多少个不同的和B.相除可得多少个不同的商C.作为椭圆W+匕=1中的Q,b,可以得到多少个焦点为X轴上的椭圆方程a匕22作为双曲线=-与=1中的a,b,D.Q2b2可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程【答案】BD【分析】利用排列的定义对四个选项一一判断.【详解】对于A因为加法满足交换律，所以A不是排列问题；故A错误;53对于B因为除法不满足交换律，如:wg，所以B是排列问题；35对于C若方程二+三=1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有＞儿a,b的大小关系一定.所以C不是排列a~b~问题；22对于D在双曲线0—中不管＞6还是＜从方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲a2b2线，故D是排列问题.故选BD.

4.（多选题）下列问题是排列问题的是（）A.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组的方法种数B.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动的方法种数C.求从b,c,d中选出3个字母的方法种数D.求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数的个数【答案】AD【分析】根据排列的定义分别判断即可.【详解】对于A,从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组，与顺序有关，是排列问题;对于B,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，只要求选出即可，不是排列问题；对于C,从d中选出3个字母，只要求选出即可，不是排列问题；对于D,从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数，需要先选出再排序，是排列问题.故选AD.探究排列的核心是“顺序”，有“顺序”就是排列问题.那么如何判断是否有顺序呢？最常用的办法是把得到的结果变换元素的位置，如果结果变了，就是有“顺序”，若结果不变，就是无“顺序力题型二排列数的计算【例1】A；；-89Aj-8A；=.【答案】0【分析】根据排列数的计算公式，化简得到A；＞89A-8A；=A；；-90A；=10A＞10A；,即可求解.【详解】根据排列数的计算公式，可得A；；—89A；—8A；=A；＞89A；—A=A；；—90A；=10A；-10A；=

0.故答案为

0.4A；+2A；【例2】计算:A8-A5八8八94【答案】-##

0.8【分析】利用排列数公式直接计算化简即可4A+2A；_4x8x7x6x5+2x8x7x6x5x4【详A；-A8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5解】8x7x6x5x4+2x41248x7x6x5x4x3x2xl-9-15-54故答案为-T【例3】阶乘是基斯顿•卡曼Christian Kramp于1808年发明的一种运算，正整数〃的阶乘记为〃!，它的值为所有小于或等于〃的正整数的积，即加=lx2x3x…x〃-Dx〃.根据上述材料，以下说法错误的是A.4!=24B.8!=403202131C.12!=12xll!D1!+—+—+…T51!2!d!【答案】D【分析】根据阶乘的定义一一计算各选项的值，即可判断出答案.【详解】根据阶乘的定义可得4!=1X2X3X4=24,A正确;8!=lx2x3x・・・x8=40320,B正确;12!=Ix2x3x...xl1x12=111x12=12x11!,C正确;以工+.•+1!+・1+2+3+…,故D错误,—1!2!/-!!故选:D【例4】对任意正整数〃，定义〃的双阶乘加!当〃为偶数时，〃!!二〃x〃—2x〃—4x・・・x6x4x2；当〃为奇数时，=2x〃-4x・・・x5x3xl,则下列四个命题中错误的是A.209!!x208!!=209!B.208!!=2xl04!C.208!!的个位数字为0D.209!!的个位数字为5【答案】B【分析】根据阶乘与双阶乘的定义与运算，逐项判定，即可求解.【详解】由根据双阶乘的定义可得209!!=得9x207x・・・x3xl,20洋=208x206x…x4x2,所以209!!x208!!=209x207x・・・x3xlx208x206x・・・x4x2=209x208x207x・・・x3x2xl=2019!,所以A正确；S208!!=208X206X...X4X2=2104X104!,所以B错误；因为208!!=208x206x.・・xl0x8x6x4x2能被10整除,所以208!!的个位数字为0,所以C正确；因为209!!=209x207x…x5x3xl能被5整除，所以209!!个位数字为5或0,又209!!是奇数,所以209!!的个位数字为5,故D正确.故选B.【例5】〃一1998〃—1999・・,〃-2021〃一2022〃£,〃2022可表示为A A24D A25P A24D A25c〃-1998D・八〃一1998J八〃-2022u•八〃一2022【答案】B【分析】由排列数的定义即可判断.【详解】〃-1998〃-1999…“-2021〃-2022总共有〃-1998-〃-2022+1=25个数连乘，故n-\998〃-1999・・・〃-2021〃—2022=A^.I998故选B【题型专练】

1.若是一种运算符号，并定义l!=L2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,・・・・・・,则噜的值为-X♦50A.—B.99!C.9900D.2!49【答案】C【分析】根据题意，结合是一种运算，即可求解.叔*,乂【详解】根据题意，可得曙=10°*97；2*1=[00x99=

9900.98!98x97x…x2xl故选C.

2.计算—y=£A.AB.A；C.C；D.A【答案】B【分析】根据排列数公式计算即可A；7!7!a4【详解】———AA；3!7-4!7故选B

3.A\—15A4+14A3=.A.AB.14A\C.A\D.—14131310!【答案】ABD【分析】利用排列数公式化简，再逐一分析各个选项，计算判断作答.【详解】A*—15A+14A3=15A4—15A+14A；3=14A3,B正确，C不正确;141141而14A；3=A4=^,即A；5—15A+14A3=A4=而,A正确，D正确.故选ABD

4.〃-3〃-4…9〃-10〃EN*,〃10可以表示为A.A B.A C.A D.C【答案】B【分析】根据排列数定义判断.【详解】已知式中有8个连续正整数相等，最大的是〃-3,因此可表示为A..故选B.题型三解排列数方程和不等式【例1】若A=2A3],则加=A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】根据排列数公式求解即可.[详解]由A=2Aj+],得加+得加2_5加=0,所以加=5或加=0舍去.故选C【例2】已知自然数%满足3力\=2d+2+64,则1=.A.2B.3C.4D.5【答案】c【分析】根据题意得3x+l・xx—l=2x+2x+l+6x+lx求解即可.【详解】因为3/匕=242+64匕，所以3（x+l）.x（x-l）=2（x+2）（x+l）+6（x+l）x,由X是自然数且x+123,整理得3/_1支_4=0,解得x二-;舍或x=4,所以x=

4.故选C.【例3】1解不等式:34三2+64；2解方程4用=140【答案】1{3,4,5}；2x=

3.【解析】1利用排列数公式可得出关于x的不等式，结合XEN且x23可得出工的取值集合；2由已知得出XEN且x23,根据排列数公式可得出关于x的方程，进而可解得工的值.【详解】1由题意可知，xwN且因为Z=xx-lx-2,4+[=x+lx,Z=xx-l,所以原不等式可化为3xx-lx-2«2xx+l+6xx-1,整理得3x-2x-5W0,所以，3x5,所以原不等式的解集为{3,4,5}；2x+l42易得x23,所以x23,XGN,XEN v.由4x+]=1404得2x+l.2x・2x—l2x—2=140xx—lx—2,整理得4%2_35X+69=0,即4x-23x-3=0,解得1=3或1=亍舍去.所以，原方程的解为x=

3.【点睛】易错点点睛本题考查排列数方程与不等式的求解，在解题时容易忽略参数的取值范围，从而导致求出不合乎要求的答案，所以在解题时，首先就可以根据组合数的定义得出参数的取值范围，进而列等式或不等式求解.【例4】不等式A；6xA=的解集为A.[2,8]B.7,12C.{x|7x12,xeA^}D.{8}【答案】D【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.【详解】因为；；A6XA2。