《线性代数》课件

《线性代数》欢迎来到《线性代数》课程！线性代数是现代数学的重要分支，也是理工科学生必修的基础课程本课程将带领大家探索向量空间、矩阵运算、线性变换等核心概念，以及它们在现实世界中的广泛应用线性代数不仅是解决复杂数学问题的强大工具，也是计算机科学、工程学、物理学、经济学等众多领域的基础通过本课程的学习，你将掌握解决现实问题的关键数学思维方法让我们一起踏上这段数学探索之旅，领略线性代数的优雅与力量！课程大纲与学习目标课程内容概述主要学习目标本课程涵盖向量空间基础、矩阵代数、线性方程组、行列式、矩阵掌握线性代数的基本概念、理论和方法，培养抽象思维和逻辑推理的逆、线性变换、特征值与特征向量、正交性、二次型及线性代数能力，能够运用线性代数知识解决实际问题应用等十大核心章节教材与参考资料考核方式主教材《线性代数》（第五版）同济大学数学系编，辅以《线性平时作业占，课堂表现占，期中考试占，期末考试30%10%20%代数及其应用》（著）和线上资源占期末考试采用闭卷形式David C.Lay MOOC40%第一章向量空间基础向量的概念了解向量的物理和数学含义，掌握向量的几何表示和代数表示，区分标量与向量的本质区别向量空间的定义学习向量空间的公理化定义，理解八条公理的内涵，能够判断一个集合是否构成向量空间线性相关性掌握线性组合、线性相关与线性无关的概念，能够判断一组向量是否线性相关基和维数理解向量空间的基与维数概念，学会求向量空间的一组基和维数，掌握坐标变换方法向量的定义与性质向量的几何表示向量的代数表示维向量空间n Rⁿ向量在几何上表示为带方向的线段，具有在代数上，向量可以表示为有序数组或列所有维向量构成维向量空间表n nRⁿR²大小（长度）和方向两个属性在几何空表二维向量表示为，三维向量表示示二维平面上的所有向量，表示三维空x,y R³间中，向量可以通过起点和终点来确定，为，其中、、是向量在各个坐间中的所有向量x,y,z xy z也可以仅由方向和长度来表示标轴上的分量是研究线性代数的基本对象之一，大Rⁿ几何向量可以进行平移，只要保持长度和维向量表示为₁₂，这是向多数线性代数的概念都可以在中进行n x,x,...,xRⁿₙ方向不变，位置的改变不会影响向量本身量最一般的表示形式直观理解向量运算向量加法的性质数乘运算的性质交换律结合律•a+b=b+a•αβa=αβa结合律分配律•a+b+c=a+b+•αa+b=αa+αbc分配律•α+βa=αa+βa零向量•a+0=a单位元•1·a=a负向量•a+-a=0数乘向量会改变向量的长度，当系数几何上，向量加法遵循平行四边形法为负时还会改变向量的方向则或三角形法则，即将向量首尾相连向量减法向量减法定义为，其中是的负向量，方向与相反，长度相a-b=a+-b-b b b同向量减法在几何上表示为从减数的终点到被减数的终点的向量向量范数向量的长度（模）向量₁₂的长度或模表示为，它衡量了向量的大a=a,a,...,a||a||ₙ小单位向量是长度为的向量，可通过标准化得到1u=a/||a||欧几里得范数最常用的范数是范数或欧几里得范数₂₁₂2-||a||=√a²+a²+...这与我们通常理解的直线距离相对应，也称为范数曼哈顿范数+aₙ²L²范数或曼哈顿范数定义为₁₁₂它1-||a||=|a|+|a|+...+|a|ₙ代表在城市街区中沿着网格线行走的总距离，也称为范数L¹其他常见范数范数或最大范数定义为₁₂∞-||a||∞=max{|a|,|a|,...,|a|}p-ₙ范数是一般形式||a||p=|a₁|ᵖ+|a₂|ᵖ+...+|a|ᵖ^1/p，其中ₙp≥1向量空间的定义向量空间的八条公理公理化定义包括向量加法的四条公理（封闭性、结向量空间是一个满足特定代数性质的集合律、单位元、逆元）和标量乘法的四合，其中定义了两种运算向量加法和V条公理（封闭性、结合律、分配律、单标量乘法位元）非向量空间的例子向量空间的例子不满足向量空间公理的集合，如正数集常见的向量空间包括、多项式空间、RⁿP（缺少零元和负元素）、自然数集（缺矩阵空间、函数空间等M少封闭性）等ₘₙ子空间32三条子空间判定条件平凡子空间非空子集⊂是的子空间，当且仅当对任何向量空间都有两个平凡子空间只含零向W V V1任意∈，有∈（加法封闭）；对量的子空间和向量空间本身u,v Wu+v W2{0}V任意∈和标量，有∈（数乘封闭）；u Wc cuW零向量∈30W∞无限多子空间中有无限多的子空间，包括过原点的任意直R³线和平面所有子空间都必须包含原点（零向量）子空间是向量空间的一个非空子集，它本身在相同的加法和标量乘法运算下也构成一个向量空间子空间的概念对于理解向量空间的结构至关重要，如中的子空间包括点（零向量）、线（一维）R³和面（二维）线性组合线性组合的定义给定向量₁₂和标量₁₂，它们的线性组合是向量v,v,...,v c,c,...,cₖₖ₁₁₂₂系数₁₂可以是任意实数c v+c v+...+c vc,c,...,cₖₖₖ线性组合的几何解释在中，两个非共线向量的所有线性组合构成整个平面；在中，三个非共面R²R³向量的所有线性组合构成整个空间线性组合表示向量的混合，系数表示各向量的权重生成子空间向量组₁₂的所有线性组合构成的集合称为生成的子空间，S={v,v,...,v}Sₖ记为这是包含的最小子空间，也是所有包含的子空间的交集spanS SS生成集的性质如果生成整个向量空间，则称是的一个生成集，即一个向S VS VV=spanS量空间可以有无限多个不同的生成集，但最小生成集的基数是唯一的线性相关与线性无关线性相关的定义线性无关的定义判定方法一组向量₁₂称为线性相关，一组向量₁₂称为线性无关，将向量组写成矩阵形式，计算矩阵的秩v,v,...,v v,v,...,vₖₖ如果存在不全为零的标量₁₂如果方程₁₁₂₂如果秩等于向量个数，则向量组线性无关；c,c,...,c v+c v+...+c vₖₖ，使得₁₁₂₂的唯一解是₁₂如果秩小于向量个数，则向量组线性相关c c v+c v+...+=0c=c=...=c=0ₖₖc v=0ₖₖ直观理解在线性相关的向量组中，至少直观理解线性无关的向量组中，没有任有一个向量可以表示为其他向量的线性组何一个向量可以表示为其他向量的线性组对于二维或三维向量，可以通过几何方法合这意味着这组向量中包含冗余信息合每个向量都提供了新的、独立的信息直观判断共线向量线性相关，共面但不共线的三个向量线性相关基与维数维数的定义向量空间的维数是其任意一组基中向量的个数坐标的概念向量在基下的唯一表示系数基的定义线性无关且生成整个空间的向量组基是向量空间中最重要的概念之一如果向量组₁₂既线性无关又生成整个向量空间，则称它为的一个基任何向量空间都{v,v,...,v}VVₙ有无数组基，但所有基中的向量个数相同，这个数就是向量空间的维数在给定基₁₂下，向量空间中的任意向量都可以唯一地表示为₁₁₂₂，其中₁₂称{v,v,...,v}v v=c v+c v+...+cvc,c,...,cₙₙₙₙ为在该基下的坐标不同基下，同一向量的坐标不同，但可以通过坐标变换矩阵进行转换v标准基与正交基第二章矩阵代数矩阵的定义了解矩阵的基本概念、表示法和分类矩阵运算掌握加减法、数乘、乘法等基本运算及其性质特殊矩阵熟悉常见特殊矩阵及其性质矩阵的初等变换理解初等变换的意义及应用矩阵代数是线性代数的核心部分，提供了处理线性方程组、线性变换等问题的强大工具本章将系统介绍矩阵的基本概念、运算法则、特殊类型以及初等变换，为后续章节奠定基础矩阵的定义与表示矩阵的概念矩阵是由m×n个数按照m行n列排列成的矩形阵列，通常记为A=[aᵢⱼ]ₓ，其ₘₙ中aᵢⱼ表示第i行第j列的元素矩阵可以看作向量的集合，也可以看作线性映射的表示矩阵的维度×矩阵有行列，称为行列矩阵当时，矩阵称为方阵或阶方阵m nm nm nm=n n矩阵的维度决定了它可以进行的操作和具有的性质矩阵元素的表示法矩阵A的第i行第j列元素通常记为aᵢⱼ、Ai,j或[A]ᵢⱼ通过元素的行列下标，我们可以精确定位矩阵中的任何元素矩阵的实际应用矩阵广泛应用于数据表示、线性方程组求解、线性变换、图像处理、网络分析、经济模型等众多领域，是描述和处理线性关系的强大工具矩阵的运算矩阵加法要求两个矩阵具有相同的维度，结果矩阵的每个元素是对应元素之和[A+B]ᵢⱼ=aᵢⱼ+bᵢⱼ矩阵减法类似，是对应元素相减矩阵的数乘是将标量乘以矩阵的每个元素[kA]ᵢⱼ=k·aᵢⱼ这会改变矩阵的大小但不改变方向矩阵乘法要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数若A是m×p矩阵，B是p×n矩阵，则C=AB是m×n矩阵，其中cᵢⱼ=Σᵖaᵢₖ₌₁ⱼ矩阵乘法表示复合线性变换，是线性代数中最核心的运算之一·bₖₖ矩阵乘法的性质结合律分配律对于矩阵、、，若乘法有定义，则结合律允许我对于矩阵、、，若运算有定义，则和A B C ABC=ABC A BC AB+C=AB+AC A+BC=们在不改变结果的情况下改变计算顺序，这在优化矩阵计算时非常有用分配律将矩阵乘法与加法联系起来，是矩阵代数的基本性质AC+BC单位矩阵矩阵乘法的应用阶单位矩阵满足，其中为阶方阵单位矩阵在矩阵乘矩阵乘法广泛应用于线性变换、图形变换、马尔可夫过程、网络分析、n I AI=IA=A A n法中扮演的角色，是矩阵理论中的重要元素数据压缩等领域理解矩阵乘法的几何意义有助于深入掌握线性代数1特殊矩阵零矩阵单位矩阵对角矩阵所有元素都为零的矩阵，记主对角线元素全为，其余元非主对角线元素全为的方阵10为零矩阵是矩阵加法的单素全为的方阵，记为单对角矩阵的乘法运算特别简O0I位元素，满足位矩阵是矩阵乘法的单位元单，两个对角矩阵的乘积仍A+O=O+A=A对任意矩阵，有素，满足（为方是对角矩阵，且对角元素相A AI=IA=A A（当运算有定义阵）乘A·O=O·A=O时）三角矩阵上三角矩阵是主对角线以下元素全为的矩阵；下三角矩0阵是主对角线以上元素全为0的矩阵三角矩阵在解线性方程组时有特殊优势矩阵的转置定义将矩阵的行与列互换得到的新矩阵，记A为Aᵀ若A是m×n矩阵，则Aᵀ是n×m矩阵计算方法[Aᵀ]ᵢⱼ=[A]ⱼᵢ，即A的第j行第i列元素变为Aᵀ的第i行第j列元素转置的性质A+Bᵀ=Aᵀ+Bᵀ，kAᵀ=kAᵀ，ABᵀ=BᵀAᵀ，Aᵀᵀ=A对称矩阵满足A=Aᵀ的方阵对称矩阵的元素关于主对角线对称，即aᵢⱼ=aⱼᵢ反对称矩阵满足A=-Aᵀ的方阵反对称矩阵的元素关于主对角线反对称，即aᵢⱼ=-aⱼᵢ，且主对角线元素全为0矩阵的转置操作在许多应用中都很重要，如二次型的研究、正规方程的推导等任何矩阵都可以唯一地分解为对称矩阵和反对称矩阵的和A=A+Aᵀ/2+A-Aᵀ/2矩阵的初等变换行初等变换列初等变换初等矩阵行初等变换包括三种基本操作列初等变换与行初等变换类似，作用于矩由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵阵的列对矩阵左乘初等矩阵相当于对进行相A EA交换两行

1.应的行初等变换；右乘相当于进行相应E交换两列用非零常数乘以某一行

1.

2.的列初等变换用非零常数乘以某一列将某行的倍数加到另一行

2.

3.初等矩阵是可逆的，其逆矩阵也是初等矩将某列的倍数加到另一列

3.行初等变换不改变线性方程组的解，是高阵斯消元法的基础列初等变换会改变线性方程组的未知数顺序矩阵的秩满秩矩阵秩的计算方法当矩阵的秩等于行数和列数中较小秩与线性方程组通过初等行变换将矩阵化为行阶梯值时，称为满秩矩阵×满秩矩m n形，计算非零行数目；或通过行列阵有重要性质若，则方程对于线性方程组，系数矩阵m≤n Ax=b A式计算所有子式，找出最高阶非零对任意有解；若，则的秩与增广矩阵的秩决定方程Ax=b b m≥n[A|b]秩的定义子式的阶数至多有唯一解组的解的情况若Ax=b矩阵的秩是的线性无关行（或列），则有无A A rankA=rank[A|b]n向量的最大数目，记为等穷多解；若rankA价地，秩也是的非零行阶梯形矩阵，则有唯ArankA=rank[A|b]=n中非零行的数目一解；若，则rankArank[A|b]无解第三章线性方程组线性方程组的表示解的结构高斯消元法线性方程组可以写成矩阵形式，其中线性方程组的解可以表示为特解与齐次方通过系统的行初等变换将增广矩阵转化为Ax=b是系数矩阵，是未知数向量，是常数向程组通解的和几何上，这表示解集是一行阶梯形或行最简形，从而求解线性方程A xb量通过矩阵表示，可以简洁地表达和处个过特解点、平行于齐次方程组解空间的组这是线性代数中最基本也是最重要的理大型线性方程组仿射子空间算法之一线性方程组的矩阵表示增广矩阵系数矩阵1将常数项向量添加到系数矩阵后得到的矩阵b由线性方程组中未知数系数组成的矩阵A2[A|b]向量形式的表示矩阵方程4Ax=b将未知数视为向量，方程组表示为向量的线3线性方程组的简洁表示形式性组合线性方程组₁₁₁₁₂₂₁₁₂₁₁₂₂₂₂₂₁₂可以简洁地表示a x+a x+...+a x=b,a x+a x+...+a x=b,...,a x+a x+...+a x=bₙₙₙₙₘ₁ₘ₂ₘₙₙₘ为矩阵方程，其中是×系数矩阵，是×未知数向量，是×常数向量Ax=b Am nx n1bm1矩阵表示不仅简化了方程组的记录方式，更重要的是提供了用线性代数工具研究方程组的途径通过研究矩阵的性质（如秩、行列式、特征值等），A可以深入了解方程组解的存在性和结构高斯消元法基本操作步骤高斯消元法的核心思想是通过初等行变换将线性方程组的增广矩阵转化为等价但更容易求解的形式具体步骤包括前向消元将矩阵化为行阶梯形，然后通过回代求出具体解[A|b]行阶梯形矩阵经过前向消元后得到的矩阵形式，其特点是非零行在零行之上；每个非零行的首非零元（主元）所在列在前一行主元右侧；主元所在列下方元素都为零这种形式使方程组求解变得简单直观行最简形矩阵在行阶梯形基础上进一步规范化得到的矩阵形式，其特点是每个非零行的主元等于；主元所在列的其他元素都为零行最简形是高斯若尔当消元法的目标形式，可以直接看出方程组的解1-解的回代过程从行阶梯形矩阵出发，从最后一个非零行开始，逐步向上代入已知解，计算出所有未知数的值对于有多个自由变量的情况，通过参数表示得到通解，其中自由变量可取任意值高斯若尔当消元法-消元过程高斯若尔当消元法在高斯消元的基础上增加了将主元化为和将主元所在列其他元素清零的-1步骤完整流程包括前向消元得到行阶梯形，将每行主元化为，后向消元清除主元列上方1的非零元素与高斯消元的区别高斯消元只求行阶梯形矩阵，需要回代求解；高斯若尔当法求行最简形矩阵，解可直接-从矩阵中读出高斯若尔当法额外执行了主元标准化和后向消元步骤，计算量更大但结-果更直观实际应用例题例如，解方程组，通过高斯若尔当消元可{2x+y-z=8,-3x-y+2z=-11,x+y+z=3}-得行最简形⁻，直接得出解该方法也可用于计算矩阵的逆、[I|A¹b]x=2,y=-1,z=2求解线性规划问题等计算复杂度分析对于×矩阵，高斯消元的时间复杂度为，高斯若尔当法为m nOm²n-对于大型稀疏矩阵，存在更高效的专用算法在实际应用中，需Om²n+mn²要考虑舍入误差和稳定性问题，可采用部分主元或完全主元消去法来提高数值稳定性齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次方程组的解结构非齐次线性方程组的解集（若非空）可以表示为₀，其中₀是方程组的一个特解，Ax=b x=x+x_h x x_h是对应齐次方程组的通解几何上，解集是与齐次方程组解空间平行的仿射子空间Ax=0通解的求解求解非齐次方程组的一般步骤是先解增广矩阵判断方程组是否有解；若有解，求出一个特解₀；求[A|b]x解对应齐次方程组的通解；最后将特解和齐次方程组的通解相加得到非齐次方程组的通解Ax=0x_h特解的求解求特解的常用方法是高斯消元，将自由变量全部设为，然后求解主元变量也可以通过行最简形矩阵直接0读出一个特解对于特殊形式的方程组，可以使用克拉默法则或逆矩阵法求特解解空间的几何解释在二维或三维空间中，线性方程组的几何解释直观明了一个线性方程表示一个直线或平面，方程组的解就是这些直线或平面的交点或交线非齐次方程组的解空间是一个点、一条直线、一个平面或更高维的仿射子空间线性方程组的应用工程问题建模经济分析计算机图形学应用线性方程组广泛应用于工程领域，如电路列昂惕夫投入产出模型是经济学中的经典在计算机图形学中，线性方程组用于三维分析（基尔霍夫定律）、结构分析（力平应用，用线性方程组描述各经济部门之间变换（如旋转、缩放、平移）、视角投影、衡方程）、热传导分析等这些物理系统的关系通过求解方程组，可以分析一个光线追踪和碰撞检测等图像处理中的滤可以通过建立线性方程组来描述其状态和部门产出变化对整个经济系统的影响，预波、图像复原和人脸识别等技术也大量使行为，通过求解方程组获得系统参数测经济增长和结构变化用线性方程组来处理像素数据第四章行列式行列式的定义行列式的性质行列式的应用行列式是与方阵相关联的特殊数值，用行列式具有多种重要性质转置不变性、行列式在线性代数中有广泛应用判断矩或表示它通过特定的计算规多线性性、行列交换改变符号等这些性阵的可逆性、计算矩阵的逆、解线性方程detA|A|则将×方阵映射为一个标量质使行列式成为研究线性变换和线性方程组（克拉默法则）、计算特征值等n n组的强大工具直观上，阶行列式的绝对值可以理解为在几何学中，行列式用于计算面积、体积n由维空间中个列向量所张成的超平行特别地，方阵可逆的充要条件是其行列式和向量的叉积；在物理学中，用于计算雅n n体的体积不为零，这是解决许多线性代数问题的关可比矩阵和坐标变换键行列式的定义行列式的严格定义建立在排列理论基础上阶行列式定义为所有可能的排列对应项的和，每项带有由排列奇偶性决定的正负号n detA=±₁₁₂₂，其中是的一个排列，符号取决于排列的奇偶性Σaσaσ...aσσ{1,2,...,n}ₙₙ二阶行列式计算简单₁₁₂₂₁₂₂₁，可理解为主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积三阶行列式可以通过沙鲁法则|A|=a a-a a计算，即主对角线方向的三个乘积之和减去副对角线方向的三个乘积之和代数余子式Aᵢⱼ是删除第i行和第j列后形成的子式的行列式，并乘以-1^i+j余子式与代数余子式是计算高阶行列式的重要工具行列式的性质转置不变性行列式的线性性质行列式的乘法定理矩阵与其转置矩阵的行列式相等，行列式对矩阵的行（或列）具有线两个方阵的行列式之积等于它们乘即detA=detAᵀ这意味着行性性质若矩阵A的第i行是两个向积的行列式detAB=列式中关于行的性质同样适用于列，量和的和，则这一性质在研究u vdetA=detA·detB反之亦然这大大简化了行列式的，其中线性变换的复合和矩阵的可逆性时detAu+detAv Au计算和性质证明表示的第行替换为的矩阵类非常有用特别地，若可逆，则A iu A似地，提取行的公因子若矩阵⁻A detA¹=1/detA的第行乘以常数，则行列式乘以i kk行列交换的影响交换矩阵的两行（或两列），行列式改变符号如果矩阵有两行（或两列）相同，则行列式为零这些性质解释了为什么线性相关的向量组构成的矩阵行列式为零，因为线性相关意味着存在线性组合使某行变为零行行列式的计算方法按行（列）展开利用代数余子式展开计算三角化方法通过初等变换将矩阵转化为三角形拉普拉斯展开按多行或多列展开计算特殊行列式的计算利用特殊矩阵的结构简化计算行列式的计算有多种方法，选择合适的方法可以大大简化计算过程按行（列）展开法是基于行列式的定义，选择一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和通常选择零元素最多的行或列展开，以减少计算量三角化方法利用行列式的性质，通过初等行变换将矩阵转化为上（下）三角形，然后直接计算主对角线元素的乘积这种方法对于大型矩阵尤其有效拉普拉斯展开是按行（列）展开的推广，适用于具有特殊结构的矩阵对于一些特殊形式的行列式，如范德蒙德行列式、循环行列式等，可以利用其特殊性质直接求解克拉默法则1762发现年份由瑞士数学家克拉默提出的求解线性方程组的方法n方程式数量适用于个方程个未知数的线性方程组n nn+1所需行列式数需要计算系数矩阵和个替换矩阵的行列式n0主行列式为零时方程组无解或有无穷多解，克拉默法则不适用克拉默法则用于求解个方程个未知数的线性方程组，其中是×的系数矩阵该方法要求系数矩阵的行列式不为零（即可逆）根据克拉默法则，n n Ax=b A n n A A每个未知数xᵢ的解为xᵢ=detAᵢ/detA，其中Aᵢ是将A的第i列替换为常数向量b后得到的矩阵克拉默法则的几何解释是，每个未知数的值等于相应替换矩阵的行列式与原系数矩阵行列式的比值，这反映了线性方程组解的几何构造虽然克拉默法则在理论上很优雅，但由于计算个阶行列式的复杂度高达，在计算机求解大型方程组时不如高斯消元法等迭代方法高效n+1n On!·n+1行列式的几何意义维空间的超体积n阶行列式的绝对值等于列向量张成的维平行体体积n n三维空间的体积阶行列式的绝对值等于三个列向量张成的平行六面体体积3二维平面的面积阶行列式的绝对值等于两个列向量张成的平行四边形面积2行列式的几何意义是矩阵列（或行）向量所张成的平行多面体的有向体积在二维平面中，×矩阵的行列式绝对值表示由两个列向量为边22的平行四边形的面积行列式的符号表示方向正值表示列向量按逆时针排列，负值表示顺时针排列在三维空间中，×矩阵的行列式绝对值表示由三个列向量为棱的平行六面体的体积这一几何解释可以推广到高维空间×矩阵的行列33n n式绝对值表示维超平行体的超体积当且仅当行列式为零时，这些向量线性相关，张成的图形塌陷为低维图形，体积为零n第五章矩阵的逆可逆矩阵的定义理解可逆矩阵的概念及其与行列式、秩的关系逆矩阵的性质掌握逆矩阵的基本性质及其在计算中的应用逆矩阵的计算方法学习伴随矩阵法、初等变换法等求逆方法矩阵可逆的条件掌握判断矩阵是否可逆的多种等价条件矩阵的逆是线性代数中最重要的概念之一，它在求解线性方程组、矩阵分解、线性变换等多个领域都有重要应用本章将系统介绍可逆矩阵的性质、计算方法以及可逆性的判断条件，为后续章节打下基础可逆矩阵的定义左逆与右逆逆矩阵的唯一性可逆矩阵的例子对于矩阵，如果存在矩阵使得，若阶方阵可逆，则其逆矩阵⁻是唯常见的可逆矩阵包括非零常数矩阵、对A B BA=I n A A¹则称为的左逆；如果存在矩阵使得一的，满足⁻⁻逆矩阵的唯角元素全非零的对角矩阵、初等矩阵、正B ACA¹A=AA¹=I，则称为的右逆矩阵的左逆和一性可以通过反证法证明假设有两个交矩阵等特别地，单位矩阵的逆是其AC=I CA AI右逆可能不同，但对于方阵，若左逆和右不同的逆₁和₂，则自身B B逆都存在，则它们必然相等₁₁₁₂₁₂₂B=B I=B AB=B AB=IB可逆矩阵在线性代数中扮演着核心角色，₂，矛盾=B对于非方阵，如果列满秩，则存在右逆；这一性质保证了可逆矩阵的逆是良好定义相当于实数中的非零数不可逆矩阵（奇如果行满秩，则存在左逆只有方阵才可的，确保了线性方程组的唯一解异矩阵）则相当于零，对应的线性变换会能同时拥有左逆和右逆导致降维逆矩阵的性质逆的逆转置矩阵的逆可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹也是可逆的，且A⁻¹⁻¹=A这一性质类若矩阵A可逆，则其转置矩阵Aᵀ也可逆，且Aᵀ⁻¹=A⁻¹ᵀ这一似于实数除法中从线性变换角度看，如果表示一个性质在研究对称矩阵、正交矩阵时特别有用由此可知，若是对称1/1/a=a AA可逆变换，则⁻表示其逆变换，将逆变换再逆回来就得到原变换可逆矩阵，则⁻也是对称的A¹A¹矩阵乘积的逆分块矩阵的逆若矩阵和都是可逆的方阵，则它们的乘积也可逆，且⁻对于特殊结构的分块矩阵，如对角块矩阵，其逆矩阵也具有相应的分AB AB AB¹⁻⁻注意逆矩阵的顺序与原矩阵相反，这反映了复合函数求块结构例如，若和是可逆方阵，则对角块矩阵的逆为=B¹A¹A DdiagA,D导的链式法则这一性质可推广到多个矩阵的乘积⁻⁻对于更复杂的分块矩阵，如果满足特定条件，也存diagA¹,D¹在分块求逆公式逆矩阵的计算方法伴随矩阵法初等变换法分块矩阵的求逆对于阶可逆矩阵，其逆矩阵⁻通过高斯若尔当消元法，将增广矩阵对于特殊结构的分块矩阵，可以利用分块n AA¹=-[A|I]，其中是的伴随矩通过行初等变换转化为⁻这是计算公式直接计算逆矩阵例如，对于×分adjA/detA adjAA[I|A¹]22阵，由的各元素的代数余子式的转置矩阵逆矩阵最常用的方法，适合程序实现，数块矩阵，如果满足特定条件，可以使用舒A组成这种方法理论上适用于任何可逆矩值上较为稳定其核心思想是利用同样的尔补公式这种方法对处理大型稀疏矩阵阵，但当较大时计算量巨大变换同时作用于单位矩阵或特殊结构矩阵很有效n矩阵可逆的条件零空间维数为0满秩矩阵阶方阵可逆的充要条件是其零nA阶方阵可逆的充要条件是空间，即齐次方程组nANA={0}，即是满秩矩阵只有零解这等价于的列行列式不为零rankA=nAAx=0A其他等价条件这意味着的行（或列）向量组线向量线性无关，的核空间仅包含A An阶方阵A可逆的充要条件是性无关，形成维空间的一组基零向量方阵可逆还有多个等价条件存n行列式为零意味着矩在矩阵使；可以表detA≠0BAB=BA=IA阵的列（或行）向量线性相关，示为若干初等矩阵的乘积；方程线性变换将空间压缩到更低维度，组对任意都有唯一解；Ax=bbA信息丢失，无法恢复的所有特征值都不为零等31第六章向量空间的线性变换线性变换的定义线性变换的矩阵表示核空间与像空间线性变换是保持向量加法和标量乘法的函给定基底，每个线性变换都可以由唯一的线性变换的核空间是映射到零向量的所有数，满足和矩阵表示反之，每个矩阵也定义了一个向量的集合，它反映了变换的信息丢失T:V→W Tu+v=Tu+Tv这种变换在几何上保持线线性变换这种对应关系将抽象的线性变像空间是变换值域的子空间，表示变换后Tcu=cTu性结构，如直线映射到直线，原点映射换与具体的矩阵运算联系起来能达到的所有向量到原点在不同基底下，同一线性变换有不同的矩核空间维数与像空间维数的和等于定义域理解线性变换是理解线性代数本质的关键，阵表示，它们之间通过相似变换关联的维数，这是线性变换的基本定理因为线性代数的核心就是研究向量空间及其之间的线性关系线性变换的定义线性性质常见的线性变换加法保持性恒等变换•Tu+v=Tu+Tv•Tv=v标量乘法保持性零变换•Tαv=αTv•Tv=0零向量映射性质缩放变换•T0=0•Tv=αv线性组合保持性旋转变换在平面内旋转固定角度••₁₁₂₂Tαv+αv+...+αv=反射变换关于某个子空间的反射ₙₙ•₁₁₂₂αTv+αTv+...+αTvₙₙ投影变换向某个子空间的正交投影•剪切变换保持某个方向不变的变形•线性变换的几何解释线性变换将直线映射为直线，平行线映射为平行线，原点映射为原点线性变换在几何上可以理解为对空间的拉伸、旋转、反射等基本操作的组合从几何角度看，线性变换是保持网格线平行且等分的变换，它只改变网格的形状和大小，不改变网格的基本结构线性变换的矩阵表示标准矩阵给定线性变换T:Rⁿ→Rᵐ，其标准矩阵A是由T作用于标准基向量的像组成的₁₂对任意向量，有标准矩阵完全A=[TeTe...Te]v Tv=Avₙ在不同基下的表示确定了线性变换，是研究线性变换的主要工具若中有基₁₂，中有基₁₂，则线性变换V B={v,v,...,v}W C={w,w,...,w}ₙₘ在这些基下的矩阵表示由ⱼ在下的坐标组成不同基下T:V→W[T]_C^B TvC相似变换的矩阵表示反映了同一线性变换的不同视角同一线性变换在不同基下的矩阵表示之间可通过相似变换联系T:V→V[T]_B⁻，其中是从基到基的过渡矩阵相似矩阵表示同一线性变=P¹[T]_BP P B B转移矩阵换，具有相同的特征多项式、特征值和迹从一个基到另一个基的转移矩阵将中的基向量表示为中基向量的线性B BPBB组合若在基下的坐标为，在基下的坐标为，则v B[v]_BB[v]_B[v]_B=转移矩阵是坐标变换的关键工具P[v]_B核空间与像空间线性变换的复合与逆两个线性变换的复合也是线性变换如果和是线性变换，则它们的复合∘定义为∘，也满足线性性质S:U→V T:V→W T S:U→W TSu=TSu在矩阵表示下，复合变换对应矩阵乘法∘，其中矩阵乘法的顺序与函数复合相同[TS]=[T][S]线性变换是可逆的，当且仅当是双射，即既是单射（核空间仅包含零向量）又是满射（像空间等于）这要求和维数相同，且T:V→W T T WV WT的矩阵表示是满秩的当可逆时，存在唯一的逆变换⁻，使得⁻∘和∘⁻TT¹:W→V T¹T=I_V TT¹=I_W逆变换的矩阵表示是原矩阵的逆⁻⁻可逆线性变换的几何意义是空间的可逆变形，如旋转、非零缩放和非奇异的线性组合，但不[T¹]=[T]¹包括投影和降维操作第七章特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征多项式对角化特征向量是线性变换作用后方向不变的非特征多项式是求解特征值如果阶方阵有个线性无关的特征向量，pλ=detA-λI nAn零向量，特征值是对应的缩放因子对于的关键工具阶方阵的特征多项式是次则可对角化存在可逆矩阵，使n nA P方阵，如果存在非零向量和标量使多项式，其根就是矩阵的特征值特征多⁻为对角矩阵，对角元素为的特征A vλP¹AP A，则称是的特征值，是对应于项式的系数包含矩阵的重要信息，如迹和值对角化简化了矩阵幂运算和函数计算，Av=λvλA vλ的特征向量行列式是线性代数中的重要工具特征值与特征向量的定义特征方程特征空间代数重数与几何重数求解特征值的关键方程是特征方程对应于特征值的特征空间是齐次方程组特征值的代数重数是它作为特征多项式λλ这个方程源于特征向量的解空间，即的根的重数特征值的几何重数是对应detA-λI=0A-λIv=0Eλ={v|Avλ的定义条件，将其改写为特征空间是向量空间的子空间，特征空间的维数，即线性无关的特征向Av=λv A-=λv}Eλ，要求非零解存在，则系数矩阵其维数称为特征值的几何重数量的最大数目λIv=0λ必须奇异不同特征值的特征向量线性无关，这意味几何重数永远不超过代数重数当所有特对于阶方阵，特征方程是关于的次方着对应不同特征值的特征空间之间只有零征值的几何重数等于其代数重数时，矩阵nλn程，最多有个根（考虑重根）每个根向量交集这一性质是对角化理论的基础可对角化若存在几何重数小于代数重数nλ都是矩阵的一个特征值的特征值，矩阵不可对角化ᵢA矩阵的对角化对角化的充分必要条件n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，或等价地，每个特征值λᵢ的几何重数等于其代数重数不是所有矩阵都可对角化，例如非零的幂零矩阵就不可对角化对角化的步骤对角化矩阵的步骤是求解特征方程得到所有特征值；对每个特征值A detA-λI=0λᵢ，求解齐次方程组A-λᵢIv=0得到特征向量；将这些特征向量作为列向量组成矩阵；则⁻，其中是以特征值为对角元素的对角矩阵P P¹AP=D D对角矩阵的性质对角矩阵有许多优良性质的次幂只需将对角元素分别乘方D Dk D^k=₁₂；矩阵函数₁₂；diagλ^k,λ^k,...,λ^k fD=diagfλ,fλ,...,fλₙₙ行列式是对角元素的乘积；迹是对角元素的和detD trD对角化的应用对角化有广泛应用计算矩阵高次幂⁻；求解线性递推关系；A^k=PD^kP¹求解微分方程组；分析二次型；主成分分析；谱分解等对角化将复杂的矩阵运算转化为简单的标量运算，大大简化了计算特殊矩阵的特征值矩阵类型特征值特点特征向量特点对称矩阵全部为实数可选取为相互正交的单位向量三角矩阵即为主对角线元素上三角矩阵的特征向量容易计算相似矩阵具有相同的特征值谱特征向量通过相似变换相关联正交矩阵模为，形如构成标准正交基1e^iθ幂零矩阵全部为通常不可对角化（标准型）0Jordan埃尔米特矩阵全部为实数构成希尔伯特空间的标准正交基不同类型的特殊矩阵具有特定的特征值和特征向量性质，这些性质对解决实际问题非常有用例如，对称矩阵总是可对角化，且可通过正交矩阵对角化，这在主成分分析、振动分析和量子力学中有重要应用正交矩阵的特征值模为，在二维情况下对应旋转和反射三角矩阵的特征值就是主对角线元素，这简化了特征值的1计算相似矩阵表示同一线性变换在不同基下的表示，具有相同的特征多项式和特征值，这解释了为什么特征值是线性变换的本质特性第八章正交性内积空间正交向量与正交补定义了内积运算的向量空间，内积赋予向量内积为零的向量对，以及与子空间所有向量长度和角度的概念正交的向量集合正交变换正交矩阵保持向量内积不变的线性变换，几何上保持满足的矩阵，表示正交变换Q^T Q=I角度和长度正交性是线性代数中的一个核心概念，它将几何直观与代数结构紧密结合通过内积，我们可以定义向量的长度、角度和正交性，从而在抽象的向量空间中引入几何度量本章将系统介绍内积空间的基本理论、正交向量的性质、正交基的构造方法、正交变换及其矩阵表示这些内容不仅有重要的理论意义，在数值计算、信号处理、量子力学等领域也有广泛应用内积与内积空间内积的定义内积的性质内积是定义在向量空间上的二元函数，满足共轭对称性内积具有多种重要性质柯西施瓦茨不等式；三V u,v-|u,v|≤||u||·||v||⟨⟩⟨⟩（实向量空间中即对称性）；关于第一个参数的线角不等式；平行四边形法则u,v=v,u*||u+v||≤||u||+||v||||u+v||²+||u-v||²=⟨⟩⟨⟩性性；正定性当且仅当内积为向量空间增添了长度这些性质将内积与向量的几何性质联系起来v,v0v≠02||u||²+||v||²⟨⟩和角度的概念标准内积其他常见内积在Rⁿ中的标准内积定义为u,v=u₁v₁+u₂v₂+...+u v=函数空间中的内积在C[a,b]上，f,g=∫ₐᵇftgtdt；带权内积⟨⟩ₙₙ⟨⟩uᵀv在Cⁿ中，标准内积为u,v=u₁v₁*+u₂v₂*+...+u,v=uᵀWv，其中W是正定矩阵；离散内积u,v=Σᵢwᵢuᵢvᵢ，⟨⟩⟨⟩⟨⟩u v*=u^Hv，其中v*表示v的共轭标准内积是最常用的内积形式其中wᵢ是权重不同的内积定义了不同的距离和角度度量ₙₙ正交向量与正交基规范正交基单位正交向量组成的基，是最理想的基底1正交基的构造2通过施密特正交化过程从任意基得到正交基正交向量定义内积为零的向量对，几何上相互垂直两个向量和称为正交，如果它们的内积为零在标准内积下，正交对应于几何上的垂直零向量与任意向量正交，但通常我们考虑非零向u vu,v=0⟨⟩量之间的正交性正交向量集是向量间两两正交的集合，此类向量集必然线性无关施密特正交化过程是一种将线性无关向量组转化为正交基的经典方法具体步骤是保留第一个向量；将后续每个向量减去它在前面已正交化向量方向上的投影，得到与前面所有向量正交的新向量最后，通过标准化（除以向量长度）得到规范正交基正交投影是向量在子空间上的最佳近似向量在子空间上的正交投影满足与中所有向量正交若₁₂是的一组正交基，v Wp_Wv v-p_Wv W{u,u,...,u}Wₖ则p_Wv=Σᵢv,uᵢ/uᵢ,uᵢuᵢ；若是规范正交基，则p_Wv=Σᵢv,uᵢuᵢ⟨⟩⟨⟩⟨⟩正交变换与正交矩阵第九章二次型二次型的定义理解二次型的本质及其矩阵表示合同变换2通过变量替换简化二次型的形式正定二次型3研究二次型的正定性及其判定方法二次型的规范形将二次型化为最简形式，揭示其几何意义二次型是线性代数中的重要概念，它是向量空间中的二次函数，在数学、物理和工程中有广泛应用本章将系统介绍二次型的基本理论、标准形变换、正定性判定以及几何解释，为后续应用奠定基础二次型的矩阵表示二次型与对称矩阵标准形二次曲线与二次曲面n元二次型是形如fx=Σᵢⱼaᵢⱼxᵢxⱼ的二次型的标准形是不含交叉项的形式二次型定义了多维空间中的二次曲线和曲多项式，其中从到每个二次型都₁₁₂₂面在二维平面上，二次型i,j1n fy=λy²+λy²+...+fx,y=ax²可以用矩阵形式表示，其，其中是对称矩阵的特征值对应于形如fx=xᵀAxλy²λᵢA+2bxy+cy²ax²+2bxy+ₙₙ中是维列向量，是阶方阵通过正交变换（是的特征向量的二次曲线（椭圆、双曲线、抛x nAnx=Py PA cy²=d组成的正交矩阵），可以将任意二次型化物线）可以证明，对任意二次型，总存在唯一的为标准形对称矩阵使这是因为任何标准形简化了二次型的分析，使其几何意在三维空间，二次型定义了二次曲面，如A fx=xᵀAx矩阵都可以唯一分解为对称部分和反对称义更加清晰例如，在二维情况下，标准椭球面、双曲面、抛物面等通过二次型部分，而反对称部分在二次型中的贡献为形对应于旋转后的椭圆、双曲线或抛物线的规范形，可以确定这些曲线和曲面的类零型和形状参数二次型的合同变换合同变换的定义合同变换是通过可逆线性变换y=Cx改变变量的过程在矩阵表示下，原二次型fx=xᵀAx变为fy=yᵀC⁻¹ᵀAC⁻¹y=yᵀBy，其中B=C⁻¹ᵀAC⁻¹，或等价地A=CᵀBC矩阵A和B称为合同矩阵惯性定理惯性定理是二次型理论的基本定理，它指出任何二次型通过合同变换都可以化为标准形₁fy=y²+₂，其中正项数和负项数与原二次型的对称矩阵有关，且y²+...+y²-y²-...-y²p qₚₚ₊₁ₚ₊ₙ等于矩阵的秩p+q正惯性指数与负惯性指数标准形中正项的个数称为正惯性指数，负项的个数称为负惯性指数正惯性指数等于对称矩阵的正特征p q值个数，负惯性指数等于负特征值个数惯性指数对合同变换不变，是二次型的重要不变量实例分析例如，二次型对应的对称矩阵有一个正特征值和两个负特征值，fx,y,z=2x²+3y²-4z²+2xy-6yz A因此其规范形为这表明该二次型在几何上对应一个双曲面gu,v,w=u²-v²-w²正定二次型正定二次型是对任意非零向量都满足的二次型相应的对称矩阵称为正定矩阵正定二次型在最优化、稳定性分析、统计学等x fx=xᵀAx0A领域有重要应用几何上，正定二次型在原点附近形成碗状曲面，具有唯一的局部最小值点判断二次型正定性的方法有多种特征值判定法对称矩阵的所有特征值都为正；顺序主子式判定法的所有顺序主子式都为正；1A2A分解可分解为，其中是下三角矩阵；判别法的所有主元都为正3Cholesky ALLᵀL4Sylvester A半正定矩阵是满足对任意向量都有的对称矩阵与正定矩阵类似，可通过特征值或顺序主子式判断是半正定的当且仅当其所有特征xxᵀAx≥0A值非负半正定矩阵在统计学中的协方差矩阵、机器学习中的核矩阵、最小二乘法等领域有广泛应用第十章线性代数的应用线性代数在计算机科学中的应用数据分析与机器学习中的应用工程中的应用线性代数是计算机科学的基础工具，广泛在数据科学领域，线性代数是核心数学工工程学中，线性代数用于结构分析（有限应用于计算机图形学（坐标变换、光照模具主成分分析通过特征值分解降维；元方法）、控制系统（状态空间表示）、PCA型）、搜索引擎（算法）、密码奇异值分解用于数据压缩和协同过滤；电路分析（节点方程）、信号处理（傅立PageRank SVD学（矩阵加密）、人工智能（神经网络计线性回归、支持向量机等算法都基于向量叶变换、滤波器设计）等这些应用将物算）等领域许多复杂的计算问题可以转空间理论矩阵运算的高效实现使大规模理世界的问题转化为可解的数学模型，是化为矩阵运算，利用高效的线性代数算法数据分析成为可能现代工程计算的基础求解最小二乘法最小二乘问题的数学模型最小二乘法解决超定线性方程组（方程数多于未知数）的近似解问题当精确解不存在时，寻找使残差向量的欧几里得范数₂最小的解这等价于最小化目标函数Ax=b r=Ax-b||r||fx=||Ax-b||₂²=Ax-bᵀAx-b正规方程通过求导并令梯度为零，得到最小二乘解应满足的正规方程AᵀAx=Aᵀb当AᵀA可逆（即A列满秩）时，最小二乘解唯一x=AᵀA⁻¹Aᵀb实际计算中，通常不直接求逆，而是通过QR分解、奇异值分解等数值稳定的方法求解几何解释几何上，最小二乘解使得Ax是b在A的列空间上的正交投影残差向量r=b-Ax垂直于A的列空间，即Aᵀr=0这种正交性确保了残差的平方和最小此外，最小二乘解也是使得原方程组尽可能满足的解应用实例最小二乘法广泛应用于数据拟合、回归分析、信号处理等领域例如，在线性回归中，通过最小二乘法找到最佳拟合直线；在测量误差分析中，用于处理冗余观测数据；在信号处理中，用于滤波和参数估计加权最小二乘法通过引入权重矩阵，优化加权目标函数₂W||WAx-b||²特征值分解与奇异值分解特征值分解奇异值分解的定义图像压缩应用特征值分解（也称谱分解）是将方阵表奇异值分解是将任意×矩阵在图像压缩中有重要应用图像可表A SVDm nA SVD示为⁻的形式，其中是对角分解为的形式，其中是示为像素矩阵，通过分解并保留最大A=PDP¹D A=UΣVᵀU SVD矩阵，对角元素是的特征值；的列向×正交矩阵，是×正交矩阵，的个奇异值及对应的特征向量，可以得A Pm mV nnΣk量是对应的特征向量这种分解仅适用于是×对角矩阵，对角元素称为奇异到原图像的低秩近似这种方法能以较小m nσᵢ可对角化的方阵值，通常按非增顺序排列的存储空间保留图像的主要特征特征值分解揭示了矩阵作为线性变换的本与特征值分解相比，适用于任意维度SVD质可以理解为在一组特殊基底下的拉伸的矩阵，不要求矩阵可对角化从两压缩率和图像质量之间存在权衡保留更SVD变换这种分解简化了矩阵幂运算、矩阵个方向揭示矩阵结构的列向量是多奇异值会提高近似质量但减少压缩率；U AAᵀ指数和其他矩阵函数的计算的特征向量，的列向量是的特征向保留较少奇异值则增加压缩率但可能丢失V AᵀA量细节实践中，根据具体需求选择合适的值k线性代数在机器学习中的应用向量空间模型降维技术线性回归向量空间模型是自然语降维是处理高维数据的线性回归是最基本的监言处理和信息检索的基关键技术主成分分析督学习算法，其核心是础文档和查询被表示通过特征值分解，求解最小二乘问题岭PCA为高维向量空间中的向将数据投影到方差最大回归和通过在损LASSO量，向量间的余弦相似的方向；线性判别分析失函数中增加正则化项，度用于计算文档相关性寻找最能区分不解决多重共线性和特征LDA这种表示方法使得文本同类别的投影方向；选择问题这些方法直t-数据可以用线性代数工和等非线性接应用线性代数中的矩SNE UMAP具处理方法也基于线性代数原阵求解技术理支持向量机支持向量机是强SVM大的分类算法，寻找最大化类别间隔的超平面核方法通过将数据映射到高维空间，解决非线性分类问题的数SVM学基础深植于线性代数和凸优化理论课程总结与展望研究热点与前沿张量分解、随机矩阵理论、量子计算中的线性代数进阶学习方向泛函分析、微分几何、数值线性代数知识体系梳理向量空间线性变换矩阵表示特征分析应用→→→→核心概念回顾线性相关性、基与维数、矩阵运算、特征值、正交性通过本课程的学习，我们已经掌握了线性代数的核心概念和方法，从向量空间的基本理论到矩阵代数、线性变换、特征值理论以及二次型等这些知识构成了一个完整而系统的框架，使我们能够用数学语言描述和解决现实世界中的线性问题线性代数不仅是一门基础数学学科，也是深入学习其他领域的钥匙在未来的学习中，可以向数值分析、优化理论、泛函分析等方向拓展，也可以将线性代数应用于深度学习、量子计算、控制理论等前沿领域希望同学们能够将所学知识灵活运用，并在实践中不断深化理解最后，要强调的是线性代数的学习不仅是掌握计算技巧，更重要的是培养抽象思维能力和几何直观，学会用线性代数的视角观察世界这种数学思维方式将在你未来的学术和职业生涯中发挥重要作用。