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第讲排列组合常见种题型总结分析411【题型目录】题型一特殊元素与特殊位置优待法题型二分类讨论思想题型三插空法（不相邻问题）题型四捆绑法（相邻问题）题型五平均分组问题除法策略题型六分配问题先分组再分配题型七正难则反题型八定序问题（消序法）题型九相同元素隔板法题型十涂色问题题型十一与几何有关的组合应用题【典型例题】题型一特殊元素与特殊位置优待法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置【例】从名志愿者中选出人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿164者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种【答案】B【详解】解先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有C；种，然后再从剩余的5名志愿者中选3个人从事另外三项工作，有6种，所以一共有C W=240种.故选B.【例】某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有2244（）个A.忠B.44C.（；6丫14D.
（4）2，【答案】D【分析】先求从个英文字母中选出个英文字母的方法数，再求出后接个数字组成的方法数，由分步计2624数原理即可得结论.【详解】解先从个英文字母中选出个英文字母的方法数为『，后接个数字组成的方法数为所以由262964分步计数原理可得不相同的牌照号码共有（C，4个.故选D.某种产品的加工需要经过民,瓦道工序，如果工序必须不能相邻，那么有种加工顺
3.4G5C,序（数字作答）【答案】72【分析】先排其余的道工序，出现个空位，再将这道工序插空.342【详解】先排其余的道工序，有种不同的排法，出现个空位，再将这道工序插空，有种34=64C,D2m=12不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.6x12=72题型四捆绑法（相邻问题）对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序【例】某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相邻的排法种数15为（）A.24B.36C.48D.60【答案】C【解析】先安排甲、乙相邻，有用种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为/.故选:x4=48C【例】有甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列25方式共有（）种种种种A.12B.24C.36D.48【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；3!为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有种插空方式；注意到丙2丁两人的顺序可交换，有种排列方式，故安排这名同学共有种不同的排列方式,故选2531x2x2=24B【例】（多选题）个人坐在一排个座位上，则下列说法正确的是（）335共有种不同的坐法A.60空位不相邻的坐法有种B.72空位相邻的坐法有种C.24两端不是空位的坐法有种D.27【答案】AC【分析】对于采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；A,对于利用插空法；对于利用捆绑法；对于利用特殊元素优先法.B,C,D,【详解】对于A,7X3X2X1=60^故正确；3x2x14x3对于B,A；C；=3x2xlx——=36,故错误；2x1对于C,A；x4=3x2xlx4=24,故正确；对于故错误，D,3x2x3=18,故选AC.【例】中国古代儒家提出的“六艺”指礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程4讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求“礼”与“乐”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（）种种种种A.18B.36C.72D.144【答案】D【分析】利用捆绑法和插空法计算可得.【详解】解由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体,共有A；种，然后与“礼”、“数”进行排序,共有A；种，最后将，乐，，与“书，，插入4个空即可，共有A；种，由于是分步进行，所以共有八；代・g=144种.故选D.【例】某办公楼前有个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方57法有种.【答案】120【分析】从辆车中挑出辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这两个元素不相32邻，将这两个元素插入另外个车位形成的个空位中.45【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有A；=6种方法;另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有A；=20种，因此共有A；A；=120种.故答案为120【题型专练】把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品/与产品不相邻，则不同的摆法有种.
1.5Z5【答案】36【详解】试题分析先考虑产品与相邻，把、作为一个元素有蜀种方法，而、可交换位置,所以A BA BA B有种摆法，又当、相邻又满足、相邻，有团种摆法，故满足条件的摆法有种.2H=48A BA C2=1248—12=36考点排列组合，容易题.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻,
2.且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）A.240B.192C.96D.48【答案】B【分析】分三步先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【详解】丙在正中间（4号位）；甲、乙两人只能坐或号位，有种情况，12,2356,674考虑到甲、乙的顺序有A；种情况；剩下的4个位置其余4人坐有A种情况；故不同的坐法的种数为4A；A=
192.故选B.名老师和名学生站成一排照相，则名学生中有且仅有人相邻的站法有种.
3.2332【答案】72【分析】先将学生分成两组，两人的先捆绑，再两位老师全排列，剩下三个空将两组学生全排列即可.【详解】第一步先取两个学生捆绑，则有CkA；=6种；第二步两名老师全排列，则有A；=2种；第三步两名老师有3个空，将两组学生安排在3个空中的两个，则有A；=6种，则一共有种.6x6x2=72故答案为72为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐，射”“御”“书”“数”
4.六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）某学生从中选门课程学习，共有种选法A.215课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法B.240课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法C.144课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有种排法D.480【答案】ABC【分析】利用直接法、插空法、捆绑法以及分步乘法计数原理依次判断选项即可.【详解】A6门中选2门共有C；=15种选法，故A正确；B课程乐”射排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有用种排法，然后全排列有£=120种排法,根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有耳£=种，故正确；240BC课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有H=6种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有团=24种排法，根据分步乘法计数原理，得共有4；团=144种排法，故C正确；D分2种情况讨论若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，6若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有十；＞=种排法，故错误.6504D故选ABC..“四书，，“五经，，是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》59《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（）1A.A A；A汽D.A A【答案】C【分析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的部经典名著的讲座，将《大学》《论语》捆绑和《周易》6看作两个元素，采用插空法排列，根据分步乘法计数原理，可得答案.【详解】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的部经典名著的讲座，6共有A种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有A；种排法，排完的部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有个空位，67从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有A；种排法，故总共有A A；A；种排法，故选C.中国书法一般分为篆书、隶书、行书、楷书和草书这种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶,
6.5草书分章草、今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书、隶书和草书种字体书写个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草、36今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻,则不同6的排法种数为种.【答案】72【分析】利用捆绑法，结合排列数的计算，求解即可.【详解】分别将隶书、草书、楷书当作整体，排法总数为A；=6,隶书内部顺序A；=2,草书内部顺序A；=6,故方法总数为A；A；A；=72种.故答案为
72.题型五平均分组问题除法策略【例】已知有本不同的书.分成三堆，每堆本，有种不同的分堆方法？162【答案】15【分析】根据题意先对本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组6后要除以A；,进而求解.【详解】本书平均分成堆,636x5^4x3^所以不同的分堆方法的种数为C；C氾一2xlX23T
5.A3x2x1故答案为
15.【例】个篮球队中有个强队，将这个队任意分成个组（每组个队），则个强队恰好被分在同212312343一组的概率为1311A.—B.—C.-D.555543【答案】B【详解】因为将12个组分成4个组的分法有卷尸种，而3个强队恰好被分在同一组分法有失一A；A；a故个强队恰好被分在同一组的概率为；；；C*C C A C2C C A=C.【例】本不同的书，分成三份，份本，另外两份每份本，共有种不同的分配方式36141【答案】15【分析】根据部分平均分组由排列组合即可求解.C4cl【详解】无序均匀分组问题，净种，=15故答案为15【题型专练】奥运会足球预选赛亚洲区决赛（俗称九强赛），中国队和韩国队是其中的两支球队.现要将支球队随
1.9机平均分成组进行比赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是（）.3【答案】A【分析】由组合与古典概型公式求解【详解】由题意得支球队平均分成组共有当种，93£1=2803x2x1若中国队与韩国队分在同一组，则有种，7xC®=702x1701故所求概率为夕=—=］，2804故选A本不同的书，分成三堆，一堆本，一堆本，一堆本，有种分法
2.6123【答案】60【分析】根据不平均分组即可求解,【详解】先从6本书中任取1本，作为一堆，有C；种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C；种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有C种取法，故共有分法C；C；C=60种..“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家.现某处需要三组全民核酸检测3人员，其中有名医生和名社会志愿者组成，每组人员由名医生和名志愿者组成.根据需要，志愿者甲与3612乙要分配在同一组，则这名检测人员分组方法种数为9【分析】先把除甲乙两人的名志愿者分成两组冬,4再搭配名医生，用分步乘法原理计算可得结果.3【答案】18【详解】志愿者分组情况有=3种，搭配3名医生有3A；=18种.故答案为:
18.题型六分配问题先分组再分配1例某校在重阳节当日安排位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排人，则1141不同的分配方案数是（）A.81B.72C.48D.36【答案】D【分析】先将位学生分为三组（其中一组人，另两组每组各人），再分配到三所敬老院，即可得出答案.421【详解】先将4位学生分为三组（其中一组2人，另两组每组各1人），再分配到三所敬老院，则有C；A；=36种分配方法，故选D.【例】某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三26个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）种种种种A.540B.180C.360D.630【答案】A【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.633【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，6333第一类6名志愿者分成1+2+3,共有C；C；C；A；=360（种）选派方案，CC第二类:6名志愿者分成1+1+4,共有=90（种）选派方案,花6名志愿者分成2+2+2,共有癸江A；=90（种）选派方案,-kIZ.弟二类:所以共（种）选派方案,故选360+90+90=540A.【例】名志愿者要到三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排名志36A,5,C1愿者，若要名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（）2A种种种种A.105B.144C.150D.210【答案】D【分析】先安排名志愿者到力社区，再考虑剩余的名志愿者，分为两组，可以平均分，可以一组人,一241组人，再对两组进行分配，从而求出最终答案.3【详解】先选出2名志愿者安排到4社区，有C种方法，再把剩下的名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法,44A2另一种是1组1人，另一组3人，有C；C；种分法，再分配到其他两个社区，（Q2Q2）则不同的安排方法共有C；卡+C；CA；=210种.）\A2故选D【例】某班名同学参加植树活动，若将名同学分成挖土、植树、浇水个小组，每组人，则甲、乙、49933丙任何人在不同小组的安排方法的种数为（）2A.90B.180C.540D.3240【答案】C【分析】先安排除甲、乙、丙之外的同学进行平均分组，再安排甲乙丙到三个不同小组，结合排列组合公式即可求解.【详解】第一步先安排除甲、乙、丙之外的同学，将除甲、乙、丙3人之外的6名同学分成挖土、植树、浇水3组，每组2人，有空G・A；=90种不同的方法;第二步安排甲、乙、丙，甲、乙、丙3人分到3个不同的小组，有A=6种不同的方法.则由分步乘法计数原理知，共有种不同的安排方法.90x6=540故选c.【例】年月日至月日，第届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都举行，组委会安排甲、5202293010956乙等名工作人员去个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲、乙人必须在一起，则不同的安排642方法的种数为A.240B.180C.156D.144【答案】A【分析】对甲、乙两人所在的岗位的人数进行分类讨论，利用分组分配的原理结合分类加法计数原理可求得不同的安排方法种数.【详解】分以下两种情况讨论若甲、乙两人所在的岗位只分配了甲、乙两人，则另外有一个岗位需要安排两人，1此时，不同的安排方法种数为C；C；A；=144种；若甲、乙两人所在的岗位分配了三人，则还需从其余四人中抽取一人分配在甲、乙这两人所在的岗位,2此时，不同的安排方法种数为C；A=96种.综上所述，不同的安排方法种数为144+96=
240.故选A.【例】在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有名医务人员到某学校的高
一、高
二、高三个年653级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配名医务人员，则不同的分配方法有1种种种种A.25B.50C.300D.150【答案】D【分析】首先分析将个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有两种情况，每种情52,2,1,3,1,1况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当个人分为三小组，分别来自个年级,52,2,13
②当5个人分为3,1,1三小组时，分别来自3个年级，共有・A；=60种.综上，选法共有90+60=
150.故选:D.【例】为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了名男教师和名女教师去支援边疆工作，分配到732所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为.3【答案】36【分析】将名老师分为组，讨论位女老师所在学校有人和人的情况进行计算即可.53223【详解】
①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有C；A；=18种情况;
②若2位女老师分在一个学校，贝43名男教师分为2组，再分到3所学校，有C；A；=18种情况,故两名女教师分到同一所学校的情况种数为种.18+18=36故答案为
36.【例】甲、乙、丙三名志愿者需要完成从五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成8B,C,D,E一项，且£工作只有乙能完成，则不同的安排方式有种.【答案】50【分析】因为工作只有乙能完成，所以分为两类，
①乙只完成工作
②乙不止完成工作，再利用两个原E EE理及排列组合的知识即可求得【详解】由题意可分为两类C2c2
（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成4B,C,D,四项工作，则一共有（C；C；+\片）A；=14种安排方式A；=36种安排方式A；（）若乙不止完成工作，即甲、乙、丙三人完成四项工作，则一共有2E4B,a D,综上共有种安排方式14+36=50故答案为50【题型专练】某地为遏制新冠肺炎病毒传播，要安排个核酸采样队到个中风险小区做核酸采样，每个核酸采样队
1.32只能选择去一个中风险小区，每个中风险小区里至少有一个核酸采样队，则不同的安排方法共有（）种种种种A.2B.3C.6D.8【答案】C【分析】由不平均分组，可得答案.【详解】由题意，分组方案有1:2一种情况，则C；C；A；=3xlx2=6种，故选C.某社区服务站将名志愿者分到个不同的社区参加活动，要求每个社区至少人，不同的分配方案有
2.531【例】将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法有种.3【答案】240【分析】依据特殊元素优先法去排列即可解决.【详解】甲、乙、丙等六位同学排成一排，可以看成甲、乙、丙等六位同学在一排个座位上就座.6先安排甲、乙、丙三位同学在6个座位中任选3个座位有C种方法，让甲、乙坐在丙的两侧，有A；种方法；接下来安排余下的三位同学余下的三位同学在剩下的3个座位上任意坐有A；种方法.则不同的排法共有CA；A；=240种故答案为240【例】用、、、、五个数字401234可组成多少个五位数；1可组成多少个无重复数字的五位数；2可组成多少个无重复数字的且是的倍数的三位数；33可组成多少个无重复数字的五位奇数.4【答案】12500；296；320；436【分析】四个问题是同一类型题根据已知讨论各个位置上的数字情况，然后利用分步乘法计数原理进行计算即可求解.用
0、
1、
2、
3、4五个数字组成五位数相当于从
1、
2、
3、4四个数字中抽取一个放在万位，有C；种情况,从
0、
1、
2、
3、4五个数字中抽取一个放在千位，有C；种情况，从
0、
1、
2、
3、4五个数字中抽取一个放在百位，有C种情况，从
0、
1、
2、
3、4五个数字中抽取一个放在十位，有C种情况，从
0、
1、
2、
3、4五个数字中抽取一个放在个位，有C种情况，所以可组成C；x C[x C[x C]x=4x5,=2500个五位数.用、、、、五个数字组成无重复数字的五位数，相当于先从、、、四个数字中抽取一个放在万位,有012341234C；种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有A种情况，所以可组成C；A=4x24=96个无重复数字种种种种A.360B.300C.90D.150【答案】D【分析［先分类，分为个社区的志愿者人数分别为或再求出两种情况下的不同分配方案，注意部33,1,12,2,1,分平均分组问题.C泣C；人数分别为2,2,1，此时不同的分配方案有A；=90种，综上不同的分配方案有60+90=150种.【详解】若个社区的志愿者人数分别为此时不同的分配方案有种，若个社区的志愿者33,1,1,603故选D名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名,
3.6112丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（）3种种A.120B.90种种C.60D.30【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有或；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有6152《；最后剩下的名同学去丙场馆.3故不同的安排方法共有C♦C；=6x10=60种.故选C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.有编号分别为的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有
4.1,2,3,4种放法.【答案】144c2cde【分析】本题为分组分配问题，先分组有啖产种情况，再分配有A；种情况，两式相乘即可.c2c1cd【详解】先分组再分配.第一步将四个小球分为三组，每组个数分别为、、有意尹种情况；211,A2第二步，将分好的三组小球放到三个盒子中，有A种情况.c2r,r,所以，共有‘A=144种放法.故答案为
144.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这名应届大学毕业生安排到该市所不同的学校任教，每所
5.54学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是.【答案】240【分析】根据平均分组原则和分步计数原理即可解答.【详解】先将名学生分成组共有种,54=10£再将4组学生安排到4所不同的学校有A=24种，根据分步计数原理可知不同的安排方法共有种.10x24=240故答案为240某班将名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好
6.5分配名同学共有种不同的方法.2【答案】60【分析】由题意，根据分组分配的做题原理，可得答案.【详解】由题意，分步分析2
①先5人中选出2人，安排到甲社区，有C；=10种方法，
②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，有C；A；=6种方法，则有种安排方式.6x10=60故答案为
60.甲、乙、丙三名志愿者需要完成/,£五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完
7.B,C,D,成一项，且工作只有乙能完成，则不同的安排方式有种.E【答案】50【分析】因为£工作只有乙能完成，所以分为两类，
①乙只完成£工作
②乙不止完成£工作，再利用两个原理及排列组合的知识即可求得【详解】由题意可分为两类C2c2
（1）若乙只完成£工作，即甲、丙二人完成4B,C,D,四项工作，则一共有（C；C+-fj）A=14种安排方式A；=36种安排方式（）若乙不止完成£工作，即甲、乙、丙三人完成四项工作，则一共有24B,C,D,综上共有种安排方式14+36=50故答案为50某班将名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好
8.5分配名同学共有种不同的方法.2【答案】60【分析】由题意，根据分组分配的做题原理，可得答案.【详解】由题意，分2步分析
①先5人中选出2人，安排到甲社区，有C；=10种方法,
②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，有C；A；=6种方法，则有种安排方式.6x10=60故答案为
60.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排
9.6两人，其中两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（）A,8A.56B.28C.24D.12【答案】B【分析】设两个社团分别为甲乙，按/在甲社团在乙社团和力在乙社团在甲社团两种类型讨论，每种88类型又分甲社团有人、人、人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.234【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当/在甲社团3在乙社团时，甲社团有2人有C；种方案，甲社团有3人有C；种方案，甲社团有4人有C；种方案，共C；+C+C=4+6+4=14种方案；当在甲社团在乙社团时，同理也有种方案；8414所以不同的安排方案数是14+14=
28.故选B中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙等
10.5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（）A.60B.66C.72D.80【答案】C【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有C C；C；=90种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有C；C；C；=18种，故甲乙不在同一实验舱的种数有种.90-18=72故选C.题型七正难则反【例】用组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有.11,2,3,4,5【答案】72【解析】用组成一个没有重复数字的五位数，共有耳=个；1,2,3,4,5120三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与和全排列共有力；个；24x=36三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有mx/；=12个；故符合条件的有；120-12-36=72故答案为
72.【例】如图，某城市的街区由个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，212则从到的最短路径有（）48C D条条条条A.23B.24C.25D.26【答案】D【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确CO答案.【详解】先假设是实线，A则从到向上次，向右次，最短路径有不房=条，A8,3435A3A4其中经过的，即先从到，然后到最后到的最短路径有条，CO AO,53x3=9所以，当不通时，最短路径有条.35-9=26故选D【例】某老师一天上个班级的课，每班一节，如果一天共节课，且老师不能连上节课（第节和第33935节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有种.6【答案】
474.【分析】采用间接法，首先求解出任意安排节课的排法种数；分别求出前节课连排节和后节课连排节35343的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从节课中任意安排节共有团种93=504其中前节课连排节共有团种；后节课连排节共有团种533=18432=12・•・老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474种本题正确结果474【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.、【例】从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为见共可得到的不同值的个数是（）42,4,6,8,106,IgoTgbA.20B.18C.10D.9【答案】B【分析】因为lg〃-lgb=lg,所以从2,4,6,8,10这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为b,b共可得到的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从这五个数中任取个数排列后IgaTgb2,4,6,8,102（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案.【详解】首先从这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，2,4,6,8,10W=20—24487又厂屋厂“.•・从2,4,6,8,10这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为〃，b,共可得到lg〃-lgb=lg的不同b值的个数是20-2=
18.故选B.【点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属于中档题.【题型专练】从位女学生和位男学生中选出位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这位科代
1.6533表中男、女学生都要有，则不同的选法共有.种种种种A.810B.840C.1620D.1680【答案】A【解析】先由排列数分别求出不考虑性别，与全部是男生和全部是女生的选法总数，然后用总数减掉全部是男生和全部是女生的即为男女生都有的选法.【详解】解不考虑男女生共有4=990种全部是男生的有£种=60全部是女生的有用种=120所以男、女学生都有的共有种990-60-120=810故选A.设直线的方程是圾=从这五个数中每次取两个不同的数作为的值，则所得不同直线的条
2.41+0,1,2,3,4,545数是.【答案】18【分析】任取2个数作为45,共有A；=20种，去掉重复的直线条数即可得解.【详解】:从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为/、3的值有A；=20种结果，在这些直线中有重复的直线，当时和当月时,结果相同,4=1,5=2=2,5=4把交换位置又有一组相同的结果，48・••所得不同直线的条数是20-2=18,故答案为18从集合=中分别取个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到个不同
3.{1,2,3,4,5,6,7,8,9}2的对数值.【答案】53【分析】分取的两个数中有一个是、取的两个数不含有两种情况讨论，注意排除对数值相等的情况.11【详解】
①当取的两个数中有一个是时，则只能作真数，11此时k）g=O,=2或3或4或5或6或7或8或9；
②所取的两个数不含有1时，即从2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个，分别作为底数与真数，有A；=56个对数，但是其中Iog23=log49,Iog32=log94,Iog24=log39,Iog42=log
93.综上可知共可以得到（个）不同的对数值.56+1-4=53故答案为53用组成数字不重复的六位数，满足和不相邻，和不相邻，则这样的六位数的个数为.
4.1,2,3,4,5,01250【答案】276【解析】组成数字不重复的六位数的个数共有个1,2,3,4,5,0600其中相邻的六位数的个数共有个1,2=1925,0相邻的六位数的个数共有4；港-团=216个和相邻且和相邻的六位数的个数共有用个125044-=84即满足和不相邻,和不相邻,则这样的六位数的个数为1250600—192—216+84=276故答案为276题型八定序问题（消序法）【例】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在1最后，则抽奖的顺序有（）种种种种A.72B.144C.360D.720【答案】BJ4【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有刍•种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的2序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有个空可选，所以有团中插空方法，所以根据分步乘法计数4J4原理有1・/；=144种.故选B.2【例】按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的2条形码是“标准码”，标准码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的2525窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（）种不同的编码.A.120B.60C.40D.10【答案】D【分析】本题转化为排列问题，即个分别相同的元素与个分别相同的元素排成一列的总数问题.32【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数N=^T=I
0.J4故选D【例】是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是30M4两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合.在中只有种类型的碱基，分别用、、44C G和表示，中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是或者是不会出现其70AM4-T,C-G,他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所示为一条乂单链模型示意图，现在某同学想在碱基和碱基之间插入个碱基个碱基和4T3421个碱基则不同的插入方式的种数为（）7,...A G G AT CGG...A.20B.40C.60D.120【答案】C【分析】利用排列数计算公式计算出正确答案.屋720【详解】依题意可知，不同的插入方式的种数为号/=「二=
60.A^A46x2x12故选C【例】有的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车,每46x6辆车占一格，则停放的方法数为（）A.720B.2160C.8400D.14400【答案】D【分析】先假设辆车完全不同，然后按照分步计算停放的方法，再考查红色车相同，黑色车相同，再按照倍6缩法求解.【详解】首先假设辆车是不同的车，第一辆车有种方法，第二辆车不能与第一辆车同行，同列，则有636种方法，同理，第三辆车有种方法，第四辆车有种方法，第辆车有种方法，第辆车有种方251695461一36x25x16x9x4x1=
14400.因为辆红色车相同，辆黑色车相同，所以不同的停放方法为333!x3!法,故选D【例】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现5有悬挂着的盏不同的花灯需要取下，每次取盏，则不同取法总数为（）81巴密3图驾A.2520B.5040C.7560D.10080【答案】A【分析】结合全排列的概念即可.【详解】由题意，对盏不同的花灯进行取下,先对盏不同的花灯进行全排列，共有履种方法，88因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取,所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，故一共有彳后种,m=2522TL2故选A【例】如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个62集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（用数字作答）.【答案】90【分析】根据有六个集装箱，需要全部装运，得到《种取法，再根据每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题求解.【详解】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有屋种取法，=720又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，J6720由排列中的定序问题，可知不同的取法有-^~厂=丁=种.90故答案为
90.【点睛】本题主要考查排列的应用，还考查了分析问题求解问题的能力，属于中档题.【题型专练】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将条不同灯谜分别装在了如图所示的个灯笼中，I.1010猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉）,则这条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为.（用数字作答）10【答案】25200【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果.【详解】一共有条灯谜，共有布种方法，由题意可知而其中按组成的列相对位置不变，所以结102,3,3,24合倍缩法可知共有kF=种，也即是这条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种252001025200故答案为
25200.某次灯谜大会共设置个不同的谜题，分别藏在如图所示的只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一
2.66名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部个谜题，则一名参与者一6共有种不同的答题顺序.的五位数.无重复数字的的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是的倍数，33所以三个数字必须是、、或、、或、、或、、012024123234,若三个数字是
0、
1、2,则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有C；种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有A；种情况；若三个数字是
0、
2、4,则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有C；种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有A；种情况；若三个数字是
1、
2、3,则相当于对这三个数字全排列，有A种情况；若三个数字是
2、
3、4,则相当于对这三个数字全排列，有A；种情况.所以根据分类计数原理，共可组成C；xA；+C；xA；+A+A；=2x2+2x2+6+6=20个无重复数字的且是的倍数的三位数.3由数字、、、、五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数01234字只能是1或3,所以相当于先从
1、3两个数字中抽取一个放在个位，有C；种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有C；种情况，再对剩下的三个数字全排列，有A；种情况，所以可组成《乂乂况=、乂个无重复数字的五位奇数.C236=36【题型专练】某校从名教师中选派名教师到个边远地区支教每地人，要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同
1.8441不去，则不同的选派方案有种.【答案】600【分析】先从名教师中选出名，因为甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分84成两类，两类方法数相加，再把名老师分配去个边远地区，名老师进行全排列即可，最后两步方法数相444乘【详解】解分两步，第一步，先选四名老师，又分两类，【答案】60【分析】首先将只灯笼全排，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，6即除以内部排序即可.【详解】将只灯笼全排，即因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，6屋取谜题的方法有
60.故答案为60五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边（甲乙可不相邻），则不同的排法有种.
3.【答案】60【分析】用个元素的全排列个数除以各元素的全排列个数可得答案.52【详解】五个人并排站在一排，共有团种，其中甲、乙两人共有耳=种顺序，各占一半,所以甲必须站=1202在乙的右边（甲乙可不相邻）的不同的排法有彳=与=种,故答案为6060An【点睛】本题考查了排列中的定序问题，一般地，〃个元素排成一排，其中加个元素的定序排列的种数为常,属于基础题.由数字」组成的一串数字代码，其中恰好有个个则这样的不同数字代码共有
4.071,30,个.【答案】120【分析】根据排列的知识确定求得正确答案.【详解】一共个数字，其中个个1071,30,A10所以一共忒-IZO.故答案为120年月日是中国共产党成立周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各
5.20210701100族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个、两个、两个与一个组成一个八位数（如）若其中三个021720001217,A.200B.240C.300D.600均不相邻，则这个八位数的个数为（）0【答案】C【分析】由于三个均不相邻，所以采用插空法，第一步排列两个两个一个第二步再把插入其中五2,1,7,0个空，即可得答案.【详解】利用插空法,第一步排列两个两个一个共有疾种排法，第二步再把插入其中五个空，所以有2,I,7,C；种排法,所以共有以仁二300个八位数・故选C.英文单词加由个字母构成，将这个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的
6.se88A.2520B.3360C.25200D.4530个数为（）（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）【答案】A【分析】排列定序问题与不相邻问题综合，先去掉〃排列其他个字母，再插入字母〃.6【详解】英文单词加〃中字母有个，字母有个，字母队八各有一个，优先考虑无限制的字e32母，注意重复字母需除去顺序，共有第=120种，再插入2个字母〃，共有C；=21种，所以一共有种,120x21=2520故选A.题型九隔板法【例】把个相同的小球放入个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（）164种种种种A.10B.24C.36D.60【答案】A【分析】采用隔板法，在个空中插入块板，根据组合数公式计算可得；53【详解】解依题意，采用隔板法，在5个空中插入3块板，则不同的放法共有C；=10种；故选A【例】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给268这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（）61种种种种A.15B.21C.30D.35【答案】B【分析】采用隔板法直接求解即可.【详解】将・8个参赛名额分配给这6个班，名额之间并无区别，将8个参赛名额采用“隔板法”分成6份即可,每份至少一个名额，・・.共有亡=21种.故选B.【例】马路上亮着一排编号为的盏路灯.为节约用电，现要求把其中的两盏灯关31,2,3,4,5,6,7,8,9,1010掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（）A.12B.18C.21D.24【答案】C【分析】盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有个符合条件的空107位，进而在这个空位中，任取个空位插入关掉的盏灯，即可得出答案.722【详解】解根据题意，盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法.10先将剩下的盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有个符合条件的空位，进而在这个空位中，任877取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有C；=21种关灯方法.故选C.【题型专练】把个完全相同的口罩分给名同学，每人至少一个，不同的分法有（）种
1.96A.41B.56C.156D.252【答案】B【解析】本题要使用挡板法，在个完全相同的口罩所产生的个“空档”中选出个“空档”插入档板，即985产生符合要求的方法数.【详解】解问题可转化为将个完全相同的口罩排成一列，再分成堆，每堆至少一个，求其方法数.96事实上，只需在上述个完全相同的口罩所产生的个“空档”中选出个“空档”插入档板，985即产生符合要求的方法数.故有C；=56种.故选B【点睛】本题考查“插板”法解决组合问题，属于基础题.将支完全相同的圆珠笔分给位小朋友.（）
2.124若每位小朋友至少分得支，则有种分法若每位小朋友至少分得支，则有种分法A.1Ci B.1C.若每位小朋友至少分得2支，则有C；种分法D.若每位小朋友至少分得2支，则有C；种分法【答案】BC【分析】利用隔板法求得每位小朋友至少分得1支的分法总数判断选项AB；求得每位小朋友至少分得2支的分法总数判断选项CD.【详解】若每位小朋友至少分得1支，则由隔板法可得，不同的分法种数为C；则选项判断错误；选项判断正确；A B若每位小朋友至少分得支，则每位小朋友可先各发支，剩下支，再由隔板法可得，不同的分法种数218为C；.则选项C判断正确；选项D判断错误.故选BC从某校个班级的学生中选出名学生作为代表参加志愿者服务活动，若每个班级至少有一名代表，则有种
3.47不同的选法.【答案】20【分析】利用隔板法解决，七个个体间有六个空，选出三个空插隔板，即可分成四份，即得.【详解】由题意，七个名额分成四份，名额之间没有差别，四个班级之间也没有差别，故把七个名额分成四份即得选法种数，相当于个球排成一排，然后插块木板把它们分成份，即中间个空7346位，选个空插隔板，分成四份，3所以总的分法有盘种.=20故答案为
20.题型十涂色问题【例】用红、黄、蓝种颜色给如图所示的个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂个圆，且相邻个圆所13622涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（）【答案】B【分析】先分类（先涂前个圈，再涂后个圆）第类，前个圆用种颜色，后个圆也用种颜色;3313333第类，前个圆用种颜色，后个圆也用种颜色，分别计算后再由加法原理相加即得.23232【详解】分类（先涂前个圆，再涂后个圆.）第类，前个圆用种颜色，后个圆也用种颜23313333色，有A；C；C；=24种涂法；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，有C；C；=6种涂法.综上，不同的涂法和数为24+6=
30.故选B.【例】如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现从给2出的种不同的颜色中最多可以选择种不同的颜色给这个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，545C.300D.360每个区域只涂一种颜色.则不同的涂色方案有（）种【分析】依题意可以利用或种不同的颜色涂色，先选出颜色，再涂色，按照分步、分类计数原理计算可得;34【详解】解依题意显然不能用少于2种颜色涂色,若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有C；=10种选法，先涂区域
①有种涂法，再涂
②有种涂法，则
⑤只有种涂法，
④也只有种涂法，则
③也只有种涂法,故32111一共有C；x3x2xlxlxl=60种涂法；若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有C；=5种选法，根据题意，分2步进行涂色240当区域
①、
②、
⑤这三个区域两两相邻，有A=24种涂色的方法；【答案】C当区域
③、
④，必须有个区域选第种颜色，有种选法，选好后，剩下的区域有种选法，则区域
③、1421
④有种涂色方法，2故共有C；x2A=5x2x24=240种涂色的方法；综上可得一共有种涂法；60+240=300故选C【例】用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂3方法有（）种种种种A.96B.48C.144D.72【答案】D【分析】将涂色方法分为两类，即良,尸用三种颜色涂和用两种颜色涂，分别计算出两种情况下涂色方案4的种数，根据分类加法计数原理即可求得结果.【详解】将六个方格标注为民,乙/，如下图所示，42A B E
①若瓦/用三种颜色涂，则/同色或力/同色或同色，44当，尸同色时，六个方格的涂色方法有出；=种；12当力月同色时，六个方格的涂色方法有用；=种；12当同色时，六个方格的涂色方法有种；4=24
②若用两种颜色涂，则4尸同色，此时六个方格的涂色方法有C；C；=24种；综上所述不同的填涂方法有种.12+12+24+24=72故选D.【例】用种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛（即图中、所示区域）用相同颜色，则不46A B同的涂法共有种.（用数字作答）力I II BI△▽【答案】216【详解】试题分析由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，一共用了种颜色，共有3种结果，一共用了种颜色.共有种结果，一共用了种颜色，共有种结果，，根据分A63=1202C62A32=9016类计数原理知，共有故答案为考点本题考查了分类计数问题.120+90+6=216,216点评本题是一个带有限制条件的元素的计数问题，但是题目中所给的条件给的非常宽松，即只要两只眼睛的颜色相同就可以，所以把两个元素看成一个元素就可以【例】学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色湖蓝色、米白色、橄榄绿、5薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有种不同的涂色方法.【答案】66【分析】运用分类计数原理、分步计算原理，结合组合定义进行求解即可.【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有C；-1=5种选法，因此不同的涂色方法有种，5x2=10当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，2因此不同的涂色方法有种，2x2x2=8当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，2因此不同的涂色方法有种，2x3x2x2+l=36当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，2x2x2+2x2=12所以共有种不不同的涂色方法，10+8+36+12=66故答案为66【题型专练】如图，节日花坛中有个区域，现有种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种,则符
1.54合条件的种植方案有种.【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种2植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设个区域分别为51,2,3,4,5,分种情况讨论2
①当选用3种颜色的花卉时，2,4同色且3,5同色，共有种植方案C；・A；=24（种）,
②当4种不同颜色的花卉全选时，即2,4或3,5用同一种颜色，共有种植方案C；・A=48（种），则不同的种植方案共有（种）.24+48=72故答案为72如图，用四种不同颜色给图中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个
2.A,B,C,D,E,F端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用种种C.240D.168【答案】B【详解】先分步再排列先涂点有种涂法，再涂点有两种可能E,4B,与相同时，依次涂点涂法分别有种；1B EF,C,D,A,3,2,2,2与不相同时有种涂法，再依次涂、、、点，涂有种涂法，涂点时又有两种可能2BE3F CD AF2C与£相同，有种涂法，再涂点有两种可能
2.11D,
①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；
②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法.与£不相同，有种涂法，再涂点有两种可能
2.21D,
①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；
②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法.所以不同的涂色方法有4x{3X2X2X2+3X2X[1X1X2+1X2+1X1X2+1X1]}=4X24+42=
264.如图，圆被其内接三角形分为块，现有种颜色准备用来涂这块，要求每块涂一种颜色，且相邻两
3.454块的颜色不同，则不同的涂色方法有种种种种A.360B.320C.108D.96【答案】B【详解】分类两色A；=20,三色C；A；=180,四色A；=120,20+180+120=320,故选B.如图，用种不同的颜色给图中四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的
4.54B,C,涂法共有__________种，【答案】180【分析】根据题意可知，不相邻区域可以同色，则可以分类讨论区域力和区域同色与不同色，结合排列公式进行求解即可.【详解】能够涂相同颜色的只有4,D.若同色，则只需要选择种颜色即可,此时有力；种；43=60若儿不同色，则只需要选择种颜色即可，4此时有种.4=120共有种.60+120=180故答案为
180.【点睛】本题主要考查涂色问题，分类加法计数原理，排列数的计算，考查了计算能力，属于中档题.如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有种颜色可
5.54供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）【答案】72【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为种颜色和四种颜色依次3讨论即可.【详解】按照使用颜色的种类分类，第一类使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有C；A=48（种），第二类使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有A=24（种）所以共有（种）48+24=72故答案为72某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为个部分.现要栽种种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻
6.64部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答）【答案】120第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C；=10种不同的选法，第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C=15种不同的选法，所以不同的选法有种，25第二步，四名老师去个边远地区支教，有父=种，424所以共有种，25x24=600故答案为:600【点睛】此题考查了排列组合的综合应用，属于基础题.某化工厂生产中需依次投放种化工原料，现已知有种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依
2.25次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（）.种种种种A.10B.12C.15D.16【答案】C【分析】根据选甲或乙或都不选分类讨论即可.【详解】分为以下三类分别计算选甲，则有C；=3种；选乙，则有2xC；=6种；甲乙都不选，则有A；=6种；共有种方案；3+6+6=15故选C.
3.4张卡片的正、反面分别写有数字1,2；1,3；4,5；6,
7.将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A.288B.336C.368D.412【答案】B【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现时、当四位数出现一个时、当四位数出现两个时三111种情况，分别列式求解即可.【详解】当四位数不出现1时，排法有C；xC；xA=96种；当四位数出现一个1时，排法有2xC；xC；xA=192种;【分析】由题意，个部分,栽种种不同颜色的花，必有组颜色相同的花，从同颜色的花入手分类来求,最642后利用分类加法计数原理得到结果.【详解】由题意，个部分.栽种种不同颜色的花，必有组颜色相同的花，642若、同色，则、同色或、同色，253646所以共有团种栽种方法；2=48若、同色，则、同色，2436所以共有种栽种方法；H=24若、同色，则、同色或、同色，352446所以共有团=种栽种方法；248所以共有种栽种方法.48+24+48=120故答案为120【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用，考查学生的分析能力和分类讨论的思想，属于中档题.如图，用种不同的颜色给图中的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同,且两
7.64端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.【答案】
630.【分析】分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第一个格子不同色，所对应的不同涂色方法，即可求出结果.【详解】用种不同的颜色给图中的个格子涂色，64若第三个格子与第一个格子同色，则有年种涂色方法；xlx4=150若第三个格子与第一个格子不同色，则有《X4；X力；=480种涂色方法；综上，共有种涂色方法.150+480=630故答案为630【点睛】本题主要考查排列中的涂色问题，根据分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.如图，节日花坛中有个区域，要把种不同颜色的花分别种植到这个区域中，要求相同颜色的花不能相邻
8.545栽种，共有多少种种植方案？【答案】共有种种植方案48【分析】根据题意，区域与区域用同一种颜色，或者区域与区域用同一种颜色,进而根据排列组合求解2435即可.【详解】解根据题意，四种颜色的花都需种植，且相同颜色的不相邻，所以区域与区域用同一种颜色，或者区域与区域用同一种颜色，2435所以一共有2x4=48种不同的方案.所以一共有种不同的方案.48题型十一与几何有关的组合应用题【例以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）11个个个个A.6B.12C.18D.30【答案】B【分析】从正三棱柱的六个顶点中任取四个组成四面体，减去在同一个面上的情况，即可得答案,【详解】根据题意，先从六个顶点中任选四个，共C=15种选法，而其中包含了所取点在同一个侧面上的情况，这种情况有种，43即符合条件的有；C3=12故选B.【例】个点将半圆分成段弧，以个点（包括个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个289102A.55B.112C.156D.120【答案】B【分析】根据题意，用间接法，先利用组合数公式计算其中三角形的数目，排除其中直角三角形的数目计算可得答案.【详解】根据题意，如图在个点中，任意三点不共线，10在其中任取3个点，可以组成C；=120个三角形，其中没有锐角三角形，直角三角形是包含点和余下的点任意取一个构成的三角形，有个，则钝角三角形4888有个.120—8=112故选B.【例】图中的矩形的个数为（）3A.12B.30C.60D.120【答案】C【分析】根据题意先确定“横边”，再确定“竖边”，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”，从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有C；种情况;第二步再确定“竖边”，共有C；种情况,所以图中矩形共有C；xC；=10x6=
60.故选C.【例4】如图，/A/ON的边/上有四点
4、
4、
4、4，ON上有三点片、与、鸟，则以、
4、
4、、、用、与、层中三点为顶点的三角形的个数为（）44A.30B.42C.54D.56【答案】B【解析】利用间接法，先在个点中任取个点，减去三点共线的情况，利用组合计数原理可求得结果.83【详解】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，83因此，符合条件的三角形的个数为C；=
42.故选B.【点睛】方法点睛解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.解组合应用题时，应注意“至少”、至多、恰好”等词的含义.【例】（多选题）〃边形对角线的条数为（）5；A.B.C C.C}-n D.【答案】CD【分析】由组合公式得出〃个顶点中任取个的种数，再减去边数得出答案.2【详解】在〃边形的〃个顶点中任取个，共有戏种方法，其中包括〃条边，应去掉，2所以〃边形对角线的条数为第-〃=也二〃=虫二故错误，正确.D-AB CD〃22故选CD【例】（）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？61
（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？【答案】
（1）58；
（2）
48.【分析】
（1）要考虑四点不能共面，利用间接法即可求解；（）正方体一共有个表面，个对角面，以这个面为底面，以正方体剩下的个顶点中的一个为顶点,即可266124得到所有的四棱锥.【详解】解1正方体8个顶点可构成C个四点组，其中四点共面的情况为正方体的6个表面及正方体组相对棱分别所在的个平面，66所以可确定四面体有C；-12=58个.由知，正方体中共面的四点组有个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以正方体其余的四个顶2112点中任一点为顶点都可以确定一个四棱锥，所以可确定四棱锥有12C=48个.【题型专练】四面体的一个顶点为儿从其他顶点与棱的中点中取个点，使它们和点力在同一平面上，不同的取法共有
1.3种种种种A.30B.33C.36D.39【答案】B【详解】分所取的点在同一个侧面上和所取的点不在同一个侧面上两种情况分析求解即可.33【点睛】根据题意，如图，
①当所取的3点在同一个侧面上时，每个侧面上有C；种取法，所以共有种不同的取法，3c=30
②当所取的点不在同一个侧面上时，3含顶点的三条棱中，每条棱上有三个点，它们分别与所对的棱的中点共面，A共有种取法，3综上，共有种不同的取法，30+3=33故选B/A/l\/l\/\7\Y/\/I\/\\/\B D•••••••*•4-M\/
2.在平面直角坐标系xOy上，平行直线、=〃〃=0,1,24，5与平行直线歹二〃〃=0,1,24，5组成的图形中,矩形共有（）个个个个A.25B.36C.100D.225【答案】D【分析】求出矩形的横边和竖边各有多少种选法即得解.【详解】解要构成矩形，从X=〃（〃=0」,2,3,4,5）中选两条直线作为两边，共有C，=15种选法；同理从＞=〃（〃=0,123,4,5）中选两条直线作为两边也有15种选法.共有15x15=225种选法，即矩形共有个.225故选D.如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在边内侧钻个孔，在边内侧钻个孔，边内侧的
3.4355c4485个孔和边内侧的个孔可连成条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔5C420数为（）.AK、、BQA.190B.199C.69D.60【答案】C【分析】由四边形对角线相交，则转化为求由这些点可以组成多少个对角线不重合的四边形，从而得到答案.【详解】在边内侧的个孔和边内侧的个孔中各取两个可构成四边形，AB56C4当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，所以最多可以钻的孔数为C；C；+9=69个.故选C从正方体的个顶点中选取个作为顶点，可得到四面体的个数为（）
4.84A.C；T2B.-8C.-6D.C；-4【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C种，去掉四点共面的情况即可求解.【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C种，正方体表面四点共面不能构成四面体有种，6正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，6所以可得到的四面体的个数为-6-6=C；-12种，故选A【点睛】关键点点睛本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.一空间有个点，其中个点在同一平面上，其余没有点共面，则个点可以确定不同平面的个数是.
5.105410【答案】111【分析】先求所有可能构成的平面个数，然后考虑共面的个点确定的平面数，即可求解.5【详解】不共线的三点可以确定一个平面，所以10个点最多可以确定C；0=120个平面，而那5个共面的点，则可以确定C；=10个平面，而没有其他4点共面的，所以减少了10-1=9个平面，所以一共可以确定的平面数为
111.故答案为
111.如图，已知图形内部连有线段.用数字作答6N8CDERD CFE由点沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？1A E由点沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条24求出图中总计有多少个矩形？3【答案】120⑵1113102【分析】由题意转化条件为点力需向右移动次、向上移动次，结合组合的知识即可得解;133设出直线上其它格点为、、尸，按照、力、、分类，结合分步乘法、组2OE GH4fE fCfG fCArH fCAfP—C合的知识即可得解；（）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步3乘法、组合的知识即可得解.【详解】
（1）由题意点4沿着图中的线段到达点£的最近路线需要移动6次向右移动3次，向上移动3次，故点Z到达点£的最近路线的条数为烧・《=20；（）设点、、的位置如图所示2G HDCF EGHP则点沿着图中的线段到达点的最近路线可分为种情况A C4
①沿着E f共有点・C；・C；=60条最近路线；
②沿着4fG-C（不经过E）,共有C・C；・C♦C；=30条最近路线；
③沿着4fC（不经过从G）,共有C；・C；・C；=16条最近路线；
④沿着C（不经过瓦G、H）,共有C・C=5条最近路线；故由点力沿着图中的线段到达点的最近路线有条；C60+30+16+5=111
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况:
①矩形的边不在上，共有C・C；=90个矩形；
②矩形的一条边在上，共有C；・C；=12个矩形；故图中共有90+12=102个矩形.当四位数出现两个1时，排法有C；xC；xA；=48种；所以不同的四位数的个数共有96+192+48=
336.故选B.用组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（）
4.0,2,4,5,6,8个个个个A.120B.192C.252D.300【答案】C【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.【详解】若这个偶数的个位数是0,则有H=60个；若这个偶数的个位数不是0,则有C C＞=192个.故满足条件的四位数中偶数的总个数为60+192=252；故选C.题型二分类讨论思想【例】在张奖券中有
一、
二、三等奖各张，其余张无奖，将这张奖券分配给个人，每人张,1815842不同的获奖情况数（）A.60B.40C.30D.80【答案】A【分析】分类讨论一，二，三等奖，三个人获得；一，二，三等奖，有人获得张，人获得张1211【详解】一，二，三等奖，三个人获得，共有种；W=24一，二，三等奖，有人获得张，人获得张，共有种，共有种.1211=3624+36=60故选A.【例】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木2棍.如图，是利用算筹表示数的一种方法.例如可以表示为“三”，可以表示为“=「.现有根算筹,1〜93266=llli===_567891234据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这个数字表示两位数的个数为1〜99【答案】16【分析】根据已知条件分析可得根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由加法6原理即可求解.【详解】根据题意，现有6根算筹可以表示的数字组合为15,19,24,28,64,68,33,37,77；数字组合15,19,24,28,中，每组可以表示个两位数，则可以表示个两位数；数字组合每组可以表示个两64,68,3722x7=1433,77,1位数，则共可以表示个两位数；2x1=2则总共可以表示个两位数.14+2=16故答案为
16.【例】将填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法31,2,33x3共有（）种种种种A.6B.12C.24D.48【答案】B【分析】由题意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一确定了，由此求出答案.【详解】由题意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一确定了，则不同的填写方法共有A；A；=
12.故选B.【题型专练】名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名,
1.6112丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（）3种种A.120B.90种种C.60D.30【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有点；6152最后剩下的名同学去丙场馆.3故不同的安排方法共有C；・C；=6x10=60种.故选C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.某公司安排甲乙丙等人完成天的值班任务，每人负责一天.已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，
2.77甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有一种.【答案】1128【分析】根据题意，按甲乙丙的安排分种情况讨论
①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，5乙没有限制，
②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙没有限制，
③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有种安排方法，
④甲在第四五六天值班，丙有种安排方法，乙有种安排方法，
⑤甲安排在第七天424值班，丙只能安排在第六天，乙有种安排方法，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案.4【详解】根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分种情况讨论
①甲在第5二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，有2种情况，剩下5人全排列，安排在剩下的5天,有A；=120种安排方式，此时有种安排方式，2x120=240
②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A；=120种安排方式,此时有种安排方式，”120=120
③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A种安排方式，=24此时有种安排方式，4x24=96
④甲在第四五六天值班，丙有种安排方法，乙有种安排方法，剩下人全排列，安排在剩下的天，2444有A=24种安排方式，此时有种安排方式，3x2x4x24=576
⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天,有A种安排方式，此时有种安排方式;=244x24=96故有种安排方式；240+120+96+576+96=1128故答案为1128题型三插空法（不相邻问题）对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例1】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A.144B.120C.72D.24【答案】D【解析】先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有/；=24种【例】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是为纪念祖冲之在圆周率方
23.1415926^3,1415927,面的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码
3.1415926时，打算将圆周率的前位数字进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个不相邻，那么小明63,1,4,1,5,91可以设置的不同密码有（）个.A.240B.360C.600D.720【答案】A【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】利用插空法:共有A x利=240种.故选A【例】有本不同的教科书，其中语文书本，数学书本，物理书本.若将其并排摆放在书架的同一层35221上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A.12B.48C.72D.96【答案】B【分析】此题分为物理在第一或第五个位置、物理在第二或第四个位置和物理在第三个位置，分别求出它们的总数即可求出答案.【详解】物理在第一或第五个位置，共有A；xA；x2x2=16种；物理在第二或第四个位置，共有A；xA；x2x2=16种；物理在第三个位置，共有C；xC；xA；xA；=16种；所以同一科目书都不相邻的放法种数是16x3=
48.故选B.【题型专练】有互不相同的盆菊花，其中盆为白色，盆为黄色，盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正
1.5221中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（）种种种种A.120B.32C.24D.16【答案】D【分析】红色在中间，先考虑红色左边的情况，再考虑右边，进而求出答案.【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有C；C；A；种选法，再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有A；种选法，综上一共有摆放方法C；C；A A；=16种.故选D现有名学生代表，名教师代表和名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有（）种.
2.223A.552B.864C.912D.1008【答案】C【分析】插空法求解不相邻排列问题.【详解】由题意，设表示两名学生位置，表示两名教师位置，表示三名家长位置，4438CCC第一步先排学生有用=种方法；2第二步再排两名教师，有
①ABAB与BABA,
②AABB与BBAA,
③4884与U8三种情况，对于
①，教师有团种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有另种方法；2=4对于
②，教师有2/；=4种排法，然后家长先在/与4之间和8与8之间各选一个家长排入，剩余一个家长插入剩余三个空中的一个空中，有种；对于
③，教师有右种排法，然后选一个家长排在最中间一个空中，再将剩余两个家长排在剩余的四个2=4空中，有•彳种排法，G综上，共有小2小（4；+片・4+；・硝=
912.故选C.。
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