二次函数课件

二次函数欢迎大家学习二次函数课程！二次函数是数学中极其重要的基础知识，它不仅是高中数学的核心内容，也是我们理解现实世界许多现象的有力工具从飞行物体的轨迹到桥梁的设计，从经济学中的成本曲线到物理学中的运动规律，二次函数无处不在在接下来的课程中，我们将深入探讨二次函数的定义、图像特征、性质以及在实际问题中的应用希望通过这次学习，大家能够掌握二次函数的本质，并学会运用它解决各种实际问题学习目标理解二次函数的定义与熟悉二次函数图像的特12基本性质征掌握二次函数的一般形式、顶掌握抛物线的开口方向、对称点形式和标准形式，理解这些轴、顶点等基本特征，理解参形式之间的转换方法能够从数变化对图像的影响能够准代数表达式识别二次函数，并确绘制二次函数图像，并从图理解其与一元二次方程的关系像读取函数信息掌握二次函数的应用3学会运用二次函数解决最值问题、面积问题、路程问题等实际应用题培养应用数学模型分析和解决实际问题的能力，提升数学素养什么是二次函数？定义数学表达二次函数是指含有未知数的二次项，且未知数的最高次数为的从代数角度看，二次函数可以用各种等价形式表示2函数其中自变量的最高次幂是，且二次项系数不为零x2一般形式•fx=ax²+bx+c a≠0顶点形式•fx=ax-h²+k a≠0简单来说，当一个函数中包含项，且是最高次项时，我们称之因式分解形式₁₂当有两个零点时x²为二次函数•fx=ax-x x-x二次函数的一般形式一般形式参数意义数学模型二次函数的一般形式为参数影响抛物线的开口方向和宽窄；这种形式在建立数学模型时最为直接，fx=ax²+bx a，其中、、是常数，且参数影响对称轴的位置；参数则是函通常我们通过已知条件列方程组求解参+c a b ca≠0b c数图像与轴的交点数、、的值y a b c当时，函数变为一次函数；当a=0a≠0时，才是二次函数二次函数的图像抛物线抛物线定义二次函数的图像是抛物线，它是平面上与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹1几何特征抛物线具有独特的几何性质，它能将平行于对称轴的光线反射到焦点上，这一特性2被广泛应用于光学和通信领域数学美感抛物线是一种优美的曲线，它在自然界和人造环境中随处可见，3从水流喷射的轨迹到桥梁的拱形设计抛物线的基本特征对称轴顶点开口方向抛物线关于一条垂直于抛物线上与对称轴相交当时，抛物线开口x a0轴的直线对称，这条直的点称为顶点，它是函向上，函数有最小值；线称为对称轴对于数的极值点顶点坐标当时，抛物线开口a0，其对称可以用向下，函数有最大值fx=ax²+bx+c-b/2a,f-轴为表示x=-b/2ab/2a二次函数的图像y=ax²最简二次函数1是最基本的二次函数形式，它的图像是一条通过原点的抛物y=ax²线这是理解所有二次函数的基础特殊点2该函数的图像通过点，即原点对称轴是轴，顶点就是原点0,0y当时，函数值为±x=1a图像特征3当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下的值a0a0|a|越大，抛物线越窄；的值越小，抛物线越宽|a|的正负与抛物线开口方向a的情况的情况a0a0当系数大于时，二次函数的图像是开口向上的抛物线这意当系数小于时，二次函数的图像是开口向下的抛物线这时a0a0味着随着值远离对称轴，函数值会无限增大随着值远离对称轴，函数值会无限减小x x在这种情况下，函数在顶点处取得最小值，顶点是函数的全局在这种情况下，函数在顶点处取得最大值，顶点是函数的全局最小点最大点的大小与抛物线的宽窄|a|系数的绝对值大小直接影响抛物线的宽窄当值增大时，抛物线变得更窄，图像变化更陡峭；当值减小时，抛物线变得更宽，图像变化a|a||a|更平缓这种变化可以理解为抛物线的胖瘦程度例如，的图像比的图像窄，而的图像则比的图像宽理解这一特性对于绘制和y=3x²y=x²y=

0.5x²y=x²分析二次函数图像非常重要二次函数的图像y=ax²+c基本形式y=ax²从最基本的形式开始，其图像是通过原点的抛物线对称y=ax²轴是轴，顶点在原点y0,0引入常数项c当引入常数项时，得到形式这相当于将的图像c y=ax²+c y=ax²沿轴方向平移个单位y c新图像特征的图像仍然是抛物线，但顶点变为对称轴仍然是y=ax²+c0,c y轴，开口方向仍由的符号决定a值对图像的影响c的情况的情况的特殊情况c0c0c=0当为正值时，图像整体向上平移个单当为负值时，图像整体向下平移个单当时，函数回归到基本形式，图c|c|c|c|c=0y=ax²位例如，的图像是将的图像位例如，的图像是将的图像像通过原点这是一个特殊情况，可以作y=x²+3y=x²y=x²-2y=x²向上平移个单位，顶点从变为向下平移个单位，顶点从变为为理解值变化影响的参考点30,00,320,00,-2c二次函数的图像y=ax-h²+k对称轴此形式的对称轴为，顶点位于2x=h h,k顶点形式这是二次函数的顶点形式，其中直接表1h,k示抛物线的顶点坐标平移理解可以理解为将的图像先沿轴平移个单y=ax²x h位，再沿轴平移个单位y k3顶点形式是研究二次函数图像最直观的表达式，因为它直接显示了抛物线最关键的特征点顶点的位置这种形式特别适合分析二次函数的——最值问题，因为最值就是顶点的坐标y k顶点形式还便于理解二次函数图像的平移变换例如，的图像就是将的图像向右平移个单位，再向上平移个单位y=x-3²+4y=x²34顶点坐标的意义h,k几何意义代数意义应用意义123顶点是抛物线上的特殊点，它位于在顶点形式中，表示顶在实际应用中，顶点常常代表最优y=ax-h²+k h对称轴上，且是函数的极值点对点的横坐标，也是对称轴的位置；解例如，在成本函数中，顶点可k开口向上的抛物线，顶点是最低点；表示顶点的纵坐标，也是函数的极能表示最低成本点；在面积函数中，对开口向下的抛物线，顶点是最高值顶点坐标完全确定了抛物线顶点可能表示最大面积点h,k点的位置二次函数的图像y=ax²+bx+c一般形式与顶点对称轴位置图像特征综合一般形式可以通过配方法转一般形式的对称轴为，它与顶图像的开口方向由决定，宽窄由决y=ax²+bx+c x=-b/2a a|a|化为顶点形式，其中点的横坐标相同对称轴的位置由系数定，对称轴位置由和共同决定，而与y=ax-h²+k h=-b a，这说明一般形式和决定，与无关轴的交点则是b/2a k=c-b²/4a ab c y0,c的顶点坐标为-b/2a,c-b²/4a对称轴公式x=-b/2a对称轴公式应用利用快速确定抛物线位置1x=-b/2a公式推导通过配方法或求导可得2对称性质函数图像关于对称轴呈镜像对称3对称轴是理解二次函数图像的关键对于任意给定的二次函数，我们可以通过公式立即确定其对称轴位置例如，y=ax²+bx+c x=-b/2a函数的对称轴为×y=2x²-4x+3x=--4/22=1对称轴具有重要的几何意义抛物线上任意两点如果关于对称轴对称，则这两点的横坐标和等于对称轴的横坐标的倍，即₁₂2x+x=-这一性质在解题和图像分析中非常有用b/a顶点坐标公式函数形式顶点坐标公式y=ax²+bx+c-b/2a,c-b²/4ay=ax-h²+k h,ky=ax²0,0y=ax²+c0,c顶点坐标公式是分析二次函数的重要工具对于一般形式，顶点y=ax²+bx+c坐标为这个公式可以通过配方法推导得出，具体过程是-b/2a,c-b²/4a将一般形式转化为顶点形式y=ax+b/2a²+c-b²/4a顶点坐标的第一个分量是对称轴的位置，第二个分量是函数的极值掌握这个公式可以帮助我们迅速确定二次函数的图像位置和极值，而不必每次都进行繁琐的配方过程实例确定二次函数的表达式确定系数a通过给定的点坐标或其他条件，列方程确定二次项系数决定了抛物线a a的开口方向和宽窄确定系数b利用已知的对称轴或顶点横坐标，应用公式求解系数影x=-b/2abb响对称轴的位置确定系数c代入已知点的坐标到函数表达式中，求解常数项决定了抛物线c c与轴的交点y例如，如果已知抛物线通过点，和，我们可以代入这三个点的坐标1,32,63,5到中，得到三个方程，，解这个y=ax²+bx+c3=a+b+c6=4a+2b+c5=9a+3b+c方程组可以得到，，，因此函数表达式为a=-1b=5c=-1y=-x²+5x-1二次函数的性质对称性二次函数的一个显著特性是图像关于对称轴呈镜像对称对于函数，其对称轴为如果点₁₁在抛物线上，那么点y=ax²+bx+c x=-b/2a x,y₁₁也在抛物线上这两个点关于对称轴对称×2-b/2a-x,y对称性质在解题中非常有用例如，如果已知抛物线上的一个点和对称轴的位置，就可以立即确定另一个对称点的位置对称性也使得二次函数在物理学和工程学中有广泛应用，如反射镜、天线等结构的设计都利用了抛物线的对称特性二次函数的性质单调性递增区间递减区间单调性变化点当时，函数在上递增；当当时，函数在上递减；当函数的单调性在对称轴（即顶点的横坐a0x-b/2a a0x-b/2a时，函数在上递增时，函数在上递减标）处发生变化a0x-b/2a a0x-b/2a x=-b/2a二次函数的最值最值的计算对于函数，其最值为，y=ax²+bx+c c-b²/4a最值的应用这是顶点的坐标对于顶点形式最值的存在性y y=ax-，最值即为在实际问题中，最值常代表最优解，如最h²+k k二次函数一定存在最值，且最值出现在顶大利润、最小成本、最大面积等理解和点处当时有最小值，当时有最大计算最值是应用二次函数解决问题的关键a0a0值213求解二次函数的最值123配方法公式法导数法将一般形式转化为顶点形式直接应用公式，最值为求导得，令解得，代y=ax²+bx+c y=ax-c-b²/4a fx=2ax+b fx=0x=-b/2a，其中即为最值入原函数得最值h²+k k求解二次函数最值是应用数学中的重要问题以函数为例，我们可以用不同方法求解配方法得，所以最小值为；公式法得y=2x²-4x+5y=2x-1²+33最小值为；导数法得临界点，代入原函数得最小值为××××5--4²/42=5-16/8=3x=--4/22=121²-41+5=3二次函数与一元二次方程的关系函数与方程的联系交点情况分析二次函数与一元二次方程密切相关方程二次函数图像与轴可能有个、个或个交点，对应于方程有y=ax²+bx+c ax²+bx+c=0x0120的解就是函数图像与轴的交点的横坐标个、个或个实数解x12这种关系使我们可以从图像角度理解方程的解，也可以从代数判别式可以用来判断交点情况当时有个交点，Δ=b²-4acΔ02角度分析图像特征时有个交点（切点），时没有交点Δ=01Δ0函数图像与轴的交点x交点的代数意义交点的几何意义实际应用函数图像与轴的交点表示函数值为零在坐标平面上，函数图像与轴的交点在许多实际问题中，求解二次函数与x x x的点，即函数的零点对于二次函数坐标为₀，其中₀是方程轴的交点具有重要意义例如，在物理x,0x，求零点就是解方程的解这些交点可以通过求学中，抛物运动的物体与地面的碰撞点；y=ax²+bx+c ax²+bx+c=0解方程或使用因式分解法找到在经济学中，收支平衡点等ax²+bx+c=0判别式的意义Δ=b²-4ac判别式与交点数判别式与方程根判别式与图像位置判别式用于确从方程角度看，判别式Δ=b²-4ac定二次函数图像与轴确定了一元二次方程判别式还反映了抛物线x的交点数量当时，的根的情况与轴的相对位置Δ0ax²+bx+c=0x有两个不同的交点；当对应两个不同的实表示抛物线与轴Δ0Δ0x时，有一个交点根，对应一个二重相交，表示抛物线Δ=0Δ=0Δ=0（切点）；当时，实根，对应没有实与轴相切，表示Δ0Δ0xΔ0没有交点根抛物线与轴不相交x时的情况Δ0两个不同实根求根公式根与系数的关系当判别式时，一元二次方程此时可以使用求根公式₁₂两根之和为，两根之积为这一关±Δ=b²-4ac0x,=-b√b²--b/a c/a有两个不同的实根这意味着计算出两个根的具体值其中系在因式分解和方程求解中非常有用如ax²+bx+c=04ac/2a二次函数图像与轴有两个不同的交点₁表示较小的根，₂表示较大的根果知道方程的两个根，就可以写出方程的x x x一般形式时的情况Δ=0一个二重实根1当判别式时，一元二次方程有一个二重Δ=b²-4ac=0ax²+bx+c=0实根这意味着二次函数图像与轴相切于一点，这个点就是x函数的顶点根的计算2此时两个根相等，都等于这个值也是函数的对称轴位-b/2a置和顶点的横坐标当时，函数可以写成完全平方形式Δ=0y=ax--b/2a²特殊性质3当时，由于，函数的最值为，顶点位于轴上这Δ=0b²=4ac0x是一种特殊情况，函数的图像恰好与轴相切x时的情况Δ0图像位置函数图像与轴无交点2x无实根1方程无实数解ax²+bx+c=0函数值符号函数值恒为正或恒为负3当判别式时，一元二次方程没有实数解，只有复数解从几何角度看，这意味着二次函数的图像与轴没有交点，抛物Δ=b²-4ac0ax²+bx+c=0x线完全位于轴的一侧x在这种情况下，如果，则函数值恒为正，图像完全位于轴上方；如果，则函数值恒为负，图像完全位于轴下方例如，函数的a0x a0x y=x²+1判别式，所以其图像始终位于轴上方，没有零点××Δ=0²-411=-40x实例利用图像解一元二次方程绘制函数图像将方程转化为函数，然后绘制其图像方程的解就是ax²+bx+c=0y=ax²+bx+c函数图像与轴的交点的横坐标x确定交点数量通过判别式判断交点数量有两个交点，有一个交点，Δ=b²-4acΔ0Δ=0没有交点Δ0计算交点坐标使用求根公式₁₂或因式分解法求出交点的横±x,=-b√b²-4ac/2a坐标，即方程的解例如，解方程我们将其转化为函数，通过配方得，x²-4x+3=0y=x²-4x+3y=x-2²-1可知其图像是开口向上的抛物线，顶点为由于顶点在轴下方，抛物线必2,-1x与轴有两个交点使用求根公式得₁₂，即₁，±±x x,=4√16-12/2=42/2x=1₂x=3二次函数的应用面积问题最大面积问题运用二次函数求解最大面积1建立函数模型将面积表示为变量的二次函数2约束条件转换将问题中的约束条件代入模型3面积问题是二次函数的经典应用场景例如，用一根长为的绳子围成矩形，求矩形可能的最大面积如果矩形的宽为，则长为L xL/2-，矩形面积为这是一个关于的二次函数x S=xL/2-x=Lx/2-x²x通过求导或配方，我们可以确定当时，面积取得最大值类似地，我们可以解决很多几何优化问题，如在给定条件x=L/4S_max=L²/16下求最大体积、最小表面积等这些问题通常可以转化为求解二次函数的最值问题实例求最大面积边长面积问题在周长为的矩形中，求面积最大的矩形10解析设矩形的宽为，则长为矩形的面积为这是一个二次函数，其图像是开口向下的抛物线通过求导或配方可知，当时，面积取得最大值x10-2x/2=5-x S=x5-x=5x-x²x=

2.5S_max=

6.25结论当矩形为正方形（即长宽）时，面积最大，最大面积为平方单位这个例子说明了在固定周长下，正方形的面积最大，这是一个重要的几何优化原理==

2.

56.25二次函数的应用路程问题时间距离关系-在匀加速运动中，位移与时间的关系为₀，这是s ts=v t+½at²一个关于的二次函数通过分析这个函数，可以解决很多运t动问题速度时间关系-在匀加速运动中，速度与时间的关系为₀，这是一v tv=v+at个线性函数结合位移函数，可以全面分析运动状态优化行程在实际问题中，我们常需要求解最短时间或最短路径这些问题可以通过建立二次函数模型并求最值来解决实例求最短时间问题描述建立函数求解最值一个人在岸边点，需要到河对岸的点，设到的距离为，岸边长度为，河宽为对关于求导，并令导数为，可解得最A BA Cx aT x0他可以先沿岸边走到某点，再游泳直接，则到的距离为总时间优的值最终得出结论点应该选在使C bC B√a-x²+b²x C到点已知人在陆地上的行走速度是游₁₂，其中₁₂得的位置，其中是从点看和B T=x/v+√a-x²+b²/v v=3v sinθ=1/3θC A B泳速度的倍，求人应该选择哪个点，使代入得₂₂时形成的角度3C T=x/3v+√a-x²+b²/v得从到的总时间最短？AB二次函数的应用成本问题成本函数利润函数成本优化在经济学中，总成本如果收入是产量的线通过分析成本函数或利C R通常可以表示为产量性函数，则利润润函数的最值，可以确q R=pq的二次函数函数定最佳生产量、最低平P=R-C=pq-，其中是均成本或最大利润点C=aq²+bq+c caq²+bq+c=-aq²+p-固定成本，是单位可，也是一个二次b bq-c变成本，表示规模函数aq²效应实例求最低成本产量总成本平均成本问题某厂商的总成本函数为，其中是产量，求平均成本最低时的产量C=100+10q+

0.1q²q解析平均成本为这是一个关于的函数，要求其最小值，可对其求导并令导数为，解得C/q=100+10q+

0.1q²/q=100/q+10+

0.1q q0dC/q/dq=-100/q²+

0.1=0q=√1000≈

31.6结论当产量约为个单位时，平均成本最低，最低平均成本约为×元

31.620+10+

0.

131.6≈

43.16二次函数的应用抛物线运动物理背景在忽略空气阻力的情况下，抛体运动的轨迹是一条抛物线，其方程可表示为这是二次函数在y=ax²+bx+c1物理学中的典型应用数学模型如果物体以初速度₀和角度抛出，则其轨迹方程为₀，vθy=tanθx-g/2v²cos²θx²+h2其中是重力加速度，是起始高度g h实际应用通过分析抛物线方程，可以确定物体的最大高度、射程、飞行时间等关键参数，这在体育、军事和工程领域有广泛应用3实例篮球投篮轨迹分析篮球投篮是抛物线运动的典型例子假设一名球员从距离篮筐水平距离米、高度₁米处投篮，目标是高度为₂米的篮筐忽略d=

6.25h=2h=

3.05空气阻力，球的轨迹可以用二次函数表示y=ax²+bx+c已知点₁和₂在轨迹上，代入得₁，₁₂如果球员希望球以角入筐，则在处的斜率为，即解这些°0,hd,hc=h ad²+bd+h=h45x=d02ad+b=0方程可得，，₁轨迹方程为₁，最大高度出现在处，为₁a=-1/2d b=1c=h y=-x²/2d+x+h x=d/2h_max=h+d/4二次函数图像的平移基本图像1从最基本的二次函数开始，其图像是一条通过原点的抛物线，对称y=ax²轴是轴，顶点在原点y0,0水平平移2将改为，图像沿轴向右平移个单位，对称轴变为，顶y=ax²y=ax-h²x hx=h点变为h,0垂直平移3将改为，图像沿轴向上平移个单位，对称轴仍为轴，顶y=ax²y=ax²+k y k y点变为0,k综合平移4将改为，图像先沿轴向右平移个单位，再沿轴向上平y=ax²y=ax-h²+k x h y移个单位，对称轴变为，顶点变为k x=h h,k向右平移个单位h的情况的情况代数变换h0h0当时，图像沿轴向右平移个单位当时，图像沿轴向左平移个单位从代数角度看，h0xhh0x|h|y=ax-h²=ax²-例如，的图像是将的图像向右例如，的图像是将的图像向左，所以水平平移不y=x-3²y=x²y=x+2²y=x²2hx+h²=ax²-2ahx+ah²平移个单位，对称轴从变为，顶平移个单位，对称轴从变为，顶仅改变了的系数，还引入了的一次项和3x=0x=32x=0x=-2x²x点从变为点从变为常数项0,03,00,0-2,0向上平移个单位k的情况的情况1k02k0当时，图像沿轴向上平移当时，图像沿轴向下平移k0yk0y个单位例如，的图像个单位例如，的图k y=x²+4|k|y=x²-3是将的图像向上平移个单像是将的图像向下平移个y=x²4y=x²3位，顶点从变为，但单位，顶点从变为，0,00,40,00,-3对称轴仍为对称轴仍为x=0x=0与顶点的关系3垂直平移直接改变顶点的纵坐标，而不影响对称轴的位置和抛物线的开口方向这种平移在函数表达式中表现为常数项的变化实例平移后的函数表达式原函数平移操作新函数向右平移个单位y=2x²3y=2x-3²=2x²-12x+18向上平移个单位y=2x²4y=2x²+4向右平移个单位，向上y=2x²3y=2x-3²+4=2x²-12x+22平移个单位4平移至顶点在y=-x²+2x-13,5y=-x-3²+5=-x²+6x-4函数平移是理解二次函数图像变换的基础以上表格展示了不同平移操作对函数表达式的影响例如，将向右平移个单位得到，展开后为y=2x²3y=2x-3²y=2x²-12x+18特别地，对于一般形式，如果我们希望将其表示为顶点形式，可y=ax²+bx+c y=ax-h²+k以通过配方法进行转换例如，可以配方为，顶点为如果我们y=-x²+2x-1y=-x-1²1,0希望将顶点平移到，新函数为3,5y=-x-3²+5=-x²+6x-4二次函数图像的伸缩垂直伸缩水平伸缩垂直方向的伸缩是通过改变二次项系数的大小实现的当水平方向的伸缩是通过替换为实现的当时，抛物线变|a||a|x kx|k|1增大时，抛物线变窄（图像在垂直方向拉伸）；当减小时，窄（图像在水平方向压缩）；当时，抛物线变宽（图像|a|0|k|1抛物线变宽（图像在垂直方向压缩）在水平方向拉伸）例如，的图像比的图像窄，而的图像比的例如，替换为，图像在水平方向压缩为原来的y=3x²y=x²y=

0.5x²y=x²y=x²y=2x²=4x²图像宽；，图像在水平方向拉伸为原来的倍1/2y=

0.5x²=

0.25x²2垂直方向的伸缩垂直方向的伸缩直接反映在二次函数的系数上对于函数，当时，图像在垂直方向上被拉伸，抛物线变得更窄、更陡峭；当a y=ax²|a|10|a|1时，图像在垂直方向上被压缩，抛物线变得更宽、更平缓这种伸缩不改变抛物线的对称轴和开口方向，只影响其陡峭程度例如，的图像比更陡峭，点在上的位置对应于点在y=3x²y=x²1,3y=3x²1,1上的位置；而的图像则比更平缓，点在上的位置对应于点在上的位置y=x²y=

0.25x²y=x²2,1y=

0.25x²1,1y=x²水平方向的伸缩基本原理的情况|k|1水平方向的伸缩是通过替换函当时，图像在水平方向上|k|1数中的为实现的当我们将被压缩为原来的例如，x kx1/|k|改为时，图像在水变为，抛物线在y=fx y=fkx y=x²y=2x²=4x²平方向发生伸缩水平方向压缩为原来的1/2的情况0|k|1当时，图像在水平方向上被拉伸为原来的倍例如，变0|k|11/|k|y=x²为，抛物线在水平方向拉伸为原来的倍y=

0.5x²=

0.25x²2实例伸缩后的函数表达式值x y=x²y=2x²y=

0.5x²伸缩变换可以改变函数的表达式和图像形状垂直伸缩直接改变系数，例如将变为（垂直拉伸倍）或（垂直压缩为）水平伸缩则通过替换为实现，例如将变为a y=x²y=2x²2y=

0.5x²1/2x kx y=x²（水平压缩为）或（水平拉伸倍）y=2x²=4x²1/2y=x/2²=

0.25x²2通过图表可以看出不同伸缩变换对函数值的影响垂直伸缩时，对于相同的值，函数值按伸缩比例变化；水平伸缩时，需要不同的值才能得到相同的函数值理解这些变换对分析和绘制二次x x函数图像非常有帮助二次函数与一次函数的交点交点的意义1二次函数与一次函数的交点表示这两个函数取值相等y=ax²+bx+cy=kx+d的点交点的横坐标是方程的解ax²+bx+c=kx+d求解方法2将方程整理为，这是一个一元二次方程使用判别式ax²+b-kx+c-d=0和求根公式可以求出交点的横坐标，再代入任一函数求出纵坐标交点情况3根据判别式的值，可能有个、个或个交点当时Δ=b-k²-4ac-d012Δ0有两个交点，时有一个交点（切点），时没有交点Δ=0Δ0实例求解交点坐标整理为标准形式得到一元二次方程2确定方程1设二次函数等于一次函数求解方程使用求根公式或因式分解3例题求二次函数与一次函数的交点坐标y=x²-x-6y=2x-3解令，整理得使用求根公式，得₁，₂±×××±±x²-x-6=2x-3x²-3x-3=0x=--3√-3²-41-3/21=3√9+12/2=3√21/2x=3+√21/2≈

3.79x=3-√21/2≈-

0.79代入原二次函数，得₁，₂因此，交点坐标为和，y=

3.79²-

3.79-6≈

3.58y=-

0.79²--

0.79-6≈-

4.583+√21/2,23+√21/2-33-√21/2,23-√21/2-3即约为和

3.79,

4.58-

0.79,-

4.58二次函数与绝对值函数绝对值的定义常见组合对于任意实数，其绝对值定义为当时，；当时，二次函数与绝对值的常见组合有，和，其中x|x|x≥0|x|=x x0|fx|f|x||f|x||fx绝对值函数的图像是一个形，在处有拐点是二次函数|x|=-x Vx=0表示对函数值取绝对值，其图像在原图像位于轴下方的部|fx|x当二次函数与绝对值结合时，会产生有趣的函数性质和图像特分关于轴翻转；表示对自变量取绝对值，其图像是原图像x f|x|征在轴左侧部分关于轴翻转y y实例的图像|ax²+bx+c|图像特征零点分析应用场景函数的图像是原二次函数原二次函数的零点是新函数的最小值点绝对值二次函数在物理学、工程学和经济y=|ax²+bx+c|的图像在轴下方部分关于轴（取值为）如果原函数在某区间内为学中有广泛应用例如，在振动分析中，y=ax²+bx+c x x0翻转由于绝对值总是非负的，所以新函负，则在该区间内新函数的图像将是原图振幅可以用绝对值二次函数表示；在误差数的图像不会有位于轴下方的部分像关于轴翻转的部分分析中，绝对误差常用绝对值函数描述xx二次函数的零点零点的定义求解方法12二次函数的零求解二次函数的零点，可以fx=ax²+bx+c点是函数值等于零的点，即使用求根公式₁₂x,=-方程的解从几，也可以±ax²+bx+c=0b√b²-4ac/2a何角度看，零点是二次函数使用因式分解法（当方程能图像与轴的交点的横坐标够因式分解时）或者配方法x零点与系数的关系3如果二次函数的两个零点为₁和₂，则有₁₂fx=ax²+bx+c xxx+x=-，₁₂这种关系被称为韦达定理，它揭示了方程根与系b/a xx=c/a数之间的内在联系实例因式分解法求零点判断是否容易因式分解对于特殊形式的二次函数，如系数简单或有明显因子，可以尝试因式分解法这比使用求根公式更直观、更简便寻找因式如果二次函数可以写成的形式，则和就是函数的零点寻fx=ax-rx-s rs找因式时，可以利用韦达定理和常数项的因数验证结果找到可能的因式后，展开乘积并与原函数比较，验证因式分解是否正确如果正确，则因式中的根就是函数的零点例如，求函数的零点首先尝试因式分解根据常数项的因数，考fx=2x²-x-6-6虑可能的组合-6,1,6,-1,-3,2,3,-2,-2,3,2,-3测试这些组合，看哪一对因数和满足（一次项系数除以二次项系数）p qp+q=-1/2可以发现，满足条件因此，零点为p=-3/2q=2fx=2x+3/2x-2=2x--3/2x-2₁，₂x=-3/2x=2二次函数的线性化线性化的概念二次函数的线性化是指在某点附近用一次函数近似表示二次函数这种近似在微积分和应用数学中非常有用，特别是在处理复杂问题时线性化公式函数在点₀附近的线性化为₀₀₀，其中是的导数fx=ax²+bx+c xLx=fx+fx x-xfx=2ax+b fx几何意义线性化函数实际上是二次函数在点₀₀处的切线方程当接近₀时，是的良好近似Lx x,fxxxLx fx实例近似计算12选择合适的点计算函数值和导数选择一个容易计算的点₀，使目标点在其附近求₀和₀的值x fxfx3应用线性化公式代入公式₀₀₀得到近似值Lx=fx+fx x-x例题使用线性化近似计算在处的值fx=x²x=

4.1解选择₀作为参考点，，所以根据线性化公式，x=4f4=16fx=2x f4=8Lx=f4+f4x-代入，得×4=16+8x-4x=

4.1L

4.1=16+

84.1-4=16+

80.1=16+

0.8=

16.8实际值，近似值与实际值非常接近，误差仅为这个例子说明在点附近，线性f

4.1=

4.1²=

16.

810.01化提供了一个很好的近似方法，特别是对于计算复杂的函数，线性化可以大大简化计算过程二次函数的导数二次函数的导数对于二次函数，其导数为fx=ax²+bx+c2导数是一个一次函数，这fx=2ax+b导数的定义说明二次函数的变化率是线性的函数在点₀处的导数₀表示函fx xfx数在该点的瞬时变化率，几何上表示1为函数图像在该点的切线斜率导数的应用导数可用于确定函数的增减性、极值点和拐点对于二次函数，当时，3fx=0即时，函数取得极值x=-b/2a实例切线方程切线方程是通过一点且与曲线在该点具有相同斜率的直线方程对于二次函数，在点₀₀处的切线斜率为₀₀，切线方程fx=ax²+bx+c x,fxfx=2ax+b为₀₀₀y-fx=fx x-x例题求函数在点处的切线方程fx=x²-4x+52,1解首先验证点在函数图像上，确实为求导得，所以因此，切线方程为，即这是××2,1f2=2²-42+5=4-8+5=11fx=2x-4f2=22-4=0y-1=0x-2y=1一条水平线，表明函数在处取得极值（在本例中是最小值）x=2二次函数在实际生活中的应用物理学经济学工程学在物理学中，二次函数用于描述抛体运动、在经济学中，二次函数用于描述成本函数、在工程学中，二次函数用于设计抛物线结简谐运动、电场能量等例如，自由落体需求函数和效用函数例如，总成本函数构，如桥梁、天线和反射镜抛物面反射的位移与时间的平方成正比，；物，其中是产量，是固定成本器能将平行光线聚焦到一个点，或将来自s=½gt²C=ax²+bx+c xc体的动能与速度的平方成正比，二次函数能捕捉规模效应，如规模经济和焦点的光线反射成平行光束，这一特性广E_k=½mv²规模不经济泛应用于照明、通信和能源领域实例抛物线桥结构优势数学模型力学分析抛物线桥利用抛物线的几何特性，能均匀桥拱的形状可以用二次函数描述，其当桥梁承受均匀分布的垂直载荷时，抛物y=ax²分布重力和载荷，使结构更加稳定和耐用中是水平距离，是高度参数的选择线形状的拱桥内部产生的是纯轴向压力，xya抛物线形状的拱桥能将垂直力转化为沿拱基于桥梁的跨度和高度要求例如，如果没有弯矩这使得抛物线成为拱桥的理想的压力，减少弯曲应力桥拱高、跨度为，则形状，特别是对于承受自重和均匀载荷的h2L a=h/L²桥梁实例抛物线天线原理数学模型抛物面天线利用抛物线的几何性质从焦点发出的所有光线经抛物面天线的截面是一条抛物线，可用方程表示焦点位y=ax²抛物面反射后都平行于对称轴反之，平行于对称轴的光线经于坐标处0,1/4a抛物面反射后都会聚集到焦点天线的性能受参数影响较小的值产生较浅的抛物面，适合a a这一特性使抛物面天线能有效地收集和发射电磁波，广泛应用接收较宽范围的信号；较大的值产生较深的抛物面，适合高增a于通信、雷达和射电天文学益、窄波束的应用二次函数的历史发展古代几何1抛物线最早由古希腊数学家梅纳克姆斯（公元前年）发现，作为锥体截面阿380-320波罗尼奥斯（公元前年）在其著作《圆锥曲线》中系统研究了抛物线的几何性262-190质代数表达2世纪，笛卡尔引入坐标系，将几何问题转化为代数问题抛物线的几何描述被转化17为二次函数的代数表达这一转变标志着解析几何的诞生y=ax²+bx+c物理应用3伽利略发现抛体运动的轨迹是抛物线牛顿的重力理论解释了这一现象，并将二次函数应用于力学和天文学，奠定了现代物理学的基础现代发展4世纪以来，二次函数在经济学、工程学、计算机科学等领域得到广泛应用微积分、20优化理论和计算机图形学的发展进一步拓展了二次函数的应用范围复习要点基本概念图像特征12二次函数的定义、一般形式抛物线的对称轴（x=-（）、顶点形式）、顶点坐标（y=ax²+bx+c b/2a-（）和因式分解）、与坐标y=ax-h²+k b/2a,c-b²/4a形式各形式的特点和转换轴的交点图像的平移和伸方法的符号决定开口方向，缩变换判别式与aΔ=b²-4ac的大小影响宽窄图像和轴交点的关系|a|x性质与应用3二次函数的单调性、对称性和最值零点求解方法（求根公式、因式分解、配方法）二次函数在物理、经济、工程等领域的应用二次函数的导数和线性化结语二次函数的重要性数学思维的基石培养函数与图像的直观联系1应用问题的工具解决最优化和建模问题2高等数学的铺垫为微积分和更高级数学概念奠基3二次函数是数学中最基础也最实用的函数之一它不仅是校园数学的重要组成部分，也是现实世界中众多自然和人造现象的模型掌握二次函数，就掌握了理解和描述许多变化规律的关键工具希望通过本课程的学习，大家不仅能够熟练掌握二次函数的性质和应用，还能体会到数学的优美和力量数学不仅仅是公式和计算，更是一种思维方式和解决问题的工具让我们带着对二次函数的理解，继续探索数学的更多奥秘！。