函数的导数与单调性：课件解析

函数的导数与单调性课件解析本课件旨在深入解析函数的导数与单调性之间的关系我们将从导数的基本概念出发，逐步探讨导数在判断函数单调性、求解极值与最值、分析函数凹凸性以及描绘函数图像中的应用通过本课件的学习，您将能够系统掌握利用导数分析函数性质的方法，并能将其应用于实际问题的解决中课程目标理解导数的概念掌握导数与函数单调性的12关系深入理解导数的定义，掌掌握导数与函数单调性之握导数的几何意义和物理间的内在联系，能够利用意义，为后续应用打下坚导数判断函数的单调区间实基础学会运用导数分析函数性质3综合运用导数知识，分析函数的极值、最值、凹凸性等性质，并能描绘函数图像导数的定义导数是函数在某一点处的变化率的精确描述，它反映了函数在该点附近的变化趋势导数的定义可以通过极限来表示其中，表示函数在点处的导数，趋近于时，的极限值就是导数fx=lim[h→0]fx+h-fx/h fx fx xh0fx+h-fx/h导数的定义揭示了导数与函数变化之间的密切关系，它是微积分学中最基本、最重要的概念之一理解导数的定义是掌握导数应用的前提导数的几何意义切线斜率函数图像的瞬时变化率导数表示函数在点处的切线斜率切线是函导数反映了函数在点处的瞬时变化率当导数大fx fx x,fx fx fx x数图像在该点处的最优线性逼近，其斜率反映了函数在该于时，函数在该点处单调递增；当导数小于时，函数在00点处的瞬时变化率该点处单调递减；当导数等于时，函数在该点处可能存在0极值点导数的物理意义瞬时速度瞬时加速度如果表示物体在时间的位置，那么表示物体在时间如果表示物体在时间的瞬时速度，那么表示物体在st tst t vt tvt的瞬时速度，即物体在该时刻的运动速度时间的瞬时加速度，即物体速度变化的快慢t常见函数的导数公式x^n=nx^n-1sinx=cosx幂函数的导数，其中为实数正弦函数的导数ne^x=e^x指数函数的导数，以自然常数为底e掌握这些基本导数公式，可以快速求解一些常见函数的导数，为后续复杂函数的求导打下基础同时，还需要熟记其他常见函数的导数公式，如，等cosx=-sinx lnx=1/x导数的四则运算u±v=u±v和差的导数等于导数的和差//uv=uv+uv积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数u/v=uv-uv/v^2商的导数公式利用导数的四则运算，可以将复杂函数分解为简单函数进行求导，简化计算过程需要注意的是，商的导数公式中，分母不能为0复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数复合函数求导法则（也称为链式法则）指出，即，先对外层函数fgx=fgx·gx求导，再乘以内层函数的导数这一法则在求解复杂函数的导数时非常有用要熟练掌握链式法则，需要多加练习，理解其本质可以将复合函数分解为多个简单函数，逐层求导，最终得到结果隐函数求导对等式两边同时求导1将看作的函数，对等式两边同时求导，应用链式法则y x解出的表达式y2整理等式，将的项移到一边，其他项移到另一边，解y出的表达式y隐函数是指函数关系没有显式表达出来的函数隐函数求导的关键在于将看作的函数，并应用链式法则在求解过程中，需要注意的表y x y达式可能包含和，不能忽略对的依赖关系xyy x高阶导数二阶导数fx21一阶导数fx三阶导数fx3高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数二阶导数是导数的导数，三阶导数是二阶导数的导数，以此类推高阶导数在物理、工程等领域有重要应用，例如，加速度是位移函数的二阶导数函数单调性的定义单调递增单调递减在区间上，如果对于任意的∈，且，都有在区间上，如果对于任意的∈，且，都有I x1,x2I x1x2I x1,x2I x1x2，则称函数在区间上单调递增，则称函数在区间上单调递减fx1fx2fx Ifx1fx2fx I单调性是函数的重要性质之一，它描述了函数值随自变量变化的趋势单调递增函数的值随着自变量的增大而增大，单调递减函数的值随着自变量的增大而减小导数与函数单调性的关系fx01函数单调递增fx02函数单调递减fx=03函数可能存在极值点或单调区间分界点导数是判断函数单调性的重要工具如果函数在某区间内的导数大于，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于，则00函数在该区间内单调递减；如果导数等于，则函数在该点处可能存在极值点或单调区间分界点0单调性定理设在区间上可导，则若，则在上单调递增；若fx Ifx0fx Ifx0，则在上单调递减该定理是利用导数判断函数单调性的理论基fx I础，它将导数的符号与函数的单调性联系起来，为我们提供了一种有效的分析方法单调性定理的应用需要注意以下几点一是函数必须在区间上可导；I二是导数的符号必须在该区间内保持一致；三是单调性定理只能判断函数的单调性，不能判断函数是否存在极值点单调性的判断步骤求函数的导数计算fx求导数的零点解方程fx=0，求出导数的零点确定导数的符号分析导数在各区间内的符号判断函数的单调区间根据导数的符号，判断函数的单调区间判断函数单调性的步骤包括求函数的导数、求导数的零点、确定导数的符号、判断函数的单调区间其中，求导数的零点是关键步骤，它将函数的定义域划分为若干个区间，然后在每个区间内确定导数的符号，从而判断函数的单调性例题判断的单调性fx=x^3-3x本例题旨在通过一个具体的例子，演示如何利用导数判断函数的单调性函数是一个三次函数，它的单调性可以通过求导数、fx=x^3-3x求导数的零点、确定导数的符号、判断函数的单调区间等步骤来确定通过本例题的学习，您将能够掌握利用导数判断函数单调性的具体方法解析求导数对函数求导，得到导数反映了函数fx=x^3-3x fx=3x^2-3fx fx在各点处的变化率接下来，我们需要求出导数的零点，以便确定函数单调区间的划分解析求导数的零点令，解得这两个点是导数的零点，也是函数单fx=3x^2-3=0x=±1调区间的划分点接下来，我们需要确定导数在各区间内的符号，以便判断函数的单调性解析确定导数的符号x-1fx0-1x1fx0x1fx0当时，；当时，；当时，根据x-1fx0-1x1fx0x1fx0导数的符号，可以判断函数的单调区间解析判断函数的单调区间根据导数的符号，可以得出函数的单调区间在fx=x^3-3x-∞,-1和上单调递增，在上单调递减这与函数图像的趋势是一1,+∞-1,1致的，验证了利用导数判断函数单调性的正确性函数图像与单调性上升曲线下降曲线函数图像呈现上升趋势，表明函数在该区间内单调递增函数图像呈现下降趋势，表明函数在该区间内单调递减函数图像是函数单调性的直观表现通过观察函数图像，可以快速判断函数的单调区间上升曲线对应单调递增区间，下降曲线对应单调递减区间单调性与极值单调性与极值之间存在密切联系单调性的变化点可能是极值点极值点是指函数在某一点处取得极大值或极小值极值点处的导数可能等于，也可能不存在因此，在寻找极值点时，需要重点关注单调性0的变化点极值的必要条件极值的必要条件是指函数在某点取得极值的必要条件如果函数在点处取得极值，则或不存在满足该fx x0fx0=0fx0条件的点称为驻点或奇异点需要注意的是，满足极值必要条件的点不一定是极值点，还需要进一步判断极值的充分条件由正变负由负变正fx fx极大值函数在该点处取得极大值极小值函数在该点处取得极小值极值的充分条件是指函数在某点取得极值的充分条件如果函数在某点附近的导数由正变负，则函数在该点处取得极大值；如果函数在某点附近的导数由负变正，则函数在该点处取得极小值例题求的极值fx=x^3-3x^2+2本例题旨在通过一个具体的例子，演示如何利用导数求解函数的极值函数是一个三次函数，它的极值可以通过求导数fx=x^3-3x^2+

2、求驻点、判断极值等步骤来确定通过本例题的学习，您将能够掌握利用导数求解函数极值的具体方法解析求导数对函数求导，得到导数反映了函fx=x^3-3x^2+2fx=3x^2-6x fx数在各点处的变化率接下来，我们需要求出导数的零点，以便确fx定函数极值点的候选点解析求驻点令，解得或这两个点是导数的零点，也是fx=3x^2-6x=0x=0x=2函数极值点的候选点接下来，我们需要判断这两个点是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点解析判断极值通过判断导数在和附近的符号变化，可以确定这两个点是否x=0x=2为极值点，以及是极大值点还是极小值点经判断，为极大值点x=0，为极小值点因此，函数在处取得极大值x=2fx=x^3-3x^2+2x=0，在处取得极小值x=2函数的最值函数的最值是指函数在给定区间内的最大值和最小值闭区间上连续函数的最值定理指出，闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值求解函数的最值通常需要结合导数和函数图像进行分析最值定理的应用步骤求函数的驻点1计算，并求出的解fx fx=0计算函数在驻点和端点的值2分别计算函数在驻点和区间端点的值比较得出最值3比较函数在驻点和端点的值，得出最大值和最小值最值定理的应用步骤包括求函数的驻点、计算函数在驻点和端点的值、比较得出最值其中，求函数的驻点是关键步骤，它确定了函数极值点的候选点在比较函数值时，需要同时考虑驻点和区间端点的值，才能得出函数的最值例题求在上的最值fx=x^3-3x[-2,2]本例题旨在通过一个具体的例子，演示如何利用导数求解函数在闭区间上的最值函数是一个三次函数，它fx=x^3-3x的最值可以通过求驻点、计算函数在驻点和端点的值、比较得出最值等步骤来确定通过本例题的学习，您将能够掌握利用导数求解函数在闭区间上最值的具体方法解析求驻点对函数求导，得到令，解得这两个点是导数的零点，也是函数极值点fx=x^3-3x fx=3x^2-3fx=3x^2-3=0x=±1的候选点由于这两个点都在区间内，因此都需要考虑[-2,2]解析计算函数值分别计算函数在驻点、和端点、处的值，得到x=-1x=1x=-2x=2f-2，，，这些值是函数最值的候选值=-2f-1=2f1=-2f2=2解析比较得出最值比较函数在驻点和端点的值，可以得出函数在区间fx=x^3-3x[-2,2]上的最值最小值是，在和处取得；最大值是，在-2x=-2x=12x=-1和处取得x=2函数的凹凸性凹函数凸函数函数图像向下弯曲，切线位于图像下方函数图像向上弯曲，切线位于图像上方函数的凹凸性描述了函数图像的弯曲方向凹函数图像向下弯曲，凸函数图像向上弯曲凹凸性是函数的重要性质之一，它可以帮助我们更好地理解函数图像的特征二阶导数与凹凸性fx0fx012凹函数凸函数fx=03可能为拐点二阶导数是判断函数凹凸性的重要工具如果函数的二阶导数大于，0则函数在该区间内为凹函数；如果二阶导数小于，则函数在该区间内0为凸函数；如果二阶导数等于，则该点可能为拐点，需要进一步判断0拐点的定义拐点是指函数图像凹凸性发生改变的点在拐点处，函数的二阶导数可能等于，也可能不存在寻找拐点需要重点关注二0阶导数的零点和不存在的点拐点的判定判断某点是否为拐点，需要考察该点附近的二阶导数符号是否发生改变如果二阶导数在该点附近由正变负，或者由负变正，则该点为拐点如果二阶导数在该点附近符号不变，则该点不是拐点例题讨论的凹凸性fx=x^3本例题旨在通过一个具体的例子，演示如何利用二阶导数讨论函数的凹凸性函数是一个三次函数，它的凹凸性可以通过求二阶fx=x^3导数、判断二阶导数的符号等步骤来确定通过本例题的学习，您将能够掌握利用二阶导数讨论函数凹凸性的具体方法解析求二阶导数对函数求一阶导数，得到再对求导，得到fx=x^3fx=3x^2fx fx二阶导数反映了函数凹凸性的变化情况接下来，我们=6x fx fx需要判断二阶导数的符号，以便确定函数的凹凸区间解析判断凹凸性当时，，函数为凸函数；当时，，函数为凹函数；当时，，该点为拐点因此，函数x0fx0x0fx0x=0fx=0在时为凸函数，在时为凹函数，在处存在拐点fx=x^3x0x0x=0函数图像的描绘函数图像的描绘是函数性质分析的综合应用通过单调性、极值、凹凸性等性质的分析，可以更准确地描绘函数图像，从而更好地理解函数的特征函数图像的描绘是数学学习的重要内容，也是解决实际问题的重要工具函数图像描绘步骤确定定义域确定函数的定义域求导数，判断单调性计算fx，判断函数的单调区间求二阶导数，判断凹凸性计算fx，判断函数的凹凸区间确定特殊点求出函数的零点、极值点、拐点等特殊点绘制函数图像根据以上分析结果，绘制函数图像函数图像描绘的步骤包括确定定义域、求导数并判断单调性、求二阶导数并判断凹凸性、确定特殊点、绘制函数图像其中，每一步都是必不可少的，只有综合考虑函数的各种性质，才能准确地描绘出函数图像例题描绘的图fx=x^3-3x^2+2像本例题旨在通过一个具体的例子，演示如何综合运用单调性、极值、凹凸性等性质描绘函数图像函数是一个三次函数fx=x^3-3x^2+2，通过对该函数的分析，可以掌握函数图像描绘的具体方法解析确定定义域函数是一个多项式函数，其定义域为，即全体实数fx=x^3-3x^2+2R解析求导数，判断单调性对函数求导，得到令fx=x^3-3x^2+2fx=3x^2-6x=3xx-2fx，解得或因此，函数在和上单调递增，在=0x=0x=2-∞,02,+∞上单调递减0,2解析求二阶导数，判断凹凸性对函数求导，得到令，解得fx=3x^2-6x fx=6x-6fx=0x=1因此，函数在上为凸函数，在上为凹函数-∞,11,+∞解析确定特殊点函数的零点为，极值点为（极大值），fx=x^3-3x^2+2x=1x=0x=2（极小值），拐点为这些特殊点是描绘函数图像的重要参考点x=1解析绘制函数图像根据以上分析结果，可以绘制函数的图像图像呈fx=x^3-3x^2+2现三次函数的特征，具有一个极大值点、一个极小值点和一个拐点通过观察图像，可以更直观地理解函数的各种性质导数在实际问题中的应用速度与加速度经济学中的边际概念导数在物理学中可以用来描述物导数在经济学中可以用来描述边体的速度和加速度际成本、边际收益等边际概念导数在实际问题中有着广泛的应用例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以用来描述边际成本、边际收益等边际概念这些应用都体现了导数在描述变化率方面的优势例题某物体的位移函数为st=，求它在时的速t^3-3t^2+2t t=2度和加速度本例题旨在通过一个具体的例子，演示如何利用导数求解物体的速度和加速度已知物体的位移函数，可以通过求导数来确定物体的速度和加速度通过本例题的学习，您将能够掌握利用导数求解物体速度和加速度的具体方法解析速度对位移函数求导，得到速度函数st=t^3-3t^2+2tvt=st=3t^2-6t将代入速度函数，得到因此，物体在+2t=2v2=3·2^2-6·2+2=2时的速度为t=22解析加速度对速度函数求导，得到加速度函数vt=3t^2-6t+2at=vt=6t-6将代入加速度函数，得到因此，物体在时的t=2a2=6·2-6=6t=2加速度为6导数与函数的近似计算线性近似泰勒展开利用切线方程近似计算函数值利用泰勒公式近似计算函数值，精度更高导数可以用于函数的近似计算线性近似利用切线方程近似计算函数值，泰勒展开利用泰勒公式近似计算函数值，精度更高这些近似计算方法在实际问题中有着广泛的应用，例如，在工程计算中，可以利用近似计算方法简化计算过程例题用线性近似计算√17本例题旨在通过一个具体的例子，演示如何利用线性近似计算函数值线性近似利用切线方程近似计算函数值，其基本思想是利用函数在某一点附近的切线来近似代替函数在该点附近的值通过本例题的学习，您将能够掌握利用线性近似计算函数值的具体方法解析构造函数构造函数，并选择合适的选择是因为，是fx=√x x0=16x0=16√16=4一个容易计算的值接下来，我们需要求出函数在处的导数fx x0=16，以便利用线性近似公式进行计算解析求导数对函数求导，得到导数反映了函数在各点处的变化率接下来，我们需要计算函数在fx=√xfx=1/2√xfx fxfxx0处的导数，以便利用线性近似公式进行计算=16解析线性近似公式线性近似公式为该公式利用函数在处的切线来近似代替函数在附近的值其中，是函数fx≈fx0+fx0x-x0x0xfx0在处的值，是函数在处的导数，是需要计算函数值的点，是已知函数值和导数的点x0fx0x0xx0解析计算将，，，代入线性近似公式，得到x=17x0=16fx0=4fx0=1/2·4因此，的线性近似值为，与实√17≈4+1/2·4·17-16=

4.125√

174.125际值相差不大，说明线性近似方法是有效的

4.123课程总结导数的定义和意义导数与函数单调性的关系导数在函数性质分析中的应用123理解导数的定义、几何意义和掌握导数与函数单调性的关系综合运用导数知识，分析函数物理意义，能够利用导数判断函数的单的极值、最值、凹凸性等性质调区间，并能描绘函数图像本课程系统地介绍了函数的导数与单调性，以及导数在函数性质分析中的应用通过本课程的学习，您应该已经掌握了导数的基本概念、计算方法和应用技巧希望您能够将所学知识应用于实际问题的解决中，不断提高自己的数学能力思考题如何利用导数分析函数的性质？请尝试从定义域、值域、单调y=sin x性、极值、凹凸性等方面进行分析，并绘制函数图像通过思考该问题，可以巩固所学知识，提高分析问题的能力。