初中数学有理数复习精讲课件

初中数学有理数复习精讲欢迎参加初中数学有理数复习精讲课程！在数学的世界里，有理数是我们必须掌握的基础知识之一它不仅是我们日常计算的基础，更是我们进一步学习代数、几何等高级数学概念的重要阶梯在这门课程中，我们将系统地复习有理数的概念、运算规则以及在实际生活中的应用通过精心设计的例题和练习，帮助你全面掌握有理数的知识点，为今后的学习打下坚实基础让我们一起踏上这段数学探索之旅，重新认识这些看似简单却蕴含深刻道理的数字世界！课程概览有理数的概念我们将从基础开始，探讨什么是有理数，如何在数轴上表示有理数，以及相关的重要概念如相反数和绝对值等有理数的四则运算这部分将详细讲解有理数的加减乘除运算法则，包括同号异号数的运算、运算定律以及混合运算的顺序等有理数的应用最后，我们将学习如何在实际问题中应用有理数，包括温度变化、海拔高度、盈亏计算以及时间计算等生活实例通过这三个主要模块的学习，你将能够全面掌握有理数的基本知识和应用技巧，为后续数学学习奠定坚实基础每个模块都包含理论讲解和丰富的练习题，帮助你巩固所学知识什么是有理数？有理数的定义整数是特殊的有理数有理数是可以表示为两个所有的整数都可以写成分整数之比（分数形式）的母为1的分数形式，因此整数其中分母不为零例数也是有理数例如5=如1/

2、-3/

4、5等5/1，-7=-7/1有限小数和无限循环小数有理数的小数表示形式只能是有限小数或无限循环小数例如

0.

5、

0.

333...（

0.3循环）有理数的概念源于希腊数学家对数的探索，最初是为了解决测量问题通过引入有理数，我们能够更精确地表达现实世界中的各种数量关系，为数学的发展奠定了基础有理数的表示方法分数形式小数形式百分数形式有理数最基本的表示方法是分数形式通过除法运算，可将分数转化为小数将分数或小数乘以100%，可得到百a/b，其中a、b是整数，且b≠0例有理数的小数形式只能是有限小数或分数形式例如

0.25=25%，3/4=如2/

3、-4/

5、7/2等无限循环小数例如

0.

25、

0.

666...75%（

0.6循环）分数形式直观地表达了有理数的本质，百分数形式在表示比例和概率时特别即两个整数的比值在进行精确计算小数形式便于我们比较数的大小和进有用，广泛应用于统计、经济等领域时，常保留分数形式以避免精度损失行近似计算，在实际应用中更为常见正数和负数负数小于0的有理数称为负数，在数前加-号表示正数例如-

3、-

0.

8、-2/5等大于0的有理数称为正数，通常在数前加+号表示，也可省略不写零例如+

5、

2.

7、1/3等0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点0可以写成0/1，也是有理数理解正数和负数的概念对我们描述现实世界中的各种量非常重要例如，温度可以是正值（高于零度）或负值（低于零度）；账户余额可以是正数（存款）或负数（欠款）；海拔可以是正值（高于海平面）或负值（低于海平面）数轴数轴的构成数轴上的有理数数轴是一条无限延伸的直线，上面有原点右侧的点表示正数，左侧的点表一个选定的原点（表示数0），一个示负数点到原点的距离表示该数的正方向（通常向右），以及一个单位绝对值长度有理数可以在数轴上找到对应的点，数轴上的每一点都对应唯一的一个数，但数轴上还有无理数点（如√

2、π反之亦然等）数轴的应用数轴帮助我们直观理解数的大小关系——数轴上越靠右的点对应的数越大数轴还帮助我们理解相反数、绝对值等概念，是解决许多数学问题的重要工具数轴的发明为数学提供了几何直观，使抽象的数概念具体化通过数轴，我们可以将代数和几何联系起来，这种数形结合的思想贯穿整个数学学习过程相反数相反数的定义数轴上的几何意义相反数的性质两个数如果互为相反在数轴上，相反数表任何数的相反数的相数，它们的和等于0示为关于原点对称的反数是这个数本身，对于任意一个数a，两个点它们到原点即--a=a零的相反它的相反数是-a，满的距离相等，但方向数是零本身，即-0=0足a+-a=0相反相反数的概念在数学运算中非常重要，特别是在解方程和进行代数变形时理解相反数能帮助我们更好地掌握有理数的加减法运算规则，为后续学习奠定基础在物理学中，相反数常用来表示方向相反的物理量，如正负电荷、作用力与反作用力等，体现了数学与自然科学的紧密联系绝对值绝对值的定义绝对值的几何意义绝对值的性质一个数的绝对值是指这个数到数轴原在数轴上，|a|表示点a到原点的距离绝对值有以下重要性质点的距离用符号|a|表示无论点a在原点的左侧还是右侧，这•|a|≥0，且当且仅当a=0时，|a|=0个距离总是非负的•如果a0，则|a|=a•|-a|=|a|，任意数与其相反数的绝例如，|-3|=3，因为-3到原点的距离•如果a=0，则|a|=0对值相等是3个单位；|5|=5，因为5到原点的距•如果a0，则|a|=-a•|a·b|=|a|·|b|，两数乘积的绝对值等离是5个单位于各自绝对值的乘积•|a+b|≤|a|+|b|，三角不等式有理数的大小比较基本原则数轴上越靠右的数越大正负数与零的比较任何正数都大于0，任何负数都小于0同号数的比较正数绝对值大的数更大；负数绝对值大的数更小异号数的比较正数总大于负数，无需比较绝对值在比较有理数大小时，我们首先要判断数的符号正数总是大于负数，这是最基本的判断标准如果两个数同号，那么还需要比较它们的绝对值对于正数，绝对值大的数更大；对于负数，绝对值大的数更小在小数形式下比较时，可以先比较整数部分，若相同再依次比较小数部分的各位数字在分数形式下比较时，可以通分后比较分子大小，或者转化为小数形式进行比较有理数的加法

（1）同号数相加异号数相加两个同号数相加，取相同的符号，绝对两个异号数相加，用绝对值大的数的符值相加号，绝对值相减（大减小）•正数+正数=正数（绝对值相加）•正数+负数=绝对值大的数的符号（绝对值相减）•例如3+5=8•例如5+-3=2•负数+负数=负数（绝对值相加）•负数+正数=绝对值大的数的符号•例如-3+-5=-8（绝对值相减）•例如-5+3=-2数轴上的加法在数轴上，加法可以理解为位移•加正数表示向右移动•加负数表示向左移动•移动的距离等于加数的绝对值有理数的加法

（2）加法交换律对于任意两个有理数a和b，都有a+b=b+a这意味着加数的顺序可以任意交换，结果不变例如3+-5=-5+3=-2加法结合律对于任意三个有理数a、b和c，都有a+b+c=a+b+c这意味着计算三个或更多数的和时，可以任意选择先计算哪两个数的和例如2+3+4=2+3+4=9加法的其他性质a+0=a，0是加法的单位元任何数加上0，结果不变a+-a=0，每个数与其相反数的和为0这些加法定律不仅适用于整数，也适用于所有有理数理解并灵活运用这些定律，可以简化计算过程，提高计算效率在解决复杂问题时，常常需要巧妙应用这些性质来简化计算有理数的减法减法的定义减去一个数等于加上这个数的相反数即a-b=a+-b减法转化为加法所有的减法运算都可以转化为加法运算来处理，只需把减数变为其相反数，然后进行加法运算减法的计算步骤

1.将减法a-b转化为加法a+-b

2.按照有理数加法的规则进行计算实例演示例如5--3=5+3=8例如-2-7=-2+-7=-9理解减法本质上是加上一个相反数，这一概念对简化有理数的运算规则非常重要通过这种转化，我们可以统一处理加减法运算，减少需要记忆的规则数量在数轴上，减法可以理解为向相反方向移动，减去正数向左移，减去负数向右移有理数的乘法（）1同号数相乘两个同号数相乘，结果为正数异号数相乘两个异号数相乘，结果为负数零与任何数相乘零与任何数相乘，结果都是零有理数乘法的符号规则可以概括为符号相同得正号，符号不同得负号具体来说，正数乘以正数得正数（如3×2=6）；负数乘以负数得正数（如-3×-2=6）；正数乘以负数得负数（如3×-2=-6）；负数乘以正数得负数（如-3×2=-6）至于绝对值部分，只需将两个数的绝对值相乘即可例如，|-3|×|2|=3×2=6这样，有理数的乘法运算就可以分为符号判断和绝对值计算两个步骤来处理理解这一规则有助于简化乘法计算过程有理数的乘法（）2乘法交换律乘法结合律对于任意两个有理数a和b，都有对于任意三个有理数a、b和c，都有a×b=b×a a×b×c=a×b×c这意味着乘法的顺序可以任意交换，这意味着计算三个或更多数的乘积时，结果不变例如3×-5=-5×3=-15可以任意选择先计算哪两个数的乘积例如2×3×4=2×3×4=24乘法交换律在代数运算和方程变形中有广泛应用乘法结合律使我们能够灵活调整计算顺序，简化复杂计算乘法的其他性质a×1=a，1是乘法的单位元任何数乘以1，结果不变a×0=0，任何数乘以0，结果都是0a×1/a=1（a≠0），每个非零数与其倒数的乘积为1有理数的乘法（）3乘法分配律分配律的扩展分配律的应用对于任意三个有理数a、b和c，都有分配律也适用于减法分配律在代数运算中有广泛应用a×b-c=a×b-a×c•多项式乘法a×b+c=a×b+a×c•因式分解例如3×5-2=3×5-3×2=15-6=9这一性质表明乘法对加法具有分配性，•简化复杂计算多项分配a×b+c+d=a×b+a×c+a×d即一个数乘以一个和式，等于这个数•解方程分别乘以和式中的每一项，再把所得左右分配a+b×c=a×c+b×c例如计算25×98可以写成25×100-的积相加2=25×100-25×2=2500-50=2450例如3×2+5=3×2+3×5=6+15=21有理数的除法除法的定义除法转化为乘法一个数除以另一个非零数，等于这个数乘以另一个数的倒数即所有的除法运算都可以转化为乘法运算来处理，只需把除数变为其倒a÷b=a×1/b，其中b≠0数，然后进行乘法运算除法的符号规则除法的注意事项与乘法相同同号得正，异号得负正数除以正数得正数；负数除以零不能作为除数，因为零没有倒数任何非零数除以零都是没有意义负数得正数；正数除以负数得负数；负数除以正数得负数的但零除以任何非零数都等于零理解除法本质上是乘以一个倒数，这一概念对统一乘除法运算规则非常重要通过这种转化，我们可以将除法问题转化为已经熟悉的乘法问题，简化思考过程在实际计算中，可以直接应用除法的符号规则，即同号得正，异号得负，然后计算绝对值部分有理数的混合运算第一步计算括号内的表达式第二步计算乘方从内层括号开始，逐层向外计算乘方优先级高于乘除第四步从左到右计算加减第三步从左到右计算乘除加法和减法同级，按从左到右顺序计算乘法和除法同级，按从左到右顺序计算在进行有理数的混合运算时，遵循先乘除后加减，有括号先算括号的原则当表达式中包含多层括号时，应从内层括号开始计算，逐层向外对于同一优先级的运算（如乘除同级，加减同级），按照从左到右的顺序进行计算去括号时需注意如果括号前是加号，可以直接去掉括号和加号；如果括号前是减号，去掉括号和减号后，括号内的各项符号都要改变（正变负，负变正）科学记数法科学记数法的定义使用场景转换方法科学记数法是将一个数表示为a×10^n科学记数法在以下场景中特别有用将一个数转换为科学记数法的形式，其中1≤|a|10，n为整数•将小数点移动到第一个非零数字•表示天文学中的巨大距离（如光的后面例如3000=3×10^3，年）•计算小数点移动的位数，向右移

0.00045=

4.5×10^-4•表示物理学中的微小粒子（如原为正幂，向左移为负幂子半径）这种表示法特别适合表示非常大或非•写成a×10^n的形式常小的数，使其更加简洁明了•计算器显示特大或特小的数例如将5280000转换为

5.28×10^6•简化含有多个零的数的计算有理数的近似值四舍五入法截断法四舍五入法是最常用的取近似值方法保留截断法是简单地舍去需要保留位数后面的所到某一位时，如果后一位数字≥5，则前一位有数字，不进行任何调整数字加1；如果后一位数字5，则前一位数例如

3.14159保留三位小数为

3.141；-字保持不变

2.3741保留两位小数为-

2.37例如

3.14159保留三位小数为

3.142（因为截断法的结果通常会比实际值小一些（绝对第四位是5）；-

2.3741保留两位小数为-

2.37值意义上）（因为第三位是4）近似值的误差取近似值会产生误差对于四舍五入法，最大误差不超过保留位的半个单位；对于截断法，最大误差不超过保留位的一个单位在科学计算中，需要根据精度要求选择合适的近似方法和保留位数在实际应用中，根据不同的场景和要求，可能需要采用不同的近似值取法例如，在金融计算中常用四舍六入五成双法则，以减少累积误差；在某些工程应用中可能直接采用向上取整或向下取整来满足特定需求百分数百分数的定义百分数是表示一个数是另一个数的百分之几，用符号%表示例如25%表示25/100或

0.25百分数与小数的转换百分数转小数去掉%号，再除以100例如75%=

0.75小数转百分数乘以100，再加上%号例如

0.36=36%百分数与分数的转换百分数转分数去掉%号，写成分子/100，再约分例如25%=25/100=1/4分数转百分数除法得小数，再乘以100%例如3/8=

0.375=

37.5%百分数的应用百分数广泛应用于比例、增长率、折扣、利息等计算中例如打八折即为原价的80%；年增长率5%意味着每年增加原数量的5%百分数是我们日常生活中常见的数学概念，无论是折扣计算、考试成绩、投资收益还是统计数据，都经常使用百分数来表示理解百分数与小数、分数之间的转换关系，有助于我们准确进行各类涉及比例的计算和判断比例比例的概念比例是表示两个比相等的等式，即a:b=c:d或a/b=c/d，读作a比b等于c比d其中a、c称为比例的外项，b、d称为比例的内项比例的基本性质在比例a:b=c:d中，有以下基本性质

1.内项之积等于外项之积，即b×c=a×d（交叉相乘）

2.比例的四项同时乘以或除以同一个非零数，比例仍然成立比例的变形如果a:b=c:d成立，则以下变形也成立

1.交换内项a:c=b:d

2.交换外项d:b=c:a

3.交换两边b:a=d:c比例的应用比例在解决实际问题中有广泛应用，如配方、缩放、相似比、速度时间关系等通过已知三项求未知项是比例应用的基本方法比例尺比例尺的定义比例尺的类型比例尺计算比例尺是图上距离与实际距离之间的常见的比例尺类型有利用比例尺可以进行以下计算比值关系，通常表示为1:S或1/S的形•数字比例尺如1:

100001.已知实际距离和比例尺，求图上距式其中S表示缩小的倍数，即实际离•线段比例尺用线段直观表示距离是图上距离的S倍•文字比例尺如1厘米=1千米图上距离=实际距离÷比例尺分母比例尺可以用分数表示（如1/1000），也可以用文字表示（如1厘米表示10比例尺越小（分母越大），表示的区

2.已知图上距离和比例尺，求实际距米）域越大，但细节越少；比例尺越大，离表示的区域越小，但细节越多实际距离=图上距离×比例尺分母比例尺在地图制作、建筑设计、模型制作等领域有广泛应用在使用比例尺时，需要注意单位的一致性，确保计算结果的准确性有理数的应用温度在温度测量中，正值表示高于参考点的温度，负值表示低于参考点的温度在摄氏温度计中，0℃是水的冰点，正温度表示高于冰点，负温度表示低于冰点例如，夏天可能达到35℃，而严冬可能降至-20℃温度变化的计算是有理数加减法的直接应用例如，如果气温从早晨的-5℃上升到中午的7℃，温度上升了12℃（计算7--5=7+5=12）；如果从下午的10℃下降到晚上的-8℃，温度下降了18℃（计算-8-10=-18）理解温度的正负表示，有助于我们准确描述和计算温度变化，这在气象预报、实验设计、工业生产等领域都有重要应用有理数的应用海拔海拔的表示海拔是指某地点相对于海平面的高度海平面作为参考海平面的海拔定为0米，作为计量基准点正海拔高于海平面的位置用正数表示负海拔低于海平面的位置用负数表示海拔的正负表示给我们提供了描述地球表面高度的统一标准例如，珠穆朗玛峰的海拔约为8848米（正值），而世界上最低的陆地死海沿岸的海拔约为-428米（负值），表示它低于海平面428米在计算两地的高度差时，我们可以应用有理数的减法例如，从海拔1500米的高原下降到海拔-200米的盆地，高度下降了1700米（计算-200-1500=-1700）这种计算在地理研究、工程规划、航空导航等领域都有重要应用有理数的应用盈亏盈利表示亏损表示盈亏计算在经济活动中，盈利（利润）通常用正数表亏损（损失）则用负数表示例如，某企业通过有理数的加减法，可以计算连续多个时示例如，某企业本季度盈利20万元，可以亏损15万元，可以表示为-15万元这意味期的盈亏总额例如，企业第一季度盈利12表示为+20万元或简写为20万元这表明企着企业在这段时间内支出大于收入，需要调万元，第二季度亏损8万元，第三季度盈利5业在这段时间内收入大于支出，经营状况良整经营策略万元，则三个季度的总盈亏是12+-8+5=9万好元，即总体盈利9万元理解盈亏的正负表示，有助于我们准确描述和计算经济活动的结果这种表示方法不仅适用于企业经营，也适用于个人理财、投资收益等领域通过有理数的运算，我们可以清晰地进行财务分析和决策有理数的应用时间时间的正负表示在描述时间时，我们常以某个特定时刻为参考点，将其设为时间原点（类似于数轴的原点）在这种情况下，参考点之后的时间用正数表示，参考点之前的时间用负数表示历史年代表示在西方历法中，公元元年是时间原点公元后的年份用正数表示（如2023年），公元前的年份用负数表示（如公元前500年可表示为-500年）这使我们能够在数学上处理历史年代的计算相对时间表示在许多情况下，例如火箭发射倒计时，我们以特定事件为参考点发射前的时间用负数表示（如发射前5秒为-5秒），发射后的时间用正数表示（如发射后3秒为+3秒）时间计算是有理数运算的重要应用例如，计算从公元前753年（罗马建城）到公元476年（西罗马帝国灭亡）经过了多少年，可以用476--753=476+753=1229年这种计算方法避免了历史年代计算中容易出现的错误在科学研究、历史研究、项目管理等领域，准确的时间表示和计算都是非常重要的有理数的正负表示为这些计算提供了便利的数学工具练习有理数的概念5-

2.5有理数示例有理数示例判断以下数中哪些是有理数将其表示为分数形式

00.25特殊有理数小数表示说明为什么0是有理数将此有理数转换为分数解答•数字5是整数，可以表示为5/1，因此是有理数•数字-

2.5可以表示为-5/2，满足有理数定义•0可以表示为0/1，分子为0，分母为非零整数，符合有理数定义•

0.25可以表示为1/4，是有理数（

0.25=25/100=1/4）提示判断一个数是否为有理数，关键是看它能否表示为两个整数的比值（分数形式），其中分母不为零所有的整数、分数、有限小数和无限循环小数都是有理数练习数轴上的有理数数轴标点数轴上数的读取在数轴上准确标出以下点-

2.5，0，3/4，观察数轴上的点A、B、C、D、E，写出它们-

1.75，2对应的数值提示先确定单位长度，然后根据数值在数提示根据点到原点的距离和方向，确定数轴上找到对应位置的大小和符号数轴上的顺序将数轴上的点按照从左到右的顺序排列，并比较对应数值的大小提示数轴上越靠右的点对应的数越大解答思路数轴上的每个点对应唯一的一个数，反之亦然在标点时，首先确定数轴的原点

（0）位置和单位长度，然后根据数的正负和绝对值确定点的位置正数对应原点右侧的点，负数对应原点左侧的点，距离原点的长度等于数的绝对值在比较数的大小时，可以直接观察它们在数轴上的位置越靠右的点对应的数越大这一特性使得数轴成为理解数的大小关系的有力工具练习相反数和绝对值求相反数1求下列各数的相反数5，-7，0，-

2.5，3/4提示数a的相反数是-a，满足a+-a=0求绝对值求下列各数的绝对值-8，6，0，-

3.5，-2/3计算题提示|a|表示数a到原点的距离计算|-5|+|3|，|-4|-|2|，|-6|×|-3|，|8|÷|-2|提示先求出各数的绝对值，再进行相应的运算判断题判断下列各式是否正确|-a|=|a|，|a+b|=|a|+|b|，|a·b|=|a|·|b|提示可以通过具体数值验证或利用绝对值的性质判断解答

1.5的相反数是-5；-7的相反数是7；0的相反数是0；-

2.5的相反数是

2.5；3/4的相反数是-3/

42.|-8|=8；|6|=6；|0|=0；|-

3.5|=

3.5；|-2/3|=2/

33.|-5|+|3|=5+3=8；|-4|-|2|=4-2=2；|-6|×|-3|=6×3=18；|8|÷|-2|=8÷2=

44.|-a|=|a|正确；|a+b|=|a|+|b|不一定正确（反例|-3+5|=|2|=2，但|-3|+|5|=3+5=8）；|a·b|=|a|·|b|正确练习有理数的大小比较直接比较转化后比较排序题比较下列各组数的大小将下列各数转化为相同形式后比较大小将下列各数从小到大排序•5与-8•

0.75与3/4-2，3/4，-

1.5，0，-3/2，1，-5/4•-3与-7•-

1.25与-5/4提示先区分正负号，再分别比较可以利用数•0与-

2.5•-

0.6与-2/3轴帮助理解和排序•-4/5与-3/4•7/10与

0.7•

1.2与-

1.2•-

0.5与-1/2提示正数大于0，负数小于0，正数大于负数，提示可以将分数转为小数，或将小数转为分数，同号数比较绝对值选择更方便的形式解答要点比较有理数大小的基本原则是正数总大于0，0大于任何负数；两个正数比较，绝对值大的数更大；两个负数比较，绝对值小的数更大在数轴上，越靠右的点对应的数越大当比较形式不同的有理数时，可将它们转化为相同形式（如都转为小数或都转为分数）再比较例如，比较

0.75和3/4时，可以将

0.75转为分数3/4，或将3/4转为小数

0.75，发现它们相等练习有理数的加法同号数相加异号数相加12计算3+5，-7+-4，

2.5+

1.8，-

1.2+-

0.7计算-6+8，9+-5，-

3.6+

2.1，

4.5+-

7.2提示同号数相加，取相同的符号，绝对值相加提示异号数相加，取绝对值大的数的符号，绝对值相减（大减小）多数相加分数相加34计算2+-5+3+-4，-

2.5+

3.7+-

1.8+-

0.6计算1/3+1/4，-2/5+-3/10，-3/4+5/6，2/3+-5/6提示可以先计算所有正数的和，再计算所有负数的和，最后将两个和相加提示分数相加需要先通分，再将分子相加，分母不变解答示例3+5=8（正数+正数=正数，绝对值相加）-7+-4=-11（负数+负数=负数，绝对值相加）-6+8=2（异号相加，8的绝对值大于6，结果取正，8-6=2）1/3+1/4=4/12+3/12=7/12（先通分为相同分母，再相加分子）2+-5+3+-4=5+-9=-4（可以先将同号数相加再合并）练习有理数的减法减法转加法基本减法计算小数减法分数减法将下列减法算式转化为加法计算以下各式计算以下各式计算以下各式算式9-5，-6-3，8--4，-7--

22.5-

3.7，-

1.8--

0.6，-

3.2-5/6-1/3，-3/4-2/3，-2/5--5-8，-3--7，6--2，-4-

54.5，

5.4--

2.87/10，3/8--5/12提示转化为加法后，按加提示a-b=a+-b，减去一法法则计算提示可以对齐小数点后计提示转化为加法后通分计个数等于加上这个数的相反算，或直接转化为加法算，或直接通分后相减数解答示例5-8=5+-8=-3（减去正数8相当于加上负数-8）-3--7=-3+7=4（减去负数-7相当于加上正数7）9-5=9+-5=4（同号相加，符号相同，绝对值相加）-6-3=-6+-3=-9（同号相加，符号相同，绝对值相加）5/6-1/3=5/6-2/6=3/6=1/2（通分后相减）练习有理数的乘法乘法练习题•计算同号数乘积3×4，-5×-2，-

1.5×-

2.4•计算异号数乘积-6×3，5×-4，-

2.5×

0.8•计算带有0的乘积0×-7，-9×0，0×0•计算分数乘积2/3×3/4，-5/6×1/2，-3/5×-2/7•计算多数乘积2×-3×4，-1×-2×-3，-5×0×-2解答提示有理数乘法的符号规则是同号得正，异号得负计算时，先根据符号规则确定结果的符号，再将绝对值相乘得到结果的绝对值零与任何数相乘，结果都是零分数相乘时，分子相乘为新分子，分母相乘为新分母，最后需要约分（如果可能）练习有理数的除法除法转乘法将除法转化为乘法a÷b=a×1/b，其中b≠0符号规则同号得正，异号得负（与乘法相同）除法计算计算绝对值部分，再根据符号规则确定最终符号练习题•计算同号数相除12÷3，-15÷-5，-

8.4÷-

2.1•计算异号数相除-18÷6，20÷-5，-

7.5÷

2.5•计算特殊情况0÷-4，-12÷3÷-2，15÷-5÷-3•计算分数相除3/4÷2/3，-5/8÷4/5，-2/3÷-4/9解答提示在计算有理数的除法时，可以将其转化为乘以除数的倒数例如，-18÷6=-18×1/6=-3除法的符号规则与乘法相同同号得正，异号得负需要特别注意，0可以作为被除数（结果为0），但不能作为除数分数相除时，可以用乘以倒数的方法a/b÷c/d=a/b×d/c=a×d/b×c练习有理数的混合运算

（1）步骤一计算括号步骤二计算乘除从内层括号开始，逐层向外计算按从左到右顺序计算乘法和除法步骤四检查结果步骤三计算加减验证计算过程和最终结果按从左到右顺序计算加法和减法练习题•3+2×5=•12÷4-3×2=•-4×3+-6÷2=•5-8×3÷-6=•3×[2+-7÷-7-5]=解答示例3+2×5=3+10=13（先乘除后加减）12÷4-3×2=3-6=-3（从左到右计算同级运算）练习有理数的混合运算

（2）去括号技巧多重括号处理分数混合运算括号前是+号直接去掉括号和加号从内层括号开始，逐层向外计算分数混合运算中，通分只在加减法时需要，乘除法不需通分括号前是-号去掉括号和减号，括号内各项符号都要改变可以先将内层括号的结果计算出来，再代入外层表达式（即都要取相反数）遵循先乘除后加减的原则例如3-[2-5-7]，先计算5-7=-2，再代入得3-[2--2]=3-例如-3-5+2=-3+5-2[2+2]=3-4=-1最终结果应化为最简分数练习题•-3-[5+-2]•4+-3×[-4÷2-1]•-3×2-4÷2+-5•1/2-1/3×3/4+2/3•2+-3×[4--2÷-1]解答示例-3-[5+-2]=-3-

[3]=-6（先计算括号内，再整体）4+-3×[-4÷2-1]=4+-3×[-2-1]=4+-3×-3=4+9=13（先括号内部乘除，再加减，再整体）-3×2-4÷2+-5=-[6-4÷2]+-5=-[2÷2]+-5=-1+-5=-6（先括号，再整体）1/2-1/3×3/4+2/3=3/6-2/6×9/12+8/12=1/6×17/12=17/72（先计算括号内，再整体）练习科学记数法转换为科学记数法从科学记数法转换为普通数12将下列数转换为科学记数法将下列科学记数法表示的数转换为普通数32500，

0.00078，-456000，

0.0000023，-

0.

009013.6×10^4，

5.28×10^-3，-

7.1×10^6，

9.05×10^-5提示将小数点移动到第一个非零数字的后面，记录移动的位数和方向提示根据指数的正负和大小移动小数点科学记数法计算实际应用34计算下列各式，并用科学记数法表示结果解决下列问题2×10^5×3×10^-2，8×10^4÷4×10^7，

1.2×10^3+

3.4×10^2地球到太阳的平均距离约为

1.496×10^8千米，这相当于多少米？提示分别计算系数和指数部分，最后合并一个原子的直径约为

2.5×10^-10米，这相当于多少厘米？解答示例32500=

3.25×10^4（小数点向左移动4位）

0.00078=

7.8×10^-4（小数点向右移动4位）

3.6×10^4=36000（小数点向右移动4位）2×10^5×3×10^-2=6×10^3（2×3=6，10^5×10^-2=10^3）

1.496×10^8千米=

1.496×10^11米（1千米=1000米，所以还要乘以10^3）练习有理数的近似值四舍五入截断法比较两种方法将下列各数按要求四舍五入用截断法将下列各数按要求取近似值比较上述两组结果，讨论两种取近似值方法的区别•

3.1415926，保留两位小数•

3.1415926，保留两位小数哪种方法的结果更接近原数？为什么？•-

5.684，保留一位小数•-

5.684，保留一位小数•

0.0987，保留两位小数•

0.0987，保留两位小数哪些情况下两种方法得到的结果相同？•-

12.995，保留两位小数•-

12.995，保留两位小数提示分析误差大小和方向•

8.5001，保留三位小数•

8.5001，保留三位小数提示四舍五入法是以5为界的取近似值方法提示截断法是直接去掉多余位数，不进行四舍五入解答示例四舍五入结果

3.14，-

5.7，

0.10，-

13.00，

8.500截断法结果

3.14，-

5.6，

0.09，-

12.99，

8.500比较四舍五入法一般能得到更接近原数的结果，因为它考虑了被舍去部分的大小；截断法总是偏向于绝对值较小的方向当被舍去的第一位数字小于5时，两种方法得到的结果相同；当被舍去的所有位数都是0时，两种方法也得到相同结果练习百分数计算转换练习逆转换练习百分数计算应用题将下列百分数转换为小数将下列小数或分数转换为计算下列各题一件商品原价80元，打八和分数（化简至最简）百分数折出售，实际售价是多少？20%×50=？，150的25%，

12.5%，

0.8%，

0.35，

0.06，3/4，2/5，30%=？，245的125%=？150%，

33.

33...%（循环小

1.5一次考试中，小明得了85数）分，若满分是120分，他的得分率是多少？解答示例25%=

0.25=1/4；

12.5%=

0.125=1/8；

0.8%=

0.008=2/250=1/

1250.35=35%；3/4=

0.75=75%；

1.5=150%20%×50=

0.2×50=10；150的30%=150×

0.3=45；245的125%=245×

1.25=

306.25商品打八折售价=80×

0.8=64元小明的得分率=85÷120×100%=

70.83%练习比例问题基本比例求比例中的未知数比例应用判断下列各组数是否成比例在下列比例中求x的值解决以下问题•3:5=6:10•3:x=6:10•配制某种溶液需要按5:3的比例混合两种原料若需要24千克这种溶液，应分别使用•2:7=4:15•x:8=5:12多少千克两种原料？•

1.5:

2.5=3:5•

2.4:3=x:5•一项工程，甲独做需要15天，乙独做需要•

0.4:

1.2=1:3•x:-4=-3:610天若两人合作，需要多少天完成？提示检验内项之积是否等于外项之积提示根据比例性质，内项之积等于外项之积解答示例3:5=6:10判断内项之积=5×6=30，外项之积=3×10=30，相等，成比例3:x=6:10解答根据内项之积=外项之积，有x×6=3×10，得x=5溶液问题两种原料之比为5:3，和为8份24千克溶液中，第一种原料用量=24×5/8=15千克，第二种原料用量=24×3/8=9千克工程问题甲一天完成1/15工程，乙一天完成1/10工程，合作一天完成1/15+1/10=2+3/30=5/30=1/6工程，需要6天完成练习比例尺应用比例尺转换实际距离计算比例尺应用将以下比例尺相互转换在一幅比例尺为1:10000的地图上解决以下问题•1:25000与1厘米表示250米•两地之间的图上距离是5厘米，实际距离是多•设计一座建筑物时，按1:100的比例制作模型少？若实际建筑高度为45米，模型高度是多少？•1:500与1厘米表示多少米•实际距离为

1.5千米的两地，在图上的距离是•1厘米表示2千米与1:多少多少？•在一幅1:5000的地形图上，一个封闭曲线的提示注意单位换算，1厘米=

0.01米，1千米=1000面积是35平方厘米，这个曲线在实地围成的•一块矩形土地，图上面积为12平方厘米，实米面积是多少公顷？（1公顷=10000平方米）际面积是多少平方米？提示实际距离=图上距离×比例尺分母解答示例1:25000表示图上1厘米代表实地25000厘米=250米，所以1:25000与1厘米表示250米等价地图上5厘米的实际距离=5×10000厘米=50000厘米=500米实际距离

1.5千米=1500米在图上的距离=1500米÷10000=

0.15米=15厘米建筑物模型高度=45米÷100=

0.45米=45厘米练习温度计算32212华氏温度华氏温度冰点的华氏温度沸点的华氏温度0100摄氏温度摄氏温度冰点的摄氏温度沸点的摄氏温度练习题•某地早晨气温为-5℃，中午上升了12℃，中午气温是多少？•某地下午2点气温为6℃，到晚上8点下降了10℃，晚上气温是多少？•冬天，室外温度为-15℃，室内温度为22℃，室内外温差是多少？•某城市一周内的最高气温为35℃，最低气温为-8℃，温差是多少？•摄氏温度与华氏温度的换算公式为F=9/5×C+32若摄氏温度为-20℃，对应的华氏温度是多少？解答示例早晨-5℃，上升12℃，中午气温=-5+12=7℃下午6℃，下降10℃，晚上气温=6-10=-4℃室内外温差=22--15=22+15=37℃最高最低温差=35--8=35+8=43℃华氏温度=9/5×-20+32=-36+32=-4°F练习海拔计算最高点最低点海洋深度珠穆朗玛峰是地球上最高的山峰，海拔约8848米这死海是地球陆地表面的最低点之一，海拔约-428米马里亚纳海沟是已知的海洋最深处，深约11034米从一高度是如何测量的？科学家们使用各种测量技术，这意味着它位于海平面以下428米死海的水面持续下海平面计算，其海拔为-11034米这一深度足以容纳包括GPS、三角测量和重力测量等方法来确定山峰的准降，这一数据还在变化珠穆朗玛峰，并在峰顶上方还有水确高度练习题•某人从海拔3500米的山顶下降到海拔1200米的山脚，下降了多少米？•某潜水员从海平面下潜到海底（海拔-85米），然后上升到海平面下25米的位置，共上升了多少米？•甲地海拔为-120米，乙地海拔为350米，两地的高度差是多少米？•一架飞机从海拔350米的机场起飞，上升到9500米的高空，又下降2300米，此时飞机距离地面多少米？练习盈亏问题盈利表示盈利（利润）用正数表示，如+300元表示盈利300元亏损表示亏损（损失）用负数表示，如-200元表示亏损200元盈亏平衡盈亏相抵后的结果为0，表示收支平衡盈亏计算利用有理数的加减法计算总盈亏情况练习题•某水果店第一周盈利350元，第二周亏损120元，第三周盈利280元，三周共盈亏多少？•某商品进价45元，售价65元，每件盈利多少？若降价至40元出售，每件盈亏如何？•某投资项目第一年亏损

2.5万元，第二年盈利

3.8万元，第三年亏损

1.5万元，三年总盈亏如何？•某交易员连续进行了三次股票交易，分别盈利1250元、亏损1800元和盈利850元若要达到总盈利1000元，还需要至少盈利多少？解答示例三周盈亏=350+-120+280=510元，总体盈利510元进价45元，售价65元，每件盈利=65-45=20元；降价至40元，每件盈亏=40-45=-5元，即亏损5元三年总盈亏=-

2.5+

3.8+-

1.5=-

0.2万元，即总体亏损

0.2万元现有盈亏=1250+-1800+850=300元，要达到总盈利1000元，还需盈利=1000-300=700元练习时间计算公元前公元后用负数表示，如公元前300年表示为-300年用正数表示，如公元2023年表示为2023年123公元元年作为时间轴原点，表示为0年练习题•秦始皇统一中国在公元前221年，到公元2023年已经过去了多少年？•古希腊数学家毕达哥拉斯出生于公元前570年，去世于公元前495年，享年多少岁？•某火箭在发射前30秒开始最后倒计时，发射后120秒进入预定轨道从倒计时开始到进入轨道共经过多少秒？•某考古遗址有两层，上层形成于公元前1200年，下层形成于公元前1800年，两层相差多少年？•在一段录像中，以某事件发生时刻为时间原点该事件发生前5分钟记为-5分钟，发生后8分钟记为+8分钟从录像的-12分钟到+15分钟共经过多少分钟？解答示例从公元前221年到公元2023年经过的年数=2023--221=2023+221=2244年毕达哥拉斯享年=-495--570=-495+570=75岁从倒计时开始到进入轨道经过的时间=-30+120=90秒上下两层相差=-1200--1800=-1200+1800=600年从录像的-12分钟到+15分钟经过的时间=15--12=15+12=27分钟常见错误分析概念混淆正负号与运算符号混淆绝对值与相反数混淆常见错误将数的正负号与运算符号混淆，常见错误将绝对值与相反数概念混淆，如如-5+8误解为-5+8认为|-5|=-5或-|5|=5正确理解-5是一个负数，整体作为加法的正确理解绝对值是到原点的距离，总是非第一个加数，而不是在5+8的结果前添加负负的；相反数是关于原点对称的数号避免方法牢记绝对值的定义，|a|表示a到避免方法清晰区分数的符号和运算符号，原点的距离；a的相反数是-a可以用括号标明负数，如-5+8有理数与整数、分数概念混淆常见错误认为有理数就是分数，不包括整数；或认为小数不是有理数正确理解有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数、有限小数和无限循环小数避免方法理解有理数是一个宽泛的概念，整数和分数都是有理数的特殊形式这些概念混淆往往导致计算错误或理解偏差要避免这些错误，需要准确理解基本概念，多做练习巩固，并在解题时注意辨别各种情况当遇到不确定的概念时，回到定义和基本性质是最安全的做法常见错误分析运算顺序乘除加减顺序错误忽略括号优先级错误计算未先进行乘除运算，而是按从左到右错误计算直接按从左到右顺序计算，忽略括号顺序去括号错误负号处理错误错误计算去括号时未正确改变括号内各项的符错误计算误将负号理解为减号，或处理不当号例如，在计算3+2×5时，常见错误是按从左到右顺序计算得3+2×5=25，而正确计算应该是3+2×5=3+10=13，因为乘法优先于加法又如，在计算-3×2-5时，常见错误包括误解为-3×2-5=-6-5=-11，或者-3×2-5=-6-5=-11，而正确计算应该是-3×-3=9，因为括号内应先计算得-3，然后再与-3相乘避免运算顺序错误的关键是牢记并遵循先乘除后加减，有括号先算括号的原则，对于复杂表达式，可以逐步分解，分阶段计算，以避免混淆当表达式中有正负号时，要特别注意区分运算符号和数的符号常见错误分析符号问题加法符号错误常见错误忽略负数的符号，如-5+-3算成-5+-3=-8，或直接将-5和-3相加得-8正确计算-5+-3=-5+3=-8避免方法将负数视为整体，清晰标记每个数的符号，必要时加括号减法符号错误常见错误将减法错误转化为加法，如5--3算成5+3=8，或简单认为两个负号抵消正确计算5--3=5+3=8，减去一个数等于加上这个数的相反数避免方法始终将减法a-b转化为加法a+-b，然后按加法法则计算乘法符号错误常见错误忘记负负得正规则，如-2×-3算成-6正确计算-2×-3=6，同号相乘得正号避免方法牢记乘法符号规则同号得正，异号得负除法符号错误常见错误除法符号处理不当，如-8÷-2算成-4正确计算-8÷-2=4，同号相除得正号避免方法除法符号规则与乘法相同同号得正，异号得负符号错误在有理数运算中非常常见，特别是在处理负数时要避免这类错误，重要的是理解每个运算规则背后的逻辑，而不是机械记忆例如，理解减法本质上是加上一个相反数，理解乘法符号规则的一致性（符号相同得正，符号不同得负）常见错误分析分数计算通分错误约分错误混合运算错误常见错误类型常见错误类型常见错误类型•未能找到最小公分母，如1/2和1/3通分•未约分到最简形式，如6/8只约分到•乘除法也进行通分，如为2/4和3/93/41/2×1/3=3/6×2/6=6/36•通分后分子计算错误，如1/2和1/3通分•错误约分，如分子分母分别约去相同•加减法不通分，如1/2+1/3=2/5为3/6和2/6数值，如8/12约分为4/6（去掉了4和6）•运算顺序错误，如•忘记通分直接计算，如1/2+1/3=2/51/2+1/3×1/4=1/2+1/3×1/4=5/6×1/4=5/•约分不彻底，如10/15约分为2/324正确方法找出最小公倍数作为公分母，正确方法加减法需要通分，乘法直接分调整分子保持分数值不变正确方法找出分子分母的最大公约数，子乘分子分母乘分母，除法乘以除数的倒同时除以最大公约数数分数计算中的错误常常源于对基本规则的混淆或操作不当要避免这些错误，需要牢记加减法需要通分；乘法是分子与分子相乘、分母与分母相乘；除法是乘以除数的倒数；最后结果应化为最简形式在复杂计算中，应分步骤进行，确保每一步都正确无误解题技巧化繁为简分解问题将复杂问题分解为若干个简单的子问题，逐一解决例如，计算-2×[3+-5÷-1]可以分解为先计算括号内的-5÷-1=5，再计算3+5=8，最后计算-2×8=-16替换简化用简单的表达式替换复杂的部分，减少计算量例如，计算

3.14×5²÷

3.14×2可以将公共因子

3.14提出来，简化为5²÷2=25÷2=

12.5运用性质灵活运用运算性质简化计算例如，计算1/4+3/4×2可以运用分配律将3/4×2写为6/4，然后1/4+6/4=7/4，避免了复杂的顺序计算化繁为简是解决数学问题的重要策略，它通过将复杂问题转化为简单问题的组合，使解题过程更加清晰、高效例如，在计算混合运算时，可以先处理括号内的运算，再按运算顺序进行；在处理分数运算时，可以先约分再计算，避免出现过大的分子分母；在处理带有公共因子的表达式时，可以先提取公因子再计算这种思维方式不仅适用于有理数计算，也适用于代数、几何等各个数学领域，是提高解题效率和准确性的关键通过不断练习，可以培养出将复杂问题简化的直觉和能力解题技巧数形结合数轴表示实际模型坐标图示在数轴上直观表示有理数的大小、位置和运算例如，将有理数与实际模型联系起来，如温度计、海拔、盈在坐标系中表示数据和关系，直观展示数学规律例加法可以理解为在数轴上的移动加正数向右移，加亏等例如，温度的升降可以用加减法表示，海拔的如，两点之间的距离可以用绝对值表示，点的移动可负数向左移相反数在数轴上关于原点对称，绝对值高低可以用正负数表示这些实际模型帮助理解抽象以用向量（带方向的量）表示，这些都与有理数的运表示到原点的距离的有理数概念算密切相关数形结合是一种将抽象数学概念与具体几何形象结合起来的思维方法通过将抽象的数学关系转化为直观的图形，或者从图形中发现数学规律，可以加深对概念的理解，提高解题效率在处理有理数问题时，数轴是最常用的几何工具例如，比较两个有理数的大小，可以直接在数轴上观察它们的位置；理解相反数和绝对值，可以通过数轴上点的对称性和距离来把握；进行加减法运算，可以理解为在数轴上的移动数形结合的思想贯穿整个数学学习过程，是培养数学直觉的重要途径解题技巧巧用零的性质加法中的零任何数加0等于它本身a+0=a应用在复杂表达式中，可以巧妙地添加0来重组项，如a-b可以写成a+-b乘法中的零任何数乘以0等于0a×0=0应用在含有因子0的表达式中，可以直接得出结果为0，简化计算除法中的零0除以任何非零数等于00÷a=0（a≠0）任何非零数除以0是没有意义的，不能进行这种运算应用识别包含除以0的无意义表达式，避免计算错误零的幂0的正整数次幂等于00^n=0（n为正整数）0的0次幂和负整数次幂无意义应用在含有0的幂表达式中简化计算零是数学中的一个特殊数，具有许多独特的性质巧妙运用零的性质，可以简化计算，避免错误，提高解题效率例如，在计算复杂表达式时，如果发现其中包含因子0，可以直接判断结果为0；在化简代数式时，可以添加0来重组项；在解方程时，可以将所有项都移到等号一侧，使另一侧为0需要特别注意的是，除数不能为0，这是一个基本的数学原则当解方程或进行分式运算时，一定要检查是否存在除以0的情况，避免得出无意义的结果解题技巧利用等式性质等式的基本性质等式变形等式的应用等式两边同时加上、减去、乘以或除以利用等式性质对等式进行变形，使其更易在实际问题中，利用等式表示数量关系，（除数不为零）同一个数，等式仍然成立于求解或理解常见变形包括合并同类项、建立方程，从而求解未知量这些性质是解方程的基础移项、提取公因子等例如某数的3倍比该数加10大2，可列方例如解方程2x-3=7，可以两边同时加3例如将5x+3=2x-4变形为5x-2x=-4-3，程3x-x+10=2，解得x=6得2x=10，再两边同时除以2得x=5即3x=-7，解得x=-7/3等式性质是数学中最基本、最重要的性质之一，它们贯穿于整个代数学习过程掌握并灵活运用等式性质，是解决代数问题的关键在处理有理数运算时，等式性质帮助我们进行恒等变形，化简复杂表达式，建立和解决实际问题的数学模型需要注意的是，在使用等式性质时，必须确保操作合法，特别是在进行除法时，要确保除数不为零此外，等式性质虽然适用于等式，但不一定适用于不等式（如不等式两边同时乘以负数，不等号方向会改变）中考真题解析

（1）例题1计算例题2求值1-[-2--5]的值为（）若m=-2，n=3，则代数式|m|+m×n的值为（）A.-4B.-2C.2D.4A.-4B.-8C.8D.4解析1-[-2--5]=1-[-2+5]=1-

[3]=-2，故选B此题需注意括号嵌套，先计算最内层括号，解析|m|+m×n=|-2|+-2×3=2+-6=2-6=-4，再逐层向外故选A此题需注意绝对值的计算以及代数式的正确求值顺序例题3判断大小下列各数中，最大的是（）A.-

2.5B.-√5C.-3D.-π解析由于这些都是负数，绝对值越小的数越大|−

2.5|=

2.5，|−√5|=√5≈

2.236，|−3|=3，|−π|=π≈

3.14因此，−√5−

2.5−π−3，故选B中考真题中有关有理数的问题常常考察基本概念和运算规则的掌握程度解题时需要注意运算顺序、正负号处理、绝对值计算等细节针对有理数的计算题，建议采用分步骤计算法，先处理括号内容，再按照乘除、加减的顺序计算，最后得出结果对于代数式的求值问题，要先将具体数值代入表达式，再按照正确的运算顺序计算中考真题解析

（2）例题4温度问题某地一天中气温最高为28℃，最低为-5℃，则该地一天中的温差为（）A.23℃B.33℃C.-33℃D.-23℃2例题5海拔问题解析温差=最高温度-最低温度=28--5=28+5=33℃，故选B甲地海拔为-240米，乙地海拔为360米，从甲地到乙地的高度变化为（）A.-600米B.-120米C.120米D.600米例题6盈亏问题解析高度变化=乙地海拔-甲地海拔=360--240=360+240=600米，故选D某商店连续三天销售某种商品，分别盈利280元、亏损150元和盈利320元，三天共盈利多少元？A.450元B.150元C.750元D.350元例题7时间问题解析三天共盈利=280+-150+320=450元，故选A公元前200年到公元300年共经过了多少年？A.100年B.500年C.300年D.499年解析经过年数=300--200=300+200=500年，故选B注意从公元前1年到公元1年共经过2年中考真题中的应用题通常与实际生活紧密相关，如温度、海拔、盈亏、时间等解题关键是将具体问题情境转化为有理数的运算，特别是理解负数的实际意义，如温度的负值表示低于冰点，海拔的负值表示低于海平面等这类题目不仅考察计算能力，还考察对有理数在实际中应用的理解中考真题解析

（3）例题8科学记数法问题地球到太阳的平均距离约为

1.5×10^8千米，这个距离大约相当于（）A.1500万千米B.

1.5亿千米C.15亿千米D.150亿千米解析

1.5×10^8=

1.5×100000000=150000000=

1.5亿千米，故选B例题9比例问题某种混合饲料按重量比3:2:1混合三种原料，需要配制480千克该饲料，应分别用三种原料多少千克？解析三种原料的比例和为3+2+1=6份，每份重480÷6=80千克，所以三种原料分别用3×80=240千克、2×80=160千克和1×80=80千克解决中考综合题目，首先要明确题目考察的知识点，然后根据具体情境选择合适的解题策略对于有理数的应用题，核心是正确理解问题，建立合适的数学模型，熟练运用有理数的运算规则进行计算有理数在高中数学中的应用代数学有理数是代数运算的基础，高中代数中的多项式系数、方程解、函数值等都可能是有理数函数有理函数是高中重要的函数类型，如fx=2x-1/x+3，其定义域和值域的确定都需要运用有理数知识解析几何坐标几何中的点坐标、直线斜率、方程系数等都涉及有理数运算有理数是高中数学的基础和重要工具在代数学习中，方程、不等式、多项式的运算无不基于有理数的运算规则例如，在解二次方程x²-5x+6=0时，得到的解x=2或x=3是有理数；而解x²-2x-1=0时，得到的解x=1±√2是无理数在函数学习中，有理函数是一类重要的函数类型，它是由两个多项式的商表示的函数确定有理函数的定义域，需要排除使分母为零的点，这涉及有理数的除法规则在解析几何中，点的坐标、直线的斜率、圆的方程等都可能涉及有理数例如，直线斜率k=y₂-y₁/x₂-x₁的计算就是有理数的除法复习要点总结

（1）有理数的概念1有理数是可以表示为两个整数之比（分数形式）的数，其中分母不为零包括整数和分数，可以用分数形式、小数形式或百分数形式表示数轴与有理数2数轴是表示有理数的几何工具，每个有理数对应数轴上唯一的一点数轴上的点到原点的距离等于对应数的绝对值，点在原点右侧表示正数，左侧表示负数相反数与绝对值3两个数互为相反数是指它们的和为零；任何数与其相反数的和等于零一个数的绝对值是指这个数到数轴原点的距离，用符号|a|表示，总是非负的有理数的大小比较4正数大于零，负数小于零，任何正数都大于任何负数两个正数比较绝对值大的更大；两个负数比较绝对值小的更大掌握有理数的基本概念是学习更高级数学内容的基础理解有理数的定义和表示方法，能够在数轴上准确定位有理数，掌握相反数和绝对值的性质，以及正确比较有理数的大小，这些都是初中数学学习的重要内容数轴是理解有理数的重要工具，它将抽象的数概念与具体的几何位置联系起来，帮助我们直观理解数的性质和关系复习要点总结

（2）加减法规则乘除法规则运算顺序同号数相加，符号不变，绝对值相加；异乘法符号规则同号得正，异号得负绝先乘除后加减，有括号先算括号，同级运号数相加，取绝对值大的数的符号，绝对对值部分相乘算从左到右进行值相减除法可转化为乘以一个倒数a÷b=a×1/b，去括号时，若括号前为加号，可直接去掉减法可转化为加上一个相反数a-b=a+-其中b≠0除法符号规则同乘法括号；若为减号，去掉括号后括号内各项b符号都要变号实际应用有理数在温度变化、海拔高度、盈亏计算、时间计算等实际问题中有广泛应用建立数学模型时，需要正确理解问题情境中正负数的含义有理数的运算规则是数学计算的基础加减法可以理解为数轴上的移动，乘除法则涉及方向和比例的变化掌握这些基本规则并熟练应用，是进行复杂计算和解决实际问题的前提在运算过程中，要特别注意符号处理和运算顺序，避免常见错误有理数的知识在实际生活中有广泛应用例如，温度计上的正负温度、地图上的正负海拔、账目中的盈亏记录、历史上的公元前后年份等，都可以用有理数来表示和计算理解这些应用场景，有助于加深对有理数概念的理解，也能够提高解决实际问题的能力结语掌握有理数，为代数学习打好基础成功学习的关键掌握有理数是数学学习的基石持续练习与应用通过丰富的习题巩固知识点建立知识联系将有理数与其他数学概念融会贯通打好基础为后续学习代数、函数等高级内容做准备通过本次复习课程，我们系统地回顾了有理数的概念、运算规则和应用有理数是数学体系中最基础的数集之一，掌握有理数的知识对于后续学习代数、函数、几何等内容至关重要它们不仅是数学计算的基础工具，也是理解和描述现实世界的重要手段希望同学们能够通过这次复习，夯实基础知识，提高计算能力，培养数学思维记住，数学学习是一个循序渐进、不断积累的过程只有打好基础，才能在今后的学习中游刃有余祝愿大家在中考中取得优异成绩，在数学的世界里探索更多奥秘！。