数学上册《函数的图像对称性》课件人教版

函数的图像对称性欢来数图对称课数对称仅迎到函的像性程在学的世界中，性不是一种美学上的数质过习数图对称们享受，更是理解函本特征的重要工具通学函像的性，我能数为简数过够更深入地理解函的行和特性，化函分析的程课将带领数图对称关轴对称关轴本程大家探索函像的三种主要类型于y、于x对称关对称们将习过数断数对称以及于原点我学如何通学表达式判函的性，并应这识问题用些知解决实际课程目标理解函数图像的对称性掌握判断函数图像对称概念性的方法数对称习过数掌握函性的基本定义，学通代和几何两种方法对称数断数对称理解性在学中的重要意判函的性，包括使用识别数进验证过图义，以及如何从几何角度函方程行和通像对称图观识别形察应用对称性分析函数特征对称识简数图绘数关数能够运用性知化函像制，分析函特征，并解决相问题学过这标将数为续习通达成些目，你能够更加高效地分析和理解各类函，后学打下坚础实基函数图像对称性的定义对称的本质数学表达数图对称数图数对称过函像的性是指函像从学角度看，性可以通关线镜关数关来论于某条或某点具有像系函值的等量系表示无当图过关标轴还对称的特性像的一部分通特是于坐是原点的，换数定的映射变后，能够与另一部都可以用函值与自变量的特定们说这图关来分完全重合，我就个像系精确描述对称具有性几何意义对称现为图谐对称们预测性在几何上表形的平衡和和理解性有助于我函数图状简数过像的整体形，化函分析程对称为数仅们绘数图还性作函的重要特征之一，不有助于我快速制函像，能帮助们数内规质我更深入地理解函的在律和性对称的类型36主要对称类型检验方法数图对称对称对称过数进函像主要有三种类型，每种都每种性都可以通特定的代方法行独数现验证有其特的学特征和几何表100%应用范围数对称进所有初等函都可以使用性行分析数图现为关轴对称关轴对称关对称关轴对称函像可以表于y、于x或于原点三种类型于y的性现为数图对称关轴对称现为数图对称关对称体函像左右；于x的性体函像上下；而于原点的性则现为数图过转图体函像通原点旋180°后与原像重合这对称断数质关键对称数掌握三种类型的特征和判方法，是理解函性的不同的性反映了函数图状的不同特性，也决定了函像的基本形关于轴对称的特征y左右镜像点的对应图关轴对称镜则像于y左右完全，如同中影像点a,b存在，点-a,b也必然存在图像特点偶函数特性轴时图关轴对称数数沿y折叠像完全重合于y的函是偶函当数图关轴对称时数对应关轴对称这对称觉现为数图轴为线函像于y，函中任意一点x,y都着另一点-x,y，两点于y种性在视上表函像以y中心，镜关左右部分形成完美的像系关轴对称数质对数这数称为数数数于y的函具有特殊的性于任意的x值，函值fx等于f-x种函被偶函，如二次函y=x²、余弦函y=cosx等都是数典型的偶函关于轴对称的数学表达y关轴对称数满对内这简数断数关轴对称关键于y的函足条件f-x=fx，于定义域的所有x值个洁的学表达式是判函是否于y的条件当们验证数关轴对称时将数换为断数则数关轴对称我需要一个函是否于y，只需函表达式中的x替-x，然后判得到的表达式是否与原函相同如果相同，函于y；如果不同，则数这对称函不具有种性对数将换为数关轴对称这说项数关轴对称例如，于函y=x²，x替-x得到y=-x²=x²，与原函相同，因此y=x²于y也明所有只含有x的偶次幂的多式函都于y关于轴对称的例子y y=x²验证公式f-x=-x²=x²=fx特征点分析关轴对称如点1,1和点-1,1于y视觉表现图抛线状关轴对称像呈物形，于y左右函数性质为数别为典型偶函，定义域和值域分-∞,+∞和[0,+∞抛线关轴对称这数图开抛线顶图关轴对称物y=x²是于y的最典型例子个函的像是一个口向上的物，其点位于原点0,0，像于y左右过观数图们现对关轴对称们纵标终这数关轴对称观现通察函像上的点，我可以发任意一于y的点，如2,4和-2,4，它的坐始相等正是函于y的直体关于轴对称的特征x上下翻转点的对应关系数学表达图关轴对图满像于x上下完全如果点a,b在像上，足条件f-x=-fx的称转镜则图数关轴对称，如同上下翻的点a,-b也在像上函不是于x，这误区像是一个常见关轴对称数图觉现为对称图于x的函像在视上表上下，像的上半部分和下半部分镜关数数图关轴对称对数形成像系在学上，如果函fx的像于x，那么于函上数图的任意一点x,y，点x,-y也一定在函像上关轴对称数数为违数需要注意的是，于x的函实际上不是一个函，因它反了函的对应数关轴对称图定义——每个自变量只能一个函值因此，于x的形通常是由数组关两个不同函成的，或者是某些特殊系的方程关于轴对称的数学表达x函数值取反图则图若点x,y在像上，点x,-y也在像上数学验证将数为图关轴对称图函fx变-fx后，得到的是与原像于x的像函数定义问题严来说关轴对称图数为对应格，于x的形不符合函定义，因一个x值两个y值典型例子关圆关轴对称数系式x²+y²=r²表示的于x，但不是函关轴对称图数关来将数数数于x的形可以用函fx与-fx的系表示如果函fx的所有函值取相反，得数图关轴对称到函-fx，那么fx与-fx的像于x别数关轴对称图单数需要特注意的是，在大多情况下，于x的形无法用个函表示，而是需要用方程或数来圆关轴对称数分段函描述例如，x²+y²=1于x，但它不是一个函关于轴对称的例子x y=|x|函数本身不对称对称图形分析单独绝对数关轴对称数图关轴对称图的值函y=|x|本身不是于x的函y=|x|和y=-|x|的像合在一起才构成于x的形图开这图数组它的像是一个向上口的V形种情况下，形由两个函成，形成一个X形关轴对称图时虑这们关轴对称图单如果要得到于x的形，需要同考y=|x|和y=-|x|两个在个例子中，我可以看到于x的形通常不能用一数数函函表示绝对数关轴对称们时虑数则这数图关轴对称值函y=|x|本身不是于x的，但如果我同考函y=|x|和y=-|x|，两个函的像合在一起构成了于x的图这说数关轴对称图形个例子很好地明了，通常需要两个不同的函才能形成于x的完整形关于原点对称的特征旋转不变性图绕转图像原点旋180°后与原像重合点的对应关系2则点a,b存在，点-a,-b也存在奇函数特性关对称数数于原点的函是奇函关对称数图对称现为数图过转图这对称数图于原点是函像的一种重要类型，它表函像通原点旋180°后与原像完全重合在种性下，函像上对应关对称任意一点x,y都着另一点-x,-y，两点于原点关对称数质对数这数称为数数数于原点的函具有特殊的性于任意的x值，函值f-x等于-fx种函被奇函，如一次函y=x、三次函y=x³、数数数数图过正弦函y=sinx等都是典型的奇函奇函的一个特点是，函像必然经原点关于原点对称的数学表达奇函数的定义式1f-x=-fx验证方法将换为检x替-x，并查得到的表达式是否等于-fx原点特性关对称数图过所有于原点的函像都经原点0,0关对称数满对内这数断数关对称关键数于原点的函足条件f-x=-fx，于定义域的所有x值个学表达式是判函是否于原点的条件，也是奇函的定义式当们验证数关对称时将数换为断则数关对称我需要一个函是否于原点，只需函表达式中的x替-x，然后判得到的表达式是否等于-fx如果相等，函于原点；如则数这对称果不相等，函不具有种性对数将换为关对称这说项数关对称例如，于函y=x³，x替-x得到y=-x³=-x³=-fx，因此y=x³于原点也明所有只含有x的奇次幂的多式函都于原点关于原点对称的例子y=x³函数验证将换为满数x替-x f-x=-x³=-x³=-fx，足奇函定义特征点分析观们关对称关对称察点1,1和-1,-1，它于原点；点2,8和-2,-8也于原点图像特点数图过绕转图函像通原点，且原点旋180°后与原像完全重合函数性质数数三次函y=x³是典型的奇函，其定义域和值域都是-∞,+∞数关对称这数图线过三次函y=x³是于原点的典型例子个函的像是一条S形曲，通原点0,0，关转对称当为时数剧当为负时并且于原点具有旋性x值正，函值随x增大而急增大；x值，函数剧值随x减小而急减小过观数图们现对关对称通察函像上的点，我可以发任意一于原点的点，如2,8和-2,-8，它们横标纵标这数关对称观现的坐和坐的符号都相反正是函于原点的直体判断函数对称性的步骤观察函数表达式特征数结断数组首先分析函表达式的构，判是否含有奇次幂、偶次幂或特殊函合代数验证过数验证检验数满对称数通学方法函是否足性条件f-x=fx（偶函）或f-x=-fx数（奇函）绘制函数图像过绘数图观断数对称认对称通制函像，直判函是否具有性，并确类型特殊点验证选进验证检对应满对称关取特定点行，查点是否足系断数对称骤们过观数结判函性需要系统地遵循上述步首先，我可以通察函表达式的构初步断对称项数数项判可能的性例如，只含偶次幂的多式函可能是偶函；只含奇次幂的多式函数数可能是奇函们进严数验证过较结来认数对称然后，我需要行格的学，通代入-x并比果确函的性最后，绘数图们观验证数对称对数制函像可以帮助我直地函的性，并加深函特性的理解特殊点的验证则为对们结论进认可以作我的一步确步骤观察函数表达式1偶函数的特征表达式奇函数的特征表达式项项数项项数•只含有偶次幂的多式函，如y=x²、•只含有奇次幂的多式函，如y=x、y=x⁴+x²y=x³-x数数•形如fx+f-x的函表达式•形如fx-f-x的函表达式数数•典型偶函y=cosx、y=|x|•典型奇函y=sinx、y=tanx不具对称性的函数时项•同含有奇次幂和偶次幂的多式，如y=x²+x数对数数•某些指、函，如y=e^x、y=lnx没显对称结数•有明构的复合函观数断数对称过数数们断数察函表达式是判函性的第一步通分析函的学形式，我可以初步判函可能对称这骤们缩对称围断具有的性类型一步能够帮助我快速小可能的性范，提高判效率当们数时数项们断数例如，我看到函y=x²+x⁴，由于函只含有偶次幂，我可以初步判它可能是偶函，关轴对称当们数时数项们断于y而我看到函y=x+x³，由于函只含有奇次幂，我可以初步判它可能是数关对称奇函，于原点步骤代入验证2-x1y轴对称验证检则关轴对称代入-x后，查f-x是否等于fx，如果相等于y原点对称验证2检则关对称代入-x后，查f-x是否等于-fx，如果相等于原点3既非y轴也非原点对称满则数数数如果上述两个条件都不足，函既不是偶函也不是奇函进验证断数对称们将数换为对代入-x行是判函性最可靠的方法我需要函表达式中的x替-x，然后得进数简数数数进较数对称到的表达式行代运算和化，最后与原函或原函的相反行比，以确定函的性类型对数数关轴对称例如，于函fx=x²-3x⁴，代入-x得到f-x=-x²-3-x⁴=x²-3x⁴=fx，因此函于y，数对数数关是偶函而于函gx=x³+2x，代入-x得到g-x=-x³+2-x=-x³+2x=-gx，因此函于对称数原点，是奇函这数验证虽时计杂严数证断数对称骤种代方法然有算复，但它提供了最格的学明，是判函性的核心步步骤绘制函数图像3偶函数图像特征奇函数图像特征非对称函数图像数图关轴对称现对称数图关对称现转对称数数图显偶函的像于y，呈左右的形奇函的像于原点，呈旋的既不是奇函也不是偶函的像不具有明态将图轴态将图绕转转对称图状规则这数关如果像沿y折叠，左右两部分会完全形如果像原点旋180°，旋后的的性，像形不类函既不图图轴对称关对称重合典型例子如y=x²、y=cosx等像会与原像完全重合典型例子如y=x³、于y，也不于原点典型例子如y=sinx等y=e^x、y=lnx等绘数图断数对称观过观数图状们观识别数对称验证们过数制函像是判函性的直方法通察函像的形和特征，我可以直地函的性类型，并我通代方法结论得到的绘数图时们数关键来图状过对称来图这仅验在制函像，我可以利用函的点（如零点、极值点等）确定像的基本形，然后通性完善像种方法不可以证数对称还们对数函的性，能加深我函整体特性的理解常见函数的对称性分析y=ax²+bx+c一般形式分析f-x=a-x²+b-x+c=ax²-bx+c与原函数比较fx=ax²+bx+c≠f-x，除非b=0参数影响当仅当时数关轴对称且b=0，函于y图像特征对称轴为轴x=-b/2a，不一定是y数们习数过对称们现这数二次函y=ax²+bx+c是我学中最常见的函之一通性分析，我可以发，类函只有在一项数关轴对称为次系b=0的特殊情况下才具有于y的性，即变y=ax²+c的形式数图抛线对称轴为这对称轴轴抛在一般情况下，二次函的像是一条物，其的方程x=-b/2a，条通常不是y线顶标为抛线关这线对称关轴对称物的点坐-b/2a,f-b/2a，物于条垂直，而不是于y的对称轴y=ax²+bx+c-b/2a1对称轴位置对称轴个数数对称轴项数项数数对称轴二次函的由一次系和二次系决定每个二次函只有一条90°对称轴与x轴夹角对称轴终轴始垂直于x数对称轴轴线为这线抛线图对称轴抛二次函y=ax²+bx+c的是垂直于x的直，其方程x=-b/2a条是物像的，线关这线对称抛线对称轴数项数项数物上任意一点于条的点也在物上的位置由函的一次系b和二次系a共同决定对称轴对数图当时对称轴轴当时对的位置理解二次函的像非常重要例如，b=0，正好是y（x=0）；b≠0，称轴轴对称轴抛线顶标这对数单调偏离y的位置也决定了物点的x坐，于分析函的极值和性有重要意义数对称们绘抛线图数质数关问理解二次函的性有助于我更快地制物像，分析函的性，并解决与二次函相的实际题的对称性y=ax²+c无一次项特点对称性判断1当数没项时数简二次函中有一次，函形式化2为代入-x得到f-x=a-x²+c=ax²+c=fxy=ax²+c4应用价值几何意义3对称简数图绘数图关轴对称抛线利用性可以化函分析和像制函像是一条于y的物当数项为时数图关轴对称标数这抛线对称轴轴抛线二次函不含一次，即形式y=ax²+c，函像于y，是一个准的偶函在种情况下，物的正好是y，物顶轴标为的点位于y上，坐0,c数别抛线开宽当时抛线开数当时抛线开参a和c分影响物的口方向、窄程度和上下位置a0，物口向上，函在x=0处取得最小值c；a0，物口向下，数抛线开抛线开宽函在x=0处取得最大值c|a|的值越大，物的口越窄；|a|的值越小，物的口越的对称性y=ax²常见函数的对称性分析y=ax³+bx²+cx+d三次函数的一般特性特殊情况的对称性数项数图状当数仅项时为时数为三次函y=ax³+bx²+cx+d是一类重要的多式函，其像形三次函含奇次幂，即形式y=ax³+cx，函变奇项数数图穷远数图关对称这过验证取决于各系三次函像通常有两个拐点，在无处的函，像于原点可以通代入-xf-x=a-数增减性与一次函y=ax相同x³+c-x=-ax³+cx=-fx数对称项数数当数仅项时为时数三次函的性取决于其各系在一般情况下，三次函三次函含偶次幂，即形式y=bx²+d，函实际上数数关轴对称关为数为数图关轴对称既不是奇函也不是偶函，因此既不于y，也不于原退化二次函，变偶函，像于y对称点数对称们关数项项数时项项分析三次函的性，我需要注函中奇次幂和偶次幂的存在情况一般的三次函同含有奇次幂和偶次幂，因此不具对称当数仅项仅项时数现对称有性只有在特殊情况下，函含奇次幂或含偶次幂，函才表出性的对称性y=ax³完美的原点对称1纯数标数三次函是准奇函数学验证2f-x=a-x³=-ax³=-fx函数性质3为定义域和值域均-∞,+∞数数项项数项这数图过线关对称数验证函y=ax³是最基本的三次函形式，它不含二次、一次和常类函的像是一条原点的S形曲，于原点从学上，f-x=a-满数x³=-ax³=-fx，足奇函的定义数线状当时时数趋时数趋当时线参a的值影响曲的形和方向a0，x→+∞函值于+∞，x→-∞函值于-∞；a0，情况相反|a|的值越大，曲变化越陡峭；|a|线缓论数图终过关对称的值越小，曲变化越平无a取何值，函像始原点，且于原点纯数应线为应应关对称们这杂三次函在物理学和工程学中有广泛用，例如描述非性系统的行、材料的力-变系等理解y=ax³的性有助于我分析些复系统的特性的对称性y=ax³+bx数项标数数验证满数数图关对称函y=ax³+bx只含有x的奇次幂，是一个准的奇函从学上，f-x=a-x³+b-x=-ax³+bx=-fx，足奇函的定义因此，函像于原点这数图状数当时数导数为图当时数导数为图类函的像形受参a和b的影响ab0，函在原点处的b0，像在原点处向右上方延伸；ab0，函在原点处的b0，像在原点处向数图这关对称右下方延伸函像可能有两个极值点，些极值点于原点对称对数单调图数关对称们数轴负轴质断理解y=ax³+bx的性于分析函的性、极值和像特征非常重要由于函于原点，我只需分析函在正半（或半）上的性，就能推出整个数质这简数过函的性，大大化了函分析的程常见函数的对称性分析y=sinx三角函数定义对称性验证数为对扩单圆满数正弦函定义直角三角形中边与斜边的比值，可展到位上定义f-x=sin-x=-sinx=-fx，足奇函定义函数图像特征应用领域线关对称为为应领现波浪形曲，于原点，周期2π，值域[-1,1]广泛用于物理、工程、信号处理等域，描述周期性变化的象数数标数数验证满数数图关对称这正弦函y=sinx是最基本的三角函之一，它是一个准的奇函从学上，sin-x=-sinx，足奇函的定义因此，正弦函的像于原点一特单圆观单圆对应对应性可以从位定义中直理解点x,y在位上的正弦值sinx，与点-x,-y的正弦值sin-x符号相反，大小相等数图线过关对称数为为数对称们应这数正弦函的像是一条光滑的波浪形曲，原点，于原点函的周期2π，值域[-1,1]了解正弦函的性有助于我理解和用一重要的初等函的对称性y=cosx余弦函数定义数为扩单圆余弦函定义直角三角形中邻边与斜边的比值，可展到位上定义对称性验证满数f-x=cos-x=cosx=fx，足偶函定义函数图像特征线关轴对称为为波浪形曲，于y，周期2π，值域[-1,1]数数标数数验证满余弦函y=cosx是另一个基本的三角函，它是一个准的偶函从学上，cos-x=cosx，数数图关轴对称这单圆观单足偶函的定义因此，余弦函的像于y一特性可以从位定义中直理解点x,y在圆对应对应位上的余弦值cosx，与点-x,y的余弦值cos-x相等数图线数数关余弦函的像也是一条光滑的波浪形曲，但与正弦函不同的是，余弦函在x=0处取得最大值1，且轴对称数为为数数轴单于y函的周期2π，值域[-1,1]余弦函可以看作是正弦函沿x平移π/2个位得到的数对称们数关们现应了解余弦函的性有助于我理解三角函之间的系，以及它在周期性象建模中的用例如，简谐数来们选择对称虑在物理学中，运动可以用正弦或余弦函描述，而它的往往取决于初始条件和性考的对称性y=tanx正切函数定义1tanx=sinx/cosx对称性验证f-x=tan-x=-tanx=-fx函数图像特征连线关对称为多条互不相的曲，于原点，周期π数数数为数验证正切函y=tanx是三角函中的另一个重要函，它定义正弦与余弦的比值tanx=sinx/cosx从学上，tan-x=sin-x/cos-x=-满数数图关对称sinx/cosx=-tanx，足奇函的定义因此，正切函的像于原点数图数连线组线内单调关对称数为数正切函的像由无条互不相的曲成，每条曲在定义域递增，且于原点函的周期π，不同于正弦和余弦函的2π周期正切函数为数数趋穷数图渐线在x=π/2+kπ（k整）处的函值于无，形成了函像的垂直近数对称们应计导数时数数质简计过了解正切函的性有助于我理解其在三角学和几何学中的用例如，在算斜率、角度和，正切函的奇函性常常能化算程对称性在函数分析中的应用简化函数图像绘制确定函数性质对称绘数图图对数数对称质关过断数对称利用性，只需制函像的一部分，就能得到完整像例如，于偶函，函的性与其奇偶性、周期性等性密切相通判函的性，可以快绘对数绘内图数质为进础只需制x≥0部分；于奇函，只需制一个象限的像速确定函的其他重要性，一步分析奠定基简化计算解决实际问题对称简数积导计数对称区领对称内规数对称性可以帮助化函的分、求、求极值等算例如，偶函在间上在物理、工程等域，性常常反映了系统的在律理解函性有助于建积简为区积数问题的分可以化两倍的半间分立学模型，解决实际数对称仅数质问题应识别数对称简计过题对问题质函的性不是一种学性，更是分析和解决的强大工具在实际用中，和利用函的性可以大大化算程，提高解效率，并加深本的理解时数数质数数质对杂关状态时对称例如，在研究电路中的周期信号，正弦函的奇函性和余弦函的偶函性于分解和分析复波形至重要同样，在研究物理系统的平衡，性原理常常能够提供关键的见解应用简化函数图像绘制1利用轴对称性利用原点对称性y对数绘对数绘于偶函fx=f-x，如y=x²、y=cosx，只需制x≥0部分的于奇函f-x=-fx，如y=x³、y=sinx，只需制第一象限部图关轴对称图图关对称图像，然后于y复制即可得到完整像分的像，然后于原点复制即可得到完整像骤骤步步•认数为数•认数为数确函偶函确函奇函•绘图•绘图制x≥0部分的像制第一象限部分的像•轴对称图•对称图利用y性补全像利用原点性补全像数对称简数图绘过过绘数图对称换们利用函的性可以大大化函像的制程通只制函像的一部分，然后利用性原理复制和变，我可以高效地数图这仅节时还绘图得到函的完整像种方法不省间和精力，能提高的准确性数数数对称对称转对称识别这对称简数图除了偶函和奇函外，一些函可能具有其他形式的性，如平移、旋等和利用些性同样可以化函像绘过计应应对称数图径的制程在电子算工具广泛用的今天，理解并用性原理仍然是掌握函像特征的重要途应用确定函数的奇偶性2偶函数判定当仅当时数数且f-x=fx，函fx是偶函奇函数判定当仅当时数数且f-x=-fx，函fx是奇函奇偶函数的性质数关轴对称数关对称偶函于y，奇函于原点函数的奇偶分解数为数数任何函都可以分解一个奇函和一个偶函的和数数质数对称关过断数对称们数函的奇偶性是函的一种重要性，与函的性密切相通判函的性，我可以直接确定函的奇关轴对称数数关对称数数偶性于y的函是偶函，于原点的函是奇函数仅们数图还数积级数开应数对函的奇偶性不有助于我理解函的像特征，在函的分、展等方面有重要用例如，偶函在称区积积数对称区积间[-a,a]上的分等于2倍的[0,a]上的分；奇函在间[-a,a]上的分等于0数为数数₁₂₁数任何函fx都可以表示一个偶函和一个奇函的和fx=f x+f x，其中f x=[fx+f-x]/2是偶函部分，₂数这应f x=[fx-f-x]/2是奇函部分种分解在信号处理和傅里叶分析中有广泛用应用判断函数的周期性3应用分析函数的极值点4偶函数的极值分布奇函数的极值分布导数与对称性的关系对数对数数导数数对称关于偶函fx=f-x，如果x=a是极值点，那于奇函f-x=-fx，如果x=a是极大值点，函的与原函的性有密切系偶这这绝对数导数数数导数数么x=-a也是相同类型的极值点意味着偶函那么x=-a是极小值点，且两个极值的值函的是奇函，奇函的是偶函数关轴对称这数关这质们数规的极值点于y分布，且极值相等相等，符号相反意味着奇函的极值点一性有助于我理解函极值点的分布数对称数简导计过数对称例如，函y=x⁴-2x²在x=±1处都取得极小值-于原点分布例如，函y=x³-3x在x=±1律，并化求算通分析函的性，别们预测质1处分取得极大值和极小值我可以极值点的位置和性数对称对数过对称们数区内质断数内函的性于分析函的极值点具有重要意义通利用性，我可以只分析函在部分域的性，就能推出函在整个定义域简过的极值情况，从而化分析程实例分析y=x²-4x+3函数形式分析2对称性判断数数写来顶数函y=x²-4x+3是一个二次函，可以成y=ax-h²+k的形式确定点代入-x得到f-x=-x²-4-x+3=x²+4x+3≠fx，因此不是偶函对称轴确定顶点计算数对称轴为将数顶标二次函的x=-b/2a=-−4/2•1=2x=2代入原函，得到点坐2,-1数开抛线过们将写为这数顶标为对称轴为显这数二次函y=x²-4x+3是一个口向上的物通配方法，我可以其改y=x-2²-1，表明函的点坐2,-1，x=2然，个函不是偶函数关轴对称，因此不于y数图抛线顶抛线关这线对称当时数单调当时数单调数过函的像是一条物，其最低点即点位于2,-1，且物于x=2条垂直x2，函递减；x2，函递增函的零点可以通解结为方程x²-4x+3=0得到，果x=1或x=3的对称轴y=x²-4x+3标准形式配方转换确定对称轴抛线对称轴y=x²-4x+3y=x²-4x+4+3-4=x-2²-1x=2是物的数对称轴过过将数转为顶对称轴为二次函y=x²-4x+3的可以通两种方法确定一是直接用公式x=-b/2a=--4/2•1=2；二是通配方函化点形式y=x-2²-1，从而确定x=2对称轴这抛线抛线关这线对称抛线关对称轴对称们数x=2是条物的一个重要特征物上的任意一点于条垂直的点也在物上例如，点1,0和点3,0于x=2，它都是函的零点数对称轴们数质单调图对数对称轴将数为数对称了解函的有助于我分析函的性，如性、极值和像特征于二次函，函的定义域分两部分，函在两部分上的变化是的的顶点y=x²-4x+32-10顶点x坐标顶点y坐标判别式对称轴顶标数数的位置决定了点的x坐函在x=2处取得最小值-1b²-4ac=16-12=40，函有两个零点数顶标为顶抛线对开抛线顶数对开抛线顶数二次函y=x²-4x+3的点坐2,-1点是物上的一个特殊点，于口向上的物，点是函取得最小值的点；于口向下的物，点是函取得最大值的点顶标对称轴顶标过将数计数为点的x坐等于的位置，即x=2；点的y坐可以通x=2代入原函算得到f2=2²-4•2+3=-1因此，函的最小值-1，在x=2处取得顶对数状质这数图开抛线关对称当时数单调点的位置于理解函的整体形和性非常重要例如，个函的像是一条口向上的物，其最低点位于2,-1，且于x=2x2，函递减；当时数单调数过顶对称来x2，函递增函的零点可以通点位置和性确定的图像特征y=x²-4x+3实例分析y=x³-3x函数形式y=x³-3x=xx²-3对称性分析2f-x=-x³-3-x=-x³+3x=-x³-3x=-fx关键点分析导数临fx=3x²-3=3x²-1，界点x=±1数数数为数验证数图关函y=x³-3x是一个三次函，它是奇函，因f-x=-fx从代上，f-x=-x³-3-x=-x³+3x=-x³-3x=-fx因此，函像于原点对称为数质们导数临过阶导数当时了分析函的性，我可以求fx=3x²-3=3x²-1令fx=0，得到界点x=±1通二fx=6x可知，x=-1，fx0，数该当时数该函在点取得极大值；x=1，fx0，函在点取得极小值数过数图轴函的零点可以通解方程x³-3x=0得到，即xx²-3=0，解得x=0或x=±√3因此，函像在三个点处与x相交0,

0、-√3,0和√3,0的对称性y=x³-3x奇函数特性原点对称1数满数数图关对称函y=x³-3x足f-x=-fx，是奇函2函像于原点0,0简化分析4图像特点3数区质对称数图过转对称只需分析函在x0域的性，然后利用性函像必然通原点，且具有旋性数对称对关过验证们该数数图关对称这数图函y=x³-3x的性分析理解其整体特征至重要通f-x=-fx，我确定函是奇函，其像于原点意味着，如果点a,b在函像上，那么点-a,-b也数图在函像上数数质带来数图过数对称区积为数开项对称们数函的奇函性了几个重要特征函像必然通原点；函在间[-a,a]上的定分零；函的泰勒展式只含有奇次幂利用性，我只需要分析函在正半轴质断数质上的性，就能推出整个函的性们数对称数数对称数这对称简例如，我已经知道函在x=1处有极小值，由性可知，函在x=-1处有极大值同样，函在x=√3处有零点，由性可知，函在x=-√3处也有零点种性大大化了数过函的分析程的图像特征y=x³-3x极值点分析零点分析数当时数为数过函的极值点位于x=±1处x=1，函值f1=1-3=-2，是函的零点可以通解方程x³-3x=0得到，即xx²-3=0，解得x=0当时数为极小值；x=-1，函值f-1=-1+3=2，是极大值或x=±√3这关对称数数质数图轴两个极值点于原点，反映了函的奇函性函像在三个点处与x相交0,

0、-√3,0和√3,0零点现数对称的分布也体了函的性数图线关对称数时趋势区内为则项函y=x³-3x的像是一条S形曲，于原点函在x→±∞的与y=x³相同，但在有限域的行受到-3x的影响为过别其主要特征可以概括通原点0,0；在x=±1处分有极小值点和极大值点；在x=±√3处有零点数单调过导数当时数单调当函的性可以通确定x-1或x1，函递增；-1数这们绘数图数区为这数来了解函的些特征，有助于我准确制函像，并分析函在不同域的行例如，个函可以用建模某些物理系统中的非线现弹应性象，如簧振动中的硬化效的零点分析y=x³-3x1因式分解x³-3x=xx²-3=02求解方程x=0或x²-3=03零点确定x=0或x=±√34零点的几何意义数图轴标为函像与x的交点坐0,

0、√3,0和-√3,0数图轴对数过们零点是函像与x的交点，也是方程fx=0的解于函y=x³-3x，零点可以通解方程x³-3x=0求得我可以将为方程因式分解xx²-3=0，从而得到x=0或x²=3，即x=0或x=±√3这将轴为区区内数区三个零点x分四个域x-√

3、-√3√3在相邻域，函值的符号相反具体地，在x-√3和0√3域内数为，函值正数对称数数图过关对称零点的分布也反映了函的性零点x=0是由于函是奇函，其像必然通原点；而零点x=±√3于原点，这数们数图状规是奇函的典型特征理解零点的分布有助于我把握函像的整体形和变化律实例分析y=|x-2|+1函数分段表达将绝对数写当时当时值函成分段形式x≥2，y=x-2+1=x-1；x2，y=-x-2+1=3-x对称性分析数数数对称图关对称函不是奇函也不是偶函，但存在平移性像于点2,1具有性关键点确定数标为函在x=2处有拐点，坐2,1图像特征分析数图单单函像呈V形，向上平移1个位，向右平移2个位数绝对数单函y=|x-2|+1可以看作是基本值函y=|x|的平移先向右平移2个位得到y=|x-2|，再向上平单这数图顶移1个位得到y=|x-2|+1个函的像是一个V形，其点位于2,1为数们将写当时当时数了更深入地分析函，我可以其成分段形式x≥2，y=x-1；x2，y=3-x函导数数单调单调在x=2处的不存在，形成一个拐点函在-∞,2上递减，在2,+∞上递增数为数没当时数趋穷过函的最小值1，在x=2处取得函有最大值，x→±∞，函值也于无大通分析数这们绘图数区为函的些特征，我可以准确制其像，并理解函在不同域的行的对称性y=|x-2|+1不具备标准对称性点对称性平移变换数数图关现该数过对函y=|x-2|+1既不是奇函函像于点2,1呈函可以通基本函数数关对称这绝对数进换也不是偶函，不于y局部性，是值y=|x|行平移变得到轴对称数或原点函的特征数关标轴标对称说满函y=|x-2|+1不具备于坐或原点的准性具体地，它既不足f-数满数这过进验证x=fx（偶函），也不足f-x=-fx（奇函）可以通代入-x行f-x=|-x-2|+1=|-x+2|+1=|x+2|+1，它既不等于fx=|x-2|+1，也不等于-fx=-|x-2|+1尽数对称图关对称这管如此，函仍具有一种特殊的性像于点2,1具有局部性意味将数图绕转则图这对着，如果函像点2,1旋180°，像的一部分会与另一部分重合种称绝对数数关性是值函的特征，与函在x=2处的拐点有数这对称们数图状理解函的种特殊性，有助于我准确把握函像的形和特征例如，函数侧线侧线在点2,1的左是段y=3-x的一部分，在点2,1的右是段y=x-1的一部分，这线关对称两条段于点2,1的图像特征y=|x-2|+1数图函y=|x-2|+1的像有以下主要特征数图绝对数过换单单

1.函像呈V形，是基本值函y=|x|经平移变得到的具体地，先向右平移2个位，再向上平移1个位数标为这数导数导图现

2.函在x=2处有一个拐点，坐2,1在一点，函的不存在，致像出一个尖角数为数没时数趋穷

3.函的最小值1，在x=2处取得函有最大值，x→±∞，函值也于无大数区单调区单调

4.函在-∞,2间上递减，在2,+∞间上递增数为数当时当时

5.函可以表示分段函x≥2，y=x-1；x2，y=3-x函数对称性的综合练习1判断函数y=x⁴-2x²的对称性数数对称分析函表达式，确定函的类型2判断函数y=e^x的对称性数数对称研究指函的特性3判断函数y=lnx的对称性对数数对称质探索函的性4判断函数y=1/x的对称性数对称分析反比例函的特性数对称综练习养断数对称过这练习对函性的合旨在培学生分析和判不同类型函性的能力通些，学生可以加深数对称对数质函性概念的理解，提高函性的分析能力进这练习时议观数结断对称在行些，建采用系统的分析方法首先察函表达式的构，初步判可能的类型；然后进数验证检数满对称过绘数图观验证断结行代，查函是否足性的定义条件；最后，可以通制函像直地判果过这综训练仅断数对称还数为为进通种合，学生不能够掌握判函性的技巧，能够理解不同类型函的特性和行，习数质应坚础一步学函的性和用打下实基练习判断的对称性1y=x⁴-2x²代数验证法观察法将换为数项这数x替-x函y=x⁴-2x²中只含有偶次幂x⁴和x²，是偶函的特征将数写为这数数f-x=-x⁴-2-x²=x⁴-2x²=fx可以函改y=x²x²-2，仍然表明函中x的指都是数数数数图关轴对偶，是偶函的特征由于f-x=fx，所以函y=x⁴-2x²是偶函，像于y称数数数项过数验证将换为数函y=x⁴-2x²是一个四次函，从其表达式可以看出，函只含有偶次幂通代，x替-x后得到的表达式与原函相同，证该数数图关轴对称明函是偶函，像于y数图对称线过导数临临函的像是一条非的W形曲通求可以确定函的界点fx=4x³-4x=4xx²-1，令fx=0得到界点x=0和x=过阶导数断数关轴对称关轴对称±1通二可以判，点0,0是极大值点，点±1,-1是极小值点由于函于y，极小值点1,-1和-1,-1于y数对称们数数关轴对称们质断数理解函的性有助于我分析函的整体特征例如，由于函于y，我只需分析x≥0部分的性，就能推出整个函质简过的性，从而化分析程练习判断的对称性2y=e^x代数验证函数特性将换为数数图x替-x f-x=e^-x=1/e^x≠e^x指函y=e^x的像是一条向右上方延伸线为=fx，且f-x=1/e^x≠-e^x=-fx的曲，在x=0处取值1数数数内数因此，函y=e^x既不是偶函也不是奇函函在整个定义域是增函，即随着x值的数关轴对称关对称数单调，既不于y也不于原点增大，函值递增特殊对称性尽数标对称数关管函y=e^x不具有准的性，但它与函y=e^-x之间存在系e^x•e^-x=1这数图数图关轴对称意味着函y=e^x的像与函y=1/e^x的像于x数数数图关标轴标对称过指函y=e^x是一个非常重要的初等函，其像不具有于坐或原点的准性通数验证们现数时代，我发f-x=e^-x≠e^x=fx，因此它不是偶函；同，f-x=e^-x≠-e^x=数-fx，因此它也不是奇函尽数数数数关说单管如此，指函与其倒函y=e^-x=1/e^x之间存在特殊系具体地，在位正方形y内图图关线对称这数质=x=1，y=e^x的像与y=e^-x的像于直y=x一特性源于函的性e^x•e^-x=1练习判断的对称性3y=lnx0,+∞-∞,+∞函数定义域函数值域对数数数对数数数函只在正实上有定义函可以取任意实值1特殊点数为函在x=1处的值0对数数为这数时数关函y=lnx的定义域0,+∞，意味着函只在x0有定义由于函的定义域不是于对称区数数数这过数原点的间，因此函既不可能是奇函，也不可能是偶函一点可以通函的定义直接断进数验证判，无需行代尽对数数标对称数数关们图关线管函不具有准的性，但它与指函y=e^x之间存在特殊系它的像于直对称这为对数数数数数则y=x是因函是指函的反函，即如果y=e^x，x=lny对数数图负穷开缓线数为负函的像是一条从无始，慢上升的曲函在x=1处取值0，在x1处取值，数图渐线当时数趋负穷在x1处取正值函的像有一条垂直近x=0，x接近0，函值于无练习判断的对称性4y=1/x代数验证特殊性质满数数内没标轴为渐线f-x=1/-x=-1/x=-fx，足奇函定义函在定义域有零点，有两条坐作近123图像特点线关对称双曲，位于第

一、三象限，于原点数为过数验证满数数数图关对称反比例函y=1/x的定义域x≠0，即R\{0}通代，f-x=1/-x=-1/x=-fx，足奇函的定义因此，函y=1/x是奇函，像于原点数图线组数内连续断为数没数函的像是一条双曲，由两个分支成一个分支位于第一象限，另一个分支位于第三象限函在定义域处处，但在x=0处有一个间点，因函在此处有定义函图渐线轴轴的像有两条近x y=0和y x=0数数关对称数质时这们数为数为这对称由于函是奇函，具有于原点的性，因此在分析函性可以利用一特性例如，如果我知道函在点a,b处的值b，那么函在点-a,-b处的值-b种性在数图绘数质函像制和函性分析中非常有用函数对称性在实际问题中的应用优化问题应用信号处理应用问题对称们工程学应用在优化中，性可以帮助我找到最数术对称数对称轴物理学应用在信号处理中，奇偶函分解是基本技之优解例如，函的极值往往在计对称简计简对称在工程设中，性常用于化算和提一，可用于化信号的分析和处理傅里叶或中心附近对称对称结应数对称在物理学中，性原理是基本原理之一高效率例如，构的力分析、振动分析中的正弦和余弦函也利用了性许对称数来数对称简多物理量和物理定律都可以用函分析等可以利用函性化描述，如能量守恒、动量守恒等数对称问题应对称关对称简结计对称函性在实际中有广泛的用在物理学中，性与守恒律密切相，如能量守恒、动量守恒等；在工程学中，性可以化构分析和设；在信号处理中，性可以编码传优化信号的和输应数对称仅简计过还们现问题质内规问题时识别对称关键理解和用函性，不可以化算程，能帮助我发的本特征和在律在解决实际，系统中的性是找到优雅解决方案的之一应用案例抛物线运动物理模型对称性分析应用价值抛轨抛线轨关铅线对称这抛线对称预测抛轨在无空气阻力的情况下，体运动的迹是一物迹于最高点的垂，是二理解物的性有助于体的运动抛线数为数对称将为计条物其位置函可以表示水平位置次函的基本性水平位置t表示垂直迹，算射程和最大高度例如，在同一初速₀₀数为时xt=v cosθ•t，垂直位置yt=v sinθ•t-位置的函，得到y=ax²+bx+c形式的二次函度下，发射角度45°射程最大；发射角度₀数对称轴对应抛为时这结论½gt²，其中v是初速度，θ是发射角度，g是，其于体到达最大高度的位置θ和90°-θ，射程相等些都可以过数对称来释重力加速度通函性解抛线数对称应抛轨抛线数为数过这物运动是函性在物理学中最典型的用之一在理想条件下，体的运动迹是一条物，其学模型二次函通分析个函数对称们许结论的性，我可以得出多有用的应用案例简谐运动应用案例电路中的对称波形正弦波方波数数数数奇函，用于交流电的基本波形可以是奇函或偶函，用于字信号锯齿波4三角波对称时数数线扫非波形，用于基电路可以是奇函或偶函，用于性描对称对称仅计还频谱在电子电路中，各种周期性信号波形的性有着重要的意义信号的性不影响电路的设和分析，决定了信号的特性和能量分布标数图关对称这对称频谱没谐传为谐例如，正弦波是准的奇函，其像于原点种性使得正弦波的只含有基波分量，有波分量，是输中的理想波形而方波可以表示多个奇次关对称这频谱谐没谐波的叠加，其波形于特定点，决定了其中只含有奇次波，有偶次波对称数开项数开项这简了解波形的性有助于信号处理和电路分析例如，在傅里叶分析中，偶函的傅里叶展只含有余弦，奇函的傅里叶展只含有正弦一特性可以化信号的过计分析和处理程，提高电路设的效率高级话题复合函数的对称性复合函数形式奇偶性规则典型例子数∘对称数数数数数数数复合函hx=f gx=fgx，其性取决偶函与偶函复合得到偶函，奇函与奇函sinx²是偶函，sin²x是偶函，|sinx|是偶对称数数数数数于f和g的性复合得到奇函，奇函与偶函复合得到偶函函数对称级话题数组对称规数数对称对复合函的性是一个更高的，涉及到函合后性的变化律设fx和gx是两个函，复合函hx=fgx的性取决于f和g各自的称组性和合方式数规则复合函的奇偶性遵循以下数数数数则数数为数

1.偶函与偶函的复合是偶函如果f和g都是偶函，fgx也是偶函例如，cosx²是偶函，因cosx和x²都是偶函数数数数则数数为数

2.奇函与奇函的复合是奇函如果f和g都是奇函，fgx也是奇函例如，sinsinx是奇函，因sinx是奇函数数数数数则数数为数数

3.奇函与偶函的复合是偶函如果f是奇函，g是偶函，fgx是偶函例如，sinx²是偶函，因sinx是奇函，x²是偶函数数数数数则数数为数数

4.偶函与奇函的复合是奇函如果f是偶函，g是奇函，fgx是奇函例如，cosx³是奇函，因cosx是偶函，x³是奇函高级话题参数方程的对称性参数方程定义对称性判断数数标组数关轴对称将换为数为参方程是用参t表示坐x和y的方程x=ft,y=gt参方程于y如果t替某个函φt后，x变-x，y保持不变，线数图对称则线关轴对称描述的曲不一定是函像，但同样可以具有性曲于y数对称断数数换标关轴对称将换为数为参方程的性判方法与普通函不同，需要分析参变下坐于x如果t替某个函φt后，x保持不变，y变-y，规则线关轴对称的变化律曲于x关对称将换为数为为于原点如果t替某个函φt后，x变-x，y变-y，则线关对称曲于原点数对称内显数数杂线圆椭圆线这参方程的性是几何学和分析几何学中的重要容与式函y=fx不同，参方程可以描述更复的曲，如、、螺等，些曲线对称可能具有多种性圆数对称关轴对称将换为例如，的参方程x=rcost,y=rsint具有多种性于x（t替-t，得到x=rcos-t=rcost=x,y=rsin-t=-rsint=-y）；关轴对称将换为关对称将换为于y（t替π-t，得到x=rcosπ-t=-rcost=-x,y=rsinπ-t=rsint=y）；于原点（t替t+π，得到x=rcost+π=-rcost=-x,y=rsint+π=-rsint=-y）数对称们绘杂线问题数理解参方程的性有助于我分析和制复曲，解决几何，以及在物理学和工程学中建立参模型高级话题隐函数的对称性隐数关隐数为显数隐数图杂闭线线这图对称函是由系式Fx,y=0含定义的函，它不一定能表示式函形式y=fx函的像可能更复，包括合曲、交叉曲等，些形同样可以具有性隐数对称断函的性判方法如下关轴对称将换为则图关轴对称椭圆关轴对称

1.于y如果x替-x后，方程F-x,y=0等价于原方程Fx,y=0，像于y例如，方程x²/a²+y²/b²=1于y关轴对称将换为则图关轴对称线关轴对称

2.于x如果y替-y后，方程Fx,-y=0等价于原方程Fx,y=0，像于x例如，双曲方程x²/a²-y²/b²=1于x关对称将换为换为则图关对称线关对称

3.于原点如果x替-x，y替-y后，方程F-x,-y=0等价于原方程Fx,y=0，像于原点例如，双曲方程xy=c于原点函数对称性的总结关于y轴对称关于x轴对称对应数对应数数12于偶函f-x=fx，如y=x²、y=cosx、不于函，而是两个不同函，如y=±√1-y=|x|x²图对称轴时图对称轴时像左右，沿y折叠两部分完全重合像上下，沿x折叠两部分完全重合关于原点对称其他对称性对应数于奇函f-x=-fx，如y=x³、y=sinx、对称转对称轴对称包括平移、旋、等y=tanx3杂数线组对称图转对称绕转图更复的函和曲可能具有合性像旋，原点旋180°后与原像重合数对称数数内结规过课习们对称关轴对函性是学中一个重要的几何特性，它反映了函的在构和变化律通本程的学，我掌握了三种基本的类型于y称数关轴对称数质关对称数（偶函）、于x（不是函的性）和于原点（奇函）数对称仅们绘数图还数应挥过断数对称们简函的性不有助于我理解和制函像，在函分析、物理建模和工程用中发着重要作用通判函的性，我可以计过预测数为现规化算程，函的行，并发潜在的模式和律对称性判断的关键点代数验证是基础过将换为检数满数数断数对称严通x替-x，查函是否足f-x=fx（偶函）或f-x=-fx（奇函）的定义条件，是判函性最格的方法函数结构提供线索项数项数数项数数时项数多式函中，只含偶次幂的函是偶函，只含奇次幂的函是奇函，同含有奇次幂和偶次幂的函既不是奇函数数也不是偶函特殊函数要特别注意数对称数数数数数一些特殊函有固定的性如sinx是奇函，cosx是偶函，tanx是奇函，e^x既不是奇函也不是偶函复合数对称别函的性需要特分析图像验证是辅助手段过绘数图观关轴对称观验证数对称图绘图通制函像，察其是否于y或原点，可以直地函的性但像分析可能受到精度的限制，不应为断作唯一判依据断数对称时关键严数验证过数认数满对称在判函性，需要注意以下点首先，格的学是必不可少的，通代运算确函是否足性的定义数结线仅观断图为验证条件；其次，函的表达式构可以提供有用的索，但不能凭表达式的外做出判；最后，像分析可以作手段，但应数结与代分析合使用对杂数尝试为简单数组对称组规对数数数于复函，可以分解函的合，然后分析各部分的性及其合律于含参的函，需要分析参取不时数对称这关键们断数对称错误同值函的性变化理解些点，有助于我准确判函的性，避免常见常见错误和误区1混淆对称轴与y轴误区认为数关轴对称数时关轴对所有二次函都于y实际上，一般形式的二次函y=ax²+bx+c只有在b=0才于y称则对称轴为，否其x=-b/2a2将x轴对称误认为函数性质误区认为关轴对称数图关轴对称满数为存在于x的函实际上，如果一个形于x，它就不足函的定义，因一个x对应值两个不同的y值3只看函数式结构，不进行验证误区仅数观断对称过进数验证认数满对称凭函表达式的外判性正确做法是通代入-x并行代，确函是否足性的定义条件4忽略定义域的限制误区断对称时数数关对称则数在判性忽略函的定义域实际上，如果函的定义域不是于原点的集合，函既不可数数能是奇函也不可能是偶函习数对称过误区错误数对称轴轴认在学函性的程中，学生常常会遇到一些和理解其中最常见的是混淆二次函的与y，为抛线关轴对称数关轴对称所有物都于y实际上，只有形如y=ax²+c的特殊二次函才于y误区将关轴对称图误认为数数数关对应另一个常见是于x的形函在学中，函是一种特殊的系，它要求每个自变量只一个数关轴对称图违这数数组图函值于x的形必然反一要求，因此它不是函，而是由两个不同函合而成的形进一步学习的建议拓展阅读关数对称级内对称论对称对称探索更多于函性的高容，如微分方程中的性、群与性、物理学中的性原理等解题实践过数对称问题应通解决各种类型的函性，提高分析能力和用能力联系其他知识将数对称数来数单调函性与其他学概念和物理概念联系起，如函的性、周期性、傅里叶分析等使用数学软件软数对称态借助GeoGebra、Mathematica等件，探索函性的可视化表示和动变化对习数对称议习杂数对称于希望深入学函性的学生，建从以下几个方面拓展学首先，可以研究更复函类型的性，如分数数数对称积应对称简积计级数段函、超越函、特殊函等；其次，可以探索性在微分中的用，如利用性化分算、分析收敛习对称应对称结计性等；再次，可以学性在物理学和工程学中的用，如守恒定律、构设等习过议结论习践应练习题尝试问题现数软辅在学程中，建合理学和实用，多做，用不同方法解决同一，并借助代学件助时阅读关数对称历数贡这理解和探索同，可以相的学史料，了解性概念的史发展和重要学家的献，有助于形成更全面数的学视野课程回顾与总结对称性的定义数图关轴对称关轴对称关对称函像于y、于x或于原点判断方法数验证观数结绘图代、察函构、制像3典型函数分析项数数数对数数多式函、三角函、指函等应用价值4简数问题现化函分析、解决实际、理解物理象过课习们数图对称断应们对称通本程的学，我系统地掌握了函像性的基本概念、判方法和用我了解了三种主要的类型关轴对称对应数关轴对称数质关对称对应数们数于y（于偶函）、于x（不是函性）和于原点（于奇函），以及它的学表达式和几何意义们习断数对称数验证数结图观过数对称我学了判函性的系统方法，包括代、函构分析和像察通分析多种典型函的性，项数数数对数数们对数质们还讨数对称简数图如多式函、三角函、指函等，我加深了函性的理解我探了函性在化函像绘数质问题应制、确定函性和解决实际中的用数对称数仅们应数还们现函性是学中一个优美而强大的概念，它不有助于我更好地理解和用函，能帮助我发自然界和人对称过课习们养对数赏习类活动中的美希望通本程的学，同学能够培学的兴趣和欣能力，并能在今后的学和工作中灵数对称识活运用函性的知。