数学上册《中心对称与中心对称图形》复习课课件苏科版

中心对称与中心对称图形复习课欢迎来到中心对称与中心对称图形的复习课在本次课程中，我们将系统地回顾中心对称的基本概念、性质以及在数学和现实生活中的应用中心对称是几何学中一个重要的变换形式，它与我们日常生活中的许多现象和设计密切相关通过本次复习，希望同学们能够巩固对中心对称的理解，提高解决相关问题的能力，并能够在实际生活中识别和应用中心对称原理让我们一起开始这段数学之旅吧！课程目标理解概念掌握中心对称与中心对称图形的基本概念，能够准确描述其定义和特点应用技能学会判断图形是否中心对称，找出对称中心，并能够绘制中心对称图形解决问题能够利用中心对称的性质解决几何问题，理解中心对称在坐标系和函数中的应用实际应用认识中心对称在自然界、建筑和艺术中的实际应用，提高数学思维与审美能力知识回顾轴对称图形轴对称的概念轴对称的示例在学习中心对称之前，我们先回顾一下轴对称的知识轴对称是等腰三角形•指图形沿着一条直线（对称轴）对折，两部分完全重合的特性正方形（有四条对称轴）•对称轴就像一面镜子，图形的一部分是另一部分的镜像圆（有无数条对称轴）•轴对称是我们最早接触的对称形式，在日常生活中非常常见，如字母、、等•T HI蝴蝶的翅膀、人的面部等理解轴对称将有助于我们更好地理解中心对称，并能够比较这两种对称形式的异同轴对称的定义定义要点数学表述如果一个图形沿着一条直线折叠，设直线是平面图形的对称轴，l F两部分能够完全重合，那么这个点和点关于直线对称，当且P Pl图形就是轴对称图形，这条直线仅当线段垂直于，且被平分PP ll叫做对称轴判断方法判断一个图形是否轴对称，可以想象将图形沿着某条直线折叠，看两部分是否完全重合；或者检查图形是否在对称轴两侧呈现镜像效果轴对称是我们理解对称性的基础，掌握轴对称的定义和性质将有助于我们学习中心对称两种对称形式有着紧密的联系，但又有着本质的区别，这将在后续课程中详细讨论轴对称的性质距离保持对称点到对称轴的距离相等，对应点之间的连线垂直于对称轴角度保持对称图形中对应角的大小相等，方向相反形状保持原图形与其对称图形全等，但朝向可能不同对称轴的特性对称轴上的点是其自身的对称点，对称轴平分所有过它的连接对称点的线段理解轴对称的性质有助于我们更好地区分和理解中心对称虽然两种对称形式都保持距离和角度，但它们的几何意义和变换方式有着本质区别在后续学习中，我们将详细比较这两种对称形式中心对称的概念引入平衡对称点反射中心对称体现了一种关于点的平衡，中心对称可以理解为关于一点的反射，图形的各部分相对于中心点均匀分布类似于轴对称中关于一条直线的反射日常例子旋转对称许多自然和人造物体展现中心对称特中心对称可以看作是绕一点旋转性，如天平、雪花晶体、某些花朵等180°的特殊旋转对称中心对称是几何学中另一种重要的对称形式，它与轴对称既有联系又有区别在接下来的学习中，我们将深入探讨中心对称的定义、性质及应用，帮助大家建立系统的理解中心对称的定义基本定义数学表述如果平面上的一个图形绕某一固设点是平面图形的对称中心，O F定点旋转°后，能够与原图形点和点关于点中心对称，当180P P O完全重合，那么这个图形就是关且仅当是线段的中点，即O PP于该点中心对称的，该点称为对且、、三点共线OP=OP P O P称中心理解要点中心对称可以理解为对图形上的每一点，都存在一点，使得连线P P PP经过对称中心，且是的中点O O PP中心对称是一种特殊的点反射变换，图形旋转°后与原图形重合这一概念180与轴对称有明显区别轴对称是关于一条直线的反射，而中心对称是关于一个点的反射理解这一区别对于后续学习至关重要中心对称与旋转的关系中心对称作为特殊旋转中心对称可以看作是绕对称中心旋转180°的特殊情况当一个图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合时，这个图形就是关于该点中心对称的旋转角度的特殊性旋转的角度必须是180°，这使得中心对称成为一种特殊的旋转对称如果旋转其他角度（如90°、120°等）也能重合，那就是旋转对称而非单纯的中心对称点反射的几何意义从几何角度看，中心对称相当于将图形上的每个点映射到点，使得对P P称中心O是线段PP的中点这一变换过程可以通过旋转180°来实现理解中心对称与旋转的关系，有助于我们更直观地把握中心对称的几何意义在图形旋转的过程中，每个点都沿着以对称中心为圆心的圆弧移动到对应位置，形成中心对称图形中心对称点的特征共线性1对称点和与对称中心三点共线，位于线段上P P O O PP等距性2对称点和到对称中心的距离相等，即P P O OP=OP中点性对称中心是连接对称点的线段的中点O PP方向相反从对称中心出发，到达对称点和的方向恰好相反O P P理解中心对称点的特征是掌握中心对称概念的关键在判断点是否中心对称时，我们需要检查以上特征是否满足特别地，对称中心自身是唯一与自己中心对称的点，因为它满足所有对称点的特征条件中心对称图形的定义定义阐述点对应关系如果一个图形绕某一点旋转°后，能180在中心对称图形中，对于图形上的每一点与原图形完全重合，则称该图形关于这一，都存在另一点，使得连线经过2P P PP点中心对称，这一点称为图形的对称中心对称中心且被平分O O平衡性质旋转特性中心对称图形在对称中心的各个方向上表中心对称图形具有旋转°不变的特性，180现出平衡性，这种平衡是通过点的对应关这是判断图形是否中心对称的重要依据系实现的中心对称图形在数学和实际生活中广泛存在理解中心对称图形的定义有助于我们识别实际问题中的对称性，并利用对称性质解决几何问题，简化计算过程常见的中心对称图形常见的中心对称图形包括平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆形、椭圆形、正六边形等在这些图形中，对称中心通常位于图形的几何中心位置值得注意的是，不是所有的多边形都是中心对称的例如，三角形、梯形、一般的五边形等都不是中心对称图形识别中心对称图形的关键是检查图形绕其对称中心旋转180°后是否能与原图形重合实例线段的中心对称原始线段考虑一条线段，它在平面上的位置是固定的AB对称变换选取平面上一点O作为对称中心，将线段AB绕点O旋转180°对称结果得到线段，其中是关于的对称点，是关于的对称点AB A A O B B O线段的中心对称具有以下特点对称后的线段与原线段等长，即；AB AB|AB|=|AB|对称后的线段与原线段平行，即∥，但方向相反；连接对应端点的线段和AB AB AA都通过对称中心，且是这些线段的中点BB O O线段的中心对称是理解中心对称图形的基础，因为任何复杂图形都可以看作是由线段构成的掌握线段的中心对称变换，有助于我们理解和处理更复杂图形的中心对称问题实例正方形的中心对称正方形的特性正方形具有四个等长的边和四个等大的直角对称中心定位2正方形的对称中心是其对角线的交点，也是正方形的几何中心对应点关系3正方形中对角顶点互为中心对称点，相对的边互为中心对称线段正方形是一个完美的中心对称图形当正方形绕其中心旋转180°后，它会与原来的位置完全重合正方形的对称中心是其对角线的交点，通过这个中心点，正方形上的每一点都能找到其对应的中心对称点值得注意的是，正方形不仅是中心对称图形，还是轴对称图形，它有四条对称轴两条对角线和两条中线这表明正方形同时具有中心对称和轴对称的性质，是一种高度对称的几何图形实例圆的中心对称圆心作为对称中心圆上对称点的特点圆弧的中心对称圆的对称中心是其圆心对于圆上的任意一圆上的对称点关系如果、、三点共圆弧关于圆心的对称图形是另一段圆弧特P O P点，绕圆心旋转°后，得到的点仍然在线，且和都在圆上，那么必然是圆心别地，半圆关于圆心的对称图形是另一个半180P P O圆上这是因为到圆心的距离保持不变对于圆上的任意一点，其对称点也在圆上，圆，它们共同构成完整的圆且两点与圆心构成一条直线圆是一个完美的中心对称图形，它不仅关于圆心中心对称，而且关于经过圆心的任何直线都轴对称这种高度的对称性使圆在数学、物理和工程学中具有重要地位实例平行四边形的中心对称对角线交点是对称中心平行四边形的对角线交点是其对称中心对角顶点对应关系2对角顶点互为中心对称点对边的对应关系3相对的边互为中心对称，长度相等且平行平行四边形是一个典型的中心对称图形其对称中心是对角线的交点，也是平行四边形的几何中心当平行四边形绕此点旋转°后，它180会与原来的位置完全重合平行四边形的中心对称性质有很多应用例如，我们可以利用对角线交点将平行四边形分成四个全等三角形，这在许多几何问题的解决中非常有用此外，平行四边形是由中心对称的两对平行边构成的，这一性质在向量加法和坐标几何中有重要应用中心对称的性质（）对应点连线1性质描述数学表述应用价值在中心对称图形中，连接对应点的直线必如果点是点关于点的中心对称点，那这一性质可用于判断两点是否互为中心对P P O定经过对称中心么、、三点共线，且在线段上称点，或者反过来确定对称中心的位置P O P O PP此性质是中心对称最基本的几何性质之一，直接源于中心对称的定义它表明，在中心对称变换中，对应点与对称中心必定共线，这是中心对称区别于轴对称的重要特征在实际应用中，我们可以利用这一性质来寻找未知点的对称点，或者通过已知的对应点来确定对称中心的位置此性质也是解决中心对称相关几何问题的重要工具中心对称的性质（）对称中心平分线段2性质表述对称中心是连接对应点线段的中点数学表达如果是关于的对称点，则是线段的中点，即P P O OPP OP=OP几何意义从对称中心到对应点的距离相等，方向相反应用举例可用于计算对称点坐标或确定对称中心位置这一性质是中心对称的直接推论，也是中心对称定义的另一种表述方式它强调了对称中心在对应点连线上的特殊位置中点，这使得对称中心成为图形的一个平衡点——利用这一性质，我们可以轻松计算对称点的坐标如果₁₁关于₀₀的对称点是₂₂，Px,yOx,yPx,y则有₂₀₁，₂₀₁这在解决坐标几何问题时非常有用x=2x-x y=2y-y中心对称的性质（）全等图形3100%100%形状相同大小相同中心对称变换后，图形的形状完全保持不变中心对称变换后，图形的大小保持不变°180方向变化中心对称变换后，图形的方向旋转180°中心对称变换是一种保持图形大小和形状的刚体变换，它将原图形绕对称中心旋转180°变换后的图形与原图形完全全等，只是空间位置和方向发生了变化这一性质确保了中心对称图形的各部分在大小和形状上的一致性全等性是解决中心对称问题的重要工具通过识别全等图形的对应部分，我们可以推断出对称中心的位置，或者利用已知信息确定未知部分的性质例如，在证明题中，我们常常利用全等性来证明线段长度、角度大小或面积的相等关系中心对称的性质（）对应线段平行或共线4对应线段平行特殊情况对应线段共线如果线段与线段互为中心对称（和分别是和关于当原线段经过对称中心时，对称后的线段与共线，且AB AB A B A B AB O AB AB点的对称点），则∥方向相反O AB AB这是因为中心对称变换可以看作是旋转°，而平行线经过旋转这是平行线段的一种特殊情况，当线段平行于自身时，它们实际180后仍然平行，只是方向相反上是共线的这种情况下，对称变换使线段在同一直线上反向延伸对应线段平行或共线的性质在几何证明和问题解决中非常有用例如，我们可以利用这一性质证明平行四边形的性质对边平行且相等此外，在向量几何中，这一性质对应于向量在中心对称变换下的方向变化规律中心对称的性质（）对应角相等5角度保持中心对称变换保持角的大小不变如果∠与∠互为中心对称（、、分别是、、关于点的对称点），则∠∠ABC ABC A B C A B C O ABC=ABC方向反转中心对称变换使角的方向发生反转顺时针的角变为逆时针，反之亦然这是因为中心对称相当于旋转180°，会改变图形的朝向相似三角形中心对称变换将三角形变为全等的三角形，保持内角大小不变特别地，如果三角形与三角形互为中心对称，则它们全等ABC ABC角度保持是中心对称变换的重要特性之一这一性质保证了中心对称图形在几何形状上的一致性，使得对称后的图形与原图形在结构上完全相同，只是空间位置和朝向发生了变化在解决几何问题时，我们可以利用角度保持性质来分析中心对称图形中的角度关系，简化证明过程例如，在证明平行四边形的性质时，我们可以利用对角相等来证明对角线互相平分的性质练习判断中心对称图形例题平行四边形例题等腰三角形例题正五边形123判断平行四边形是否中心对称，并找出其对判断等腰三角形是否中心对称，并解释原因判断正五边形是否中心对称，并解释原因称中心解析平行四边形是中心对称图形，其对称解析等腰三角形不是中心对称图形若绕解析正五边形不是中心对称图形虽然它中心是对角线的交点可以验证对角顶点互任何点旋转°，无法使三角形与原来位有中心点，但绕此点旋转°后，无法与180180为中心对称点，绕对角线交点旋转°后，置重合三角形只有三个顶点，而中心对称原图形重合正五边形有奇数个顶点，中心180图形与原图形完全重合要求点成对出现对称要求偶数个顶点互为对应练习找出对称中心中心对称与轴对称的区别对比维度中心对称轴对称对称元素关于一个点（对称中心）关于一条直线（对称轴）变换方式绕对称中心旋转180°沿对称轴对折或镜面反射对应点特征对称中心是对应点连线的对称轴垂直平分对应点连中点线变换效果图形整体旋转180°图形左右或上下互换常见例子平行四边形、圆、椭圆等腰三角形、矩形、字母T中心对称和轴对称是两种不同的对称形式，它们在数学定义和几何表现上有显著区别中心对称是关于点的对称，相当于旋转180°；而轴对称是关于线的对称，相当于镜面反射理解这两种对称形式的区别，有助于我们准确识别不同图形的对称特性，并在解题中正确应用相应的性质值得注意的是，有些图形同时具有中心对称和轴对称性质，如正方形、长方形、圆等中心对称与轴对称的联系两轴对称可产生中心对称共同特性如果一个图形有两条相互垂直的对称轴，则1两种对称都保持图形的大小和形状不变，都这两条对称轴的交点是该图形的对称中心是等距变换2复合变换同时具有两种对称性的图形两次轴对称变换的复合等价于一次中心对称某些图形同时具有中心对称和轴对称性质，变换如正方形、长方形、圆等中心对称和轴对称虽然是两种不同的对称形式，但它们之间存在密切联系最重要的联系是对图形进行两次轴对称变换，如果两条对称轴相交，则等价于一次以交点为中心的中心对称变换这种联系在几何变换理论中具有重要意义，它揭示了不同类型对称变换之间的内在关联理解这一联系，有助于我们更深入地理解对称性的本质，并在解决复杂几何问题时灵活运用各种对称变换的性质作图绘制中心对称点确定对称中心在平面上确定对称中心O连接点和对称中心连接原点与对称中心P O延长并量取等距沿方向延长，使PO|OP|=|OP|标记对称点标记对称点，它在线段的延长线上P绘制中心对称点是学习中心对称的基本技能核心原理是对称点与原点在对称中心的两侧，P P O且，三点共线在实际作图中，我们可以借助直尺进行直线延长和距离量测，确保对称点|OP|=|OP|的位置准确掌握中心对称点的作图方法，是进一步学习中心对称图形作图的基础建议同学们多加练习，熟练掌握这一基本技能在后续的学习中，我们将基于这一技能，学习如何绘制更复杂的中心对称图形作图步骤中心对称点验证结果量取等长线段检查、、三点是否共线，且是否P OPO连接点与对称中心从出发，沿着直线的延长线方向，为线段的中点选定对称中心和原点O POPP用直尺连接点和对称中心，形成线段量取与相等的距离，得到点，使PO|OP|P在坐标纸或平面上标记对称中心O和需PO得|OP|=|OP|要作对称的点P在实际操作中，可以使用直尺和圆规来提高作图的精确度一种方法是先用直尺连接和，然后用圆规以为圆心，为半径画圆，圆与直线延长线的交点即为PO O|OP|POP另一种方法是使用坐标如果₁₁关于₀₀的对称点是₂₂，则₂₀₁，₂₀₁在方格纸上作图时，这种方法尤其方便掌握多种Px,yOx,yPx,yx=2x-x y=2y-y方法，可以根据实际情况选择最便捷的作图策略练习绘制中心对称点练习坐标平面中的对称点11在坐标平面上，已知点和对称中心，求点关于的对称点的坐标P3,4O1,2POP练习三角形中的对称点22在三角形中，点是边上的点，点是三角形的重心绘制点关于点的对称点ABC PAB OPOP练习圆中的对称点33已知圆，其圆心为，点在圆上绘制点关于点的对称点，并说明点的位置特点C OP POP P练习复合对称点44点关于点₁的对称点是₁，点₁关于点₂的对称点是₂如果₁和₂的坐标已知，求点POP POPO O关于线段₁₂的中点的对称点POOOP解答提示对于练习，可以使用公式₀，₀计算，得到对于练习和，可以1x=2x-x y=2y-y P-1,023利用直尺和圆规作图对于练习，可以证明₂即为所求的，这反映了中心对称变换的复合性质4PP这些练习有助于加深对中心对称点概念的理解，提高作图技能建议同学们认真完成，并思考每道题目反映的中心对称性质作图绘制中心对称线段确定对称中心1在平面上选取一点作为对称中心O绘制原线段2绘制线段作为原线段AB找出端点的对称点3分别作出点和点关于点的对称点和A B O A B连接对称点4连接点和点，得到线段，即为线段关于点的对称线段A BAB AB O绘制中心对称线段的关键是找出线段两个端点的对称点，然后连接这两个对称点线段的中心对称具有以下性质对称后的线段与原线段等长，且两线段平行（除非原线段经过对称中心）；如果原线段经过对AB AB称中心，则对称后的线段与原线段共线，并在对称中心处延长这一作图方法适用于任意位置的线段，无论线段是否经过对称中心掌握中心对称线段的作图，为学习更复杂的中心对称图形作图奠定基础作图步骤中心对称线段步骤一准备工作准备好直尺、圆规等工具，在平面上标记对称中心和原线段O AB步骤二作端点的对称点A连接点和对称中心，在延长线上找出点，使得A OA|OA|=|OA|步骤三作端点的对称点B连接点和对称中心，在延长线上找出点，使得B OB|OB|=|OB|步骤四完成对称线段连接点和点，得到线段，即为线段关于点的对称线段A BAB AB O在绘制中心对称线段时，可以使用直尺和圆规来提高精度首先用直尺连接端点和对称中心，然后用圆规以对称中心为圆心，以到端点的距离为半径作圆，圆与直线的交点即为对应端点的对称点完成两个端点的对称点后，用直尺连接它们，形成对称线段特别注意，如果原线段经过对称中心，则对称线段与共线，且位于的另一侧这种情AB OAB AB O况下的作图需要特别注意线段的方向练习绘制中心对称线段练习基本作图练习特殊情况12在坐标平面上，已知线段的端点坐标为和，对已知线段，其中点，点，对称中心恰ABA1,2B3,4ABA2,3B4,6O3,

4.5称中心为原点请绘制线段关于点的对称线段，好是线段的中点绘制线段关于点的对称线段，并描O0,0ABOAB AB ABOAB并写出和的坐标述对称结果的特点A B解析点关于原点的对称点坐标为，点关于原点的解析当对称中心是线段的中点时，对称后的线段与原线段AA-1,-2BAB对称点坐标为连接和得到对称线段重合，方向相反点的坐标为，点的坐标为，B-3,-4A BABABA4,6B2,3即和交换，和交换A BBA练习在任意三角形中，以三角形的重心为对称中心，绘制边关于点的对称线段证明这条对称线段平行于三角形的另一3ABC GAB G边AC练习已知正方形，点是边上的任意点，点是正方形的中心绘制点关于点的对称点，并证明点必定位于正方形4ABCD PABOPOPP的边上这反映了正方形中心对称的几何特性CD作图绘制中心对称三角形作图思路基本步骤绘制中心对称三角形的关键是找出原三选定对称中心和原三角形；分别O ABC角形三个顶点的对称点，然后连接这些找出、、关于的对称点、、A B C OA B对称点形成新三角形由中心对称的性；连接、、形成三角形，C A B C ABC质可知，对称后的三角形与原三角形全即为所求的中心对称三角形等，但方向旋转了180°性质分析中心对称三角形与原三角形全等；对应边平行且等长∥，ABC ABC ABAB∥，∥；对应角相等∠∠，∠∠，∠∠BC BCCA CAA=AB=B C=C绘制中心对称三角形是掌握中心对称图形作图的重要一步三角形虽然本身不是中心对称图形（除非退化为线段），但我们可以对任意三角形进行中心对称变换，得到一个新的三角形，这两个三角形共同构成一个关于对称中心的中心对称图形理解三角形的中心对称变换，有助于我们理解更复杂多边形的中心对称性质同时，这也是解决某些几何问题的有力工具作图步骤中心对称三角形标记已知元素在平面上标记对称中心和原三角形的三个顶点O ABC作顶点的对称点A连接和，在延长线上找出点，使A OA|OA|=|OA|作顶点的对称点B连接和，在延长线上找出点，使BOB|OB|=|OB|作顶点的对称点C连接和，在延长线上找出点，使COC|OC|=|OC|连接对称点形成三角形连接、、三点，形成三角形，即为三角形关于点的中心对称三角形ABCABC ABC O在实际作图中，可以使用直尺和圆规提高精度另外，如果使用方格纸或坐标纸，还可以利用坐标计算来确定对称点的位置，即利用公式如果点关于对称中心₀₀的对称点是，则₀，₀Px,y Ox,yPx,y x=2x-x y=2y-y练习绘制中心对称三角形123坐标平面中的三角形特殊位置的对称中心复合变换在坐标平面上，已知三角形的三个顶点坐标分别已知三角形，对称中心是三角形的重心绘制三角形先关于点₁作中心对称变换得到三角形ABC ABCO ABCO为、、以原点为对称中心，三角形关于点的中心对称三角形，并分析这两₁₁₁，再关于点₂作中心对称变换得到三角A1,2B3,4C2,5O ABCOABCO绘制三角形的中心对称三角形个三角形的位置关系形₂₂₂证明三角形₂₂₂可以通过一ABCABCABCABC次中心对称变换由三角形得到ABC解答提示对于练习，利用坐标公式计算对称点坐标、、，然后连接这三点形成三角形对于练习，重心是三角形三条中线的1A-1,-2B-3,-4C-2,-5ABC2交点，作图时先找出重心，然后作出中心对称三角形对于练习3，可以证明这两次中心对称变换的复合等价于绕点O（O是O₁和O₂的中点）旋转360°，即平移变换这些练习有助于加深对中心对称变换的理解，特别是理解中心对称变换的复合性质，这在高级几何中有重要应用作图绘制中心对称多边形确定基本元素选择对称中心和原多边形₁₂OPP...Pₙ绘制对称点2找出每个顶点关于的对称点₁₂OPP...Pₙ连接形成多边形3按顺序连接所有对称点，形成对称多边形绘制中心对称多边形的方法是对原多边形的每个顶点作中心对称变换，然后按顺序连接所有对称点这一过程可以适用于任何多边形，无论其是否具有中心对称性如果原多边形本身具有中心对称性，那么对称中心选在其对称中心时，对称后的多边形将与原多边形重合中心对称多边形具有以下性质对应边平行且等长；对应角相等；整体形状保持不变，但旋转了180°这些性质使得中心对称多边形在几何学、建筑设计和艺术创作中有广泛应用作图步骤中心对称多边形准备工作在平面上标记对称中心和原多边形₁₂的各个顶点OPP...Pₙ作各顶点的对称点对每个顶点Pᵢ，连接Pᵢ和O，在延长线上找出点Pᵢ，使|OPᵢ|=|OPᵢ|按序连接对称点按照₁₂的顺序连接各对称点，形成新多边形PP...Pₙ验证对称性质检查对称点之间的连线是否经过对称中心，对应边是否平行且等长在绘制中心对称多边形时，可以使用直尺和圆规提高精度也可以利用坐标方法，通过计算每个顶点的对称点坐标来简化作图过程值得注意的是，在绘制具有大量顶点的复杂多边形时，保持顶点的连接顺序非常重要，否则可能会产生自交现象对于凸多边形，其中心对称多边形也是凸多边形；对于凹多边形，其中心对称多边形也保持相同的凹凸性质这种形状保持性是中心对称变换的重要特性练习绘制中心对称多边形正方形的中心对称1已知正方形，点不在正方形内部绘制正方形关于点的中心对称图形，并ABCD OABCD OABCD描述新图形与原图形的位置关系不规则五边形2在坐标平面上，已知五边形的顶点坐标分别为、、、、PQRST P1,1Q3,2R4,0S2,-1以原点为对称中心，绘制其中心对称五边形T0,0多边形的自我对称3构造一个中心对称的六边形，使得它关于自身的中心对称变换后仍然与原图形重合解释这ABCDEF种情况的几何意义对称中心在多边形内部4对于一个凸六边形，选取其内部的一点作为对称中心，绘制其中心对称图形讨论对称中心的位置如何影响对称后图形与原图形的重叠情况？解答提示对于练习，当不在正方形内部时，对称后的正方形与原正方形不重叠，形成一对平行的等大正1O方形对于练习，利用坐标公式计算对称点、等对于练习，中心对称六边形可2P-1,-1Q-3,-23以通过在正六边形的基础上适当调整形成，其自身的中心对称性使得旋转180°后仍与原图形重合对于练习，当对称中心位于凸多边形内部时，对称后的图形与原图形必有重叠部分4中心对称在实际生活中的应用建筑设计服装纹样机械设计许多建筑物采用中心服装图案和纺织品设许多机械设备和交通对称设计，如宫殿、计中常见中心对称花工具采用中心对称设寺庙、公共建筑等纹，这种对称美感能计，如车轮、飞机螺这种设计不仅视觉平营造和谐统一的视觉旋桨、船舶等这种衡，还具有结构稳定效果，是时尚设计中对称结构有助于平衡性，能够均匀分布重常用的元素重量和力矩，提高运量和应力行稳定性艺术创作绘画、雕塑和装饰艺术中广泛应用中心对称原理，创造出平衡和谐的艺术效果，体现艺术家对数学美学的追求中心对称在日常生活中的应用极为广泛，它不仅满足人类对美的追求，还能解决许多实际问题理解中心对称的原理，有助于我们更好地欣赏和创造身边的对称美，也能在实际设计和制作中应用这一原理，创造出更加和谐、稳定的作品实例建筑中的中心对称建筑领域是中心对称应用最广泛的领域之一世界各地的经典建筑如泰姬陵、紫禁城、罗马万神殿等都采用了中心对称设计这种设计不仅视觉上平衡和谐，还具有结构上的稳定性和功能上的合理性中心对称在建筑中的应用体现在多个方面平面布局上，建筑常以中轴线为中心进行对称布置；立面设计上，门窗、柱子等元素沿中心点对称分布；内部空间安排上，房间和功能区域呈中心对称排列这种对称美不仅反映了人类对秩序和平衡的追求，也体现了建筑师对数学美学的深刻理解实例自然界中的中心对称动物界的中心对称植物界的中心对称许多海洋生物如海星、海胆等呈现出明显的中心对称特性这种许多花朵从俯视角度展现出中心对称特性，如向日葵、雏菊等对称结构使它们能够向各个方向均匀分布感官和运动能力，适应花瓣围绕花心呈放射状排列，形成中心对称图形复杂的海洋环境某些果实和种子也呈现中心对称结构，如苹果的横截面、向日葵一些昆虫的翅膀图案也表现出中心对称性，如某些蝴蝶和甲虫的的种子排列等这种结构有助于均匀分布养分和提高生长效率翅膀这种对称美不仅有视觉吸引力，还可能与飞行稳定性相关自然界中的中心对称现象反映了生命演化过程中对效率和平衡的追求中心对称结构通常能够在各个方向上均匀分布能量和应力，提高生物体的稳定性和适应性通过观察自然界中的对称现象，我们可以更好地理解数学与自然的内在联系，感受数学之美与自然之美的和谐统一实例艺术中的中心对称曼陀罗艺术伊斯兰几何图案现代抽象艺术源自印度和西藏的曼陀罗艺术是中心对称的代伊斯兰艺术以其复杂的几何图案闻名，其中许许多现代抽象艺术家如康定斯基、蒙德里安等表作这种圆形图案以中心点为基础，向外辐多设计采用中心对称原理这些图案通常以一在作品中探索对称美学中心对称成为构图的射展开，形成复杂而和谐的对称图案曼陀罗个中心点为基础，通过重复和旋转创造出令人重要手段，创造出平衡和谐又富有张力的视觉不仅是艺术品，也是冥想和精神修行的工具眼花缭乱的图形，展示了高超的数学智慧和艺效果，引导观众的视线在画面中流动术才华艺术中的中心对称不仅是形式美的追求，也往往包含深刻的文化和哲学含义中心点象征着世界的核心或宇宙的起源，而围绕它展开的对称图形则反映了人类对和谐、平衡和秩序的向往通过欣赏这些艺术作品，我们可以感受数学与艺术的完美结合，体验跨越文化和时代的美学共鸣中心对称在数学中的应用几何学应用代数学应用中心对称在证明几何定理、解决几何问题中在坐标几何和向量代数中，中心对称提供了有广泛应用，特别是在平行四边形性质证明简洁的变换方法和证明技巧中变换几何函数图像分析中心对称是基本几何变换之一，为研究更复奇函数图像关于原点中心对称，是研究函数杂的变换提供基础性质的重要工具中心对称在数学各个分支中都有重要应用在几何学中，利用中心对称可以简化复杂图形的分析，证明许多几何性质在代数学中，中心对称变换可以用简洁的代数式表示，为解决复杂问题提供便捷工具在函数分析中，函数图像的对称性提供了研究函数行为的重要线索特别是奇函数的图像关于原点中心对称，这一性质在微积分和函数f-x=-fx分析中有重要应用掌握中心对称的数学应用，有助于提高解题能力和数学思维水平应用利用中心对称解决几何问题性质证明图形构造利用中心对称可以证明平行四边形的性利用中心对称可以简化某些图形的构造质，如对角线互相平分、对边平行且相过程例如，已知三角形的一部分，通等等这类证明通常简洁明了，比传统过中心对称可以快速构造出满足特定条方法更加直观件的完整图形问题简化对于具有中心对称特性的问题，可以利用对称性将复杂问题简化例如，计算中心对称图形的面积时，可以只计算一半再乘以2中心对称是解决几何问题的强大工具当我们识别出问题中的中心对称性时，往往可以找到更简洁、更直观的解法例如，在证明平行四边形性质时，利用中心对称可以避免繁琐的角度和距离计算，直接从变换的角度给出证明在实际解题中，建议遵循以下步骤首先识别问题中可能存在的对称性；然后确定对称中心的位置；接着应用中心对称的性质进行推理；最后得出结论通过多做练习，可以提高识别和应用中心对称的能力例题利用中心对称证明题问题描述证明平行四边形的对角线互相平分思路分析利用平行四边形的中心对称性质证明过程3应用中心对称点和对称中心的关系在这个经典例题中，我们要证明平行四边形的对角线和互相平分，即它们的交点是两条对角线的中点利用中心对称的性质，我们ABCD ACBD O知道平行四边形是中心对称图形，其对称中心正是对角线的交点O根据中心对称的定义，和是关于点的一对对称点，和是关于点的另一对对称点由中心对称点的性质，是线段的中点，也是线段A COB D OO ACBD的中点因此，平行四边形的对角线互相平分这种证明方法直接利用中心对称的定义，简洁明了，避免了传统证明中的复杂计算例题解析问题理解确认要证明的是平行四边形的对角线和互相平分，即交点是两条对角线的中点ABCD ACBD O关键性质识别识别出平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线的交点应用中心对称定义应用中心对称的定义对称点连线经过对称中心，且对称中心是连线的中点得出结论由于和、和分别是一对对称点，所以是和的中点，即对角线互相平分A CBDO ACBD这个例题展示了利用中心对称解决几何问题的典型方法首先识别图形的对称性，然后利用对称性质进行推理平行四边形之所以有对角线互相平分的性质，本质上是因为它具有中心对称性，对角顶点互为中心对称点类似地，我们还可以利用中心对称证明平行四边形的其他性质，如对边平行且相等等这种方法不仅简化了证明过程，还帮助我们更深入地理解图形性质的内在联系建议同学们在解题时多尝试从对称性的角度思考，可能会有意想不到的收获练习利用中心对称解题平行四边形的对称性1证明平行四边形的对边平行且相等（提示利用中心对称性质）特殊点的中心对称2已知三角形的重心为，点是平面上的任意点证明点关于的对称点满足向量ABC G PPGP向量PA+PB+PC=PA+PB+PC线段长度关系3在平行四边形中，点是边上的一点，点是关于对角线交点的对称点证明位于ABCD MAB NM ON边上，且CD AM=CN图形面积问题4已知中心对称图形，证明图形被任意经过对称中心的直线分割成的两部分面积相等F F解答提示对于练习，可以利用中心对称变换下对应线段平行且相等的性质直接证明对于练习，可以利12用重心的特殊性质和向量的性质进行证明对于练习，利用中心对称点的性质和平行四边形的性质进行综合3分析对于练习，考虑经过对称中心的直线上的点，分析它们关于对称中心的对称关系4这些练习旨在培养同学们利用中心对称解决几何问题的能力建议在解题过程中注重理解对称性的本质，灵活应用中心对称的各种性质，而不是机械地套用公式中心对称与坐标系坐标表示向量表示在坐标系中，点关于点的中心对称点的坐标为用向量表示，如果向量，则向量这表明中心对称Px,y Oa,b POP=r OP=-r这一公式源于中心对称的定义是线段的中变换在向量意义上相当于取反操作2a-x,2b-y OPP点利用向量表示的中心对称变换，可以简化许多几何问题的分析和当对称中心是原点时，公式简化为点的对称点是计算，特别是在处理复杂图形的变换时0,0Px,y这是坐标几何中最常用的中心对称形式P-x,-y坐标系为研究中心对称提供了强大工具在坐标平面上，我们可以精确计算对称点的位置，分析对称图形的性质，并利用代数方法解决几何问题例如，通过坐标计算可以验证中心对称变换保持距离、角度和面积不变在高中和大学数学中，坐标表示的中心对称变换是研究线性变换的基础之一理解并掌握中心对称的坐标表示方法，对于学习更高级的数学概念如线性代数、解析几何和变换几何都有重要意义坐标平面中的中心对称坐标变换中心对称对称中心原点点0,0a,b点的对称点x,y-x,-y2a-x,2b-y线段变换长度保持，方向相反长度保持，方向相反角度变换大小保持，方向相反大小保持，方向相反面积变换保持不变保持不变变换矩阵先平移后对称再平移回[[-1,0],[0,-1]]中心对称变换在坐标系中可以用简洁的数学公式表示最常用的是关于原点的中心对称，其变换公式为这一变换可以理解为在轴和轴方向上同时取反从线性代数x,y→-x,-y xy角度看，这相当于用变换矩阵乘以坐标向量[[-1,0],[0,-1]]对于关于点的中心对称，变换过程可分解为三步先将对称中心平移到原点，然后执行a,b关于原点的对称变换，最后将结果平移回原位置数学表达为这种x,y→2a-x,2b-y分解方法在复杂变换的分析中非常有用，也是理解更高级变换的基础练习坐标平面中的中心对称中心对称与函数图像奇函数的中心对称性其他函数的对称性奇函数的图像关于原点中心对称这意味着如果偶函数的图像关于轴对称，而不是中心对称例如，f-x=-fx0,0f-x=fx y点在函数图像上，那么点也在函数图像上、等a,b-a,-b fx=x²fx=cosx典型的奇函数包括、、等奇函数图一般函数可能没有明显的对称性，或者关于其他点或线对称通fx=x fx=x³fx=sinx像的中心对称性是研究函数性质的重要工具过坐标变换，可以研究函数关于任意点的对称性函数图像的对称性是研究函数性质的重要手段通过观察函数图像的对称性，我们可以推断函数的奇偶性、周期性等特征例如，如果一个函数的图像关于原点中心对称，那么这个函数一定是奇函数；如果函数是奇函数，那么（如果存在）fx f0=0f0在实际应用中，函数的对称性有助于简化计算和分析例如，对于奇函数，如果我们知道时的函数值，就可以利用对称性直接得到x0时的函数值，无需重复计算这在数值计算和函数逼近中有重要应用x0实例奇函数图像的中心对称性练习判断函数图像的对称性函数图像分析1判断以下函数图像的对称性a fx=x²+1;b gx=x³-x;c hx=|x|;d px=e^x函数组合的对称性2已知是奇函数，是偶函数判断以下函数的对称性fx gxa Fx=fx+gx;b Gx=fx·gx;c Hx=fgx;d Px=gfx特殊函数的对称性3研究以下函数的对称性，并说明其图像关于何点或何轴对称a fx=sinπx;b gx=x-1²+2;c hx=x+2³-3对称性的代数验证4用代数方法验证函数的图像关于原点中心对称fx=x³-3x解答提示对于练习，是偶函数，图像关于轴对称；是奇函数，图像关于原点中心对称；是偶1fx ygx hx函数，图像关于轴对称；既不是奇函数也不是偶函数，其图像没有关于原点或坐标轴的对称性y px对于练习，既不是奇函数也不是偶函数；是奇函数，图像关于原点中心对称；是奇函数；2Fx GxHx Px是偶函数对于练习和，需要利用函数的奇偶性定义进行代数验证，例如对于，验证34fx=x³-3x f-x=-成立，因此它是奇函数，图像关于原点中心对称fx中心对称与图形的面积面积保持不变中心对称变换保持图形面积不变分割平分面积任何经过中心的直线将中心对称图形分成等面积的两部分半区计算法可以计算中心对称图形一半的面积，然后乘以2中心对称与图形面积有着密切关系首先，中心对称变换是一种等面积变换，变换前后图形的面积保持不变这是因为中心对称变换可以分解为旋转和平移，而这两种变换都保持面积不变中心对称图形有一个重要性质任何经过对称中心的直线都将图形分成等面积的两部分这一性质源于中心对称的定义对于图形上任一点，存P在对称点，使得连线经过对称中心且被平分当一条直线经过时，图形中的点可以两两配对，形成等面积的对应区域这一性质在计算P PPOOO中心对称图形面积时非常有用，可以简化计算过程定理中心对称图形的面积分割定理面积计算多边形应用定理任何经过中心对称图形的对称中心的直基于分割定理，计算中心对称图形面积时，可对于中心对称多边形，其面积可以表示为对称线，都将该图形分成面积相等的两部分以先计算一半的面积，然后乘以中心到各边的距离与对应边长的乘积之和的一2半这个定理的直观理解是经过对称中心的直线例如，计算椭圆面积时，可以只计算半椭圆的将中心对称图形上的点两两配对，这些点对关面积然后乘以这种方法在某些情况下可以这一公式源于将多边形分解为多个三角形，并2于直线对称，因此直线两侧的面积必然相等显著简化计算过程利用中心对称性质进行面积计算中心对称图形的面积性质在数学和物理学中有广泛应用例如，在力学中，物体的转动惯量与其质量分布有关，而中心对称物体的转动惯量计算往往可以简化在几何学中，利用中心对称性质可以简化许多复杂图形的面积计算，提供更直观的解题思路练习计算中心对称图形的面积12平行四边形面积椭圆面积已知平行四边形的对角线，已知椭圆的半长轴，半短轴利用中ABCD AC=8cm a=5cm b=3cmBD=6cm，对角线交角为30°利用中心对称性质计心对称性质计算椭圆的面积算平行四边形的面积3六边形面积已知正六边形的边长为利用中心对称性质计算4cm其面积解答提示对于练习，平行四边形的面积等于两条对角线乘积的一半乘以对角线交角的正弦值，即1S=AC·BD·sin30°/2=8·6·

0.5/2=12cm²对于练习2，椭圆的面积公式为S=πab=π·5·3=15πcm²，可以理解为将椭圆分成无数条过中心的细条，利用中心对称性质进行积分对于练习，正六边形可以分解为3个全等的等边三角形，利用中心对称性质简化计算6这些练习旨在培养同学们利用中心对称性质解决面积计算问题的能力中心对称不仅是几何变换的一种，也是简化计算的有力工具通过对这些练习的思考，可以加深对中心对称图形性质的理解，并提高解决实际问题的能力综合应用题中心对称问题描述在平面直角坐标系中，已知点和点点是点关于原点的中心对称点，点是点关于原点的中心对称点A3,4B5,2CAO DBO要求求四边形的面积；证明四边形是平行四边形；求四边形的对角线交点的坐标ABDC ABDC ABDC解题思路利用中心对称的坐标表示和几何性质进行分析和计算这个综合应用题考查了中心对称的坐标表示和几何性质首先，根据中心对称的坐标公式，可以计算出点和点的坐标，接下来，C DC-3,-4D-5,-2可以通过两种方法计算四边形的面积一是利用坐标计算公式；二是证明是平行四边形后利用平行四边形的面积公式ABDC ABDC为证明是平行四边形，可以验证对边平行且相等∥，∥这可以通过坐标计算或利用中心对称的性质（对称点连线经过对称中心且被平ABDCABDC ADBC分）直接证明对角线交点的坐标可以通过解方程组或利用平行四边形对角线互相平分的性质确定为原点这个例题展示了如何综合运用中心对称的各种0,0性质解决实际问题综合应用题解析计算对称点坐标根据中心对称点的坐标公式，，C-3,-4D-5,-2计算四边形面积利用坐标公式计算平方单位S=|AB·AD|=|5-34+2-2-43+-3|=|2·6--2·0|=12证明是平行四边形验证对边平行且相等，，，，由此可知AB=2,-2DC=-2,2AD=-8,-6BC=-8,-6，，故是平行四边形AB=-DC AD=BC ABDC确定对角线交点由平行四边形的性质，对角线交点是对角线的中点计算A+C/2=3+-3/2,4+-，，即对角线交点是原点4/2=0,0B+D/2=5+-5/2,2+-2/2=0,0O这个综合应用题的解析展示了中心对称在坐标几何中的应用当四个点中有两对是关于同一点中心对称的，那么这四个点一定构成平行四边形，且对称中心就是这个平行四边形的对角线交点这一性质可以从中心对称的定义直接推导出来，因为对称点连线必经过对称中心且被对称中心平分通过这个例题，我们可以看到中心对称在解决几何问题中的强大作用它不仅提供了计算坐标的简便方法，还揭示了几何图形之间的内在联系这种思想在高等数学和几何学中有广泛应用，是理解更复杂几何变换的基础复习要点总结基本概念中心对称定义图形绕某点旋转180°后与原图形重合；对称点定义连线经过对称中心且被对称中心平分核心性质对应点连线经过对称中心；对称中心平分连线；对应线段平行等长；对应角相等；绕对称中心旋转180°变换作图技能3中心对称点、线段、三角形和多边形的作图方法和步骤；坐标方法x,y→2a-x,2b-y应用方法几何证明、问题简化、坐标几何应用、函数图像分析、面积计算等方面的中心对称应用技巧本课程系统回顾了中心对称的基本概念、核心性质、作图方法和应用技巧中心对称是初中几何的重要内容，也是高中数学的基础知识它不仅是一种几何变换，还是解决几何问题的有力工具，在坐标几何、函数分析和实际应用中都有重要地位掌握中心对称知识的关键是理解其定义和本质，灵活运用其性质，并通过大量练习提高应用能力建议同学们在复习中注重概念理解和方法应用，将中心对称与其他几何知识点联系起来，形成系统的几何思维这将有助于提高解决复杂几何问题的能力，为后续学习打下坚实基础常见错误分析概念混淆判断失误许多学生容易混淆中心对称和轴对称的概念在判断图形是否中心对称时，常见错误是只中心对称是关于点的对称，相当于旋转180°；检查部分点或边，而没有全面验证所有点对而轴对称是关于线的对称，相当于镜面反射是否满足中心对称条件例如，正三角形看判断时应注意中心对称点连线经过对称中似对称，但实际不是中心对称图形正确做心；轴对称点连线垂直于对称轴法是确认图形上每个点都能找到对应的对称点作图错误作图中的常见错误包括对称点位置不准确，未能保证连线经过对称中心；对称线段长度或方向错误，未能保持平行关系；复杂图形对称时顶点连接顺序混乱克服这些错误需要严格按照作图步骤，并仔细检查结果除了上述常见错误，解题中还存在一些思维误区例如，有些学生认为所有正多边形都是中心对称图形，但实际上只有边数为偶数的正多边形才是中心对称的还有学生误以为图形中心一定是对称中心，但实际上对称中心需要通过严格的几何性质验证要避免这些错误，建议同学们牢固掌握中心对称的定义和性质，在解题过程中全面、严谨地分析问题，养成检查验证的习惯通过理解错误背后的原因，可以更深入地把握中心对称的本质，提高几何思维能力课程总结与展望知识回顾思维提升我们系统学习了中心对称的定义、性质、作图方法1通过中心对称的学习，培养了空间想象能力、逻辑及应用技巧推理能力和数学应用能力未来展望知识衔接中心对称思想将为后续学习复数、线性代数和群论中心对称是连接初中几何与高中坐标几何、变换几奠定基础何的重要桥梁通过本次复习课，我们全面回顾了中心对称与中心对称图形的相关知识从基本概念到性质应用，从作图方法到实际问题解决，我们系统梳理了这一重要的几何变换形式中心对称不仅是初中几何的重要内容，也是高中数学的基础知识，在坐标几何、函数分析和实际应用中都有重要地位希望同学们能够通过本课程的学习，不仅掌握中心对称的基本知识和技能，更能培养几何直观、空间想象和逻辑推理能力，形成良好的数学思维习惯中心对称的学习是一个窗口，通过它可以看到数学之美与生活之美的和谐统一，也可以体会到数学思想在不同领域的广泛应用愿大家在未来的数学学习之旅中继续探索，发现更多数学之美！。