《离散数学基础》课件

离散数学基础欢迎来到离散数学基础课程本课程将带您探索数学中离散结构的奇妙世界，从逻辑推理到图论，从集合理论到组合数学离散数学是计算机科学的理论基础，也是现代数学的重要分支通过系统学习本课程，您将掌握计算机科学和信息技术领域必不可少的数学工具和思维方法让我们一起踏上这段数学探索之旅，发现离散世界中的美妙规律和严谨逻辑课程概述课程目标主要内容培养学生的逻辑思维能力和抽课程涵盖数理逻辑、集合论、象思维能力，掌握离散数学的关系、函数、代数系统、图论、基本概念、理论和方法，为后组合数学和算法基础等八大模续计算机专业课程学习打下坚块，系统介绍离散数学的核心实基础知识体系学习方法结合理论学习与问题求解，通过大量习题训练巩固知识点，培养应用数学知识解决实际问题的能力鼓励小组讨论和课后自主学习第一章数理逻辑实际应用电路设计、程序验证、人工智能推理系统推理系统形式化推理规则和证明方法形式化语言命题逻辑和谓词逻辑的语法和语义基础概念真值、命题、量词、谓词等核心元素数理逻辑是研究推理的形式化方法，是离散数学和整个数学理论的基础它通过形式化语言来描述命题，并研究命题之间的逻辑关系，帮助我们建立严格的推理体系，形成可靠的知识结构命题逻辑

1.1命题的概念联结词命题是一个陈述句，它或真或假，但不能既真又假例如联结词用于将简单命题连接成复合命题基本联结词包括北京是中国的首都是一个命题（真命题）；也是一2+3=6个命题（假命题）否定表示非•¬需要注意的是，疑问句、感叹句、命令句等不构成命题，因为合取∧表示且•它们不能被判断为真或假同样，含有变量的数学表达式如析取∨表示或•也不是命题x+y=5蕴含表示如果那么•→......等价表示当且仅当↔命题公式

1.2命题公式的定义真值表命题公式是由命题变元、联结词和括号真值表是表示命题公式在各种可能的真构成的符号串可以通过以下递归方式值指派下的取值情况的表格对于含有n定义个命题变元的公式，其真值表有2^n行•单个命题变元是命题公式真值表是判断命题公式的重要工具，可以用来确定公式的真值、判断公式类型•若A是命题公式，则¬A也是命题公式（永真式、永假式或可满足式）以及比若A、B是命题公式，则A∧B、A∨B、较两个公式是否等价A→B、A↔B也都是命题公式公式的分类根据真值表结果，命题公式可分为三类•永真式（重言式）在任何情况下都为真的公式•永假式（矛盾式）在任何情况下都为假的公式•可满足式至少在某种情况下为真的公式等价公式

1.3等价的概念若两个命题公式和在任何赋值下都有相同的真值，则称和等价，记为A B A B A≡B常用等价公式掌握基本等价公式是简化和变换命题公式的关键应用实例等价变换在数学证明和电路设计中有广泛应用常用等价公式包括双重否定律；幂等律∧，∨；交换律∧∧，∨∨；结合律¬¬A≡A A A≡A A A≡AA B≡B AA B≡B A∧∧∧∧，∨∨∨∨；分配律∧∨∧∨∧，∨∧∨∧∨；德摩根A B C≡A B C A B C≡A BC A BC≡A B A C A BC≡A B A C律∧∨，∨∧；等等¬A B≡¬A¬B¬A B≡¬A¬B推理理论

1.4前提推理规则结论验证已知的命题集合有效的推理方式推理得出的新命题检验推理有效性推理是从一组前提出发，按照特定规则得出结论的过程常用的推理规则包括肯定前件从和，推出•MP AA→B B否定后件从和，推出•MT¬B A→B¬A假言三段论从和，推出•A→B B→CA→C析取三段论从∨和，推出•A B¬A B谓词逻辑

1.5谓词的概念量词谓词逻辑的优势谓词是含有变量的命题量词用于表示变量的取相比命题逻辑，谓词逻函数，当给变量赋值后，值范围和约束条件常辑具有更强的表达能力，谓词变成具有确定真值用的量词有全称量词能够刻画更复杂的数学的命题例如∀表示对所有的；陈述和推理它是形式Px x是偶数，当时，存在量词∃表示存在化数学理论的基础，也x=2为真；当时，量词将谓词转换为命是人工智能和计算机科P2x=3为假题学的理论支柱P3谓词公式

1.6谓词公式是由谓词、量词、命题联结词和括号构成的符号串基本谓词公式的形成规则如下若是元谓词，是项（常量或变量），则是原子谓词公式•P nt₁,t₂,...,tₙPt₁,t₂,...,tₙ若是谓词公式，则也是谓词公式•A¬A若、是谓词公式，则∧、∨、、也都是谓词公式A B A B A BA→BA↔B若是谓词公式，是变量，则∀和∃也是谓词公式•A x xA xA谓词演算

1.7谓词逻辑的等价式1除了命题逻辑中的等价式外，谓词逻辑还有量词相关的等价式•量词否定律¬∀xPx≡∃x¬Px和¬∃xPx≡∀x¬Px谓词逻辑的推理规则2•量词分配律∀xPx∧Qx≡∀xPx∧∀xQx谓词逻辑在命题逻辑推理规则基础上增加了•∃xPx∨Qx≡∃xPx∨∃xQx•全称实例从∀xPx可以推出Pc，其中c是任意常量•存在推广从Pc可以推出∃xPx，其中c是某个特定常量•全称推广若从假设c可以推出Pc，则可以推出∀xPx•存在实例若从∃xPx出发，可以引入一个未出现过的常量c使得Pc成立第二章集合论集合表示集合关系列举法、描述法等表示方式包含、相等等基本关系结构拓展集合运算4幂集、笛卡尔积等结构并、交、差、补等运算集合论是现代数学的基础，它研究集合及其性质和运算集合是指一组明确定义的对象的汇集，这些对象称为集合的元素集合论提供了表示和处理离散对象集的方法，是离散数学的核心内容之一在计算机科学中，集合理论为数据结构和算法设计提供了理论支持通过学习集合论，我们将掌握处理多个对象的基本方法，为后续学习打下坚实基础集合的基本概念

2.1集合的定义表示方法集合是指一组明确定义的对象集合常用的表示方法有列举的集体，这些对象称为集合的法（如）；描述法A={1,2,3}元素集合中的元素必须是确（如是偶数且）；B={x|xx10}定的、可区分的，且元素之间文氏图（用图形直观表示集合没有顺序关系，同一元素不重及其关系）常用符号∈表复计算示属于，∉表示不属于特殊集合空集不含任何元素的集合；全集在讨论问题中包含所有元素的集∅U合；自然数集；整数集；有理数集；实数集；单元素集N ZQ R只含一个元素的集合集合间的关系

2.2包含关系相等关系不相交关系如果集合的每个元素都是集合的元素，两个集合和相等，当且仅当它们包含如果两个集合和没有共同元素，即A BA BA B则称是的子集，记作⊆特别地，完全相同的元素，即当且仅当⊆，则称与是不相交的或互斥的A BA BA=BA BA∩B=∅A B若⊆且，则称是的真子集，记且⊆A BA≠BAB BA作⊂AB集合相等与集合表示方式无关例如，在实际应用中，不相交集合常用于对对象任何集合都是自身的子集空集是任何集是小于的正整进行分类，确保每个对象只属于一个类别{1,2,3}={3,1,2}={x|x4合的子集如果A⊆B且B⊆A，则有A=B数}，这些都表示同一个集合集合的运算

2.3幂集

2.42^n016幂集大小空集的幂集元集的幂集4含有个元素的集合的幂集含有个元空集的幂集包含空集本身，即含个元素的集合的幂集有个元素n2^n P∅={∅}416素幂集是指集合的所有子集构成的集合，记作例如，若，则其幂集A PAA={a,b,c}PA={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}幂集具有以下性质若⊆，则⊆•ABPA PB∪⊇∪•PA BPA PB•PA∩B=PA∩PB若有个元素，则有个元素•A nPA2^n笛卡尔积

2.5笛卡尔积的定义笛卡尔积的性质集合和的笛卡尔积，记作，是所有有序对构成的笛卡尔积具有以下性质ABA×B a,b集合，其中∈，∈即a Ab B一般情况下，•A×B≠B×A∈且∈A×B={a,b|a Ab B}，即笛卡尔积的元素个数等于两个集合元•|A×B|=|A|×|B|素个数的乘积例如，若，，则A={1,2}B={a,b,c}，即笛卡尔积不满足结合律•A×B×C≠A×B×CA×B={1,a,1,b,1,c,2,a,2,b,2,c}∪∪，即笛卡尔积对并集有分配律•A×BC=A×BA×C，即笛卡尔积对交集有分配律•A×B∩C=A×B∩A×C笛卡尔积在计算机科学中有广泛应用，例如关系数据库中的表连接操作就是基于笛卡尔积的概念在坐标系统中，平面上的点可以表示为实数集的笛卡尔积R×R第三章关系关系的本质关系描述元素之间的联系和对应关系的性质自反性、对称性、传递性等特征关系的运算逆关系、复合关系等操作特殊关系等价关系、偏序关系等结构关系是集合论的重要内容，是研究集合元素之间联系的数学工具通过关系，我们可以形式化地描述现实世界中对象之间的各种联系，如大于、等于、属于等关系理论为数据库、程序设计和人工智能等领域提供了基础支持关系的基本概念

3.1关系的定义表示方法从集合A到集合B的二元关系R是A×B的关系的常见表示方法包括子集，即R⊆A×B若a,b∈R，则称a•集合表示法用有序对集合表示关与b有关系R，记作aRb系特别地，A上的二元关系是指A到A的二•关系矩阵用0-1矩阵表示关系，矩元关系，即R⊆A×A例如，若阵元素ai,j=1表示元素i与j有关系，A={1,2,3}，则小于关系可表示为ai,j=0表示没有关系R={1,2,1,3,2,3}•关系图用有向图表示关系，顶点表示集合元素，有向边表示元素间存在关系定义域与值域关系R⊆A×B的定义域是{a∈A|存在b∈B使得a,b∈R}；值域是{b∈B|存在a∈A使得a,b∈R}特别地，若R是全关系，即R=A×B，则其定义域为A，值域为B若R是空关系，即R=∅，则其定义域和值域均为空集关系的性质

3.2自反性对称性传递性若对于任意的a∈A都有若对于任意的a,b∈A，若对于任意的a,b,c∈A，a,a∈R，则称关系R在只要a,b∈R就有如果a,b∈R且b,c∈R，A上是自反的例如，b,a∈R，则称关系R在则有a,c∈R，则称关系等于关系、小于等于A上是对称的例如，R在A上是传递的例如，关系都是自反的相等关系、夫妻关系大于关系、祖先关都是对称的系都是传递的在关系矩阵中，自反关系的主对角线元素全为1；在关系矩阵中，对称关系在关系图中，自反关系的的矩阵是对称矩阵；在关在关系图中，传递关系满每个顶点都有一个指向自系图中，对称关系的每对足若存在从顶点a到b身的环顶点之间的边是成对出现的边和从b到c的边，则的存在从a到c的边此外，还有其他重要性质反自反性（若对任意a∈A都有a,a∉R）；反对称性（若对任意a,b∈A，如果a,b∈R且b,a∈R，则a=b）这些性质是定义特殊关系类型（如等价关系、偏序关系）的基础关系的运算

3.3逆关系关系R的逆关系R^-1={b,a|a,b∈R}例如，若R是父亲关系，则R^-1是儿子关系复合关系关系R和S的复合关系R∘S={a,c|存在b使得a,b∈R且b,c∈S}例如，若R是父亲关系，S是母亲关系，则R∘S可能包含岳父关系关系的幂关系R的n次幂R^n定义为R^1=R，R^n+1=R^n∘RR^n表示通过n个中间元素建立的关系关系的闭包关系R的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别是包含R的最小的具有自反性、对称性和传递性的关系等价关系

3.4等价类商集对于等价关系R，元素a的等价类等价关系R下的所有等价类构成的[a]={x∈A|a,x∈R}，即与a有关集合称为商集，记作系R的所有元素构成的集合A/R={[a]|a∈A}等价关系的定义应用实例在集合A上，同时具有自反性、对模运算、相似三角形、向量空间的称性和传递性的关系称为等价关系商空间等都是等价关系的应用2等价关系是离散数学中最重要的关系之一，它将集合划分为不相交的等价类例如，同余模n关系是整数集上的等价关系，它将整数划分为n个等价类在计算机科学中，等价关系用于对象分类和抽象数据类型的实现划分

3.5集合的一个划分是指的一些非空子集构成的集合，满足以下条件AAΠ划分中的每个子集都是非空的•划分中的不同子集互不相交•划分中所有子集的并集等于•A划分与等价关系有着密切联系集合上的任意等价关系都能导出该集合的一个划分，反之，集合的任意划分也能定义出该集合上的一个等价关系具体地，若是集合上的等价关系，则是的一个划分；若是的一个划分，则可定义关系存在∈使得∈，R AA/R AΠA R={a,b|PΠa,b P}是上的等价关系R A偏序关系

3.6偏序关系的定义可比与不可比在集合A上，同时具有自反性、反对称性和在偏序集A,≤中，若元素a,b∈A满足a≤b传递性的关系称为偏序关系若R是A上的或b≤a，则称a和b是可比的；否则称它们是偏序关系，则称A,R为偏序集不可比的常见的偏序关系包括自然数上的小于等若偏序集中任意两个元素都是可比的，则称于关系；集合上的包含关系；整除关系该偏序关系为全序关系，相应的偏序集称为等全序集或线序集特殊元素在偏序集A,≤中•极大元不存在其他元素严格大于它•极小元不存在其他元素严格小于它•最大元大于等于所有其他元素•最小元小于等于所有其他元素•上界与下界对于子集B⊆A，若元素u满足对所有b∈B都有b≤u，则u是B的一个上界；下界类似定义哈斯图

3.7哈斯图的定义哈斯图是偏序集的图形表示方法，它省略了自反性和传递性导致的边，只保留了比较关系的骨架绘制规则若ab，则将b绘制在a的上方；若a被b覆盖（即ab且不存在c使得acb），则用一条线段连接a和b特性展示哈斯图直观地展示了偏序集的结构，易于识别极大元、极小元、最大元、最小元等特殊元素应用价值哈斯图在集合论、计算机科学和组合数学中有广泛应用，如表示程序依赖关系、网络拓扑结构等哈斯图是研究偏序集的重要工具，它通过去除冗余信息，使偏序关系的结构更加清晰例如，对于集合{1,2,3,4,6,12}上的整除关系，其哈斯图能够直观地展示出整除关系的层次结构在实际应用中，哈斯图常用于表示系统中的依赖关系、组织结构、知识体系等层次化的结构第四章函数函数本质函数性质特殊的二元关系，满足唯一性单射、满射、双射等关键特征2函数应用函数运算计算机科学中的广泛应用复合函数、逆函数等基本操作函数是离散数学中的核心概念，它描述了两个集合之间的对应关系作为一种特殊的二元关系，函数要求每个元素都有且只有一个对应元素函数的概念在计算机科学中应用广泛，如算法的输入输出关系、数据结构中的映射、编程语言中的函数等函数的基本概念

4.1函数的定义表示方法设、为非空集合，若关系⊆满足函数的常见表示方法包括AB f A×B对于任意∈，存在∈使得∈解析法用公式表示，如•a Ab Ba,b f•fx=x²•对于任意a∈A，若a,b₁∈f且a,b₂∈f，则b₁=b₂•列表法用表格列出自变量和对应的函数值图像法用坐标系中的曲线或点集表示•则称为从到的函数，记作其中，称为定义域，f AB f:A→BA箭头图用带箭头的连线表示元素间的对应关系称为陪域，∈称为值域•B{fa|a A}在离散数学中，常用箭头图来直观地表示函数关系，特别是当定义域和陪域都是有限集时函数是计算机科学中最基础的概念之一，程序中的函数、算法的输入输出关系、数据结构中的映射等都是函数的具体体现理解函数的本质，对于掌握程序设计和算法分析至关重要函数的性质

4.2单射（一对一）若对于任意a₁,a₂∈A，当a₁≠a₂时有fa₁≠fa₂，则称函数f:A→B是单射的单射函数确保定义域中的不同元素映射到值域中的不同元素，即没有两个不同的输入会产生相同的输出满射（映上）若对于任意b∈B，存在a∈A使得fa=b，则称函数f:A→B是满射的满射函数确保值域等于陪域，即陪域中的每个元素都是某个定义域元素的像双射（一一对应）若函数f:A→B既是单射又是满射，则称f是双射的双射函数建立了定义域和陪域之间的一一对应关系，是定义逆函数的必要条件函数的这些性质在数学和计算机科学中有重要应用例如，加密算法需要使用双射函数，以确保加密和解密过程的唯一性；数据压缩则常涉及满射但非单射的函数，允许多个数据映射到相同的压缩结果复合函数

4.3复合函数的应用复合函数的性质复合函数在数学和计算机科学中有广泛应用，如复合函数的定义复合函数具有以下重要性质•数据转换和处理的多阶段操作设f:A→B，g:B→C是两个函数，则复合函数•结合性若f:A→B，g:B→C，h:C→D，则•计算机图形学中的坐标变换g∘f:A→C定义为g∘fa=gfa，表示先对a应用h∘g∘f=h∘g∘f函数f，再对结果fa应用函数g•函数式编程中的函数组合•单位元恒等函数I与任何函数f复合，结果仍为f，即I∘f=f∘I=f•性质传递若f和g都是单射/满射/双射，则g∘f也是单射/满射/双射在函数式编程语言如Haskell中，函数复合是核心概念，允许程序员通过组合简单函数来创建复杂功能理解复合函数的性质，有助于设计模块化、可复用的代码结构逆函数

4.4逆函数的定义存在条件逆函数的性质若函数是双射，则存在唯一的函函数存在逆函数的充要条件是是逆函数具有以下性质f:A→B f:A→Bf数，使得对于任意∈，有双射（即既是单射又是满射）g:B→A aA，即逆函数的逆是原函数•f⁻¹⁻¹=f；对于任意∈，有gfa=a bB如果不是单射，则存在使得f a₁≠a₂如果和都是双射，则•f gfgb=b，这样无法唯一确定；fa₁=fa₂=b f⁻¹b∘∘g f⁻¹=f⁻¹g⁻¹此函数g称为f的逆函数，记作f⁻¹从关如果f不是满射，则存在b∈B没有原像，如果是增函数，则也是增函数；•f f⁻¹系角度看，如果将函数f视为二元关系，这样f⁻¹b无法定义如果是减函数，则也是减函数f f⁻¹则就是的逆关系f⁻¹f第五章代数系统基本构造结构层次集合运算代数系统半群幺半群群环域+=→→→→12布尔代数格结构43逻辑运算的抽象模型偏序集的特殊类型代数系统是研究集合及其上定义的运算的数学结构，是抽象代数的基础通过在集合上定义一个或多个运算，并研究这些运算满足的性质，我们可以得到各种代数系统，如半群、群、环、域等代数系统在计算机科学中有广泛应用，如编码理论、密码学、形式语言等布尔代数为数字电路设计和逻辑分析提供了理论基础理解代数系统的基本概念和性质，有助于解决实际问题并设计高效算法代数系统的基本概念

5.1代数系统的定义代数运算代数系统是由一个非空集合及元代数运算是从到的映n AⁿA其上定义的一个或多个代数运射，即根据的不*:Aⁿ→A n算构成的数学结构形式上，同，常见的代数运算有一元代数系统可表示为运算，如取负运算；二n=1，其中是非元运算，如加法、乘法；A,*₁,*₂,...,*ₙA n=2空集合，*ᵢ是A上的代数运算三元运算n=3等在离散数学中，主要研究二元运算例子常见的代数系统包括整数加法系统；整数乘法系统；Z,+Z,×2^A,∪,∩集合的布尔代数；Z_n,+_n,×_n模n的剩余类系统；阶实矩阵代数系统等每个代数系统都有其特定的运M_nR,+,×n算规则和性质半群

5.2半群的定义幺半群性质与例子半群是一个代数系统S,*，其中S是非空集合，如果半群S,*中存在单位元e，即对任意a∈S，半群的其他重要性质*是S上的二元运算，满足结合律对任意都有e*a=a*e=a，则称S,*为幺半群（或含•交换性若a*b=b*a对所有a,b∈S成立，a,b,c∈S，有a*b*c=a*b*c幺半群）则称为交换半群结合律确保了运算的优先顺序不影响最终结果，单位元是半群中的特殊元素，它与任何元素运•幂等性若a*a=a对所有a∈S成立，则称使得表达式可以不使用括号而无歧义算都保持该元素不变例如，乘法运算中的1，为幂等半群加法运算中的0•示例N,+自然数加法是半群；Z,×整数乘法是幺半群；2^A,∪集合并集构成幂等交换幺半群群

5.3群的应用密码学、编码理论、量子力学群的分类有限群、无限群、阿贝尔群群的性质单位元唯

一、逆元唯

一、消去律群的定义集合+二元运算+结合律+单位元+逆元群是一个代数系统G,*，其中G是非空集合，*是G上的二元运算，满足以下条件•结合律对任意a,b,c∈G，有a*b*c=a*b*c•单位元存在e∈G，使得对任意a∈G，有e*a=a*e=a•逆元对任意a∈G，存在a⁻¹∈G，使得a*a⁻¹=a⁻¹*a=e如果群中的运算还满足交换律，即对任意a,b∈G，有a*b=b*a，则称为阿贝尔群或交换群环和域

5.4环的定义域的定义环是一个代数系统，其中是非空集合，和是上的域是一个代数系统，满足以下条件R,+,×R+×R F,+,×两个二元运算，满足以下条件•F,+是一个阿贝尔群，其单位元通常记为0•R,+是一个阿贝尔群，其单位元通常记为0•F\{0},×是一个阿贝尔群，其单位元通常记为1•R,×是一个半群•乘法对加法满足分配律•乘法对加法满足分配律a×b+c=a×b+a×c和域比环有更强的结构，要求非零元素在乘法下构成群，这意味a+b×c=a×c+b×c着每个非零元素都有乘法逆元常见的域有有理数域、实数Q如果是含幺半群，则称为幺环；如果乘法满足交换律，域和复数域R,×R C则称为交换环环和域在代数学和数论中有重要应用例如，多项式环是抽象代数中的基本结构；有限域在密码学、编码理论和数字通信中有广泛应用理解环和域的性质，对于理解现代密码系统和通信协议至关重要格

5.5格的定义1格是一个特殊的偏序集，其中任意两个元素都有最小上界和最大下界代数定义格也可定义为满足特定公理的代数系统∨∧L,,格的类型3有界格、分配格、补格、布尔格等不同类型的格结构从偏序集角度，格是一个偏序集，其中任意两个元素∈都有最小上界（记为∨）和最大下界（记为∧）最小上界L,≤x,y Lx yx y是大于等于和的最小元素，最大下界是小于等于和的最大元素x yx y从代数系统角度，格是一个代数系统∨∧，其中是非空集合，∨（并）和∧（交）是上的两个二元运算，满足交换律、结合L,,L L律、吸收律和幂等律这两种定义是等价的，提供了研究格的不同视角布尔代数

5.6数字电路设计逻辑分析数据库查询算法优化其他领域布尔代数是一种特殊的代数系统B,∨,∧,,0,1，其中B是非空集合，∨和∧是B上的二元运算，是一元运算，0和1是B中的两个特殊元素，满足以下公理第六章图论基本概念图、顶点、边、路径、连通性特殊图欧拉图、哈密顿图、平面图树结构无环连通图、生成树、最小生成树着色问题顶点着色、边着色、四色问题应用领域网络分析、交通规划、社交网络、电路设计图论是研究图及其性质的数学分支，是离散数学的重要组成部分它为描述和解决现实世界中的许多问题提供了数学模型和工具，如网络流量分析、最短路径规划、资源分配等在计算机科学中，图论是数据结构和算法设计的基础图的基本概念

6.1图的定义基本术语图G是一个有序对V,E，其中V是顶点（或节图论中的一些基本术语点）的非空集合，E是边的集合，每条边连接V•顶点的度与该顶点相连的边的数量中的一对顶点如果边没有方向，则称为无向•路径从一个顶点到另一个顶点的边序列图；如果边有方向，则称为有向图•环起点和终点相同的非平凡路径形式上，在无向图中，边是顶点的无序对；在•连通图任意两个顶点之间都有路径的图有向图中，边是顶点的有序对图可以用来表示各种关系和网络结构•完全图任意两个顶点之间都有边的图常见图类型常见的特殊图类型包括•完全图Kₙ有n个顶点且任意两个顶点之间都有边的图•二部图顶点可分为两个不相交集，使得同一集内的顶点不相邻•完全二部图Kₘ,ₙ两部分分别有m和n个顶点，且任意两个不同部分的顶点之间都有边•树无环连通图•正则图所有顶点度数相同的图图的表示

6.2邻接矩阵邻接表邻接矩阵是表示图的一种方式，是一个的矩阵，其中是邻接表是图的另一种表示方式，对每个顶点维护一个列表，列n×n An图中顶点的数量，矩阵元素表示从顶点到顶点的边的信表中包含与该顶点相邻的所有顶点ai,j i j息具体实现上，可以用数组加链表（或其他动态数据结构）的组在无权图中，表示存在一条从顶点到顶点的边，合数组的每个元素对应图中的一个顶点，而每个元素指向一ai,j=1ij表示不存在这样的边在带权图中，可以是边的个链表，链表中存储与该顶点相邻的所有顶点ai,j=0ai,j权值邻接表的优点是空间效率高，特别是对于稀疏图；缺点是判断邻接矩阵的优点是实现简单，可以快速判断两个顶点之间是否两个顶点之间是否有边需要搜索链表，时间复杂度较高有边；缺点是空间复杂度为，对于稀疏图（边数远小于On²的图）较为浪费空间n²图的表示方法选择取决于具体应用场景和图的性质对于稠密图（边数接近于的图），邻接矩阵通常更为合适；对于稀疏图，邻n²接表或其变种（如压缩稀疏行矩阵）更为高效在实际应用中，还可能根据算法需求选择其他表示方法，如边列表、关联矩阵等图的连通性

6.3图的连通性是图论中的基本概念，描述图中顶点之间的可达性在无向图中，若从顶点u到顶点v存在路径，则称u和v是连通的若图中任意两个顶点都是连通的，则称该图为连通图重要概念•连通分量无向图的极大连通子图一个连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通图有多个连通分量•桥（割边）删除后会增加图的连通分量数的边•割点删除后会增加图的连通分量数的顶点•顶点连通度至少要删除多少个顶点才能使图不连通或变为平凡图•边连通度至少要删除多少条边才能使图不连通在有向图中，连通性概念更加复杂，包括强连通（任意两个顶点之间都有双向路径）和弱连通（将有向边看作无向边后图是连通的）等欧拉图与哈密顿图

6.4欧拉图哈密顿图应用欧拉图是指存在欧拉回路（经过每条边恰好哈密顿图是指存在哈密顿回路（经过每个顶欧拉路径问题最早源于著名的柯尼斯堡七桥一次的闭合路径）的图欧拉路径是指经过点恰好一次的闭合路径）的图哈密顿路径问题，现在广泛应用于物流配送路线规划、每条边恰好一次的路径（不一定闭合）是指经过每个顶点恰好一次的路径（不一定电路设计等领域闭合）哈密顿回路问题与著名的旅行商问题（）TSP无向图是欧拉图的充要条件是图连通且所与欧拉图不同，目前没有已知的简单充要条密切相关，在路径规划、网络设计和时间表有顶点的度数都是偶数无向图存在欧拉路件判定一个图是否为哈密顿图但有一些充安排等方面有重要应用哈密顿回路问题是径（但不存在欧拉回路）的充要条件是图分条件，如Dirac定理若无向图G有n≥3个NP完全问题，意味着没有已知的多项式时连通且恰有两个顶点的度数为奇数顶点，且每个顶点的度数不小于，则间算法可以解决它n/2G是哈密顿图树

6.5树的定义特殊类型的树森林树是一种无环连通图等价地，树可以根树指定了一个特殊顶点作为根的森林是不含环的图，可以是连通的也可定义为任意两个顶点之间恰有一条简树，形成层次结构在根树中，顶点可以是非连通的每个连通分量都是一棵单路径的图树具有以下性质若树有以分为不同的层级，有父子关系二叉树，因此森林可以视为若干棵树的集合个顶点，则有条边；删除任意一条树每个顶点最多有两个孩子的根树，从树中删除一条边将形成一个包含两棵n n-1边将使树不连通；在任意两个顶点之间分为左孩子和右孩子完全二叉树、满树的森林森林的一个重要应用是并查添加一条边将创建一个环二叉树、平衡二叉树等是二叉树的特殊集数据结构，用于处理一系列不相交集类型合的合并及查询操作生成树

6.6生成树定义最小生成树构造算法实际应用包含原图所有顶点的树边权和最小的生成树和算法网络设计与优化Kruskal Prim生成树是连通图的一个子图，包含图中所有顶点，并且是一棵树（即无环连通图）一个有个顶点的连通图可以有许多不同的生n成树，具体数量可由公式计算Cayley在带权图中，最小生成树（）是指边权和最小的生成树构造最小生成树的两个经典算法是MST算法按边权从小到大依次添加边，跳过会形成环的边，直到形成树•Kruskal算法从任一顶点开始，每次选择连接树与非树顶点的最小权边，直到包含所有顶点•Prim平面图

6.7平面图是指可以在平面上绘制的图，使得图的边只在顶点处相交平面图的嵌入（即在平面上的绘制）将平面分割为若干个区域，包括一个无界的外部区域，这些区域称为面图的着色

6.8顶点着色边着色相邻顶点颜色不同相邻边颜色不同色数面着色完成着色所需的最少颜色数相邻面颜色不同图的着色问题研究如何为图的顶点、边或面分配颜色，使得相邻元素颜色不同其中最著名的是顶点着色问题为图的每个顶点分配一种颜色，使得相邻顶点的颜色不同，并使用尽可能少的颜色数顶点着色的关键概念•色数（或色数）完成图着色所需的最少颜色数，记为χG•二部图的色数为2；平面图的色数不超过4（四色定理）•贪心着色算法按某种顺序处理顶点，每次为当前顶点分配可用的最小编号颜色图着色问题在许多实际应用中出现，如时间表安排、频率分配、寄存器分配等一般的图着色问题是NP完全的，但对于特定类型的图（如二部图、树）存在高效算法第七章组合数学高级技巧生成函数、鸽巢原理、容斥原理组合公式二项式定理、多项式定理、Stirling数计数基础排列、组合、多重集的计数基本原理加法原理、乘法原理、递推关系组合数学是研究离散结构的计数和排列的数学分支，是离散数学的核心内容之一它关注的核心问题是给定一组对象和特定条件，有多少种不同的方式可以排列、选择或分配这些对象组合数学的应用非常广泛，从概率论到算法分析，从编码理论到运筹学，几乎所有需要计数的领域都会用到组合数学的方法在计算机科学中，组合数学为算法分析、数据结构设计和复杂度理论提供了重要工具排列

7.1n!Pn,k n!/∏ni!个元素的全排列排列计数公式多重集排列n个不同元素的全排列数量为（的阶从个不同元素中选取个元素的排列数含有重复元素的多重集排列数n n!n n k乘）Pn,k=n!/n-k!排列是对象的有序排列，考虑元素的顺序从个不同元素中选取个元素进行排列，排列数计算公式为n kPn,k=n×n-1×n-2×...×n-k+1=n!/n-k!特别地，当时，，即个不同元素的全排列数为k=n Pn,n=n!n n!如果考虑的是多重集（允许元素重复），设有个元素，其中第种元素有个，且，则不同排列的数量为n inᵢ∑nᵢ=nn!/n₁!×n₂!×...×nₖ!排列在密码学、组合优化、统计分析等领域有广泛应用例如，一个由个不同字符组成的密码，考虑字符顺序的话，可能的密码n数量为n!组合

7.2组合的定义与计数多重组合组合是从个不同元素中选取个元素的子集，不考虑元素顺序多重组合考虑的是从多重集（元素可重复）中选取元素从具n k从个不同元素中选取个元素的组合数记作或有种不同元素的多重集中选取个元素（允许重复选择同一元n kCn,k nnk，计算公式为素），不考虑顺序，其组合数记作或choose kHn,k n+k-1choose，计算公式为kCn,k=n!/k!×n-k!Hn,k=Cn+k-1,k=n+k-1!/k!×n-1!组合数有很多重要性质，如多重组合在计算概率、分配问题等方面有重要应用例如，将，即从个元素中选个等价于选个•Cn,k=Cn,n-k nk n-k个相同的球放入个不同的盒子中（盒子可以为空），不同的k n放法数量为Cn+k-1,k，即从个元素中选个或选全部的方•Cn,0=Cn,n=1n0法都只有一种，这是组合数的递推公式•Cn+1,k=Cn,k+Cn,k-1二项式定理

7.3二项式定理是组合数学中的基本定理，给出了两个数之和的整数次幂的展开式x+y^n=∑k=0to nCn,k×x^n-k×y^k其中Cn,k是二项式系数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数二项式系数在数学中有广泛应用，可以通过Pascal三角快速计算Pascal三角的第n行给出了x+y^n展开式中的系数二项式定理的一些重要应用•当x=y=1时，得到∑k=0to nCn,k=2^n•当x=1,y=-1时，得到∑k=0to n-1^k×Cn,k=0•二项式系数在概率论中用于计算二项分布•在组合优化和编码理论中有重要应用容斥原理

7.4基本思想通过加减集合的大小来计算并集的准确元素数量重复计数识别并消除在简单加法中被重复计数的元素一般形式3适用于任意数量集合的数学公式表达容斥原理是组合数学中解决多个集合并集计数问题的基本原理对于有限集合A₁,A₂,...,Aₙ，其并集|A₁∪A₂∪...∪Aₙ|的元素个数可以通过以下公式计算|A₁∪A₂∪...∪Aₙ|=∑|Aᵢ|-∑|Aᵢ∩Aⱼ|+∑|Aᵢ∩Aⱼ∩Aₖ|-...+-1ⁿ⁺¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|其中，第一个求和是对所有单个集合，第二个求和是对所有可能的两个集合的交集，依此类推容斥原理在组合计数问题中有广泛应用，如•计算至少有一个性质的元素数量•计算错位排列（derangement）的数量•求解筛法计数问题，如欧拉函数φn的计算生成函数

7.5定义类型应用生成函数是一种将数列转换为幂级数的常见的生成函数类型包括普通生成函生成函数在组合计数、解递推关系、概数学工具，普通生成函数的形式为数（）、指数生成函数（）、率论等领域有广泛应用通过代数运算OGF EGF，其中是数列的狄利克雷生成函数等不同类型的生成（如加法、乘法、微分、积分），生成Gx=∑n≥0aₙx^n aₙ第项生成函数提供了处理数列的强大函数适用于不同的计数问题例如，函数可以简化许多复杂的计数问题，如n方法，特别是对于满足线性递推关系的适合处理组合问题，而更适合数列、数等特殊数列OGF EGFFibonacci Catalan数列处理排列问题的求解一些常见序列的生成函数等比数列的生成函数为•{1,x,x²,...}1/1-x数列的生成函数为•Fibonacci x/1-x-x²数列的生成函数满足•Catalan Gx=1+xGx²第八章算法基础算法定义算法分析有限步骤解决问题的过程时间复杂度与空间复杂度实际应用算法策略搜索、排序、图论算法等递归、分治、贪心等设计范式3算法是解决问题的明确而有限的步骤序列一个好的算法应具备以下特性输入确定、输出确定、有穷性（在有限步骤内结束）、可行性（每一步都能被执行）和确定性（每一步的定义必须明确无歧义）算法是计算机科学的核心，也是离散数学的重要应用领域通过学习算法基础，我们可以掌握系统分析问题和设计解决方案的方法，培养逻辑思维和创新能力，为软件开发和系统设计奠定基础算法的概念

8.1算法的定义算法的表示算法是解决问题的一系列明确而有限的步骤它是一算法可以通过多种方式表示，包括种将输入转换为输出的方法，具有确定性、有效性和•自然语言使用日常语言描述算法步骤可终止性每个算法都应具备以下特性•伪代码介于自然语言和程序语言之间的描述方•输入算法可以有零个或多个输入式•输出算法至少有一个输出•流程图用图形符号表示算法的流程•确定性算法的每一步都应该明确，不存在歧义•程序代码使用特定编程语言实现算法•数学表达式如递归方程、矩阵运算等•有限性算法必须在有限步骤后终止•可行性算法的每一步操作都必须是可实现的算法的特性评价算法的主要指标包括•正确性算法能否正确解决问题•可读性算法是否易于理解•健壮性算法处理异常情况的能力•效率算法运行所需的时间和空间资源•最优性是否是解决问题的最佳方法算法复杂度

8.2输入规模n O1Olog nOn Onlog nOn²递归算法

8.3递归的定义递归实例递归与迭代递归是一种算法设计技术，其中函数通过调用自身经典的递归算法实例包括任何递归算法都可以转换为迭代（非递归）版本，来解决问题递归算法通常包含以下两个部分但递归通常提供更简洁、更直观的解决方案递归•阶乘计算n!=n×n-1!和迭代的比较•Fibonacci数列Fn=Fn-1+Fn-2•基本情况（边界条件）不需要递归就能直接•递归代码简洁，直观，但可能导致栈溢出，•汉诺塔问题将n个盘子从一根柱子移到另一解决的简单情况有重复计算问题根柱子•递归情况将原问题分解为更小的子问题，并•迭代通常更高效，不存在栈溢出风险，但代•二分查找在有序数组中查找元素通过递归调用解决子问题码可能更复杂•归并排序和快速排序分治法排序算法递归算法的关键在于确保每次递归都能向基本情况在实际应用中，可以使用记忆化技术（存储已计算靠近，最终达到终止条件结果）来优化递归算法，避免重复计算分治算法

8.4分解将原问题划分为若干个规模较小但结构相同的子问题解决递归地解决各个子问题，若子问题足够小，则直接求解合并将各个子问题的解组合成原问题的解分治法是一种重要的算法设计范式，通过递归地将问题分解为同类的子问题，解决子问题，然后将结果合并得到原问题的解分治算法通常适用于可以自然分解为相似子问题的场景经典的分治算法包括•归并排序将数组分成两半，分别排序后合并•快速排序选择基准元素，将数组分为小于和大于基准的两部分•二分查找在有序数组中通过比较中间元素来缩小搜索范围•Strassen矩阵乘法减少大矩阵乘法的计算复杂度•最近点对问题在平面上找到距离最近的两点分治算法的时间复杂度分析通常使用主定理（Master Theorem），根据子问题规模和合并时间来确定整体复杂度贪心算法

8.5优缺点典型实例贪心算法的优点是简单高效，实现应用条件经典的贪心算法应用包括最小生简单，通常时间复杂度较低；缺点贪心策略贪心算法适用于具有贪心选择性成树（Kruskal算法和Prim算法）、是并非所有问题都能用贪心算法求贪心算法是一种在每一步做出当前质和最优子结构的问题贪心单源最短路径（Dijkstra算法）、得最优解，有时甚至会得到很差的看起来最优的选择，希望最终得到选择性质保证局部最优选择能导致活动选择问题、哈夫曼编码、零钱结果在使用贪心算法前，必须证全局最优解的方法它在每个决策全局最优解；最优子结构表示问题兑换（假设贪心有效的情况）明其对特定问题的正确性点只考虑当前状态，不回溯也不重的最优解包含子问题的最优解新考虑之前的选择动态规划

8.6动态规划的基本原理实例与应用动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题来求解经典的动态规划问题包括复杂问题的方法它基于以下核心思想斐波那契数列•Fn=Fn-1+Fn-2最优子结构问题的最优解包含子问题的最优解•背包问题在有限重量限制下装入最大价值的物品•重叠子问题在求解过程中，相同的子问题会重复出现•最长公共子序列找出两个序列共有的最长子序列•编辑距离将一个字符串转换为另一个所需的最少操作次与分治法不同，动态规划会保存已解决子问题的答案，避免重•数复计算动态规划通常采用自底向上的方法，从最小的子问题开始，逐步构建更大问题的解矩阵链乘法确定矩阵相乘的最优顺序•最短路径问题算法求解所有点对最短路•Floyd-Warshall径动态规划在计算机科学、运筹学、经济学等领域有广泛应用，是解决优化问题的强大工具课程总结知识点回顾应用前景学习建议我们系统学习了离散数学的八大核心内离散数学在计算机科学和信息技术领域离散数学学习是一个持续深入的过程容数理逻辑、集合论、关系、函数、有广泛应用数理逻辑是程序验证和人注重概念理解而非公式记忆；多做习题代数系统、图论、组合数学和算法基础工智能推理的基础；集合论和关系为数巩固知识；关注理论与实际应用的结合；这些内容相互关联，构成了计算机科学据库理论提供支撑；函数概念贯穿程序可以进一步学习高级离散数学、理论计和信息技术的理论基础通过本课程，设计；图论应用于网络分析和优化；组算机科学、密码学等相关课程；将离散我们掌握了形式化思维、抽象建模和严合数学为算法分析提供工具；密码学、数学思想应用到专业课程学习和实际问谨推理的能力编码理论和信息安全等前沿领域都深刻题解决中依赖离散数学知识参考文献与推荐阅读本课程参考的主要教材和推荐的进阶阅读材料如下•刘新奇,《离散数学》,高等教育出版社•耿素云,《离散数学及其应用》,清华大学出版社•Kenneth H.Rosen,《离散数学及其应用》英文版第七版,机械工业出版社•Richard Johnsonbaugh,《离散数学》,人民邮电出版社•C.L.Liu,《组合数学导论》,机械工业出版社进阶阅读如果您希望进一步深入学习特定领域，可以参考以下专业书籍《数理逻辑》汪芳庭、《图论算法与应用》张树粹、《抽象代数基础》聂灵沼、《组合优化》William J.Cook等学术期刊方面，可关注《离散数学》、《图论杂志》等国际期刊的最新研究成果。