综合数学题库：正余弦定理专项练习题课件

综合数学题库正余弦定理专项练习题欢迎来到正余弦定理专项练习题课程本课程将系统地讲解三角学中最基础、最重要的定理之一正弦定理和余弦定理，并通过大量的——练习题帮助你掌握这些定理的应用正余弦定理是解决三角形问题的强大工具，也是高考数学的重要考点我们将从基础概念开始，逐步深入到复杂应用，帮助你全面提升解题能力无论你是正在备战高考的学生，还是希望巩固数学基础的爱好者，这套题库都将对你有所帮助课程目标掌握正弦定理和余弦定提高解决复杂几何问题理的应用的能力通过系统学习，能够熟练培养分析问题、构建数学运用正弦定理和余弦定理模型的思维，提升解决实解决各类三角形问题，理际问题和复杂几何问题的解这些定理的几何意义和能力，增强空间想象力应用条件为高考数学做好准备通过专项训练，熟悉高考常见题型和解题技巧，掌握典型解法，为高考数学考试做充分准备正弦定理回顾定理内容几何意义在任意三角形中，各边与其对角的正弦值之比相等，正弦定理揭示了三角形的边长与对应角的正弦值之间的比ABC且等于三角形外接圆直径的倒数例关系，这一关系与三角形的外接圆紧密相连即这一定理为我们提供了一种间接计算三角形中未知边长或a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R角度的方法，特别是在已知两个角和一条边的情况下其中，、、分别是三角形的三边长，、、分别是三a b c A B C边对应的角，是三角形外接圆的半径R余弦定理回顾定理公式与勾股定理的关系几何意义在任意三角形中余弦定理是勾股定理的推广当三角形为余弦定理揭示了三角形中任意一边的平方ABC直角三角形时（例如角为），则与其他两边的平方之和、这两边夹角的余C90°cosC=•a²=b²+c²-2bc·cosA，此时余弦定理简化为弦值之间的关系0•b²=a²+c²-2ac·cosB这一定理使我们能够在已知三边长的情况c²=a²+b²•c²=a²+b²-2ab·cosC下计算三角形的角，或在已知两边及其夹这正是我们熟悉的勾股定理因此，余弦其中，、、分别是三角形的三边长，、a b c A角的情况下计算第三边定理适用于任意三角形，不仅限于直角

三、分别是三边对应的角B C角形正弦定理应用场景已知两角和对应的一条边，求另一边当我们知道三角形的两个角和其中一边时，可以利用正弦定理求解另一边的长度这在测量学和导航中特别有用已知两边和其中一个对角，求另一个角当已知三角形的两条边和其中一个对角时，可以利用正弦定理求解另一个角这种情况下需要注意可能存在两个解的情况实际应用场景在测量、导航、天文学和物理学中，常常需要利用正弦定理解决相关问题例如，测量不可直接到达的距离，确定船舶或飞机的位置等余弦定理应用场景已知三边，求角当已知三角形的三条边长时，可以利用余弦定理计算三角形的任意角这在建筑设计和工程测量中经常使用已知两边和夹角，求第三边当知道三角形的两条边和它们的夹角时，可以利用余弦定理计算第三边的长度这在向量分析和力学问题中非常常见结构分析在建筑工程中，余弦定理用于分析结构的稳定性和力的分布工程师利用它计算复杂结构中的角度和距离导航与定位在系统和卫星导航中，利用余弦定理计算不同点之间的距离和角度，GPS从而确定精确位置练习题类型概览单一定理应用题综合应用题仅运用正弦定理或余弦定理就能解决的需要结合正弦定理和余弦定理共同解决基础题型，用于巩固单个定理的应用的复杂题型正弦定理直接应用正余弦定理交替使用••余弦定理直接应用与其他三角公式结合••实际问题建模题高考题型将实际生活问题转化为数学模型，并利历年高考中出现的与正余弦定理相关的用正余弦定理求解典型题目和解法分析测量问题•填空题•导航问题•解答题•工程应用•单一定理应用题正弦定理（）-1题目答案与分析在△中，已知角，角，边，求边的计算结果ABC A=30°B=45°BC=4AB长度sin105°=sin180°-105°=sin75°≈

0.9659解题思路AB=8·sin105°≈8·

0.9659≈

7.73•首先计算角C C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°这道题是正弦定理的经典应用，当我们已知两个角和一条•根据正弦定理AB/sinC=BC/sinA边时，可以直接使用正弦定理求解注意计算角时，要C•代入已知条件利用三角形内角和为的性质AB/sin105°=4/sin30°180°•求解AB=4·sin105°/sin30°=4·sin105°·2=8·sin105°单一定理应用题正弦定理（）-2题目描述在△中，已知角，边，边，求角的值ABC A=30°a=6b=10B解题策略这道题涉及正弦定理的特殊情况斜边与对角问题（有可能存在两个解）根据正弦定理，我们需要分析——sinB/b=sinA/a可能存在的情况计算过程根据正弦定理，解得sinB/10=sin30°/6sinB=10·sin30°/6=10·

0.5/6=5/6≈

0.833因为，所以有两个可能的值或sinB=

0.8331B B₁=arcsin

0.833≈

56.4°B₂=180°-

56.4°=

123.6°结果验证我们需要验证这两个角是否都能构成有效的三角形对于，角B₁=

56.4°C=180°-，这构成一个有效的三角形对于，角A-B₁=180°-30°-

56.4°=

93.6°B₂=

123.6°C，这也构成有效的三角形=180°-A-B₂=180°-30°-

123.6°=

26.4°单一定理应用题余弦定理（）-1解题成功掌握余弦定理的直接应用应用余弦定理根据公式计算未知量识别题型已知两边和夹角，求第三边题目理解在△中，已知，，角，求边ABC a=3b=4C=60°c解题过程根据余弦定理，代入已知条件因此c²=a²+b²-2ab·cosC c²=3²+4²-2·3·4·cos60°=9+16-24·

0.5=25-12=13c=√13≈

3.61这是余弦定理的基本应用场景之一，当我们知道三角形的两边和它们的夹角时，可以直接利用余弦定理计算第三边的长度注意计算过程中的数值准确性单一定理应用题余弦定理（）-2357边长度边长度边长度a b c第一条已知边的长度第二条已知边的长度第三条已知边的长度题目在△中，已知三边长，，，求角的度数ABC a=3b=5c=7A解题过程根据余弦定理，，所以代入已知数值因a²=b²+c²-2bc·cosA cosA=b²+c²-a²/2bc cosA=5²+7²-3²/2·5·7=25+49-9/70=65/70≈

0.929此，角A=arccos

0.929≈

22.0°这是余弦定理的另一个重要应用已知三角形的三边长，求任意一个角正确计算余弦值后，要注意使用反余弦函数求角度arccos综合应用题正余弦定理结合（）-1题目分析解题路径计算过程在△中，已知角，边这类问题需要结合运用余弦定根据余弦定理ABC A=45°BC²=AB²+AC²，边，求角的值理和正弦定理，首先用余弦定代入数值AB=8AC=6B-2·AB·AC·cosA BC²理求解边，然后利用正弦定BC=8²+6²-2·8·6·cos45°=64+36-理求解角，B96·

0.7071≈100-

67.88=

32.12所以BC≈

5.67求解角B利用正弦定理sinB/AC=，即sinA/BC sinB/6=sin45°/

5.67解得sinB=6·sin45°/

5.67=，所以角6·

0.7071/

5.67≈

0.749B≈arcsin

0.749≈

48.4°综合应用题正余弦定理结合（）-2问题描述在△中，已知边，边，角若是上的ABC AB=10AC=8BAC=60°D BC一点，且⊥，求的长度AD BC AD求解BC利用余弦定理BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cosBAC=10²+8²-，所以2·10·8·cos60°=100+64-160·

0.5=164-80=84BC=√84≈

9.17求解AD三角形的面积可以表示为所S=1/2·BC·AD=1/2·AB·AC·sinBAC以AD=AB·AC·sinBAC/BC=10·8·sin60°/

9.17=10·8·

0.866/

9.17≈

7.55实际问题建模测量问题-问题描述一条河的两岸有、两点测量员在河的同一侧测得点，使得A BC∠已知米，米，求河的宽度ACB=90°AC=150BC=200AB建立数学模型这是一个直角三角形问题，我们可以利用勾股定理（余弦定理的特例）来解决由于∠，所以△是直角三角形，是ACB=90°ABC AB斜边应用公式根据勾股定理AB²=AC²+BC²=150²+200²=22500+40000=62500得出结论米因此，河的宽度是米AB=√62500=250250实际问题建模航海问题-问题描述解题过程一艘船从港口出发，先向东航行公里到达点，然后改建立坐标系以为原点，东向为轴正方向，北向为轴A60B Ax y变方向向北偏东航行公里到达点求正方向30°80C•点与港口之间的直线距离点坐标为从点出发，向北偏东航行，即与C A B60,0B30°y轴正方向成角点坐标为•如果船从点直接返回点，应沿什么方向航行？60°C60+80·cos60°,0+C A80·sin60°=60+40,

69.28=100,

69.28的距离公里AC|AC|=√100²+

69.28²≈

121.67点到点的方向，θθCAtan=

69.28/100≈

0.6928=因此，船应沿南偏西的方向航arctan

0.6928≈

34.7°

34.7°行高考真题解析（）正弦定理2024-题目描述1在△中，已知角，角，边在上取点，使得⊥，求的ABC A=30°C=45°AB=12AB DCD ABCD长度关键知识点2这道题考查正弦定理与垂线段的结合应用需要首先确定角，然后利用三角函数求B解垂线段CD解题过程3角根据正弦定理，所以B=180°-A-C=180°-30°-45°=105°BC/sinA=AB/sinC BC=AB·sinA/sinC=12·sin30°/sin45°=12·

0.5/

0.7071≈

8.49垂线段是与角的对边的高，所以CD BCA ABCD=BC·sinA=

8.49·sin30°=

8.49·

0.5≈

4.24易错点分析4此类问题容易出错的地方是没有正确理解题目中的垂线关系⊥意味着是CD ABCD BC与所成角的对边的高，而非直接使用计算AB BBC·sinB高考真题解析（）余弦定理2024-题目要求证明过程在△中，已知边长，，求证根据余弦定理ABC a=6b=8c=10cosB+cosA·cosC=0cosA=b²+c²-a²/2bc=8²+10²-6²/2·8·10=64+100-解题思路这道题要求我们证明三个余弦值之间的关系，可以36/160=128/160=4/5利用余弦定理将角的余弦值转换为边的表达式cosB=a²+c²-b²/2ac=6²+10²-8²/2·6·10=36+100-64/120=72/120=3/5cosC=a²+b²-c²/2ab=6²+8²-10²/2·6·8=36+64-100/96=0/96=0所以，cosB+cosA·cosC=3/5+4/5·0=3/5+0=3/5这与题目要求的结论不符，可能是题目条件有误正确的结论应该是在特定条件下，例如当三角形中有一个角为时，才有可能90°满足cosB+cosA·cosC=0解题技巧角度范围的确定-理解角度范围三角形存在条件在三角形中，内角范围为到，0°180°三角形的三个内角和为，且满足180°通常不包括端点值（或），因0°180°三边关系任意两边之和大于第三为这两种情况下三角形会退化为一边，任意两边之差小于第三边条直线解题分析结果验证当利用正弦定理求角时，若的值θsin解得角度后，需要验证是否满足三在到之间，可能有两个解和θ01角形的条件，包括三角不等式和角，需要根据角度范围和其他条θ180°-度之和为180°件判断哪个是正确的解题技巧辅助线的运用-识别辅助线需求当题目涉及三角形中的特殊点（如垂心、重心）或特殊线段（如高、中线、角平分线）时，往往需要引入辅助线常用辅助线类型常见的辅助线包括高线（垂直于一边的线段）、中线（从一个顶点到对边中点的线段）、角平分线以及平行于某边的线段等辅助线的作用辅助线可以创建新的几何关系，如形成直角三角形、相似三角形或等边三角形，从而简化原问题或转化为熟悉的模型应用示例例如，在求证三角形的某些性质时，可以通过引入高线将原三角形分解为两个直角三角形，然后利用勾股定理或三角函数进行求解解题技巧三角形面积公式的选择-底高公式×，其中是底边长，是对应的高S=1/2·a·ha aha适用场景已知一条边和对应的高，或需要通过垂线关系求解问题时正弦公式，其中、是两边长，是它们的夹角S=1/2·a·b·sinC a b C适用场景已知两边和它们的夹角，或需要利用正弦定理转化问题时海伦公式，其中，、、是三边长S=√[pp-ap-bp-c]p=a+b+c/2a bc适用场景已知三角形的三边长，无其他角度信息时坐标公式，其中、、是三个顶点的坐标S=1/2|x₁y₂-y₃+x₂y₃-y₁+x₃y₁-y₂|x₁,y₁x₂,y₂x₃,y₃适用场景在坐标平面上有三个点的坐标时常见错误分析正弦定理-角度与弧度混淆多解情况未考虑使用正弦定理时，要保持单位一致如果使用角度，所有的三角当使用正弦定理求角时，若sinθ的值在0到1之间，则θ可能有两个函数计算都应该用角度；如果使用弧度，所有计算都用弧度混解许多学生只考虑一个解，导致答案不完整或错误应该根据用会导致严重错误题目条件和三角形的性质判断哪个解是合理的公式变形错误三角形不等式忽略正弦定理的变形应用中，常被错误地转化为利用正弦定理解题时，可能得到的结果不满足三角形的存在条件a/sinA=b/sinB a·sinB=虽然这种变形是正确的，但在具体计算中容易出现乘除（如三边关系或角度之和为）忽略这一验证步骤会导致错b·sinA180°顺序错误误答案常见错误分析余弦定理-错误类型错误描述正确做法符号错误将余弦定理中的减号正确公式a²=b²+c²写成加号a²=b²+c²-2bc·cosA+2bc·cosA角度对应错误混淆角与边的对应关注意角对边，角A a系，如用计算边对边，角对边cosB aB bC c计算反余弦错误计算时忽略定的值域为，arccos arccos[0,π]义域限制或计算错误需使用计算器正确计算数值精度问题中间计算结果不保留中间计算至少保留位4足够精度，导致最终小数，最终结果按要结果误差大求四舍五入难点突破正弦定理的推广-平面推广球面三角形向量形式在平面几何中，正弦定理不仅适用于在球面三角形中，正弦定理表示为正弦定理也可以用向量表示对于三三角形，还可以推广到多边形对于角形，设向量，，ABC a=BC b=CA c=任意四边形，如果它可以内接，则正弦定理可以表示为ABCD ABsina/sin A=sin b/sin B=sin c/sin C于一个圆，则有|a|/sin A=|b|/sin B=|c|/sin C=2R其中、、是球面三角形的三边a bcAB·CD/sinB·sinD=BC·AD/sinA·sinC（以弧度表示），、、是对应的其中是三角形外接圆半径这种表A BC R这一推广为解决圆内接多边形的问题角球面正弦定理在导航、测绘和天示方法在物理和工程问题中特别有用提供了有力工具文学中有广泛应用难点突破余弦定理的证明-几何证明利用勾股定理和三角函数关系，可以证明余弦定理对于三角形，作ABC⊥于，则，，应用勾股定理AD BCD BD=c·cosA CD=b-c·cosA AD=c·sinA得AB²=AD²+BD²=c²·sin²A+b-c·cosA²=c²-c²·cos²A+b²-2bc·cosA+c²·cos²A=b²+c²-2bc·cosA代数证明使用坐标方法，将三角形的一个顶点放在原点，另一个顶点放在轴上，x然后利用距离公式和三角函数推导余弦定理这种方法更适合与其他代数概念的结合应用向量证明设三角形的边向量，，则，所以ABC AB=c AC=b BC=a a=c-b|a|²=|c-，其中是向量和的夹角，即角这就是余θθb|²=|c|²+|b|²-2|c|·|b|·cos cb A弦定理的向量形式综合题型四边形问题-问题描述在四边形中，已知，，，，对角线求对角线的长度和四边形的面积ABCD AB=5BC=7CD=4DA=6AC=8BD分解为三角形我们可以将四边形分解为两个三角形和，这两个三角形有共同的边已知，我们可以分别计算这两个三角形ABCD ABC ACD ACAC=8的面积，然后求和得到四边形的面积求解三角形ABC在△中，已知三边长，，使用海伦公式计算面积，ABC AB=5BC=7AC=8s=5+7+8/2=10S₁=√[1010-510-710-8]=√[10·5·3·2]=√300≈

17.32求解三角形ACD在△中，已知三边长，，使用海伦公式计算面积，ACD AC=8CD=4DA=6s=8+4+6/2=9S₂=√[99-89-49-6]=√[9·1·5·3]=√135≈

11.62计算四边形面积四边形的面积ABCD S=S₁+S₂=

17.32+

11.62=

28.94综合题型圆与三角形-外接圆内切圆三角形的外接圆半径△，结合R=abc/4三角形的内切圆半径△，其中△是r=/s正弦定理，可得R=a/2sinA=b/2sinB=三角形面积，是半周长利用正余弦定s这说明三角形外接圆的直径等c/2sinC理，可以推导出△，其中、r=4/a+b+c a于任意一边长除以对应角的正弦值、是三边长bc欧拉线旁切圆三角形的垂心、重心和外心在同一直线三角形的旁切圆是与三角形的一边和另上，这条线称为欧拉线重心到垂心的外两边的延长线相切的圆三角形有三距离是重心到外心距离的两倍这些性个旁切圆，它们的半径可以通过三角形质可以用正余弦定理证明的边长和面积计算练习题正弦定理1-题目描述解题提示在△中，已知角这是一道典型的正弦定理ABC A=，角，边应用题，已知两个角和一60°B=45°BC=10厘米，求边的长度条边，求另一条边可以AB先计算出第三个角，然后直接应用正弦定理解题步骤•计算角C C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°•应用正弦定理AB/sinC=BC/sinA•代入数值并计算结果练习题解析1-详细解答结果分析在△中，已知角，角，边厘米，因此，边的长度约为厘米ABC A=60°B=45°BC=10AB

11.15求边的长度AB在使用正弦定理时，关键是正确识别已知角和对应的边首先，根据三角形内角和为，可以计算出角这里我们使用了边即边和它的对角，以及我们要求180°C BC a A的边即边和它的对角AB cCC=180°-A-B=180°-60°-45°=75°注意计算过程中的精度控制，sin75°≈

0.9659sin60°=根据正弦定理AB/sinC=BC/sinA，在代入计算时应保留足够的有效数字，以确保最终

0.866结果的准确性代入已知条件AB/sin75°=10/sin60°整理得AB=10·sin75°/sin60°=10·

0.9659/

0.866≈

11.15练习题余弦定理2-题目在△中，已知三边长，，求角、、的大小ABC a=8b=6c=10A BC应用余弦定理用三边求任意一个角，可以直接利用余弦定理求解每个角依次计算三个角，注意角度与边的对应关系验证结果检查三个角的和是否为180°练习题解析2-计算角A根据余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=6²+10²-8²/2·6·10=36+100-64/120=72/120=

0.6因此，角A=arccos

0.6≈

53.1°计算角B根据余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=8²+10²-6²/2·8·10=64+100-36/160=128/160=

0.8因此，角B=arccos

0.8≈

36.9°计算角C根据余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab=8²+6²-10²/2·8·6=64+36-100/96=0/96=0因此，角C=arccos0=90°结果验证4我们得到三个角分别为，，A≈

53.1°B≈

36.9°C=90°验证，符合三角形内角和为的性质

53.1°+

36.9°+90°=180°180°特别地，我们发现角，说明这是一个直角三角形，且直角在点C=90°C练习题综合应用3-题目描述分析与提示在△中，已知角，边，边点是这道题需要结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式来ABC A=30°AB=10AC=12D上的一点，且⊥解决BC AD BC•求边的长度；首先需要利用余弦定理求边的长度；BC•BC•求的长度；然后利用三角函数关系求的长度（是上的高）；AD•AD AD BC•求三角形的面积ABC最后可以用底高的公式求三角形的面积•×注意⊥这一条件的使用，它意味着是从顶点到对AD BCAD A边的高BC练习题解析3-求三角形面积求长度AD三角形的面积可以用底高公式计算×S=求边长度BC由于⊥，是从顶点到边的高AD BCAD A BC1/2·BC·AD=1/2·

6.01·

9.98≈

30.0在△中，已知两边，和ABC AB=10AC=12利用三角函数关系角也可以用正弦公式检验AD=AB·sin ABCS=它们的夹角A=30°1/2·AB·AC·sinA=1/2·10·12·sin30°=60·

0.5为求角，先用余弦定理ABC cosB=AB²根据余弦定理BC²=AB²+AC²-=30+BC²-AC²/2·AB·BC=100+

36.16-2·AB·AC·cosA=10²+12²-2·10·12·cos30°=因此，三角形的面积约为平方单位144/2·10·

6.01=-

7.84/

120.2≈-

0.065ABC30100+144-240·

0.866=244-

207.84=

36.16所以角B=arccos-

0.065≈

93.7°因此角所以AD=AB·sin B=10·sin

93.7°≈BC=√

36.16≈

6.0110·

0.9979≈

9.98练习题实际问题4-问题情境所需知识点解题策略应用场景某测量员需要测量一条河这是一个实际的测量问题，首先计算三角形的第这类问题在测绘、导航和ABC的宽度他在河的一侧的需要利用三角函数知识来三个角，然后利用正弦定工程测量中非常常见，是两个点和之间测得距离解决我们可以利用正弦理求出边或的长度，三角函数在实际生活中的A B AC BC为米，然后用经纬仪定理求出三角形的边长，最后利用三角形面积公式重要应用100从点和点分别测量到河然后计算点到直线的距离计算高（即河的宽度）A B对岸一点的角度，测得C∠，∠CAB=35°CBA=42°求河的宽度（即点到线C段的距离）AB练习题解析4-解题步骤计算河宽首先，计算三角形的第三个角∠利用三角形面积公式ABC ACB∠∠∠∠ACB=180°-CAB-CBA=180°-35°-42°=103°S=1/2·AB·h=1/2·AC·BC·sin ACB根据正弦定理，在三角形中所以∠ABC h=AC·BC·sin ACB/AB=

68.67·

58.87·sin103°/100≈米

68.67·

58.87·

0.9744/100≈

39.44∠∠AC/sin CBA=AB/sin ACB因此，河的宽度约为米

39.44代入已知条件AC/sin42°=100/sin103°这个问题展示了三角学在实际测量中的应用通过在河的一侧进计算得米AC=100·sin42°/sin103°=100·

0.6691/

0.9744≈

68.67行角度和距离测量，无需跨越河流就能计算出河的宽度，这在工同理可得米程测量中非常实用BC=100·sin35°/sin103°=100·

0.5736/

0.9744≈

58.87现在，河的宽度是点到线段的距离，即三角形的高C ABABC h练习题高考真题5-题目来源题目描述本题改编自年高考数学（理科）如图，在△中，，2023ABC AB=√3AC=全国卷Ⅱ第题，∠是上的动点，142BAC=30°D BC且BD:DC=1:2•求的长度；BC•若点在上，使得，E ABAE:EB=1:2求△的面积ADE解题提示第一问需要利用余弦定理求边的长度；BC第二问涉及三角形的面积计算和分割比的应用；需要利用点和点的分割比确定它们的位置，然后计算三角形的面积D EADE练习题解析5-求解长度BC在△中，已知，，∠ABC AB=√3AC=2BAC=30°利用余弦定理∠BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos BAC=√3²+2²-2·√3·2·cos30°=3+4-4√3·

0.866=7-4√3·

0.866∵，∴cos30°=√3/2=

0.866BC²=7-4√3·√3/2=7-4·3/2=7-6=1所以BC=1确定点和点的位置D E根据已知，所以点是的三等分点，靠近的那个，即BD:DC=1:2DBC B BD=1/3BC=1/3根据已知，所以点是的三等分点，靠近的那个，即AE:EB=1:2E ABA AE=1/3AB=√3/3计算的面积△ADE为计算△的面积，我们需要找到向量和ADE AD AE设点为坐标原点，点在轴正方向，则，A Bx B√3,0C2cos30°,2sin30°=√3,1根据分点公式，D=1/3B+2/3C=1/3√3,0+2/3√3,1=√3/3+2√3/3,2/3=√3,2/3E=1/3AB=√3/3,0现在，向量，向量AD=√3,2/3AE=√3/3,0△的面积ADE=1/2|AD×AE|=1/2|√3·0-2/3·√3/3|=1/2·2√3/9=√3/9拓展知识海伦公式-海伦公式的内容与正余弦定理的关系海伦公式（又称希伦公式）是计算三角形面积的一个公式，海伦公式可以从余弦定理推导出来利用余弦定理，我们仅需要三边长度就可以计算出三角形的面积可以计算出三角形的角度，然后利用计算面S=1/2ab·sinC积设三角形三边长分别为、、，半周长，abc s=a+b+c/2则三角形面积具体推导过程如下从余弦定理得，S=√[ss-as-bs-c]cosC=a²+b²-c²/2ab代入，并进行一系列代数S=1/2ab·sinC=1/2ab·√1-cos²C这个公式的优点是不需要知道三角形的高或角度，只需要变换，最终可以得到海伦公式知道三边长度就可以计算出面积海伦公式和正余弦定理共同构成了解决三角形问题的强大工具集拓展知识正弦和余弦函数图像-理解正弦和余弦函数的图像对于掌握三角函数及其应用至关重要正弦函数的图像是一条以原点为中心，上下对称波动的y=sinx曲线，周期为，值域为余弦函数的图像与正弦函数图像形状相同，只是向左平移了个单位2π[-1,1]y=cosxπ/2正弦函数和余弦函数之间存在密切关系，即余弦函数是正弦函数向左平移个单位得到的这一关系在解决cosx=sinx+π/2π/2三角问题时非常有用拓展应用工程测量-建筑工程道路勘测正余弦定理在建筑设计和结构分析在道路和铁路建设中，使用三角测中广泛应用，用于计算构件长度、量确定路线走向和高程变化角度和受力分析隧道施工桥梁设计隧道施工中，两端掘进需要精确的桥梁设计中需要精确计算跨度、高方向控制，使用三角测量保证两端度和支撑结构的角度，这些都依赖对接精度于三角学原理拓展应用天文计算-天体距离测量天文学家利用三角视差原理测量恒星距离当地球绕太阳运行时，近距离恒星相对于远距离恒星的位置会发生微小变化，通过测量这种变化的角度并利用三角函数，可以计算出恒星的距离天体定位天文导航中，通过测量天体（如太阳、月亮或特定恒星）的高度角和方位角，结合精确的时间记录，可以确定观测者在地球上的位置这一过程大量使用了三角函数计算卫星轨道计算人造卫星轨道的设计和跟踪需要复杂的三角函数计算工程师需要精确计算卫星在不同时间点的位置、速度和加速度，这些都基于开普勒定律和三角学原理行星运动研究研究行星运动时，天文学家需要计算行星轨道的各种参数，如离心率、倾角和周期这些计算广泛应用了三角函数和正余弦定理专题练习三角形的最值问题-问题描述在平面上有两个固定点和，距离为点在平面上移动，使得∠（为常数，）求三角形θθθA B2a P APB=0π面积的最大值，并求出此时点的位置APB P解题思路三角形的面积，其中是线段的中点，是点到线段中θAPB S=1/2·|AB|·|PO|·sin O AB|PO|P AB点的距离由于∠和都是常数，所以三角形面积正比于因此，要θAPB=|AB|=2a S|PO|使面积最大，需要找到使最大的点的位置|PO|P几何分析对于固定的，满足∠的所有点构成一个圆弧（不包括点θθAPB=P和）这个圆被称为过、两点且圆周角为的弓形要使θA BA B最大，应位于到该圆弧的最远点，也就是该圆弧关于的|PO|P OAB对称点专题练习三角形的最值问题解析-确定圆的方程设坐标系原点在点（的中点），点坐标为，点坐标为OABA-a,0B a,0所有满足∠APB=θ的点P构成一个圆这个圆的圆心C位于y轴上，设为0,h由于∠APB=θ，所以∠ACB=2θ（圆心角等于圆周角的两倍）在△ACB中，|AC|=|BC|=r（圆的半径），∠ACB=2θ，|AB|=2a利用余弦定理∠|AB|²=|AC|²+|BC|²-2·|AC|·|BC|·cos ACB2a²=r²+r²-2r²·cos2θ解得r=a/sinθ求最大值圆心C0,h，其中h=r·cosθ=a·cosθ/sinθ=a·cotθ点P到O的最大距离发生在P位于该圆与y轴正半轴的交点时，即P0,2h=0,2a·cotθ此时|PO|=2h=2a·cotθ三角形APB的面积最大值S_max=1/2·|AB|·|PO|·sinθ=1/2·2a·2a·cotθ·sinθ=2a²·cosθ结论当点P位于坐标0,2a·cotθ处时，三角形APB的面积达到最大值2a²·cosθ特殊情况分析当θ=π/2时，cosθ=0，最大面积为0，这符合几何直观，因为此时三点共线；当θ接近0时，cotθ趋于无穷大，最大面积趋于2a²专题练习不等式证明-问题解题思路在△中，证明为证明，我们可以考虑利用以下ABC sin²A+sin²B+sin²C≥9/4sin²A+sin²B+sin²C≥9/4方法这个不等式涉及三角形中三个角的正弦值，我们需要利用三角恒等式和三角形的性质来证明•利用正弦定理将角的正弦转化为边的表达式；•应用三角形的基本性质，如三角形不等式、内角和为提示可以利用正弦定理和均值不等式来解决这个问题等；180°•使用均值不等式对表达式进行放缩注意到是三个非负数的和，我们可以利sin²A+sin²B+sin²C用算术平均值几何平均值不等式-专题练习不等式证明解析-利用正弦定理根据正弦定理，在三角形中有，其中是外接圆半径ABC a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R所以，，sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R转化表达式sin²A+sin²B+sin²C=a/2R²+b/2R²+c/2R²=a²+b²+c²/4R²应用均值不等式根据均值不等式a²+b²+c²≥3abc^2/3而根据三角形面积公式，结合其他关系可得S=1/4√4a²b²-a²+b²-c²²abc/4R=2S所以，代入得abc^2/3≥8SR^2/3a²+b²+c²≥38SR^2/3进一步推导三角形面积可以表示为S S=1/2ab·sinC=1/2bc·sinA=1/2ca·sinB利用均值不等式sinA·sinB·sinC≤sinA+sinB+sinC/3³结合三角形内角和为，可证明180°sinA+sinB+sinC≥3√3/2得出结论最终可以证明sin²A+sin²B+sin²C≥9/4等号成立的条件是三角形为正三角形，即A=B=C=60°综合大题题目呈现1-324已知边数已知角数问题数量题目提供的边的数量题目提供的角的数量需要解决的子问题数在△中，已知边长，，，角、、分别对应边、、ABC a=6b=8c=10A BCabc•求角、、的大小；ABC•在边上求一点，使得⊥；BC PAP BC•求证点是边的中点；P BC•如果在三角形内部有一点，使得到三边的距离之和最小，求证是三角形的费马点（即到三个顶点的距离之和最D D DD小）综合大题解题思路1-第一问思路第三问思路已知三边长，利用余弦定理计算三个角的大小设，计算点的坐标，证明是的中点，即可a=6P P BC BP=PC=BC/2，对应角、、以利用第二问的结果和三角关系b=8c=10ABC1234第二问思路第四问思路利用垂线的性质，找到点在上的位置可以利用余弦了解费马点的性质当三角形的每个内角都小于时，P BC120°定理找到的角，以及三角函数关系费马点是三个顶点连接的三条线段与外接圆的交点证明A这一点与距离之和最小的点相同综合大题详细解答1-解答第一问解答第二问和第三问根据余弦定理由第一问的结果，我们知道△是直角三角形，且∠ABC C=90°设是边上的点，使得⊥由于本身垂直于（因为∠cosA=b²+c²-a²/2bc=8²+10²-6²/2·8·10=64+100-36/160=P BCAP BCBC ABC），所以线段垂直于意味着是点128/160=

0.8=90°AP BCP C所以角但这显然不符合题意，因为应该在上而不是与重合A=arccos

0.8≈

36.9°PBCC重新审视题目，可能是题目条件有误如果△不是直角三角形，cosB=a²+c²-b²/2ac=36+100-64/2·6·10=72/120=

0.6ABC则点的位置应该是点到的垂足PABC所以角B=arccos

0.6≈

53.1°基于三角形内一点到三边距离之和最小的问题，通常只有在每个cosC=a²+b²-c²/2ab=36+64-100/2·6·8=0/96=0内角都小于的三角形中，费马点才存在在我们的情况下，由120°于∠，费马点就是顶点所以角C=90°CC=90°验证，符合三角形内角和为

36.9°+

53.1°+90°=180°180°综合大题题目呈现2-题目描述1在平面直角坐标系中，△的三个顶点分别为，，ABC A0,0B4,0C2,3求内角2求三角形的三个内角的大小ABC求外心3求三角形的外接圆的圆心坐标和半径ABC求正弦关系4根据正弦定理，验证三边与对应角的正弦值之间的关系综合大题解题思路2-计算三边长度计算三个内角利用两点距离公式计算三角形的三边ABC利用余弦定理计算三角形内角长度2•cosA=|AB|²+|CA|²-|BC|²/2·|AB|·|CA|•|AB|=√[4-0²+0-0²]=4•cosB=|AB|²+|BC|²-|CA|²/2·|AB|·|BC|•|BC|=√[2-4²+3-0²]=√4+9=√13•cosC=|BC|²+|CA|²-|AB|²/2·|BC|·|CA|•|CA|=√[0-2²+0-3²]=√4+9=√13验证正弦定理外接圆的计算计算、和，验外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的|AB|/sinC|BC|/sinA|CA|/sinB4证它们是否相等根据正弦定理，这三交点计算垂直平分线的方程，求解交个比值应该相等，并且等于三角形外接点即得圆心坐标外接圆半径是圆心到圆直径的倒数任意顶点的距离综合大题详细解答2-计算内角计算外接圆验证正弦定理首先计算三边长度，，的中点为，的中点为，的利用正弦定理|AB|=4|BC|=√13|CA|AB2,0BC3,

1.5CA|AB|/sinC=|BC|/sinA=中点为=√131,

1.5|CA|/sinB=2R利用余弦定理的垂直平分线方程代入计算AB x=2|AB|/sinC=4/sin

67.4°=4/

0.9239≈

4.33的垂直平分线方程通过且斜率为cosA=4²+√13²-√13²/2·4·√13=16/8√13BC3,

1.5BC的垂直斜率，即=2/√13≈

0.55472/-2=-1|BC|/sinA=√13/sin

56.3°=√13/

0.8313≈

4.33因此，角的垂直平分线方程通过且斜率为A=arccos2/√13≈

56.3°CA1,

1.5CA|CA|/sinB=√13/sin

56.3°=√13/

0.8313≈

4.33的垂直斜率，即2/-2=-1验证这三个比值确实相等，且cosB=4²+√13²-√13²/2·4·√13=16/8√132R=2·2√2=求解这些方程的交点，得到外接圆圆心坐标，与计算结果有误差，需要检查计=2/√13≈

0.55474√2≈

5.66，外接圆半径为算过程2,2|2,2-0,0|=√8=2√2因此，角B=arccos2/√13≈

56.3°由三角形内角和为，角180°C=180°-

56.3°-

56.3°=

67.4°模拟测试第一部分-题号题目分值在△中，已知角，角，边，求边的分1ABC A=30°B=45°c=10a10长度在△中，已知边，边，边，求角的大小分2ABC a=3b=4c=5A10在△中，已知角，边，边，求边的长分3ABC A=60°b=8c=10a10度在△中，已知边，边，角，求边的长度分4ABC a=5b=6C=60°c10在△中，已知角，角，边，求三角形分5ABC A=45°B=60°c=1210的面积模拟测试第二部分-综合应用题综合应用题12在△ABC中，已知边BC=a，角A=α，角在锐角三角形ABC中，已知角A=30°，角B=β点D是BC上的一点，且AD⊥BCB=45°，角C=105°O是三角形的外心，点是的中点DBC•求证BD=a·cosβ/sinα+β•求证△是等腰三角形•求证CD=a·cosα/sinα+βADB•求证∠•若α+β=90°，求点D的位置AOD=135°•若，求三角形的外接圆半径AB=2综合应用题3在平面直角坐标系中，△的三个顶点分别为，，，其中，ABCA0,0Ba,0C0,b a0b0•求三角形的三个内角ABC•若三角形是等腰三角形，求与的关系ABC ab•若三角形的外接圆半径为，求的表达式ABC RR模拟测试第三部分-证明题应用题在△中，已知三边长、、满足一架飞机从机场起飞，以公里小时的速度向北飞行ABC abca²+b²=c²A320/1小时后，转向东北方向（即北偏东）飞行小时后到达45°2•证明cosC=0目的地B•证明sinA·sinB=ab/a²+b²•飞机从到的直线距离是多少公里？AB•若，求的值sinA=3sinB a/b•飞机从返回，应沿什么方向飞行？BA•若飞机从以公里小时的速度直接返回，需要多少B320/A时间？模拟测试答案与解析-第一部分答案利用正弦定理

1.a=c·sinA/sinC=10·sin30°/sin105°=10·

0.5/

0.9659≈

5.18利用余弦定理，

2.cosA=b²+c²-a²/2bc=4²+5²-3²/2·4·5=16+25-9/40=32/40=

0.8所以角A=arccos

0.8≈

36.9°利用余弦定理，

3.a²=b²+c²-2bc·cosA=8²+10²-2·8·10·cos60°=64+100-160·

0.5=164-80=84所以a=√84≈

9.17第二部分解析综合应用题的解答思路1利用正弦定理和余弦定理，结合三角形的面积公式和垂线的性质键是要理解⊥的几AD BC何意义，即是到的垂足DABC当α+β=90°时，三角形的一个内角为90°，是直角三角形这种情况下，垂足D的位置与角α、β有特殊关系第三部分解析证明题中，意味着△是直角三角形，且直角在点a²+b²=c²ABC C应用题需要利用向量和三角函数计算飞机的位置和方向飞机的路线可以分解为两个向量先向北飞行公里，再向东北飞行公里（水平分量）和3202·320·√2/2=320√2公里（垂直分量）2·320·√2/2=320√2复习要点正弦定理-定理内容应用条件注意事项在任意三角形中，各边与对适用于已知两角和一边，或当根据正弦定理求角时，如应角的正弦值之比相等，且已知两边和其中一个对应角果sinθ值在0到1之间，可能等于外接圆直径的倒数的情况特别注意对应关系有两个解需根据题目条件边对角，边对角，边和三角形存在条件判断哪个a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R aA bB c对角解是合理的C解题技巧利用正弦定理求解时，先确定已知量和待求量，然后利用三角形内角和为计算180°未知角正确建立等式关系，注意数值计算的精度复习要点余弦定理-余弦定理是三角形中关于边和角的重要关系式，它是勾股定理的推广，适用于任意三角形定理表述为，a²=b²+c²-2bc·cosA b²，=a²+c²-2ac·cosB c²=a²+b²-2ab·cosC余弦定理的主要应用场景有两类一是已知三边求角，即通过三条边的长度计算三角形的内角；二是已知两边和夹角求第三边，即通过两条边的长度和它们的夹角计算第三边的长度在实际应用中，如测量、导航和工程中，余弦定理是解决诸多问题的基础工具复习要点综合应用-灵活运用在复杂问题中灵活组合正余弦定理几何洞察运用几何直观理解问题的本质解题步骤明确已知条件和目标，选择合适的定理基础应用掌握正弦定理和余弦定理的基本用法学习方法建议理解而非记忆不要仅仅记忆公式，要理解定理的几何意义和推导过程尝试用不同方法证明正余弦定理，加深理解通过画图和模型，直观感受定理的应用条件和使用场景大量练习解决各种类型的练习题，从基础到综合应用分析每道题的解题思路，总结解题模式定期复习和自测，巩固所学知识参与小组讨论，互相出题和解答，拓宽思路建立知识联系将正余弦定理与其他数学知识点联系起来，如向量、解析几何等探索实际应用场景，如测量、导航等，增强学习动力了解定理的历史发展和在科学中的重要性错误分析记录和分析做错的题目，找出错误原因总结常见错误类型和防范措施遇到难题时，尝试多种解法，比较优劣培养严谨的解题习惯，注重结果的合理性验证备考策略合理规划时间制定详细的学习计划，分配足够时间给正余弦定理的学习和练习根据个人情况，可以每周安排小时专门用于此专题的复习和练习临近考试前，留出时间进行整体回2-3顾和查漏补缺有针对性的训练分析历年高考题中正余弦定理的出题特点和难度，有针对性地进行训练重点关注综合应用题和实际问题建模题，这些是高考中的常见题型多做计算题，提高计算速度和准确性掌握解题技巧熟练掌握正余弦定理的变形和推广，学会灵活应用训练辅助线的添加和几何关系的建立能力熟悉常见的解题模式和思路，提高解题效率注意角度范围的确定和多解情况的处理模拟测试与总结定期进行模拟测试，检验学习成果分析测试中的错误和不足，有针对性地补强总结个人的解题习惯和常见错误，制定改进策略建立知识脉络图，形成系统的知识结构总结与展望知识回顾重要意义通过本课程，我们系统学习了正弦正余弦定理是三角学的基石，也是定理和余弦定理的内容、证明和应1高考数学的重要考点，掌握这些定用，掌握了解决三角形各类问题的2理对提升几何问题解决能力至关重方法要未来方向学习目标继续深入学习三角学的其他内容，4希望通过不断练习，能够灵活运用如三角恒等变换、三角方程，并将3这些定理解决各类复杂问题，为高三角学知识与其他数学分支如向量、考数学做好充分准备解析几何等结合起来。