中学数学微课《二次函数图像解析》课件

二次函数图像解析欢来数图课这习过们将迎到《二次函像解析》程在个系统的学程中，我深讨数质现应过图入探二次函的本、特性及其在实世界中的用通可视化像分们将这数现析，我理解一学概念如何优雅地描述自然界中的各种象课将对数观认识图换规本程帮助你逐步建立二次函的直，掌握其像特点和变应题问题过这课对这律，并学会灵活用到解和实际中希望通次微，你能一数重要的学概念形成清晰、完整的理解课程目标理解二次函数的概念们将讨数数我探二次函的基本定义、学表达形式以及其重要性过将识别关数通深入理解，你能够生活中的二次系，并用学语们言准确描述它掌握二次函数的图像特征抛线数图们将习抛线开物是二次函的像，我学如何分析物的口对称轴顶关键这数方向、、点等特征，以及些特征如何与函表数关达式中的参相联学会分析二次函数的性质们将数单调质习我研究二次函的性、最值、零点等重要性，学过图观这质应们问题如何通像直理解些性，并用它解决实际什么是二次函数？二次函数的定义二次函数的意义数数数二次函是形如y=ax²+bx+c二次函是初中学中最重要的数为线数许现a≠0的函，其中a、b、c非性函，它可以描述多数为数现抛常，x变量二次函的特实生活中的象，如物体的物为这润问点是自变量的最高次幂2，运动、经济学中的利最大化图现独抛题使得它的像呈出特的物等线状形二次函数的应用领数应线在物理学、经济学、工程学等域，二次函被广泛用于描述非性关时时关产产系例如，物体自由落体的位移与间系、品成本与生量的关系等二次函数的三种形式1一般式2顶点式显抛y=ax²+bx+c是最常见的y=ax-h²+k示了物数这线顶标这二次函表达形式在个形点的坐h,k种形抛线开观抛线式中，a决定物的口方式直地反映了物的位置宽对称轴数进向和窄，b影响的位，便于分析函的最值和行轴这图换过置，c确定与y的交点种像变通完全平方公式进数导将转换为顶形式适合行代运算和求可以一般式点式3交点式₁₂抛线轴标₁₂y=ax-x x-x表明了物与x的交点坐x,0和x,这抛线轴时别时0种形式在已知物与x交点特有用，同也便于分析函数的零点和因式分解一般式y=ax²+bx+c1系数a的作用数抛线开宽当时抛线开系a决定了物的口方向和窄程度a0，物口当时抛线开时抛线向上；a0，物口向下同，|a|的值越大，物就越抛线宽窄；|a|的值越小，物就越2系数b的影响数抛线对称轴对称轴系b影响物的位置的方程是x=-b/2ab的变导抛线轴图化会致物沿x平移，从而改变整个像的位置3常数项c的作用数项抛线轴标为导常c决定了物与y的交点，交点坐0,cc的变化会抛线轴图标轴关致物沿y上下平移，从而改变像与坐的位置系系数的作用a开口方向开口向下宽窄影响当时抛线开数对当时抛线开数对抛线宽a0，物口向上，函在a0，物口向下，函在|a|的值决定了物的窄|a|越大，称轴侧侧顶数称轴侧侧顶数抛线剧抛左递减，右递增，点是函左递增，右递减，点是函物越窄，变化越烈；|a|越小，这抛线这抛线线宽缓这的最小值点种情况下，物像一的最大值点种情况下，物像一物越，变化越平反映了二次数个向上的碗，能够收集和聚焦个倒扣的碗，能够分散和发散函变化率的快慢系数的作用b平移效应质当抛线轴b的变化本上相于物沿x方向2过对称轴位置的平移通配方法可以看出，b实际顶标上决定了点的x坐，从而影响整个数抛线对称轴图系b直接影响物的位置，1像的水平位置对称轴当的方程是x=-b/2a b=0时对称轴为轴当时对称轴与的关系a，y；b0，轴侧当时对称轴轴在y左；b0，在y对称轴侧注意b和a共同决定位置相同的右对导对称轴b值，于不同符号的a会致位3这关数数置相反种系反映了二次函参杂之间的复互动常数项的作用c轴交点决定垂直平移效应与图像整体位置的关系y数项抛线轴当抛线轴抛线标对常c决定了物与y的交点，交点c的变化相于物沿y方向的平移c值的变化会影响物与坐系的相位标为这为当时数当时抛线当轴数坐0,c是因x=0，函c增大，整个物向上平移；c减置，包括与x的交点量c的变化可能过观们时抛线抛线导抛线轴为值y=c通察c值，我可以直接知小，整个物向下平移，但物的致物从与x有两个交点变一个图轴状对称轴没道像与y相交的位置形和保持不变交点，或者有交点顶点式y=ax-h²+k顶点直观表示1顶标直接反映点坐平移变换明确2水平和垂直平移清晰最值查找容易3顶为点即最值点图像特征清晰4对称开性和口一目了然顶数显抛线顶标这们观数图当点式是二次函的一种特殊表达形式，它明确地示了物点的坐h,k种形式使得我能够直地理解二次函像的位置和特征我们数对称进图换时顶为需要研究函的最值、性或行像变，点式尤有用转换为顶过称为这数顶们观应数从一般式点式的程配方法，是分析二次函的重要技能掌握点式可以帮助我更加直地理解和用二次函顶点式的特点水平平移垂直平移开口方向与宽窄数抛线对抛线数抛线对抛线数抛参h表示物相于基本物y=参k表示物相于基本物y=参a与一般式中的作用相同，决定物当时抛当时线开宽时开ax²在水平方向的平移量h0，ax-h²在垂直方向的平移量k0的口方向和窄程度a0口向线单当时抛抛线单当时时开抛线物向右平移h个位；h0，物，物向上平移k个位；k0，上，a0口向下，|a|越大物越窄线单这抛抛线单这顶向左平移|h|个位种平移不改变物向下平移|k|个位垂直平移同样一点在点式中保持不变线状开抛线状开物的形和口方向不改变物的形和口方向交点式₁₂y=ax-x x-x交点表示₁₂别抛线轴横标这在交点式中，x和x分代表物与x的两个交点的坐种数对数别形式直接展示了函的零点，于研究函的值域和判定符号特有用适用场景当们数轴时为这我已知函与x的交点，使用交点式表达最方便在解题过过数质问题程中经常遇到，尤其是需要通零点分析函性的与一般式的转换过转为开一般式可以通因式分解化交点式同样，交点式展后可这转换们选择问题以得到一般式种帮助我灵活最适合的表达形式二次函数图像抛物线抛线数图关键对称开顶对称现为抛线关线对物是二次函的像，它具有几个特征性、确定的口方向和唯一的点性表物于一条垂直（称轴对称开数顶抛线对称轴数）；口方向由系a的符号决定；点是物上最特殊的点，它位于上，是函的极值点抛线这对数质绘图关问题关应这们识别了解物的些基本特征于分析二次函的性、制像以及解决相至重要在实际用中，些特征帮助我抛线现和描述自然界中的物象抛物线的对称性对称轴的确定过计对称轴通算-b/2a可以直接得到数2对称轴方程的位置例如，函y=2x²-8x+7的对称轴对是x=--8/2×2=2确定称轴抛线绘图抛线对称轴为是分析物和制像的重要步物的方程x=-b/2a骤对称轴轴线抛是一条垂直于x的直，物线关这线对称这对1于条直左右意味着顶点与对称轴称轴侧横标对称轴两的点，如果坐距离们纵标抛线顶对称轴这相等，那么它的坐也相等物的点总是位于上是为顶抛线3因点是物的最高点或最低点，对称这须对称轴而根据性，一点必在上对称轴顶横确定了，就能确定点的坐标抛物线的开口方向1开口向上2开口向下当项数时抛当项数时抛二次系a0，物二次系a0，物线开这抛线开这抛口向上种情况下，口向下种情况下，线穷远线穷远物在无处向上延伸，像物在无处向下延伸，像开抛开抛一个向上的碗口向上的一个倒扣的碗口向下的线顶线顶物有一个最小值点，即点物有一个最大值点，即点数顶侧数顶侧，函值从点向两无限增，函值从点向两无限减大小3开口方向的判断断抛线开数负们判物口方向只需看系a的正在实际分析中，我可以通过观数围内来断开过计阶察函在大范的增减性判口方向，或者通算二导数阶的符号（在高中段）抛物线的顶点顶点坐标的计算顶点的物理意义顶点与解题应用抛线顶标为顶抛线数顶许问题关键物点的坐-b/2a,f-b/点是物上的特殊点，它是函的找到点是解决多最值的横标对称轴纵开当们抛2a其中坐是的位置，最高点或最低点（取决于口方向）例如，我需要确定一个物体出后标将横标数计顶产坐是坐代入原函算得到的在物理学中，点可以表示物体运动的能达到的最大高度，或者一个品的价对数顶抛获润时例如，于函y=2x²-8x+7，点最高点或某个物理量的极值例如，格如何设定才能得最大利，都需横标为纵标为计对应数顶标的坐x=2，坐y=22²-物运动中物体达到的最大高度点要算二次函的点坐82+7=-1如何快速绘制抛物线？确定开口方向观数抛线开还开这抛线状数首先察系a的符号，确定物是口向上a0是口向下a0决定了物的基本形和函的增减性找出对称轴计对称轴对称轴抛线关键绘抛线线纸这线为算的方程x=-b/2a是理解物位置的，也是制物的参考在上画出条垂直作基准计算顶点坐标顶标顶抛线们标标这绘抛线确定点坐-b/2a,f-b/2a点是物上最特殊的点，通常我会先在坐系中出个点，然后基于它制整个物求出y轴交点计数时这抛线轴抛线算函在x=0的值，即y=c个点0,c是物与y的交点，它提供了另一个确定物位置的参考点选取其他点并连接选择对称轴计应标标这线连抛线状左右的几个x值，算相的y值在坐系中出些点，然后用平滑的曲接所有点，形成物的形示例y=x²-4x+3确定开口方向1抛线开这诉们数远由于a=10，所以物口向上告我函有最小值，随着x值离顶数点，函值会增大计算对称轴2对称轴抛线关线对称这x=-b/2a=--4/2×1=2物于直x=2，意味着数x=2左右相同距离的点有相同的函值确定顶点坐标3顶横标数计纵标点坐x=2，代入原函算坐y=2²-4×2+3=4-8+3=-1顶标为这数所以点坐2,-1，是函的最小值点4找出y轴交点当时抛线轴标为x=0，y=0²-4×0+3=3因此，物与y的交点坐0,3绘制的图像y=x²-4x+3标说特征点坐明顶数点2,-1函的最小值点轴数图轴y交点0,3函像与y相交的点轴数图轴x交点1,0和3,0函像与x相交的点对称轴抛线对称轴x=2物的抛线其他点1,

0、3,0物上的其他特征点绘这抛线时们标顶轴过计轴制个物，我首先出点2,-1和y交点0,3然后通算得到x则交点令y=0，x²-4x+3=0，使用因式分解或公式法解得x=1或x=3们标标这绘线过这线关我在坐系中出些特征点，然后制一条平滑的曲通些点，确保曲对称这数图绘于x=2样就完成了函y=x²-4x+3的像制二次函数的性质单调性开口向下的单调性当时数对称轴侧单调2a0，二次函在左对称轴侧单调递增，在右递减如同爬开口向上的单调性顶山，先上升到山，再下降1当时数对称轴侧单a0，二次函在左调对称轴侧单调递减，在右递增如同单调性的应用爬山，先下降到谷底，再上升单调理解性有助于解决不等式、确定函数围问题3值的范，以及在实际中分析变关量间的系变化二次函数的性质最值开口向上的最小值开口向下的最大值当数项数时当数项数时二次函的二次系a0二次函的二次系a0抛线开数顶抛线开数顶，物口向上，函在点，物口向下，函在点这为这处取得最小值个最小值f-处取得最大值个最大值同样过计b/2a=-b²/4a+c例如，可以通算f-b/2a得到对数对数于函y=2x²-8x+7，最小例如，于函y=-x²+4x-3为现为现值-1，出在x=2处，最大值1，出在x=2处最值的实际意义应抛在实际用中，最值往往代表特殊的物理或经济意义例如，在物运产润动中，物体达到的最大高度；在经济学中，品的最大利或最小成本结计数；在工程学中，构的最佳设参等二次函数与一元二次方程的关系方程与交点的对应解的数量与判别式代数与几何的结合对应数别这关现数紧一元二次方程ax²+bx+c=0的解于方程解的量取决于判式Δ=b²-4ac的种系体了代与几何的密联系数图轴当时数们过数二次函y=ax²+bx+c的像与x的符号Δ0，方程有两个不同的实我可以通代方法（求根公式）解方标换话说数对应图轴当过绘图交点坐句，方程的根就是函解，像与x有两个交点；Δ=0程，也可以通几何方法（制像找交图轴时标这对应关时对应图轴这为像与x相交的x坐值种，方程有一个重根，像与x相点）解方程两种方法互补充，共同们过图观当时没数对应图们对问题系使我能够通像直理解方程的解切；Δ0，方程有实解，加深我的理解轴没像与x有交点练习确定二次函数的开口方向案例一y=-2x²+5x-11项数分析二次系案例二y=

0.5x²-3x+42断负判a的正案例三y=-x²+23观数察函形式这练习们过观数项数来抛线开这数在个中，我需要通察二次函表达式中的二次系a确定物的口方向是分析二次函最基本也是最重要的一步为数许质态，因它决定了函的多基本性，如最值类型和整体形对数们断项数负抛线开抛线开数于每个函，我只需要判二次系a的正如果a0，物口向上；如果a0，物口向下注意，即使函表达式较为杂们关数抛线开复，我也只需注x²的系例如，在y=-2x²+5x-1中，a=-2，因此物口向下练习答案1y=-2x²+5x-1开口2y=

0.5x²-3x+4开向下口向上这数项数这数项数个函的二次系a=-2个函的二次系a=

0.5抛线开抛线开0，因此物口向下0，因此物口向上这该数这该数图意味着函有最大值，而表明函有最小值，像数图对称轴对称轴侧单调对非最小值函像在在左递减，在侧单调对称轴侧称轴侧单调对称轴左递增，在右右递增位单调对称轴为为顶标为递减位置x=置x=3，点坐3,4-顶标为5/4，点坐5/4,9/8+9/2=3,-

0.57/8=5/4,23y=-x²+2开口向下这数项数抛线开该数个函的二次系a=-10，因此物口向下函有最对称轴为轴顶单标大值，x=0（即y），点位于原点上方2个位处，坐为这关轴对称抛线0,2是一个于y的物练习求对称轴方程y=x²-6x+5y=-2x²+8x-7y=3x²-1对这数对这数们这数于个二次函，我于个函，我同个函的形式稍有不们对称轴应对称轴识识别需要运用公式样用公式同，但原理相同来计对称别数数x=-b/2a算系a=-2,b=8,系a=3,b=0,c=轴识别计这这方程首先各系c=-7代入公式算-1注意里b=0，数为项数a=1,b=-6,c=5x=-8/2×-2=-是因x的一次系将这这为些值代入公式，8/-4=2因此，0代入公式x=-们计数对称轴我需要算x=--个函的方程是0/2×3=0因此，当为负数这数对称轴6/2×1=6/2=3x=2注意a个函的是x这数对称时为负数轴这抛因此，个函的，分母也，需=0，即y表明轴线关轴对称方程是x=3要注意符号变化物于y练习答案——对称轴位置对称轴位置数对称轴数对称轴第一个函y=x²-6x+5的是x=3第二个函y=-2x²+8x-7的是x=2这抛线关线对称顶这线抛线对称轴数意味着物于直x=3，点的条直是物的，也是函取横标们横标为这抛线开坐也是3如果我取x=3左右等距离得最大值的点的坐，因个物们数的两点，如x=2和x=4，它的函值相等口向下—对称轴位置数对称轴第三个函y=3x²-1的是x=0，即y轴这抛线关轴对称这表明物是于y的，是因为数没项这顶函中有x的一次种情况下，点轴标为位于y上，坐0,-1练习计算顶点坐标函数分析1计数顶标们顶横标对称轴要算二次函点坐，我需要先确定点的坐（位置），将数纵标对数们将应这然后其代入原函求得坐于每个函，我系统地用一方2y=x²-4x+3法计对称轴将数首先算x=-b/2a=--4/2×1=2然后x=2代入函y=顶标为这顶数y=-2x²+12x-1532²-4×2+3=4-8+3=-1因此，点坐2,-1个点是函的为抛线开最小值点，因物口向上计对称轴数算x=-b/2a=-12/2×-2=-12/-4=3代入函y=-顶标为2×3²+12×3-15=-2×9+36-15=-18+36-15=3点坐3,34y=

0.5x²+2x+1这数，是函的最大值点计对称轴数算x=-b/2a=-2/2×

0.5=-2/1=-2代入函y=

0.5×-顶标为这2²+2×-2+1=

0.5×4-4+1=2-4+1=-1点坐-2,-1，是数函的最小值点练习答案数顶标为这开抛线顶抛线轴为轴过第一个函y=x²-4x+3的点坐2,-1是一个口向上的物，点是其最小值点物与y的交点0,3，与x的交点通解方程x²-4x+3=0得到为，x=1或x=3数顶标为这开抛线顶抛线轴为轴过第二个函y=-2x²+12x-15的点坐3,3是一个口向下的物，点是其最大值点物与y的交点0,-15，与x的交点可通解方程-2x²+12x-15=0得到数顶标为这开抛线顶抛线轴为轴过第三个函y=

0.5x²+2x+1的点坐-2,-1是一个口向上的物，点是其最小值点物与y的交点0,1，与x的交点可通解方程

0.5x²+2x+1=0确定二次函数的应用物理学抛物线运动自由落体其他物理应用数应抛当数还许应在物理学中，二次函最典型的用是自由落体是物运动的特例物体垂二次函在物理学中有多其他用抛线当时时关为弹势场描述物体的物运动物体以一定直下落，其位移与间的系s=，如描述性能E=1/2kx²、电中抛这数过带转轨简谐初速度被出后，在重力作用下，其路1/2gt²，是一个二次函通分析电粒子的偏迹、振动中位移径抛线状这这数们计时时关这应呈物形种运动可以用二次个函，我可以算物体在任意与间的系等些用展示了二次数₀₀来数规函y=-1/2gt²+v t+h描述，其刻的位置、速度和加速度，从而理解重函在描述自然律中的重要性₀₀对中g是重力加速度，v是初始速度，h力物体运动的影响是初始高度二次函数的应用经济学产量总成本边际成本数应数润数数产单产项规当产规时单在经济学中，二次函广泛用于描述成本函和利函成本函Cx=ax²+bx+c表示生x位品所需的总成本，其中二次反映了模经济或不经济的影响生模小，位成本可规当规过时单规能下降（模经济）；模大，位成本可能上升（模不经济）润数数数数过润数顶润产这对产利函πx=Rx-Cx常常呈二次函形式，其中Rx是收入函，Cx是成本函通分析利函的点，企业可以确定能够最大化利的量水平种分析企业的生决策和价格策略导具有重要指意义二次函数的应用工程学桥梁设计抛物线天线光学设计抛线状计悬抛线线抛抛镜在桥梁工程中，物形常用于设物天利用了物面的聚焦特性，能在光学工程中，物面反射被用于聚光这计抛线结将线汇将远镜抛索桥和拱桥种设利用了物构够平行光聚到一个焦点，或焦点灯、车前灯和望等设备中利用物匀载匀这将在均荷下受力均的特性，能够有效发出的信号反射成平行光束一特性使面的反射特性，可以光源放在焦点处，稳抛线线卫产将线分散重力，提高桥梁的承重能力和定性物天在雷达系统、星通信和射电生平行光束；或者平行光聚焦到一应天文学中有着广泛用点，提高光能利用效率函数变换平移垂直平移原理数图轴对数进垂直平移改变函像在y方向的位置于二次函y=ax²，若换则图轴单当时行变得到y=ax²+c，像在y方向上平移c个位c0，图当时图图状开像向上平移；c0，像向下平移平移不改变像的形和口方向水平平移原理数图轴对数进水平平移改变函像在x方向的位置于二次函y=ax²，若换则图轴单当时行变得到y=ax-h²，像在x方向上平移h个位h0图当时图图，像向右平移；h0，像向左平移同样，平移不改变像的状开形和口方向综合平移数综为图轴二次函的合平移可以表示y=ax-h²+k，像先在x方向平单轴单这们移h个位，再在y方向平移k个位种表达形式就是我前面学习顶抛线顶标的点式，其中h,k就是物的点坐垂直平移示例数换抛线为当们给数数时抛线垂直平移是二次函最基本的变之一以基本物y=x²例，我函加上一个常c，得到y=x²+c，整个物在y轴单来说数抛线负数抛线方向上移动c个位具体，如果c是正，物向上移动；如果c是，物向下移动对数过抛线单顶为轴应为于函y=x²+2，原本通原点0,0的物向上平移2个位，点从0,0变0,2，与y的交点也相地从0,0变0,对数抛线单顶为这换抛线状开2而于函y=x²-3，物向下平移3个位，点从0,0变0,-3种变不会改变物的形和口方向，只改变标其在坐系中的垂直位置水平平移示例———原函数位置右移距离左移距离数图过对数抛线对数抛线基本二次函y=x²的像是一条通原点于函y=x-2²，原物向右平移2于函y=x+1²，原物向左平移1抛线顶对称轴单抛线顶对称单抛线顶对称的物，其点位于原点0,0，个位新物的点位于2,0，个位新物的点位于-1,0，轴抛线开轴为当时轴为当时是y物口向上，随着|x|的增大，变x=2x=0，y=0-2²=4，变x=-1x=0，y=0+1²=1来抛线轴为抛线轴为y值增长越越快意味着新物与y的交点0,4，意味着新物与y的交点0,1函数变换伸缩垂直伸缩定义水平伸缩定义缩数图轴缩数图轴垂直伸是指改变函像在y方水平伸是指改变函像在x方压缩对压缩对向上的拉伸或程度于二次函向上的拉伸或程度于二次函数换为数换为y=ax²，若变y=kax²（其中y=ax²，若变y=akx²（其则图轴则图轴k0），像在y方向上发生伸中k0），像在x方向上发生缩当时图轴缩当时图k1，像在y方向上被伸有趣的是，k1，像在抛线当轴压缩抛线拉伸，物变得更窄；0k1x方向上被，物变得更窄时图轴压缩抛当时图轴，像在y方向上被，物；0k1，像在x方向上被线宽抛线宽变得更拉伸，物变得更伸缩与系数关系缩项数缩则过来图垂直伸直接影响二次系，而水平伸通改变自变量间接影响像缩抛线状开对称轴两种伸都会改变物的形，但不会改变其口方向和的垂直性理这缩区别对杂数换关解两种伸的于分析复的函变至重要垂直伸缩示例x值y=x²y=2x²y=

0.5x²缩数抛线为当们将数换为时对数数这抛线来垂直伸直接影响函值的变化率以基本物y=x²例，我函变y=2x²，于相同的x值，新函的y值是原函的2倍使得物在垂直方向上被拉伸，看起更窄更陡峭当数换为时数数抛线压缩来宽缓论进缩抛线顶对称轴轴相反，函变y=

0.5x²，新函的y值是原函的一半，物在垂直方向上被，看起更更平需要注意的是，无行怎样的垂直伸，物的点位置（0,0）和（y开宽）都不会改变，只有口的窄发生变化。