微分方程与常微分方程基本概念课件

课程目标理解微分方程的定义和2掌握常微分方程的基本分类概念什么是微分方程？含有未知函数及其导数的方程描述变量之间关系的数学模型在自然科学和工程中的广泛应用微分方程的分类常微分方程ODE偏微分方程PDE常微分方程ODE定义只包含一个自变量的未知函数及一般形式Fx,y,y,y,...,y^n=0例子dy/dx=2x+y其导数偏微分方程PDE定义包含多个自变量的未知函数及其一般形式Fx,y,z,u,∂u/∂x,∂u/∂y,例子热传导方程∂u/∂t=α∂²u/∂x²+偏导数∂u/∂z,...=0∂²u/∂y²+∂²u/∂z²微分方程的阶一阶微分方程y=fx,y二阶微分方程y=fx,y,y高阶微分方程y^n=fx,y,y,...,y^n-1线性与非线性微分方程线性微分方程a_nxy^n+...+a_1xy+a_0xy=fx非线性微分方程不满足线性方程形式的微分方程常微分方程的一般形式显式形式隐式形式y=fx,y Fx,y,y=0常微分方程的解定义满足方程的函数y=φx验证解的方法将函数及其导数代入原方程解的类型通解特解包含任意常数的解不包含任意常数的解奇解既不是通解也不是特解的解初值问题定义微分方程加上初始条件一阶初值问题{y=fx,y,yx_0=y_0}高阶初值问题{y^n=fx,y,y,...,y^n-1,yx_0=y_0,yx_0=y_1,...,y^n-1x_0=y_n-1}边值问题定义微分方程加上边界条件例子{y+pxy+qxy=fx,ya=α,yb=β}存在唯一性定理皮卡尔定理（Picards theorem）适用于一阶初值问题保证解的局部存在性和唯一性解的几何意义积分曲线表示微分方程解的曲线方向场描述解的变化趋势的向量场一阶常微分方程的类型1可分离变量方程2齐次方程3一阶线性方程4伯努利方程可分离变量方程形式dy/dx=gxhy求解方法分离变量并积分齐次方程形式dy/dx=fy/x求解方法替换u=y/x，转化为可分离变量方程一阶线性方程形式y+Pxy=Qx求解方法积分因子法伯努利方程形式y+Pxy=Qxy^n求解方法替换v=y^1-n，转化为线性方程高阶常微分方程1可降阶的高阶方程2线性高阶方程3常系数线性方程二阶常系数齐次线性方程形式ay+by+cy=0特征方程ar²+br+c=0解的类型取决于特征根二阶常系数非齐次线性方程形式ay+by+cy=fx通解=齐次通解+非齐次特解待定系数法和常数变易法欧拉方程形式x²y+axy+by=fx求解方法替换t=ln x，转化为常系数方程微分方程组定义多个未知函数的微分方程系统例子{dx/dt=fx,y,t,dy/dt=gx,y,t}微分方程的数值解法1欧拉法2龙格-库塔法3有限差分法微分方程在物理中的应用1牛顿运动定律2简谐振动3电路分析微分方程在生物学中的应用1种群增长模型2捕食者-猎物模型3传染病模型微分方程在经济学中的应用1市场均衡模型2经济增长模型3金融衍生品定价总结与展望微分方程的重要性学习常微分方程的关键点进一步学习的方向偏微分方程、数值方法等。