概率与频率复习课课件

概率与频率复习课课程目标掌握基本概念熟练概率计算12理解频率、概率的定义、性质以及它们之间的联系与区掌握加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯公式等概率计别，为后续学习打下坚实基础算方法，能够灵活运用解决实际问题理解概率分布应用概率知识3了解离散型和连续型概率分布，掌握二项分布、泊松分布、正态分布等常见分布的特点和应用第一部分频率基础在本部分，我们将深入探讨频率的基础知识首先，我们将明确频率的定义，了解它是如何描述事件发生的频繁程度的然后，我们将学习频率的计算公式，掌握如何通过实验数据计算频率接着，我们将探讨频率的特征，例如非负性、有界性等最后，我们将分析频率与样本量之间的关系，理解样本量对频率的影响什么是频率？定义理解频率是指在相同的条件下，重复进行多次试验时，某事件频率是一个比例，通常用小数或百分数表示它是一个客发生的次数与试验总次数的比值它反映了该事件发生的观存在，可以通过实际试验进行观察和记录频率随着试频繁程度验次数的增加，会逐渐趋于稳定频率的计算公式公式实例注意频率某事件发生的次数试验总例如，抛掷一枚硬币次，正面朝上需要注意的是，频率是在大量重复试=/100次数通过实际实验，记录事件发生的次数为次，则正面朝上的频率为验的基础上得到的，只有当试验次数60的次数，然后除以总的试验次数，即，即频率的计算简单足够多时，频率才能比较准确地反映60/100=

0.660%可得到频率明了，易于理解和应用事件发生的可能性频率的特征非负性频率总是大于等于因为事件发生的次数不可能为负0数，所以频率也一定是非负的有界性频率总是小于等于事件发生的次数不可能超过试验1的总次数，所以频率最大为1稳定性当试验次数足够多时，频率会逐渐趋于稳定这是大数定律的基础，也是用频率估计概率的依据频率与样本量的关系样本量小1当样本量较小时，频率的随机性较大，可能会出现较大的波动，不能准确反映事件发生的可能性样本量大2随着样本量的增加，频率的随机性逐渐减小，波动趋于平缓，频率值逐渐趋于稳定，能够更准确地反映事件发生的可能性大数定律3这就是大数定律所描述的现象，即当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率频率应用实例1产品质量检测市场调查某工厂生产一批产品，为了解产品的质量情况，随机抽某公司进行市场调查，随机抽取名消费者进行调查，500取件产品进行检测，发现其中有件不合格，则该批发现其中有名消费者对该公司的产品表示满意，则1005300产品的合格率为通过频率可以估计产品的质量水该产品的顾客满意度为通过频率可以了解市场对95%60%平产品的反馈情况频率应用实例2彩票中奖概率通过统计彩票的中奖号码，计算每个号码出现的频率，虽然不能预测2下一次的中奖号码，但可以作为参天气预报考，了解各个号码的出现频率根据历史气象数据，统计过去年101中，每年月日下雨的天数，计算81疾病发病率下雨的频率，可以用来预测今年8通过统计某地区人口中，某种疾病月日下雨的可能性1的发病人数，计算该疾病的发病频率，可以了解该疾病在该地区的流3行情况，为制定防控措施提供依据频率练习题抛掷一枚骰子次，出现点的次数为次，则出现点的频率为

1.120“1”20“1”多少？某班级有名学生，其中男生名，女生名，则男生占全班学生

2.503020的频率为多少？某公司进行客户满意度调查，随机抽取名客户进行调查，其中

3.200名客户表示满意，则客户满意度为多少？160请大家认真思考，运用所学的频率知识，计算出以上练习题的答案通过练习，可以巩固对频率概念的理解，提高解决实际问题的能力第二部分概率基础接下来，我们将进入概率的世界我们将学习概率的定义，了解它是如何描述事件发生的可能性的然后，我们将探讨概率的基本性质，例如非负性、规范性等接着，我们将学习古典概型和几何概型，掌握这两种常见概率模型的特点和计算方法最后，我们将了解主观概率，理解它在实际决策中的作用什么是概率？定义理解概率是指随机事件发生的可能性大小的度量它是一个介概率是对未来事件发生可能性的预测，是一种主观判断，于和之间的数，表示事件发生的可能性有多大概率越但又受到客观规律的约束概率可以用小数、百分数或分01大，事件发生的可能性就越大；概率越小，事件发生的可数表示例如，某事件发生的概率为，表示该事件发生

0.7能性就越小的可能性为70%概率的定义数学定义理解说明设是随机试验，是它的样本空这个定义从数学上严格描述了概E S间对于的每一个事件赋于一率的概念，其中样本空间是指E AS个实数，记为，满足所有可能结果的集合互斥事件PA；；对于两两是指不能同时发生的事件这个1PA≥02PS=13互斥的事件，，，有定义是概率论的基石A1A2…∪∪则PA1A2…=PA1+PA2+…称为事件的概率PA A概率的基本性质非负性规范性可加性对于任何事件，都有事件发生必然事件的概率为，即，其中为对于互斥事件和，有A PA≥01PS=1S A B的概率不可能为负数样本空间必然事件一定会发生∪如果和不能同时PA B=PA+PB A B发生，则或发生的概率等于发生的概A B A率加上发生的概率B古典概型定义如果一个随机试验满足试验中所有可能出现的基本事件只有1有限个；每个基本事件出现的可能性相等则称这个试验的概2率模型为古典概型计算公式事件包含的基本事件数样本空间包含的基本事件总数PA=A/古典概型是一种简单的概率模型，适用于所有基本事件等可能发生的情况几何概型计算公式事件对应的几何区域的测度PA=A定义2样本空间对应的几何区域的测度/在几何区域内任取一点，若该点落几何概型适用于事件的发生与几何在某个区域内的概率只与该区域的区域的测度有关的情况1面积（或长度、体积）成比例，而与该区域的位置和形状无关，则称举例这种概率模型为几何概型例如，在一个圆形区域内随机投掷3一个点，该点落在圆心附近某个小圆内的概率，就符合几何概型主观概率定义1主观概率是指个人根据自身的经验、知识和信念，对某个事件发生的可能性做出的判断它是一种带有主观性的概率估计特点2主观概率受到个人认知水平、信息掌握程度和情感因素的影响，可能存在偏差但是，在缺乏客观数据的情况下，主观概率是进行决策的重要依据应用3例如，一位医生根据自己的临床经验，判断某个病人患某种疾病的可能性，这就是主观概率的应用概率练习题1题目题目12抛掷一枚质地均匀的硬币，从一副扑克牌（张）中随54正面朝上的概率是多少？机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？题目3在一个袋子中装有个红球和个白球，随机摸出一个球，摸到红32球的概率是多少？概率练习题2题目4在一个正方形区域内随机投掷一个点，该点落在其内切圆内的概率是多少？题目5某人根据自己的经验判断，明天股市上涨的可能性为，这个概率属于哪种概率？80%第三部分频率与概率的关系在本部分，我们将深入探讨频率与概率之间的关系首先，我们将明确频率与概率的区别，了解它们在概念上的不同然后，我们将学习大数定律，理解它如何将频率与概率联系起来接着，我们将探讨频率的稳定性，了解它如何反映事件发生的可能性最后，我们将学习如何用频率估计概率，掌握用实验数据推断概率的方法频率与概率的区别频率概率联系频率是在实际试验中，事件发生的次概率是对随机事件发生的可能性大小频率是概率的估计值，当试验次数足数与试验总次数的比值它是一个客的度量它是一个主观判断，但又受够多时，频率会稳定在概率附近观存在，可以通过实验观察得到到客观规律的约束概率是对未来概率是频率的理论值，是频率长期稳频率是过去事件的统计结果事件的预测定的结果大数定律定义理解说明大数定律是指在随机试验中，每大数定律是概率论中的一个重要次出现的结果可能不同，但在大定理，它揭示了随机现象的统计量重复试验后，某些结果出现的规律性大数定律是频率稳定性频率会趋于一个稳定的值这个的理论基础，也是用频率估计概稳定的值就是概率率的依据频率的稳定性定义频率的稳定性是指在相同的条件下，重复进行多次试验时，某事件发生的频率会逐渐趋于一个稳定的值这个稳定的值就是概率影响因素频率的稳定性受到样本量的影响样本量越大，频率的稳定性就越好样本量越小，频率的随机性就越大重要性频率的稳定性是频率能够用来估计概率的基础只有当频率具有稳定性时，才能用频率来近似地表示概率用频率估计概率原理当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近因此，可以用频率来近似地表示概率这种方法称为用频率估计概率应用在实际应用中，当无法直接计算概率时，可以通过大量重复试验，统计事件发生的频率，然后用频率来估计概率例如，可以用抛硬币的频率来估计正面朝上的概率频率与概率关系练习题题目22什么是大数定律？它有什么意义？题目11频率和概率有什么区别和联系？题目3如何用频率来估计概率？举例说明3第四部分概率计算在本部分，我们将学习概率的计算方法我们将学习加法定理、减法定理、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式等概率计算的重要公式这些公式是解决复杂概率问题的关键工具我们将通过例题讲解和练习题巩固大家对这些公式的理解和应用加法定理定义适用条件举例加法定理是指，如果加法定理适用于互斥例如，抛掷一枚骰和是两个互斥事事件，即不能同时发子，出现点或点的A B12件，则或发生的概生的事件如果和概率是多少？由于A BA B率等于发生的概率可以同时发生，则不出现点和出现点是A12加上发生的概率，能直接使用加法定理互斥事件，因此可以B即使用加法定理∪∪PA B=PA+PB P12=P1+P2=1/6+1/6=1/3减法定理定义减法定理是指，事件A发生的概率等于1减去事件A不发生的概率，即PA=1-PA，其中A表示事件A的对立事件适用场景减法定理适用于计算事件A发生的概率比较困难，但事件A不发生的概率比较容易计算的情况通过计算A不发生的概率，可以间接计算出A发生的概率举例例如，从10件产品中随机抽取3件，至少有一件次品的概率是多少？可以先计算没有次品的概率，然后用1减去没有次品的概率，即可得到至少有一件次品的概率乘法定理定义适用条件乘法定理是指，如果和是乘法定理适用于独立事件，A B两个独立事件，则和同时即一个事件的发生不影响另AB发生的概率等于发生的概率一个事件的发生如果和A AB乘以发生的概率，即不是独立事件，则不能直接B使用乘法定理，需要使用条PA∩B=PA×PB件概率举例例如，连续抛掷两枚硬币，都正面朝上的概率是多少？由于第一次抛硬币的结果不影响第二次抛硬币的结果，因此可以使用乘法定理PA∩B=PA×PB=1/2×1/2=1/4全概率公式适用场景全概率公式适用于将事件分解为多A个互斥事件来考虑的情况通过Bi定义计算在每个条件下发生的概率，A Bi2全概率公式是指，如果事件B1，然后加权求和，即可得到A发生的总，，构成一个完备事件组，概率B2…Bn即它们两两互斥且它们的并集等于1举例样本空间，则事件发生的概率可A以表示为例如，某工厂有两个车间生产同一PA=PA|B1PB1+PA|B2PB2+…+PA种产品，一车间的产品占总产量的|BnPBn60%，次品率为2%，二车间的产品占3总产量的，次品率为，则从该40%3%厂生产的产品中随机抽取一件，抽到次品的概率是多少？贝叶斯公式定义1贝叶斯公式是指，已知事件A发生的情况下，事件Bi发生的概率可以表示为PBi|A=PA|BiPBi/PA，其中PA可以用全概率公式计算适用场景2贝叶斯公式适用于在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率它可以用于更新我们对事件发生的可能性的认识举例3例如，某疾病的患病率为1%，某种检测方法对患病者的检出率为95%，对未患病者的误诊率为2%，如果某人检测结果为阳性，则他患病的概率是多少？独立事件定义判断方法如果事件的发生不影响事件判断两个事件是否独立，需A的发生，则称和是独立事要根据实际情况进行分析BAB件数学上表示为如果一个事件的发生对另一PA|B=PA或个事件的发生没有影响，则PB|A=PB可以认为这两个事件是独立的应用独立事件在概率计算中非常重要，因为对于独立事件，可以使用乘法定理简化计算条件概率定义计算公式应用条件概率是指，在已知事件发生的，其中条条件概率在实际应用中非常广泛，例B PA|B=PA∩B/PB PB≠0条件下，事件发生的概率，记为件概率的计算需要知道和同时发生如，在医学诊断中，医生会根据病人A AB条件概率反映了事件的发生的概率以及发生的概率的症状和检查结果，判断病人患某种PA|B BB对事件的影响疾病的概率，这就是条件概率的应用A概率计算练习题1题目1某班级有名学生，其中名学生喜欢篮球，名学生603540喜欢足球，同时喜欢篮球和足球的学生有名，求随机20抽取一名学生，该学生喜欢篮球或足球的概率题目2抛掷两枚骰子，求点数之和为的概率7题目3从一副扑克牌（张）中随机抽取两张牌，求两张牌都54是红桃的概率概率计算练习题2题目4某工厂生产的产品次品率为，从中随机抽取件产品，求至少2%10有一件次品的概率题目5已知，，，求和PA=

0.5PB=

0.3PA∩B=

0.1PA|B PB|A第五部分概率分布在本部分，我们将学习概率分布的相关知识我们将学习离散型概率分布和连续型概率分布的概念和特点然后，我们将重点学习二项分布、泊松分布和正态分布这三种常见的概率分布，掌握它们的概率密度函数和应用场景离散型概率分布定义特点常见分布离散型随机变量是指取值只能是有限离散型概率分布可以用概率质量函数常见的离散型概率分布包括伯努利分个或可数个的随机变量离散型概（）来描述概率质量函数给出布、二项分布、泊松分布、几何分布PMF率分布是指描述离散型随机变量取值了每个取值的概率离散型概率分等的概率分布布的概率之和等于1连续型概率分布定义连续型随机变量是指取值可以是某个区间内的任意值的随机变量连续型概率分布是指描述连续型随机变量取值的概率分布特点连续型概率分布可以用概率密度函数（）来描述概率PDF密度函数在某一点的值并不表示该点对应的概率，而是表示该点附近单位长度内的概率密度连续型概率分布在整个取值范围内的积分等于1常见分布常见的连续型概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等二项分布定义概率质量函数二项分布是指在次独立重复n PX=k=Cn,k×p^k×1-p^n-的伯努利试验中，成功的次，其中表示成功的次数，k X数的概率分布每次伯努利表示具体的成功次数，表k p试验只有两种结果成功或示每次试验成功的概率，失败表示从次试验中选择Cn,k nk次成功的组合数应用二项分布可以用于描述在固定次数的试验中，成功的次数的概率分布例如，抛掷次硬币，正面朝上的次数的概率分布就符合n二项分布泊松分布概率质量函数，其中表示PX=k=λ^k×e^-λ/k!X事件发生的次数，表示具体的发生k次数，表示单位时间或单位空间内2λ定义事件发生的平均次数，是自然常e泊松分布是指在单位时间或单位空数1间内，随机事件发生的次数的概率应用分布泊松分布通常用于描述稀有事件的发生规律泊松分布可以用于描述在单位时间或单位空间内，随机事件发生的次3数的概率分布例如，某医院在一天内急诊病人的数量的概率分布就符合泊松分布正态分布定义1正态分布是一种非常重要的连续型概率分布，也称为高斯分布正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间高，两边低概率密度函数2，其中表示均值，fx=1/σ√2π×e^-x-μ^2/2σ^2μσ表示标准差应用3正态分布在自然界和社会生活中广泛存在例如，人的身高、体重、考试成绩等都近似服从正态分布概率分布练习题题目题目12某射击运动员每次射击击中某城市一年内发生交通事故目标的概率为，射击次，的次数服从泊松分布，平均

0.85求击中目标次的概率每年发生起交通事故，求一33年内发生起交通事故的概率2题目3某班级学生的身高服从正态分布，平均身高为，标准差为170cm，求随机抽取一名学生，身高在到之间的概率5cm165cm175cm第六部分概率图表在本部分，我们将学习概率图表的绘制和应用我们将学习树状图、文氏图和列表法等常用的概率图表，掌握它们的绘制方法和特点通过运用这些图表，可以更直观地分析和解决概率问题树状图定义绘制方法应用场景树状图是一种用于展示事件发生的各绘制树状图时，首先确定根节点，然树状图适用于展示多个事件连续发生种可能结果的图表树状图从一个根后根据事件发生的顺序，依次画出每的各种可能结果例如，可以用树状节点开始，每个节点代表一个事件，个事件的节点和分支在每个分支上图来分析抛掷多次硬币的结果每个分支代表一个可能的结果标明该分支对应的概率文氏图定义文氏图是一种用于展示集合之间关系的图表在文氏图中，每个集合用一个圆表示，圆之间的重叠部分表示集合的交集应用文氏图可以用于分析事件之间的关系，例如，事件的并集、交集、差集等文氏图还可以用于计算概率，例如，计算事件或发生的概率AB特点文氏图简单直观，易于理解但是，当事件较多时，文氏图会变得比较复杂列表法定义应用局限性列表法是指将事件发生的各种可列表法可以用于计算概率例如，当事件的结果数量较多时，列表能结果一一列举出来的方法列可以用列表法来计算抛掷一枚骰法会变得非常繁琐，不方便使用表法适用于事件的结果数量较少子，出现偶数的概率这时，可以考虑使用其他的概率的情况计算方法概率图表练习题题目2用文氏图分析某班级学生喜欢篮球2和足球的情况，并计算喜欢篮球或题目1足球的学生的概率用树状图分析抛掷两次硬币的结果，1并计算两次都正面朝上的概率题目3用列表法计算抛掷一枚骰子，出现3大于的数的概率4第七部分实际应用在本部分，我们将学习概率在实际生活中的应用我们将探讨概率在医学、经济学、工程、决策等领域中的应用，了解概率如何帮助我们解决实际问题，提高决策的科学性概率在生活中的应用天气预报彩票中奖风险评估天气预报利用概率模型预测未来天气彩票中奖的概率非常低，但人们仍然在生活中，我们经常需要进行风险评状况，例如降水概率、温度范围等乐于购买，因为他们抱着一丝希望估，例如投资风险、出行风险等这可以帮助人们合理安排生活和出行了解彩票中奖的概率可以帮助人们理了解各种风险发生的概率可以帮助我性对待彩票们做出更明智的决策概率在医学中的应用疾病诊断医生会根据病人的症状、体征和检查结果，判断病人患某种疾病的概率这就是条件概率的应用通过了解各种疾病的患病率和检查结果的准确性，医生可以做出更准确的诊断药物疗效评估药物疗效的评估需要进行临床试验，通过统计接受药物治疗的病人和接受安慰剂治疗的病人的疗效差异，来判断药物的疗效这也需要用到概率统计的知识流行病学研究流行病学研究需要统计各种疾病的发病率、死亡率等指标，来了解疾病的流行规律和影响因素这也需要用到概率统计的知识概率在经济学中的应用投资决策保险精算投资者需要评估各种投资项保险公司需要根据各种风险目的风险和收益，从而做出事件发生的概率，来确定保投资决策风险和收益可以险费率这就是精算师的工用概率来描述通过了解各作精算师需要精通概率统种投资项目的风险和收益，计的知识投资者可以做出更理性的决策市场预测经济学家需要预测未来的经济发展趋势，例如增长率、通货膨GDP胀率等这需要用到概率模型和统计方法概率在工程中的应用风险评估在工程项目中，存在各种风险，例可靠性分析如自然灾害、人为失误等工程师2工程师需要评估各种工程项目的可需要评估这些风险发生的概率，并靠性，例如桥梁、建筑、飞机的可采取相应的措施来降低风险1靠性可靠性可以用概率来描述质量控制通过了解各种部件的失效概率，工程师可以设计出更可靠的工程项目在生产过程中，需要进行质量控制，以保证产品的质量质量控制需要3用到概率统计的知识，例如抽样检验、控制图等概率在决策中的应用风险评估1在决策过程中，需要评估各种方案的风险和收益风险和收益可以用概率来描述通过了解各种方案的风险和收益，决策者可以做出更明智的决策期望值分析2期望值是指各种结果的概率乘以结果的价值的总和通过计算各种方案的期望值，决策者可以选择期望值最高的方案决策树分析3决策树是一种用于展示决策过程的图表决策树可以帮助决策者分析各种方案的可能结果和概率，从而做出更明智的决策应用练习题题目题目12请举例说明概率在医学、经如何利用概率知识进行风险济学、工程学、决策等领域评估？中的应用题目3如何利用期望值分析进行决策？第八部分综合复习在本部分，我们将对整个课程进行综合复习我们将回顾重点知识，分析易错点，并通过综合练习题巩固大家对概率与频率的理解和应用重点知识回顾频率概率频率与概率的关系概率计算频率的定义、计算公式、概率的定义、基本性质、频率与概率的区别、大数加法定理、减法定理、乘特征、与样本量的关系、古典概型、几何概型、主定律、频率的稳定性、用法定理、全概率公式、贝应用实例观概率频率估计概率叶斯公式、独立事件、条件概率易错点分析频率与概率混淆频率是实际试验的结果，概率是对未来事件的预测要区分频率和概率，避免混淆使用概率计算公式适用条件每个概率计算公式都有其适用条件要仔细分析问题的特点，选择合适的公式进行计算概率分布选择不同的概率分布适用于不同的情况要根据实际问题的特点，选择合适的概率分布进行分析综合练习题1题目题目12某工厂生产的产品次品率为已知，，PA=

0.6PB=

0.4，从中随机抽取件产品，，求2%100PA|B=

0.5PB|A求至少有件次品的概率3题目3某城市一年内发生交通事故的次数服从泊松分布，平均每年发生5起交通事故，求一年内发生起以上交通事故的概率3综合练习题2题目5某班级有名学生，其中名学生题目50304喜欢篮球，名学生喜欢足球，同25用树状图分析抛掷三次硬币的结果，1时喜欢篮球和足球的学生有名，15并计算三次都正面朝上的概率2求随机抽取一名学生，该学生既不喜欢篮球也不喜欢足球的概率课程总结恭喜大家完成了概率与频率复习课！通过本次课程，我们系统回顾了概率与频率的核心概念、计算方法及其在实际生活中的应用希望大家能够将所学知识应用于实际问题中，提高解决相关问题的能力感谢大家的参与！。