函数的性质 - 教学课件 - 课件

函数的性质欢迎来到函数的性质教学课件！本课件旨在帮助大家系统地学习和掌握函数的各种重要性质，为后续的数学学习打下坚实的基础通过本课件的学习，您将能够深入理解函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质，并能够灵活运用这些性质解决实际问题课程目标掌握函数的定义和基本理解和掌握函数的性质12概念深入理解函数的单调性、奇偶理解函数的本质，能够准确描性、周期性、有界性等重要性述函数的定义，并熟练运用函质，并能够运用这些性质分析数符号掌握函数的定义域、和解决问题值域等基本概念，为后续学习打下基础能够运用函数解决实际问题3将函数知识应用于实际问题，如物理、经济、生物等领域，培养运用数学知识解决实际问题的能力什么是函数？定义要素重要性函数是一种关系，它将一个集合（定义一个函数通常包含三个要素定义域、函数是数学中最重要的概念之一，是研域）中的每个元素唯一地映射到另一个对应法则和值域定义域是自变量的取究数学问题的基本工具函数广泛应用集合（值域）中的一个元素简而言之值范围，对应法则是将自变量映射到函于各个科学领域，用于描述和分析各种，函数就是一个“输入-输出”机器数值的规则，值域是函数值的集合现象和规律函数的基本概念自变量自变量是函数的输入值，通常用x表示自变量的取值范围称为函数的定义域因变量因变量是函数的输出值，通常用y或fx表示因变量的取值范围称为函数的值域定义域定义域是自变量x的取值范围，即函数有意义的x的集合定义域的确定是函数研究的基础值域值域是因变量y的取值范围，即函数所有可能的输出值的集合求值域是函数研究的重要内容函数的表示方法解析式用数学公式表示函数关系，例如y=fx=x^2+1解析式能够清晰地表达自变量和因变量之间的关系图像法用坐标系中的曲线表示函数关系函数图像能够直观地展现函数的性质，例如单调性、奇偶性等表格法用表格列出一些自变量和对应的因变量的值表格法适用于表示离散型函数或实验数据文字描述用文字描述函数关系文字描述适用于描述一些特殊的函数关系，例如分段函数函数的定义域和值域定义域的确定值域的求法确定定义域需要考虑以下因素分母不为零，偶次根式下为非负求值域的方法包括观察法、配方法、反函数法、换元法、不等数，对数函数的真数为正数，反三角函数的定义域限制等式法等选择合适的方法可以简化求值域的过程常见函数类型二次函数线性函数形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a,21b,c为常数，且a≠0形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数指数函数形如y=a^x的函数，其中a0且a3≠1三角函数5对数函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等4形如y=log_ax的函数，其中a0且a≠1线性函数定义1线性函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数k表示斜率，b表示y轴截距图像2线性函数的图像是一条直线斜率k决定了直线的倾斜程度，y轴截距b决定了直线与y轴的交点性质3线性函数是单调函数，当k0时，函数单调递增；当k0时，函数单调递减二次函数定义图像二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a,b,c为常数二次函数的图像是一条抛物线抛物线的顶点坐标为-b/2a,，且a≠0a决定了抛物线的开口方向和大小4ac-b^2/4a，对称轴为x=-b/2a指数函数定义图像指数函数是指形如y=a^x的函指数函数的图像是一条上升或下数，其中a0且a≠1a称为降的曲线当a1时，函数单底数，x为指数调递增；当0a1时，函数单调递减性质指数函数的值域为0,+∞，函数恒过点0,1指数函数在数学和实际应用中具有重要地位对数函数定义对数函数是指形如y=log_ax的函数，其中a0且a≠1a称为底数，x为真数图像对数函数的图像是一条上升或下降的曲线当a1时，函数单调递增；当0a1时，函数单调递减性质对数函数的定义域为0,+∞，值域为-∞,+∞，函数恒过点1,0对数函数是指数函数的反函数三角函数定义图像三角函数包括正弦函数sin x、余弦函数cos x、正切函数三角函数的图像具有周期性，例如正弦函数和余弦函数的周期为tan x等它们是描述角度和三角形边长之间关系的函数2π，正切函数的周期为π三角函数的图像能够直观地展现函数的周期性和对称性函数的性质概述单调性奇偶性12描述函数值随自变量增大而增大或减小的性质描述函数关于y轴或原点对称的性质周期性有界性34描述函数值重复出现的性质描述函数值在一定范围内变化的性质单调性定义1单调性是指函数值随自变量增大而增大或减小的性质函数在某个区间内单调递增或单调递减单调递增2在区间a,b内，若对于任意的x1,x2∈a,b，当x1x2时，都有fx1fx2，则称函数fx在a,b内单调递增单调递减3在区间a,b内，若对于任意的x1,x2∈a,b，当x1x2时，都有fx1fx2，则称函数fx在a,b内单调递减单调递增函数定义特点如果对于定义域内的任意两个值x1和x2，当x1x2时，有单调递增函数的图像从左到右是上升的线性函数y=kx+b，fx1fx2，那么这个函数就是单调递增函数这意味着随着x当k0时，就是一个单调递增函数指数函数y=a^x，当a的增大，fx也在增大1时，也是一个单调递增函数单调递减函数定义特点如果对于定义域内的任意两个值x1和x2，当x1x2时，有单调递减函数的图像从左到右是下降的线性函数y=kx+bfx1fx2，那么这个函数就是单调递减函数这意味着随，当k0时，就是一个单调递减函数指数函数y=a^x，着x的增大，fx在减小当0a1时，也是一个单调递减函数单调性的判断方法定义法根据单调性的定义，取定义域内的任意两个值x1和x2，判断fx1和fx2的大小关系导数法求函数的导数fx，当fx0时，函数单调递增；当fx0时，函数单调递减图像法观察函数的图像，判断函数在某个区间内是上升还是下降奇偶性定义奇函数偶函数奇偶性是指函数关于y轴或原点对称的如果对于定义域内的任意x，都有f-x=如果对于定义域内的任意x，都有f-x=性质函数分为奇函数和偶函数两种类-fx，则称函数fx为奇函数奇函数的fx，则称函数fx为偶函数偶函数的型图像关于原点对称图像关于y轴对称奇函数定义如果对于定义域内的任意x，都有f-x=-fx，则称函数fx为奇函数奇函数的图像关于原点对称性质奇函数的图像关于原点对称，即如果点x,y在函数图像上，那么点-x,-y也在函数图像上例如，正弦函数sin x是一个奇函数偶函数定义如果对于定义域内的任意x，都有f-x=fx，则称函数fx为偶函数偶函数的图像关于y轴对称性质偶函数的图像关于y轴对称，即如果点x,y在函数图像上，那么点-x,y也在函数图像上例如，余弦函数cos x是一个偶函数奇偶性的判断方法定义法图像法根据奇偶性的定义，判断f-x和fx的关系如果f-x=-fx观察函数的图像，判断函数图像是否关于原点或y轴对称如果，则函数为奇函数；如果f-x=fx，则函数为偶函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数周期性定义周期性是指函数值重复出现的性质如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有fx+T=fx，则称函数fx为周期函数，T称为周期周期函数周期函数是指具有周期性的函数周期函数的图像在一定区间内重复出现，呈现出规律性的变化周期函数的定义定义对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有fx+T=fx，则称函数fx为周期函数，T称为周期最小正周期周期函数的所有周期中，最小的正数称为最小正周期通常所说的周期是指最小正周期常见周期函数三角函数其他函数正弦函数sin x、余弦函数cos x、正切函数tan x等都是周一些特殊的函数，例如狄利克雷函数，也是周期函数狄利克雷期函数它们的周期分别为2π,2π,π函数的定义为当x为有理数时，fx=1；当x为无理数时，fx=0狄利克雷函数是无理周期函数周期的计算公式法对于三角函数，可以直接根据公式计算周期例如，函数y=A sinωx+φ的周期为T=2π/ω定义法根据周期函数的定义，寻找满足fx+T=fx的最小正数T这种方法适用于一些特殊的函数有界性定义有上界函数有下界函数有界函数有界性是指函数值在一定范围如果存在一个常数M，使得对如果存在一个常数m，使得对如果函数既有上界又有下界，内变化的性质函数分为有上于定义域内的任意x，都有fx于定义域内的任意x，都有fx则称函数为有界函数即存在界函数、有下界函数和有界函≤M，则称函数fx为有上界≥m，则称函数fx为有下界常数M和m，使得对于定义域数三种类型函数，M称为上界函数，m称为下界内的任意x，都有m≤fx≤M有上界函数定义例子如果存在一个常数M，使得对于定义域内的任意x，都有fx≤例如，函数y=sin x是一个有上界函数，它的上界为1因为对M，则称函数fx为有上界函数，M称为上界这意味着函数的于任意的x，都有sin x≤1值不会超过M有下界函数定义如果存在一个常数m，使得对于定义域内的任意x，都有fx≥m，则称函数fx为有下界函数，m称为下界这意味着函数的值不会低于m例子例如，函数y=x^2是一个有下界函数，它的下界为0因为对于任意的x，都有x^2≥0有界函数定义如果函数既有上界又有下界，则称函数为有界函数即存在常数M和m，使得对于定义域内的任意x，都有m≤fx≤M例子例如，函数y=sin x是一个有界函数，它的上界为1，下界为-1因为对于任意的x，都有-1≤sin x≤1最值定义最大值最小值最值是指函数在某个区间内的最大值和在区间[a,b]内，如果存在一个x0∈[a,在区间[a,b]内，如果存在一个x0∈[a,最小值最大值是指函数在该区间内的b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有最大值，最小值是指函数在该区间内的fx≤fx0，则称fx0为函数fx在[a,fx≥fx0，则称fx0为函数fx在[a,最小值b]上的最大值b]上的最小值最大值定义在区间[a,b]内，如果存在一个x0∈[a,b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有fx≤fx0，则称fx0为函数fx在[a,b]上的最大值这意味着fx0是函数在该区间内的最大取值例子例如，函数y=-x^2在区间[-1,1]上的最大值为0，在x=0处取得最小值定义在区间[a,b]内，如果存在一个x0∈[a,b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有fx≥fx0，则称fx0为函数fx在[a,b]上的最小值这意味着fx0是函数在该区间内的最小取值例子例如，函数y=x^2在区间[-1,1]上的最小值为0，在x=0处取得最值的求解方法导数法图像法求函数的导数fx，令fx=0，解出所有可能的极值点然后观察函数的图像，直接找出函数在某个区间内的最高点和最低点比较这些极值点和区间端点处的函数值，找出最大值和最小值，从而确定最大值和最小值零点定义零点是指函数值为零的点对于函数fx，如果存在x0，使得fx0=0，则称x0为函数fx的零点零点的几何意义零点是函数图像与x轴的交点通过寻找函数的零点，可以了解函数在哪些地方取值为零零点的定义定义对于函数fx，如果存在x0，使得fx0=0，则称x0为函数fx的零点零点是函数的重要特征之一方程的根函数的零点也是方程fx=0的根寻找函数的零点等价于解方程fx=0零点的求解方法直接法二分法图像法直接解方程fx=0，求出方程的根，即对于一些复杂的函数，无法直接解方程通过绘制函数的图像，观察图像与x轴为函数的零点这种方法适用于一些简，可以使用二分法逐步逼近函数的零点的交点，从而确定函数的零点这种方单的函数二分法需要先确定一个包含零点的区法适用于一些特殊的函数间，然后不断缩小区间，直到满足精度要求图像函数图像函数图像是函数关系的可视化表示通过函数图像，可以直观地了解函数的各种性质，例如单调性、奇偶性、周期性、有界性等图像的重要性函数图像是研究函数的重要工具通过观察函数图像，可以发现函数的各种特征，并解决相关的数学问题函数图像的基本特征定义域定义域决定了函数图像的水平范围函数图像只能在定义域内存在值域值域决定了函数图像的垂直范围函数图像只能在值域内变化单调性单调性决定了函数图像的上升或下降趋势单调递增的函数图像从左到右是上升的，单调递减的函数图像从左到右是下降的奇偶性奇偶性决定了函数图像的对称性奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称周期性周期性决定了函数图像的重复性周期函数的图像在一定区间内重复出现平移变换左右平移上下平移将函数y=fx的图像向左平移a个单位，得到函数y=fx+a将函数y=fx的图像向上平移b个单位，得到函数y=fx+b的图像；将函数y=fx的图像向右平移a个单位，得到函数y=的图像；将函数y=fx的图像向下平移b个单位，得到函数y=fx-a的图像fx-b的图像伸缩变换横向伸缩将函数y=fx的图像横向伸长或缩短，得到函数y=fωx的图像当ω1时，图像横向缩短；当0ω1时，图像横向伸长纵向伸缩将函数y=fx的图像纵向伸长或缩短，得到函数y=A fx的图像当A1时，图像纵向伸长；当0A1时，图像纵向缩短对称变换关于轴对称x将函数y=fx的图像关于x轴对称，得到函数y=-fx的图像关于轴对称y将函数y=fx的图像关于y轴对称，得到函数y=f-x的图像关于原点对称将函数y=fx的图像关于原点对称，得到函数y=-f-x的图像复合函数定义构成条件设y=fu，u=gx，则y=fgx称为复合函数其中，x为要构成复合函数，需要满足gx的值域包含于fu的定义域自变量，u为中间变量，y为因变量否则，无法构成复合函数复合函数的定义定义设y=fu，u=gx，则y=fgx称为复合函数复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数中间变量在复合函数中，u=gx是中间变量，它将自变量x映射到一个新的变量u，然后fu将u映射到因变量y复合函数的性质单调性复合函数的单调性取决于构成复合函数的各个函数的单调性如果fu和gx都单调递增或都单调递减，则复合函数fgx单调递增；如果fu和gx一个单调递增，一个单调递减，则复合函数fgx单调递减奇偶性复合函数的奇偶性也取决于构成复合函数的各个函数的奇偶性如果fu和gx都是奇函数或都是偶函数，则复合函数fgx是偶函数；如果fu是偶函数，gx是奇函数，则复合函数fgx是偶函数；如果fu是奇函数，gx是偶函数，则无法确定复合函数fgx的奇偶性反函数定义互为反函数对于函数y=fx，如果存在一个函数x=gy，使得对于任意的如果函数y=fx存在反函数x=f^-1y，则称函数y=fx和xy，都有gfx=x，则称函数x=gy为函数y=fx的反函数=f^-1y互为反函数，记作x=f^-1y反函数的定义定义对于函数y=fx，如果存在一个函数x=gy，使得对于任意的y，都有gfx=x，则称函数x=gy为函数y=fx的反函数，记作x=f^-1y存在条件函数y=fx存在反函数的充要条件是函数y=fx在定义域内单调反函数的性质定义域和值域图像单调性函数y=fx的定义域是反函数x=f^-函数y=fx的图像和反函数x=f^-1y如果函数y=fx单调递增，则反函数x=1y的值域，函数y=fx的值域是反函的图像关于直线y=x对称f^-1y也单调递增；如果函数y=fx数x=f^-1y的定义域单调递减，则反函数x=f^-1y也单调递减函数的应用数学物理经济学生物学函数是数学研究的基本工具函数在物理学中广泛应用，函数在经济学中用于描述各函数在生物学中用于描述各，用于描述和分析各种数学用于描述各种物理现象，例种经济关系，例如需求函数种生物现象，例如种群增长问题，例如微积分、线性代如运动学、力学、电磁学等、供给函数、成本函数、收、酶反应、基因表达等通数、概率统计等例如，运动学中的位移、益函数等通过分析这些函过分析这些函数，可以了解速度、加速度等都是时间的数，可以了解经济运行的规生物过程的机制函数律实际问题中的函数模型建立函数模型分析函数模型在解决实际问题时，首先需要建建立函数模型后，需要分析函数立函数模型这需要根据问题的模型的性质，例如单调性、奇偶实际情况，确定自变量和因变量性、周期性、有界性等通过分，以及它们之间的关系建立函析这些性质，可以了解实际问题数模型是解决实际问题的关键步的变化规律骤求解函数模型分析函数模型后，需要求解函数模型，例如求函数的最大值、最小值、零点等通过求解函数模型，可以解决实际问题函数在物理中的应用运动学在运动学中，位移、速度、加速度等都是时间的函数通过分析这些函数，可以了解物体的运动规律例如，匀加速直线运动的位移是时间的二次函数力学在力学中，力是位置的函数通过分析力函数，可以了解物体的受力情况例如，弹性势能是弹簧形变量的二次函数电磁学在电磁学中，电场强度、磁场强度等都是位置的函数通过分析这些函数，可以了解电磁场的分布情况例如，点电荷的电场强度是距离的倒数平方函数函数在经济学中的应用需求函数供给函数成本函数收益函数需求函数描述了商品的需求供给函数描述了商品的供给成本函数描述了生产商品的收益函数描述了销售商品获量与价格之间的关系通常量与价格之间的关系通常成本与产量之间的关系成得的收益与销售量之间的关情况下，需求量随着价格的情况下，供给量随着价格的本函数通常是产量的函数，系收益函数通常是销售量升高而降低，因此需求函数升高而增加，因此供给函数可以是线性函数，也可以是的函数，可以是线性函数，是单调递减的是单调递增的非线性函数也可以是非线性函数函数在生物学中的应用种群增长酶反应种群增长可以用函数来描述例酶反应可以用函数来描述例如如，指数增长模型和逻辑斯蒂增，米氏方程描述了酶反应速率与长模型都是常用的种群增长模型底物浓度之间的关系通过分析这些模型描述了种群数量随时酶反应函数，可以了解酶反应的间的变化规律机制基因表达基因表达可以用函数来描述基因表达函数描述了基因的表达水平与各种因素之间的关系通过分析基因表达函数，可以了解基因表达的调控机制函数性质的综合运用综合分析在解决函数问题时，需要综合运用函数的各种性质，例如单调性、奇偶性、周期性、有界性等通过综合分析这些性质，可以了解函数的整体特征，并解决相关的问题灵活运用函数的各种性质之间相互联系，可以灵活运用例如，可以通过单调性判断函数的最值，可以通过奇偶性简化函数的计算，可以通过周期性简化函数的分析例题讲解1题目解答已知函数fx=x^3-3x，求函数fx的单调区间和极值求导数fx=3x^2-3，令fx=0，解得x=±1当x-1时，fx0，函数单调递增；当-1x1时，fx0，函数单调递减；当x1时，fx0，函数单调递增因此，函数fx的单调递增区间为-∞,-1和1,+∞，单调递减区间为-1,1函数fx在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值例题讲解2题目解答已知函数fx=sin x+cos x，求函数fx的最大值和最小值将函数fx化简为fx=√2sinx+π/4因为sinx+π/4的最大值为1，最小值为-1，所以函数fx的最大值为√2，最小值为-√2例题讲解3题目已知函数fx=x^2+1，求函数fx的反函数解答令y=x^2+1，解得x=±√y-1因为函数fx的定义域为R，值域为[1,+∞，所以反函数x=f^-1y的定义域为[1,+∞，值域为R因此，函数fx的反函数为x=√y-1或x=-√y-1课堂练习练习题练习题练习题123判断函数fx=x^4-2x^2+3的奇偶性求函数fx=log_2x+1的定义域判断函数fx=e^x的单调性小组讨论讨论主题函数性质在实际生活中的应用请大家结合自己的生活经验，讨论函数性质在实际生活中的应用，例如物理、经济、生物等领域讨论形式小组讨论，每组4-6人，讨论时间15分钟讨论结束后，每组派代表发言，分享讨论成果总结回顾总结本课件主要介绍了函数的定义、基本概念、表示方法、常见函数类型以及函数的各种性质，例如单调性、奇偶性、周期性、有界性等通过本课件的学习，您应该能够深入理解函数的各种性质，并能够灵活运用这些性质解决实际问题回顾请大家回顾本课件的内容，重点掌握函数的定义、基本概念、表示方法、常见函数类型以及函数的各种性质如果有不清楚的地方，请及时提问课后思考题思考题思考题思考题123请举例说明函数性质在物理、经济、生请设计一个实际问题，并建立函数模型请查阅相关资料，了解更多关于函数性物等领域中的应用，然后分析函数模型的性质，并求解函质的知识，并分享你的学习心得数模型。