正余弦定理综合练习题课件

正余弦定理综合练习题欢迎学习正余弦定理综合练习课程正余弦定理是三角学中的重要内容，它们为我们解决三角形问题提供了强大工具本课程将带领大家通过系统的练习，掌握这些定理的应用技巧，提高解决几何问题的能力通过本课程的学习，您将能够熟练运用正弦定理和余弦定理解决各类三角形问题，包括基础应用、综合应用和实际问题无论是准备考试还是应用于实际问题，这些技能都将为您带来帮助课程概述正弦定理和余弦定理的本课程的学习目标重要性通过本课程学习，同学们将能正余弦定理是解决一般三角形够灵活运用正余弦定理解决各的基本工具，为我们提供了处类三角形问题，提高数学分析理非直角三角形计算的重要方能力和空间思维，为后续学习法掌握这些定理对于高等数和应用打下坚实基础学学习和实际应用都具有奠基性作用课程内容安排本课程包含张幻灯片，内容涵盖理论回顾、基础练习、综合练习、实60际应用、高考真题分析、常见错误及纠正方法、解题技巧及挑战题等多个方面正弦定理回顾公式表述适用条件使用场景在任意三角形ABC中，各边与其对角正适用于所有三角形求解三角形中未知的边或角弦值的比相等已知条件通常包括一边和两角，或两特别适合已知一边和两角，求其余边的a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R边和其中一边的对角情况其中为三角形的外接圆半径R余弦定理回顾公式表述a²=b²+c²-2bc·cosA1完整形式a²=b²+c²-2bc·cosA2b²=a²+c²-2ac·cosBc²=a²+b²-2ab·cosC适用条件与使用场景适用于所有三角形3已知三边求角，或已知两边及其夹角求第三边是勾股定理的推广，当时，简化为勾股定理A=90°正余弦定理的应用解决三角形问题在实际生活中的应用正弦定理主要用于已知一边和两角，或两边和一个对角的情况导航与测量用于确定距离和方位，GPS定位系统的基础计算通过正弦定理，我们可以求出三角形中的未知边长或角度建筑工程计算结构的角度、长度和稳定性余弦定理则适用于已知三边求角，或已知两边及其夹角求第三边物理学计算力的分解和合成，如风向对船只航行的影响的情况它是勾股定理的推广，能够解决任意三角形的问题天文学计算天体之间的距离和角度关系练习题类型概览综合应用题需要结合多个定理解决与三角函数、面积公式结合基础应用题与向量、解析几何结合直接应用正弦定理或余弦定理已知两角一边求未知边实际问题解决已知两边一角求未知边或角测量不可直接到达的距离建筑工程计算问题导航定位系统应用基础练习1题目在中，已知，，，求第三边的长度△ABC a=6b=8C=60°c分析已知两边和一个非夹角，求第三边，适合使用余弦定理步骤我们可以直接应用余弦定理c²=a²+b²-2ab·cosC将已知条件代入c²=6²+8²-2×6×8×cos60°基础练习解析1应用余弦定理公式c²=a²+b²-2ab·cosCc²=6²+8²-2×6×8×cos60°代入数值计算c²=36+64-2×6×8×

0.5c²=100-48c²=52求解第三边长度c=√52≈

7.21因此，第三边的长度约为个单位c

7.21基础练习2题目1在中，已知，，，求边和边的长度△ABC A=45°B=60°a=10b c分析已知两角一边，求其他边长，适合使用正弦定理2首先根据三角形内角和为，求出第三个角180°C=75°解法应用正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC3可以分别求出和b=a·sinB/sinA c=a·sinC/sinA基础练习解析2求出第三个角C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°求边的长度b根据正弦定理b=a·sinB/sinAb=10·sin60°/sin45°求边的长度cb=10·

0.866/

0.7071≈

12.25根据正弦定理c=a·sinC/sinAc=10·sin75°/sin45°c=10·

0.9659/

0.7071≈

13.66基础练习3题目分析思路解决方法在△ABC中，已知a=8，要判断三角形类型，需使用正弦定理a/sinAb=7，A=40°判断这要确定其是否有角大于=b/sinB个三角形是锐角三角形、或等于90°我们可以即，我sinB=b·sinA/a直角三角形还是钝角三通过求出所有角来判断们可以求出的值B角形？首先使用正弦定理求出再通过角，然后根据内角和C=180°-A-BB求出第三个角求出角C基础练习解析3°°

4034.5角角A B已知条件sinB=b·sinA/a=7·sin40°/8≈

0.5642B=arcsin

0.5642≈

34.5°°

105.5角CC=180°-A-B=180°-40°-

34.5°=

105.5°由于角，所以是钝角三角形这个例子展示了如何运用正弦定理和三角C90°△ABC形内角和性质判断三角形的类型，这在实际问题中非常实用基础练习4题目解题步骤在△ABC中，已知a=5，b=12，c=13判断这个三角形是锐角三角应用余弦定理计算每个角形、直角三角形还是钝角三角形？cosA=b²+c²-a²/2bc分析思路判断三角形类型可以通过余弦定理求出每个角的余弦cosB=a²+c²-b²/2ac值，然后判断角的大小如果所有角都小于，则为锐角三角形；90°如果有一个角等于，则为直角三角形；如果有一个角大于，90°90°cosC=a²+b²-c²/2ab则为钝角三角形通过判断这些余弦值的正负，我们可以确定角的类型余弦值为正表示锐角，余弦值为表示直角，余弦值为负表示钝角0基础练习解析4计算角AcosA=b²+c²-a²/2bccosA=12²+13²-5²/2×12×13cosA=144+169-25/312cosA=288/312≈

0.9231A≈

22.6°（锐角）计算角BcosB=a²+c²-b²/2accosB=5²+13²-12²/2×5×13cosB=25+169-144/130cosB=50/130≈

0.3846B≈

67.4°（锐角）计算角CcosC=a²+b²-c²/2abcosC=5²+12²-13²/2×5×12cosC=25+144-169/120cosC=0/120=0C=90°（直角）由于角C=90°，所以△ABC是直角三角形这也验证了勾股定理5²+12²=13²综合练习1题目分析12在△ABC中，已知b=8，c=10，本题需要结合正弦定理和余弦求，以及定理，首先通过余弦定理求出，A=π/3sinB,cosB a的值然后利用正弦定理求出，tanC sinB再通过三角函数关系求出cosB和tanC解题思路3使用余弦定理求a a²=b²+c²-2bc·cosA使用正弦定理求sinB sinB=b·sinA/a通过求Pythagorean identity:cos²B+sin²B=1cosB利用三角形内角和和正切定义求tanC综合练习解析1求边的长度aa²=b²+c²-2bc·cosAa²=8²+10²-2×8×10×cosπ/3a²=64+100-160×

0.5=164-80=84a=√84≈

9.17求的值sinB应用正弦定理sinB=b·sinA/asinB=8·sinπ/3/

9.17sinB=8×

0.866/

9.17≈

0.756求和的值cosB tanC使用cos²B+sin²B=1:cosB=√1-sin²B=√1-

0.756²≈

0.655C=π-A-B≈π-π/3-

0.848≈

1.435tanC=sinC/cosC=sin

1.435/cos

1.435≈

0.991/

0.131≈

7.56综合练习2题目分析在△ABC中，若A=90°，b=3，c=4，求本题是直角三角形，可以结合勾股定理和cosB,cosC的值以及面积2余弦定理求余弦值和面积求边的长度a利用余弦定理或直角三角形性质求余弦值由勾股定理a²=b²+c²=3²+4²=9+和面积16=25综合练习解析2求边的长度求的值a cosB由勾股定理在直角三角形中，邻边斜边a²=b²+c²=3²+4²=9+16=25cosB=/=c/a=4/5=

0.8也可以用余弦定理a=5cosB=a²+c²-b²/2ac=25+16-9/2×5×4=32/40=

0.8求的值求面积cosC在直角三角形中，邻边斜边直角三角形面积底高平方单位cosC=/=b/a=3/5=

0.6=

0.5××=

0.5×3×4=6也可以用余弦定理也可以用三角形面积公式cosC=a²+b²-c²/2ab=25+9-16/2×5×3S=

0.5×a×b×sinC=

0.5×5×3×

0.8=6=18/30=

0.6平方单位综合练习3另一种思路分析也可以先用余弦定理求出第三边，然后用c题目求三角形面积可以使用公式S=

0.5×a×海伦公式计算面积在中，已知，，求△ABC a=6b=8C=45°b×sinC海伦公式，其中S=√[pp-ap-bp-c]p三角形的面积本题中已知两边和夹角，可以直接应用该公=a+b+c/2式综合练习解析3方法一直接使用面积公式方法二使用海伦公式S=

0.5×a×b×sinC首先用余弦定理求第三边S=

0.5×6×8×sin45°c²=a²+b²-2ab·cosC=6²+8²-2×6×8×cos45°平方单位S=24×

0.7071≈

16.97c²=36+64-96×

0.7071≈100-

67.88≈

32.12c≈

5.67然后计算半周长p p=a+b+c/2=6+8+

5.67/2≈

9.84应用海伦公式S=√[pp-ap-bp-c]平方单位S=√[

9.

849.84-

69.84-

89.84-

5.67]≈

16.97两种方法得到相同的结果，验证了计算的正确性在实际问题中，可以根据已知条件选择最简便的方法综合练习4在中，已知向量，求△ABC AB=3,4AC=5,0•向量BC的坐标•三角形ABC的面积•三角形内各角的大小本题将正余弦定理与向量知识结合，需要应用向量运算、点积、叉积等概念解决问题综合练习解析4求向量的坐标BCBC=AC-AB=5,0-3,4=2,-4求三角形面积使用向量叉积S=

0.5×|AB×AC|AB×AC=3×0-4×5=-20S=

0.5×|-20|=10平方单位求角AcosA=AB·AC/|AB|×|AC|AB·AC=3×5+4×0=15|AB|=√3²+4²=5|AC|=5cosA=15/5×5=

0.6A=arccos

0.6≈

53.1°求角和B C类似地，可以通过向量点积或余弦定理求出B和C或利用三角形内角和A+B+C=180°实际应用1测量不可直接到达的距离用正余弦定理解决现实测量问题问题描述测量河对岸一建筑物到观测点的距离已知条件两个观测点、间距离及观测角度A B题目从河岸上的两个观测点和测量对岸建筑物的位置已知和之间的距离为米，∠，∠求建筑物到A B C AB100CAB=30°CBA=45°C观测点的距离A这类问题在测量学、导航和地理信息系统中非常常见，通过正弦定理可以轻松解决无法直接测量的距离问题实际应用解析1确定三角形内角∠，∠CAB=30°CBA=45°三角形内角和为，所以∠180°ACB=180°-30°-45°=105°应用正弦定理在中，米△ABC AB=100根据正弦定理∠∠AC/sin CBA=AB/sin ACBAC/sin45°=100/sin105°计算距离AC，sin45°=

0.7071sin105°=

0.9659米AC=100×sin45°/sin105°=100×

0.7071/

0.9659≈

73.21这种三角测量法是测量不可直接到达地点距离的常用方法，在测绘、导航和建筑领域有广泛应用只需要测量两个已知点之间的距离和相关角度，就能计算出目标点的位置实际应用2建筑工程中的应用问题描述正余弦定理在建筑设计和施工一座房屋需要设计屋顶桁架，中有广泛应用，尤其是在斜屋已知房屋宽度为12米，屋顶中顶、支撑结构和桥梁设计等方央高出墙顶3米，需要计算屋面顶的倾斜角度和桁架长度解决思路将问题转化为三角形求解，利用勾股定理和三角函数关系计算所需参数实际应用解析2计算斜边长度（桁架长度）问题分析使用勾股定理桁架长度可以将屋顶视为两个直角三角形，每个三²=6²+3²=36角形的底边长为米（房屋宽度的一半），+9=456高为米3桁架长度米=√45≈

6.71计算屋顶倾斜角度实际应用价值对边邻边这些计算可用于确定所需材料数量和切割tanθ=/=3/6=

0.5角度，确保结构的稳定性θ=arctan

0.5≈

26.57°实际应用3问题描述导航系统中的应用一架飞机从机场出发，需要飞往位于东A正余弦定理在定位、航海导航和飞行北方向公里处的机场已知到的GPS300B AB路线规划中起关键作用航向角为45°，但有西北风以50公里/小时的速度吹袭解决思路需求使用向量分解和余弦定理计算风对飞行路计算飞机需要保持的航向角，以确保直接线的影响，确定修正后的航向角到达目的地实际应用解析3问题分析向量分析这是一个向量合成问题飞机的实际航向（对地航向）需要考虑设目标方向为45°（东北方向），风向为315°（西北风）风的影响我们可以将问题转化为三角形求解将风向分解为和分量x y假设飞机空速为，那么我们需要计算飞机的航向角，使得考虑vθ风的分量（西向）x=-50×cos45°≈-

35.36km/h风的影响后，最终的飞行方向指向目标机场B风的分量（北向）y=50×sin45°≈

35.36km/h为使飞机实际方向为，需要调整飞机的航向，使其空速向量与45°风向量合成后指向45°通过解三角形或向量方程，可以计算出飞机需要的航向角这种计算在航空导航中至关重要，确保飞机能够在风的影响下精确到达目的地，同时优化燃油消耗类似的原理也应用于船舶导航和其他需要考虑环境因素的定位系统高考真题1年高考真题分析思路2022在△ABC中，已知a=2，b=√3，根据题目给出的条件，我们可以∠C=π/3求sinA的值使用正弦定理或余弦定理来解决问题由于已知两边和它们的夹角，我们可以先用余弦定理求出第三边，c然后使用正弦定理求出sinA解题步骤使用余弦定理计算边

1.c使用正弦定理求出

2.sinA化简并得出最终结果

3.高考真题解析1使用余弦定理求边c1c²=a²+b²-2ab·cosCc²=2²+√3²-2×2×√3×cosπ/3使用正弦定理求sinAc²=4+3-4×√3×

0.5根据正弦定理sinA/a=sinC/cc²=7-2√3sinA=a·sinC/c=2·sinπ/3/√7-2√3=2×

0.866/√7-2√3c=√7-2√3化简结果sinA=2×

0.866/√7-2√3=2×√3/2/√7-2√3=√3/√7-2√3将分母有理化sinA=√3/√7-2√3×√7+2√3/√7+2√3=√3×√7+2√3/7²-12=√3×√7+2√3/37最终可得sinA=1/2高考真题2年高考真题20211在中，已知，求、、的值△ABC sinA:sinB:sinC=3:4:5cosA cosBcosC分析思路2利用正弦定理，三角形内角和为，以及三角函数关系式来解决问题180°解题策略由正弦定理可知，sinA:sinB:sinC=a:b:c3利用三角形内角和和余弦定理系统求解高考真题解析2解答步骤

1.由sinA:sinB:sinC=3:4:5，根据正弦定理，可知a:b:c=3:4:

52.使用余弦定理求cosA cosA=b²+c²-a²/2bc=4²+5²-3²/2×4×5=16+25-9/40=32/40=4/5=

0.

83.同理求cosB cosB=a²+c²-b²/2ac=3²+5²-4²/2×3×5=9+25-16/30=18/30=3/5=

0.

64.求cosC cosC=a²+b²-c²/2ab=3²+4²-5²/2×3×4=9+16-25/24=0/24=0高考真题3年高考真题2020在中，已知，∠，∠求三角形面积△ABC a=2B=π/3C=π/4分析思路解决此类问题可以使用多种方法利用正弦定理求出其他边长再用面积公式；或直接利用已知的一边和两角来计算面积解决方法首先计算角A=π-B-C=π-π/3-π/4然后可以利用正弦定理和面积公式求解高考真题解析35π/12√2角的值边的长度A c使用正弦定理A=π-B-C=π-π/3-π/4=π-7π/12=c/sinC=a/sinA5π/12c=a·sinC/sinA=2·sinπ/4/sin5π/12≈2×

0.7071/

0.9659≈

1.

4641.464三角形面积S=

0.5×a×c×sinB=

0.5×2×

1.464×sinπ/3平方单位=

1.464×

0.866≈

1.268另一种更直接的方法是使用三角形面积公式代入已知条S=

0.5×a²×sinB×sinC/sinB+C件平方单位S=

0.5×2²×sinπ/3×sinπ/4/sin7π/12=2×

0.866×

0.7071/

0.9659≈

1.268两种方法得到相同结果，证明解答正确常见错误1混淆正弦定理和余弦定错误示例理的使用场景已知三角形两边和它们的夹角，许多学生在解题时不清楚应该求第三边长度时，某些学生会使用正弦定理还是余弦定理，尝试使用正弦定理，而不是更导致解题方向错误或计算繁琐直接的余弦定理正确应用场景正弦定理适用于已知一边和两角，或两边和其中一边的对角的情况余弦定理适用于已知三边求角，或已知两边及其夹角求第三边的情况常见错误纠正方法1判断已知条件仔细分析题目提供的已知条件，确定已知的是边还是角，以及它们之间的关系选择正确的定理若已知两角一边优先使用正弦定理若已知两边夹角优先使用余弦定理若已知三边使用余弦定理求角若已知两边和非夹角考虑先用正弦定理求出另一个角，再用其他方法继续解题策略创建一个简单的判断流程图，帮助快速决定使用哪个定理在实际解题过程中，两个定理往往需要结合使用透彻理解每个定理的几何意义，而不仅是记忆公式常见错误2角度与弧度的转换错误计算中的单位转换问题角度与弧度混用在同一问题中混用角度与弧度单位计算器模式设置错误3计算器未设置为正确的角度模式在三角学习题中，角度与弧度的转换错误是非常常见的有些学生在同一问题中混用角度和弧度，导致计算结果有显著偏差例如，将代入计算时未转换为弧度，或者在计算器中未正确设置角度模式，都会导致解答错误30°π/6另一种常见错误是忽略不同转换公式中的转换系数，混淆了与的使用场景，导致转换结果正好相反π/180180/π常见错误纠正方法2建立清晰的转换意识掌握正确的转换公式在解题过程中明确标注角度单位角度转弧度θrad=θ°×（或）°radπ/180建议在草稿纸上统一使用一种单位，弧度转角度θ°=θrad×避免混淆180/π理解弧度等于这一基本关系记忆常用的特殊角对应值，如π180°30°，，等=π/645°=π/460°=π/3检查计算器设置确保计算器设置在正确的角度模式（或）DEG RAD解题前检查计算器模式，解题后通过估算验证结果合理性可以通过简单测试（如计算或）来验证计算器模式sin90°sinπ/2常见错误3忽视三角形的特殊情况常见问题示例在解决三角形问题时，有些学生可能会忽视三角形的特殊情况，使用余弦定理解直角三角形问题，而不是更简单的勾股定理和三如直角三角形、等边三角形或等腰三角形这些特殊情况通常有角函数简化的解法，忽视它们会导致计算过程不必要的复杂在等腰三角形中未利用顶角平分线垂直平分底边的性质例如，在处理直角三角形时，可以直接使用勾股定理和基本三角在等边三角形中未利用所有角都是的特性60°函数关系，而不必应用更复杂的正余弦定理同样，对于等边三角形或等腰三角形，可以利用其特有的性质简化计算对于特殊角如、、，未使用它们的精确值而是使用近30°45°60°似值计算常见错误纠正方法3识别特殊三角形解题前仔细分析题目条件，寻找特殊三角形的线索检查是否有角（直角三角形）90°检查是否有相等的边或角（等腰三角形）检查是否所有边或角都相等（等边三角形）掌握特殊三角形性质直角三角形可使用勾股定理和基本三角函数等腰三角形两边相等，底边上的高平分底边和顶角等边三角形所有边相等，所有角均为60°三角形和三角形的特性30°-60°-90°45°-45°-90°选择最优解法对于直角三角形，优先使用勾股定理和基本三角函数关系对于等腰三角形，可以利用对称性简化问题对于等边三角形，利用其高、中线、角平分线等特性特殊角度的精确值等sin30°=1/2,cos30°=√3/2,sin45°=cos45°=√2/2解题技巧1分析已知条件判断最适合的定理仔细检查题目提供的角度和边长信息两角一边或非夹角情况用正弦定理验证选择是否合理考虑计算复杂度确认所选定理能够有效解决问题3选择能最快到达答案的路径如何选择使用正弦定理还是余弦定理，主要取决于已知条件以下是选择的基本原则使用正弦定理的情况已知一边和两角（或）；已知两边和一个非夹角（）AAS ASASSA使用余弦定理的情况已知三边求角（）；已知两边和它们的夹角求第三边（）SSS SAS解题技巧示例1示例1在△ABC中，已知A=40°，B=60°，a=10求边c的长度分析已知两角一边（AAS）首先可计算C=180°-A-B=80°，然后使用正弦定理c/sinC=a/sinA，即c=a·sinC/sinA=10·sin80°/sin40°≈

14.96示例2在△ABC中，已知a=6，b=8，C=50°求角A的大小分析已知两边和非夹角（SSA）这里可以使用正弦定理sinA/a=sinC/c但我们不知道c，需要先用余弦定理计算c c²=a²+b²-2ab·cosC然后再用正弦定理求A或者直接使用sinA=a·sinC/c示例3在△ABC中，已知a=5，b=7，c=9求角B的大小分析已知三边（SSS）直接使用余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=25+81-49/2×5×9=57/90=

0.633，B=arccos

0.633≈

50.7°解题技巧2综合运用多个公式辅助线的使用复杂问题往往需要结合使用正弦适当添加辅助线可以将复杂问题定理、余弦定理、面积公式等多转化为已知问题个知识点在三角形中添加高线、中线或角关键是找到合适的切入点，将问平分线，可能会创造更容易解决题分解为可以使用已知公式解决的子问题的子问题多角度思考同一个问题可能有多种解法，尝试从不同角度思考问题考虑使用向量方法、解析几何方法或纯几何方法来解决问题解题技巧示例2问题描述在中，已知边，角，角求三角形的面积△ABC a=6A=30°B=45°方法一直接使用面积公式已知一边和两角，首先求出C=180°-A-B=105°使用面积公式S=

0.5×a²×sinB×sinC/sinB+C代入计算平方单位S=

0.5×6²×sin45°×sin105°/sin150°≈

15.2方法二先求其他边再计算使用正弦定理求出边c c=a·sinC/sinA=6·sin105°/sin30°≈

11.54使用面积公式平方单位S=

0.5×a×c×sinB=

0.5×6×

11.54×sin45°≈

15.2方法三使用辅助线从点作高垂直于C CD AB在直角三角形中，可以计算和高ACD ADCD三角形面积平方单位=

0.5×AB×CD≈

15.2解题技巧3利用特殊角简化计常用精确值简化运算技巧算sin30°=1/2,cos30°=利用三角函数的各种等特殊角如30°、45°、√3/2,tan30°=1/√3式和转换关系简化计算的三角函数值有精60°sin45°=cos45°=1/√2,确表达式，可以避免使例如tan45°=1sinπ-θ=sinθ,用近似值计算cosπ-θ=-cosθsin60°=√3/2,cos60°=1/2,tan60°=√3sin²θ+cos²θ=1,sinθ/cosθ=tanθ解题技巧示例3题目利用特殊角简化计算在中，已知，，求三角形的面积（精确值）△ABC A=30°B=45°c=12√2sin30°=1/2分析sin105°=sin180°-75°=sin75°已知两角和一边（不是对应边），首先需要确定第三个角C，然后sin75°=sin45°+30°=sin45°·cos30°+cos45°·sin30°可使用正弦定理确定其他边，最后计算面积sin75°=1/√2·√3/2+1/√2·1/2=√3+1/2√2利用特殊角的解题步骤计算边a求

1.C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°a=12√2·1/2/[√3+1/2√2]=12√2·√2/2·√3+1=12/√3+1使用正弦定理

2.a/sinA=c/sinC有理化a=12/√3+1·√3-1/√3-1=12√3-1/3-1=6√3-1a=c·sinA/sinC=12√2·sin30°/sin105°计算面积S=

0.5·a·c·sinB=

0.5·6√3-1·12√2·sin45°=

0.5·6√3-1·12√2·1/√2=36√3-1挑战题1在中，已知边，边，夹角点在边上，且求的面积与的面积之比△ABC a=4b=5C=60°D ABAD:DB=1:2△ACD△BCD这是一个高难度的综合应用题，需要综合运用正余弦定理、三角形面积公式以及比例关系面积比例问题常见于几何证明题，理解这类问题对于掌握三角形的性质有很大帮助解题思路首先确定点的位置，然后分别计算两个三角形的面积，最后求比值可能需要使用辅助线或利用面积比例的特性来简化计算D挑战题解析1确定点的位置D已知，所以是上的分点，且，AD:DB=1:2DABAD=AB/3DB=2AB/3先求的长度使用余弦定理ABc²=a²+b²-2ab·cosC=4²+5²-2×4×5×cos60°=16+25-40×

0.5=41-20=21所以c=AB=√21因此，AD=AB/3=√21/3DB=2AB/3=2√21/3计算三角形面积的面积△ABC S=

0.5×a×b×sinC=

0.5×4×5×sin60°=10×

0.866=

8.66对于和，可以证明其面积比等于与的比△ACD△BCD ADDB因为两个三角形共享底边，且高成比例CD求面积比值由的面积与的面积之比△ACD△BCD=AD:DB=1:2所以的面积与的面积之比为△ACD△BCD1:2挑战题2多步骤实际问题一艘船从港口出发，先向东航行公里到达点，然后改变方向向北偏东方向航行公里到达点这A100B30°150C时，有风暴警报，船需要直接返回港口A问题要求计算船在点距离港口的直线距离

1.C A2从点返回港口需要沿什么方向航行（以正北方向为，顺时针计算）

2.C A0°解题思路将问题转化为坐标系中的点和向量，或直接使用正余弦定理解决三角形问题挑战题解析2建立坐标系将港口设为原点，东向为轴正方向，北向为轴正方向A0,0x y点的坐标为B100,0从到的方向是北偏东，即与轴正方向成角B C30°y30°计算点坐标C从到的分量B Cx150×sin30°=150×

0.5=75从到的分量BCy150×cos30°=150×

0.866≈

129.9所以点坐标为C100+75,0+

129.9=175,

129.9计算距离AC使用距离公式公里AC=√[175-0²+

129.9-0²]=√30625+16874=√47499≈

217.9计算方向AC方向的角度AC=arctan175/

129.9≈arctan

1.347≈

53.4°所以从返回的方向是南偏西，即（以正北为，顺时针计算）C A

53.4°

233.4°0°挑战题3证明题可能用到的公式在任意三角形ABC中，证明a²sinB·sinC+b²sinC·sinA+•正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）c²sinA·sinB=4△·sinA·sinB·sinC•三角形面积公式△=

0.5·a·b·sinC=

0.5·b·c·sinA=

0.5·a·c·sinB其中表示三角形的面积△•另一种面积表达式△=abc/4R分析思路提示该题目考查对正弦定理和三角形面积公式的深入理解和应用考虑使用正弦定理将边长、、表示为函数、、和a bc sinAsinB sinC可以通过将式子中的各项转换为面积表达式，或利用正弦定理建的形式，然后结合面积公式进行转换R立关系，然后通过代数变换来证明等式的成立挑战题解析3利用正弦定理表示边长1根据正弦定理，，a=2R·sinA b=2R·sinB c=2R·sinC代入原式左边第一项a²sinB·sinC=2R·sinA²·sinB·sinC=展开整个左边表达式24R²·sin²A·sinB·sinCa²sinB·sinC+b²sinC·sinA+c²sinA·sinB=4R²·sin²A·sinB·sinC+4R²·sin²B·sinC·sinA+4R²·sin²C·sinA·sinB使用三角形面积公式=4R²·sinA·sinB·sinC·sinA+sinB+sinC根据面积公式△=abc/4R代入、、的表达式a bc△=2R·sinA·2R·sinB·2R·sinC/4R=完成证明2R²·sinA·sinB·sinC右边表达式4△·sinA·sinB·sinC=4·2R²·sinA·sinB·sinC·sinA·sinB·sinC=8R²·sinA·sinB·sinC·sinA·sinB·sinC要使左右两边相等，需证明sinA+sinB+sinC=2·sinA·sinB·sinC这需要使用更多三角恒等式证明，或者证明原命题有错误小组讨论题建筑设计设计一个实际应用场景设计一个复杂屋顶结构，计算支撑梁的长度和将正余弦定理应用于真实问题中角度导航定位物理应用设计一个定位系统，通过三角测量确定物体位分析力的分解和合成，如桥梁承重计算置请小组成员合作设计一个应用正余弦定理的实际问题，包括问题背景、已知条件和需要求解的目标问题应该足够复杂，需要综合应用本课所学的知识点，但又不至于超出高中数学的范围完成后，请准备一个简短的展示，向全班介绍你们的问题和解决方案小组讨论要点问题设计要点展示内容要求确保问题有实际背景，不是纯清晰描述问题背景和实际意义；粹的数学抽象问题考虑从建列出所有已知条件和需要求解筑、导航、工程、物理或天文的目标；展示完整的解题过程，等领域选择背景问题复杂度包括图示和计算步骤；总结问要适中，既能展示正余弦定理题解决的关键方法和技巧的综合应用，又不超出高中数学范围评分标准问题的创新性和实用性；数学模型的合理性；解题方法的正确性和效率；展示的清晰度和条理性；小组合作的协调性复习要点1正弦定理的核心应用解决三角形中更多未知量完整理解正弦定理2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R使用场景已知一边两角，或两边一角（非夹角）正弦定理是解决三角形问题的基本工具之一，它建立了三角形中边与其对角正弦值的比例关系完整形式包含外接圆半径，这一点在某些高级应用R中非常有用在应用正弦定理时，需要注意情况（已知两边和一个非夹角）可能存在零个、一个或两个解，这取决于已知边的长度关系判断解的个数是正SSA确应用正弦定理的关键步骤之一正弦定理在测量、导航、物理学等领域有广泛应用，尤其适合需要测量不可直接到达距离的场景复习要点2余弦定理公式使用场景与勾股定理的联系已知三边求角（）当时，，公式简化为a²=b²+c²-2bc·cosA SSSA=90°cosA=0a²=b²+c²已知两边及其夹角求第三边（）b²=a²+c²-2ac·cosB SASc²=a²+b²-2ab·cosC余弦定理是勾股定理的推广，适用于任意三角形它建立了三角形中一边的平方与其他两边的平方及其夹角余弦的关系理解余弦定理与勾股定理的联系，有助于加深对三角形几何性质的理解在应用余弦定理求角时，需要注意计算精度问题，特别是当角接近或时，余弦值接近或，这时计算误差可能会较大0°180°1-1余弦定理在物理学（如力的合成）、工程学（如结构设计）和三维空间中的向量计算等领域有重要应用复习要点3分析已知条件仔细审题，明确题目给出的条件（边、角、其他信息）根据已知条件判断解题策略（正弦定理、余弦定理或组合应用）选择合适的切入点选择最直接的计算路径，避免不必要的复杂运算识别特殊三角形（直角、等腰、等边）以简化计算规范的计算过程清晰标注每一步的目的和使用的公式注意角度与弧度的转换，以及计算器模式设置验证与评估检查计算结果是否合理（如三角形边长关系、内角和等）考虑结果的实际意义，尤其在应用问题中学习资源推荐教材与参考书在线学习平台习题资源•《高中数学教材》三角函数与解三角形•中国大学MOOC-高等数学课程•《五年高考三年模拟》三角函数与解三章节角形部分学科网高中数学三角函数专题•-《三角学概要》详细的三角函数理论《全国高考真题解析》历年三角学相•-交互式几何软件，可视化三•-•GeoGebra-与应用关题目角形计算《奥数辅导教程》包含大量正余弦定《数学竞赛辅导》包含正余弦定理的•-三角学课程（有中文字•-•Khan Academy-理的高级应用高阶应用幕）各大名校模拟试题与解析•总结正余弦定理的重要性广泛的应用场景1解决任意三角形的基本工具从基础几何到现实世界的复杂问题2熟练掌握的技巧系统的解题方法4特殊角应用，多种解法的灵活运用3正确选择定理，规范的运算过程通过本课程的学习，我们系统回顾了正弦定理和余弦定理的核心概念，探讨了它们的适用条件和解题技巧通过大量练习题的训练，从基础应用到综合应用，再到实际问题的解决，全面提升了解决三角形问题的能力正余弦定理不仅是高中数学的重要内容，也是进入高等数学学习的基础它们在工程、物理、天文、导航等领域有着广泛的应用希望通过本课程的学习，同学们能够真正掌握这些重要的数学工具，并能在未来的学习和工作中灵活应用问答环节53常见问题类型答疑时间（分钟）围绕正余弦定理的应用场景、解题技巧和易错点每个问题的详细解答时间15总答疑时间（分钟）课后问答环节的总时长欢迎同学们提出在学习过程中遇到的疑问和困难无论是关于概念理解、解题思路，还是应用场景，都可以在此环节提出我们将一一解答，确保每位同学都能够掌握正余弦定理的核心内容如果时间有限无法解答所有问题，可以在课后通过学习平台或办公时间继续讨论记得整理好自己的问题，包括具体的困惑点和已尝试的解决方法，这样可以更高效地解决问题最后，希望大家在今后的学习中能够积极应用今天所学的知识，不断提高解决数学问题的能力。