数学函数综合运用课件

数学函数综合运用课程目标知识目标能力目标应用目标全面掌握一次函数、二次函数、指数函能够灵活运用各种函数解决实际问题，数、对数函数、三角函数等基本函数的如抛物线问题、最优化问题、增长率问概念、性质和图像特征理解函数的定题等掌握函数图像的平移、伸缩、对义域、值域、单调性、奇偶性、周期称等变换技巧具备运用导数研究函数性、对称性等重要性质性质的能力函数的基本概念函数的定义自变量与因变量12函数是一种关系，它描述了一自变量是函数的输入，通常用个集合（定义域）中的每一个x表示；因变量是函数的输元素与另一个集合（值域）中出，通常用y表示，y的值取决的唯一元素之间的对应关系于x的值理解自变量和因变可以理解为一种“输入-输量的关系是理解函数的基础出”的机器函数的要素函数的定义域和值域定义域值域定义域是指函数自变量x的取值值域是指函数因变量y的取值范范围，即x可以取哪些值确定围，即y可以取哪些值求值域定义域是研究函数的第一步，需是研究函数的重要内容，可以使要考虑各种限制条件，如分母不用各种方法，如配方法、判别式为零、偶次根式下非负等法、单调性法等定义域与值域的关系定义域和值域是函数不可分割的两个组成部分定义域决定了函数可以接受的输入，值域则描述了函数可以产生的输出理解它们之间的关系有助于更深入地理解函数函数的表示方法解析式法列表法图像法用数学公式表示函数，用表格列出一些自变量用图像表示函数，例如例如y=fx这是最常和对应的因变量的值函数图像图像法可以见的表示方法，可以清这种方法适用于离散型直观地展示函数的整体晰地表达自变量和因变函数或无法用解析式表特征，如单调性、奇偶量之间的关系，方便进示的函数，可以直观地性、周期性等，便于进行数学运算和分析展示函数的取值情况行定性分析函数图像的基本特征单调性1函数图像的上升或下降趋势单调递增表示函数值随自变量增大而增大，单调递减表示函数值随自变量增大而减小奇偶性2函数图像关于y轴的对称性（偶函数）或关于原点的对称性（奇函数）奇偶性可以简化函数的研究和计算周期性3函数图像重复出现的规律周期性可以帮助我们理解函数的长期行为和变化趋势对称性4函数图像关于某点或某直线的对称性对称性可以简化函数的研究和计算一次函数回顾定义形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数，k≠0k为斜率，b为y轴截距图像一条直线斜率k决定直线的倾斜程度，y轴截距b决定直线与y轴的交点性质当k0时，函数单调递增；当k0时，函数单调递减一次函数是线性函数，具有良好的线性性质二次函数回顾定义图像1形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c一条抛物线a0时，抛物线开口向2为常数，a≠0上；a0时，抛物线开口向下应用性质43可用于解决抛物线相关问题，如射程、具有顶点、对称轴、最值等重要特征高度等也可以用于解决最优化问题顶点坐标为-b/2a,4ac-b²/4a指数函数回顾定义1形如y=a^x的函数，其中a为常数，a0且a≠1图像2一条曲线a1时，函数单调递增；0性质3过点0,1当x趋近于正无穷时，a1时y趋近于正无穷，0对数函数回顾定义1ₐ形如y=log x的函数，其中a为常数，a0且a≠1，x0图像2一条曲线a1时，函数单调递增；0性质3过点1,0与指数函数互为反函数三角函数回顾正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等它们是描述周期性现象的重要工具，广泛应用于物理、工程等领域正弦和余弦函数在单位圆上定义，正切函数是正弦与余弦的比值这些函数都有各自的图像和性质，如周期性、奇偶性等函数的单调性单调递增单调递减单调区间在定义域内，函数值随自变量增大而增在定义域内，函数值随自变量增大而减函数在定义域内的单调递增或单调递减的大图像表现为上升趋势小图像表现为下降趋势区间可以通过导数判断函数的单调性函数的奇偶性奇函数偶函数非奇非偶函数满足f-x=-fx的函数图像关于原点对满足f-x=fx的函数图像关于y轴对不满足奇函数或偶函数条件的函数大称例如，正弦函数就是一个奇函数称例如，余弦函数就是一个偶函数多数函数都是非奇非偶函数函数的周期性周期函数的定义最小正周期12如果存在一个非零常数T，使周期函数中最小的正数周期得对于函数定义域内的每一个例如，正弦函数和余弦函数的x，都有fx+T=fx，则称函最小正周期为2π数为周期函数，T为周期周期性的应用3周期性可以帮助我们理解函数的长期行为和变化趋势在物理、工程等领域中，周期性现象非常常见，如波动、振动等函数的对称性关于点对称关于直线对称函数图像关于某一点对称例函数图像关于某一条直线对称如，奇函数关于原点对称例如，偶函数关于y轴对称对称性的应用对称性可以简化函数的研究和计算利用对称性可以快速找到函数的零点、最值等函数的零点零点的定义零点的求法零点的个数使函数值为零的自变量可以通过解方程fx=0可以通过函数图像的分的值也就是函数图像来求函数的零点也可析、单调性的判断等方与x轴的交点的横坐以通过观察函数图像来法来确定零点的个数标确定零点的大致位置也可以使用介值定理来判断零点的存在性函数的最值最大值1函数在定义域内的最大取值图像表现为最高点最小值2函数在定义域内的最小取值图像表现为最低点最值的求法3可以通过导数、单调性、图像等方法来求函数的最值也可以使用不等式、均值不等式等方法来求最值函数的应用实际问题建模-问题分析理解实际问题的背景和条件，明确需要解决的问题变量选取选择合适的自变量和因变量，建立函数关系模型建立根据实际问题的条件，建立数学模型，即函数关系式模型求解运用函数知识和方法，求解数学模型，得到问题的解结果验证将求解结果代入实际问题，验证其合理性和有效性函数综合应用案例抛物线问题1问题描述模型建立1已知抛物线的方程，求解其焦点、准利用二次函数的知识，建立抛物线的方2线、顶点等或者已知抛物线的某些条程件，求解其方程结果分析问题求解43将求解结果代入实际问题，验证其合理运用二次函数的性质和方法，求解抛物性和有效性线的焦点、准线、顶点等函数综合应用案例最优化问题2问题描述求解在一定条件下，函数的最大值或最小值例如，求解利润最大化、成本最小化等1问题模型建立2根据实际问题的条件，建立函数关系式，确定自变量的取值范围问题求解3运用导数、单调性、图像等方法，求解函数的最值函数综合应用案例增长率问题3问题描述1求解某种数量随时间变化的增长率例如，人口增长率、经济增长率等模型建立2利用指数函数的知识，建立增长率模型问题求解3运用指数函数的性质和方法，求解增长率函数图像的平移函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴方向移动向左平移，自变量加一个正数；向右平移，自变量减一个正数；向上平移，函数值加一个正数；向下平移，函数值减一个正数图像的平移变换不改变图像的形状和大小，只是改变图像的位置掌握图像的平移变换有助于理解函数的变化规律函数图像的伸缩纵向伸缩横向伸缩将函数图像沿着y轴方向伸缩函数值乘以一个大于1的数，图像将函数图像沿着x轴方向伸缩自变量乘以一个大于1的数，图像纵向拉伸；函数值乘以一个小于1的正数，图像纵向压缩横向压缩；自变量乘以一个小于1的正数，图像横向拉伸函数图像的对称关于轴对称关于轴对称关于原点对称x y将函数图像关于x轴对称函数值变为相将函数图像关于y轴对称自变量变为相将函数图像关于原点对称自变量和函反数反数偶函数就是关于y轴对称的函数数值都变为相反数奇函数就是关于原点对称的函数复合函数复合函数的定义复合函数的求法12将一个函数的输出作为另一个将内层函数的表达式代入外层函数的输入，得到的函数称为函数中，得到复合函数的表达复合函数式复合函数的性质3复合函数的性质取决于内层函数和外层函数的性质例如，如果内层函数和外层函数都是单调递增函数，则复合函数也是单调递增函数反函数反函数的定义反函数的求法如果函数y=fx存在反函数，则将原函数中的自变量和因变量互⁻反函数为x=f¹y反函数描述换，然后解出新的因变量，得到了因变量和自变量之间的反向关反函数的表达式系反函数的性质原函数和反函数的图像关于直线y=x对称如果原函数是单调函数，则其反函数也是单调函数分段函数分段函数的定义分段函数的图像分段函数的性质在不同的定义域区间由多段图像组成，每一分段函数的性质需要在内，函数表达式不同的段图像对应不同的函数不同的定义域区间内分函数分段函数可以描表达式和定义域区间别讨论例如，单调述在不同条件下，函数绘制分段函数的图像需性、奇偶性等关系不同的情况要分别绘制每一段图像绝对值函数绝对值函数的定义1形如y=|fx|的函数将函数fx的负值部分变为正值，保留正值部分不变绝对值函数的图像2将函数fx的图像在x轴下方的部分翻转到x轴上方，保留x轴上方的部分不变绝对值函数的性质3非负性图像关于y轴对称可以将绝对值函数转化为分段函数进行研究函数与方程方程的根使方程成立的未知数的值方程的根对应于函数图像与x轴的交点的横坐标，即函数的零点函数与方程的关系方程可以看作是函数值为零的特殊情况求解方程可以转化为求解函数的零点问题函数图像的应用可以通过函数图像的分析，判断方程根的存在性、个数和大致范围函数与不等式函数与不等式的关系2不等式可以看作是函数值之间的大小关不等式的解集系求解不等式可以转化为求解函数的单调区间、最值等问题1使不等式成立的未知数的取值范围求解不等式可以转化为求解函数值大于零或小于零的区间函数图像的应用可以通过函数图像的分析，判断不等式3解的存在性、范围和个数函数的导数概念导数的定义函数在某一点的导数是指函数在该点的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的1斜率导数的几何意义2导数表示函数图像在该点的切线的斜率导数的物理意义3导数表示物理量随时间的变化率例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数导数在函数性质研究中的应用单调性1导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减极值2导数等于零的点可能是函数的极值点通过判断导数在极值点附近的符号变化，可以确定极值点的类型（极大值或极小值）最值3函数的最值可能在极值点或定义域的端点处取得通过比较极值和端点值，可以确定函数的最值函数的极限概念函数极限数列极限当自变量无限接近于某一值时，函数值无限接近于某一值，则称函数在该点存在极限极限是微积分的重要基础概念极限可以分为函数极限和数列极限函数极限描述了函数值随自变量的变化趋势，数列极限描述了数列项随序号的变化趋势函数的连续性连续的定义间断点的类型函数在某一点连续是指函数在该点存在极限，且极限值等于函数可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点值连续函数的图像是一条不间断的曲线函数图像的描绘技巧确定定义域分析性质求特殊点描绘图像确定函数的定义域，排除无分析函数的单调性、奇偶求函数的零点、极值点、最根据以上信息，描绘函数图意义的点性、周期性、对称性等性值点等特殊点像质函数综合应用案例成本利润分析4成本函数收入函数利润函数123描述生产成本与产量之间的关系描述销售收入与销售量之间的关描述利润与产量之间的关系利润=例如，总成本=固定成本+可变成系例如，总收入=销售量×单价总收入-总成本通过求解利润函数本的最大值，可以确定最佳产量函数综合应用案例人口增5长模型指数增长模型对数增长模型描述人口以固定增长率增长的模描述人口增长受到资源限制的模型人口数量随时间呈指数增型人口数量随时间增长，但增长长速度逐渐减慢增长模型Logistic综合考虑资源限制和环境容纳能力的模型人口数量随时间增长，但最终稳定在一个最大值附近函数综合应用案例物理运动问题6匀速直线运动匀变速直线运动抛体运动位移随时间呈线性变化位移=速度×时位移随时间呈二次函数变化位移=初速水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀间度×时间+1/2×加速度×时间²变速直线运动可以利用二次函数的知识，求解抛体运动的射程、高度等函数在几何中的应用解析几何1用代数方法研究几何问题例如，用方程表示直线、圆、椭圆等几何图形，用函数研究几何图形的性质向量几何2用向量方法研究几何问题例如，用向量表示直线、平面，用向量运算研究几何图形的性质立体几何3研究三维空间中的几何图形可以用函数研究三维空间中的曲线、曲面等函数在统计中的应用概率分布函数描述随机变量取值的概率分布例如，正态分布、均匀分布、指数分布等回归分析用函数描述变量之间的关系例如，线性回归、非线性回归等假设检验用统计方法判断假设是否成立例如，t检验、卡方检验等函数在经济学中的应用需求函数供给函数1描述商品需求量与价格之间的关系需描述商品供给量与价格之间的关系供2求量随价格升高而降低给量随价格升高而升高效用函数成本函数4描述消费者从商品中获得的效用效用3描述生产成本与产量之间的关系成本随消费量增加而增加，但增加速度逐渐随产量增加而增加减慢函数在生物学中的应用酶动力学用函数描述酶催化反应的速度与底物浓度之间的关系例如，Michaelis-Menten方1程种群增长2用函数描述种群数量随时间的变化例如，指数增长模型、Logistic增长模型药物代谢3用函数描述药物在体内的代谢过程例如，一级动力学模型、二级动力学模型函数的参数问题参数的意义1参数是影响函数性质和图像的变量不同的参数值对应不同的函数图像参数的求解2可以通过已知条件，建立方程或不等式，求解参数的值或取值范围参数的应用3可以通过改变参数的值，研究函数的变化规律函数的最值问题解法包括导数法、单调性法、图像法、不等式法等需要根据具体问题选择合适的方法导数法适用于可导函数，单调性法适用于单调函数，图像法适用于图像容易绘制的函数，不等式法适用于可以用不等式表示的函数函数的零点问题解法介值定理二分法牛顿迭代法如果函数在闭区间[a,b]上连续，且不断将区间缩小一半，直到找到零点的近利用函数的导数，不断逼近零点fafb0，则函数在a,b内至少存在一个似值零点函数不等式问题解法图像法单调性法构造函数法绘制函数图像，根据图像判断不等式的利用函数的单调性，将不等式转化为等构造辅助函数，利用函数的性质解决不解集价的不等式等式问题函数方程问题解法代数法图像法12利用代数运算，将函数方程转绘制函数图像，利用图像判断化为代数方程方程的解赋值法3给自变量赋特殊值，简化函数方程函数的图像分析技巧观察定义域分析性质观察定义域，确定图像的范围分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质求特殊点求函数的零点、极值点、最值点等特殊点函数综合应用案例工程优7化问题桥梁设计水坝设计建筑设计利用函数优化桥梁的结利用函数优化水坝的形利用函数优化建筑的结构，使其承载能力最状，使其泄洪能力最构，使其采光效果最大、成本最低大、稳定性最高好、节能效果最佳函数综合应用案例金融数8学问题复利计算1利用指数函数计算复利的收益期权定价2利用Black-Scholes模型等函数模型，对期权进行定价风险管理3利用函数模型，对金融风险进行评估和管理函数综合应用案例信息编9码问题编码原理利用函数将信息转化为编码解码原理利用函数将编码还原为信息纠错码利用函数增加编码的冗余度，使其具有纠错能力高阶函数简介高阶函数的定义高阶函数的应用1以函数作为参数或返回值的函数高阶例如，map函数、filter函数、reduce2函数可以提高代码的抽象程度和复用函数等性表达式函数式编程lambda43一种匿名函数，可以简洁地表示简单的一种编程范式，强调使用函数进行计函数算，避免使用可变状态特殊函数介绍函数Gamma1阶乘函数的推广函数Beta2与Gamma函数密切相关，在概率统计中应用广泛函数Zeta3在数论中具有重要地位函数在数学建模中的应用建立模型1利用函数将实际问题转化为数学模型求解模型2利用数学方法求解数学模型分析结果3将求解结果应用于实际问题，进行分析和验证函数与数列的关系函数定义数列数列极限数列可以看作是定义域为正整数集合的函数数列的极限与函数的极限密切相关可以通过函数研究数列的性质，例如单调性、有界性等也可以通过数列逼近函数函数与级数的关系泰勒级数傅里叶级数利用函数在某一点的导数，将函数表示为无穷级数泰勒级数可将周期函数表示为三角函数的无穷级数傅里叶级数在信号处理以用于近似计算函数值等领域应用广泛函数在解析几何中的应用直线方程圆的方程椭圆方程抛物线方程可以用一次函数表示直线方可以用方程x-a²+y-b²=r²可以用方程x²/a²+y²/b²=1表可以用方程y²=2px表示抛物程表示圆的方程示椭圆方程线方程函数在概率统计中的应用概率分布函数概率密度函数12描述随机变量取值的概率分描述连续型随机变量在某一点布的概率密度特征函数3描述随机变量的特征，可以用于计算随机变量的矩综合复习与总结基本概念基本函数回顾函数的基本概念，如定义、回顾基本函数，如一次函数、二定义域、值域、单调性、奇偶次函数、指数函数、对数函数、性、周期性、对称性等三角函数等应用回顾函数的应用，如实际问题建模、工程优化、金融数学、信息编码等展望与进阶学习建议微积分数学分析泛函分析深入学习微积分，掌握学习数学分析，深入理学习泛函分析，研究无导数、积分、极限等概解函数的性质和理论穷维空间中的函数念和方法。