概率论基础与计算课件

概率论基础与计算课程概述课程目标学习内容考核方式本课程旨在帮助学生理解和掌握概率论课程内容涵盖概率论的基本概念、随机的基本概念、理论和方法，培养学生运变量及其分布、多维随机变量、随机变用概率论知识解决实际问题的能力通量的数字特征、大数定律与中心极限定过学习，学生应能够熟练运用概率论的理、数理统计的基本概念、回归分析与原理和方法，分析和解决各种随机现象方差分析以及随机过程初步每个章节和问题都包含理论讲解、实例分析和习题练习，帮助学生全面掌握知识第一章概率论基础随机现象样本空间事件12随机现象是指在一定条件下，结果样本空间是随机试验所有可能结果不确定，但多次重复试验后呈现出的集合每个可能的结果称为一个某种规律性的现象例如，抛掷硬基本事件或样本点样本空间可以币的结果、射击目标的命中位置是有限的，也可以是无限的等随机现象的特点不确定性可重复性规律性随机现象的结果在每次随机现象可以在相同的当试验次数足够多时，试验前无法准确预测，条件下重复进行多次试随机现象会呈现出某种具有不确定性这是随验这是进行统计分析统计规律性例如，频机现象最基本的特征和推断的基础率的稳定性就是一种常见的规律性样本空间的定义基本事件样本点基本事件是随机试验的每一个可样本点是样本空间中的一个元能的结果，也称为样本点基本素，表示随机试验的一个具体结事件具有互斥性，即每次试验只果样本空间由所有可能的样本能出现一个基本事件点组成有限与无限样本空间样本空间可以是有限的，也可以是无限的有限样本空间包含有限个样本点，无限样本空间包含无限个样本点例如，抛掷硬币的样本空间是有限的，测量身高的样本空间是无限的事件的分类基本事件1基本事件是只包含一个样本点的事件，也是最简单的事件例如，抛掷骰子得到点数就是一个基本事件1复合事件2复合事件包含多个样本点，可以由基本事件通过各种运算构成例如，抛掷骰子得到偶数点就是一个复合事件必然事件与不可能事件3必然事件是每次试验都一定会发生的事件，包含样本空间的所有元素不可能事件是每次试验都不会发生的事件，不包含任何元素事件间的关系包含事件包含事件，表示事件发生时，事件一定发生即是A BB A B的子集A相等事件等于事件，表示事件和事件包含相同的样本点即A B A BA和是相同的集合B互斥事件和事件互斥，表示事件和事件不能同时发生即和A BA BA没有公共的样本点B事件的运算和事件积事件事件和事件的和事件表示事件或事1事件和事件的积事件表示事件和事A BA A BA件B发生，记作A∪B2件B同时发生，记作A∩B逆事件差事件4事件的逆事件表示事件不发生，记作事件和事件的差事件表示事件发生A A A BA3的补集但事件不发生，记作A BA-B概率的定义公理化定义1统计定义2频率的稳定性3概率是描述随机事件发生可能性大小的数值概率的定义有三种主要方式频率的稳定性、概率的统计定义和概率的公理化定义频率的稳定性是指在大量重复试验中，事件发生的频率趋于稳定于一个常数概率的统计定义是将事件发生的频率近似为事件的概率概率的公理化定义是通过满足一组公理的函数来定义概率概率的性质非负性1对于任意事件，其概率大于等于概率不可能为负数A PA0规范性2必然事件的概率为，即，其中表示样本空间1PΩ=1Ω可加性对于互斥事件和，∪可加性可以推广到3A B PA B=PA+PB多个互斥事件古典概型定义应用条件计算方法古典概型是指试验的所有可能结果是有古典概型的应用条件是试验的所有可能古典概型的概率计算方法是事件发生的A限的，且每个结果发生的可能性相等结果是有限的，且每个结果发生的可能概率等于事件包含的样本点数除以样本A例如，抛掷一个均匀的骰子性相等这两个条件必须同时满足空间的总样本点数即PA=|A|/|Ω|几何概型定义应用条件12几何概型是指试验的所有可能几何概型的应用条件是试验的结果是无限的，且每个结果发所有可能结果是无限的，且每生的概率与某个几何区域的度个结果发生的概率与某个几何量（长度、面积、体积等）成区域的度量成正比这意味着正比例如，在单位圆内随机试验结果在几何区域内是均匀取一点分布的计算方法3几何概型的概率计算方法是事件发生的概率等于事件对应的几何区AA域的度量除以样本空间对应的几何区域的度量即，其PA=μA/μΩ中表示度量μ条件概率定义性质计算公式条件概率是指在事件条件概率满足概率的所条件概率的计算公式为B已经发生的条件下，事有性质，例如非负性、，PA|B=PA∩B/PB件发生的概率，记作规范性、可加性等其中A PB0PA|B乘法公式两个事件的乘法公式多个事件的乘法公式对于两个事件和，对于多个事件，A BA1,A2,...,AnPA∩B=PAPB|A=PBPA|PA1∩A2∩...∩An=PA1PA2|A1BPA3|A1∩A

2...PAn|A1∩A2∩...∩An-1应用实例乘法公式常用于计算多个事件同时发生的概率，例如，依次从一个盒子中取出多个球的概率全概率公式完备事件组1如果事件满足两两互斥且∪∪∪，则称B1,B2,...,Bn B1B

2...Bn=Ω为样本空间的一个完备事件组B1,B2,...,BnΩ全概率公式的推导2对于任意事件，APA=PA∩B1+PA∩B2+...+PA∩Bn=PB1PA|B1+PB2PA|B2应用实例3+...+PBnPA|Bn全概率公式常用于计算在多个条件下事件发生的概率，例如，计算产品合格率时，考虑不同生产线的产量和合格率贝叶斯公式先验概率与后验概率先验概率是指在没有观测数据的情况下，对事件发生的概率的估计后验概率是指在观测到数据后，对事件发生的概率的重新估计贝叶斯公式的推导贝叶斯公式由条件概率公式和全概率公式推导而来，PBi|A=PA|BiPBi/PA=PA|BiPBi/∑PA|BjPBj应用实例贝叶斯公式常用于计算在已知结果的情况下，导致该结果的原因的概率，例如，医学诊断、垃圾邮件过滤等事件的独立性判断方法事件和事件独立的判断方法是AB2PA∩B=PAPB定义事件和事件独立，表示事件的发生1ABA不影响事件的发生，反之亦然即B独立重复试验或PA|B=PA PB|A=PB独立重复试验是指在相同的条件下重复进行多次试验，每次试验的结果相互独3立例如，多次抛掷同一枚硬币第二章随机变量及其分布概率密度函数1分布函数2随机变量的概念3随机变量是将随机试验的结果数值化的变量分布函数是描述随机变量取值小于等于某个值的概率的函数概率密度函数是描述连续型随机变量在某个值附近的概率密度的函数本章将深入探讨随机变量及其分布的相关概念和性质离散型随机变量定义1离散型随机变量是指取值只能是有限个或可列无限个的随机变量例如，抛掷硬币的正面次数分布列分布列是描述离散型随机变量取每个值的概率的表格或函数分布列满足概率之和等2于1常见离散分布常见的离散分布包括分布、二项分布、泊松分布、几何分30-1布、超几何分布等分布0-1定义期望与方差应用实例分布是指随机变量只取和两个值的分布的期望为，方差为分布常用于描述只有两种可能结果的0-1010-1EX=p0-1分布其中，，，试验，例如，产品是否合格、用户是否PX=1=p PX=0=1-p0DX=p1-p点击广告等二项分布定义期望与方差应用实例123二项分布是指在次独立重复试验二项分布的期望为，方差为二项分布常用于描述在固定次数的n EX=np中，事件发生的次数的分布其独立重复试验中，事件发生的次A DX=np1-p中，每次试验事件发生的概率为数，例如，次抛掷硬币的正面次A n，数、次射击的命中次数等p PX=k=Cn,kpk1-pn-k n泊松分布定义期望与方差与二项分布的关系泊松分布是指在单位时泊松分布的期望为当二项分布的很大，n p间或空间内，事件发生，方差为很小，且时，二项EX=λnp=λ的次数的分布分布可以近似为泊松分DX=λ，其中布泊松分布可以看作PX=k=λke-λ/k!表示单位时间或空是二项分布的一种极限λ0间内事件发生的平均次情况数几何分布定义期望与方差几何分布是指在独立重复试验几何分布的期望为，方EX=1/p中，事件首次发生的试验次数差为A DX=1-p/p2的分布，其PX=k=1-pk-1p中表示事件每次发生的概率p A无记忆性几何分布具有无记忆性，即在已知前次试验均未发生事件的条件下，k A第次试验发生事件的概率仍然为k+1A p超几何分布定义1超几何分布是指从个物品中不放回地抽取个物品，其中个N nM是次品，抽取到的次品数的分布PX=k=CM,kCN-M,n-k/CN,n期望与方差2超几何分布的期望为，方差为EX=nM/N DX=nM/N1-M/NN-n/N-1与二项分布的关系3当很大时，超几何分布可以近似为二项分布因为当很大N N时，不放回抽样与放回抽样几乎没有区别连续型随机变量定义连续型随机变量是指取值可以在某个区间内任意值的随机变量例如，人的身高、温度等概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量在某个值附近的概率密度的函数概率密度函数满足∫fxdx=1分布函数分布函数是描述随机变量取值小于等于某个值的概率的函数Fx=PX≤x=∫-∞xftdt均匀分布期望与方差均匀分布的期望为，方差EX=a+b/22为DX=b-a2/12定义均匀分布是指随机变量在某个区间内取1任意值的概率相等，fx=1/b-a应用实例否则a≤x≤b fx=0均匀分布常用于描述在某个区间内随机取值的试验，例如，随机数生成器生成3的随机数指数分布无记忆性1期望与方差2定义3指数分布是指描述独立随机事件发生的时间间隔的概率分布定义，其中是速率参数期望与方差期望fx=λe^-λx,x≥0λ0为，方差为指数分布具有无记忆性，即EX=1/λDX=1/λ²PXs+t|Xs=PXt正态分布定义正态分布是指随机变量的概率密度函数呈钟形曲线的分布，其中表示均1fx=1/σ√2πe-x-μ2/2σ2μ值，表示标准差σ标准正态分布标准正态分布是指均值为，标准差为的正态分布标准正态分布的概率密度函数为201φx=1/√2πe-x2/2性质与应用正态分布具有广泛的应用，因为许多随机变量的分布都可以近似为正态分布例如，人的身高、体重、考试成绩等正态分3布还具有许多重要的性质，例如，正态分布的线性组合仍然是正态分布随机变量函数的分布离散型随机变量函数连续型随机变量函数概率积分变换如果是离散型随机变量，是的如果是连续型随机变量，是的概率积分变换是指将任意连续型随机变X Y=gX XX Y=gX X函数，则也是离散型随机变量的分函数，则也是连续型随机变量的概量通过其分布函数变换为均匀分布Y Y YYX Fx布列可以通过的分布列和函数计算率密度函数可以通过的概率密度函数和即服从均匀分布X gXX U0,1U=FX U0,1得到函数计算得到gX第三章多维随机变量二维随机变量的分布边缘分布12二维随机变量是指由两个随机边缘分布是指二维随机变量中变量组成的随机向量二维随单个随机变量的分布边缘分机变量的分布可以用联合分布布可以由联合分布函数或联合函数或联合概率密度函数来描概率密度函数积分得到述条件分布3条件分布是指在已知一个随机变量的取值条件下，另一个随机变量的分布条件分布可以由联合分布函数或联合概率密度函数计算得到二维离散型随机变量联合分布律边缘分布律条件分布律联合分布律是描述二维边缘分布律是描述二维条件分布律是描述在已离散型随机变量取每个离散型随机变量中单个知一个随机变量的取值值的概率的表格或函随机变量取每个值的概条件下，另一个随机变数联合分布律满足概率的表格或函数边缘量取每个值的概率的表率之和等于分布律可以由联合分布格或函数条件分布律1律求和得到可以由联合分布律计算得到二维连续型随机变量联合密度函数边缘密度函数联合密度函数是描述二维连续型边缘密度函数是描述二维连续型随机变量在某个值附近的概率密随机变量中单个随机变量在某个度的函数联合密度函数满足值附近的概率密度的函数边缘密度函数可以由联合密度函数积∫∫fx,ydxdy=1分得到条件密度函数条件密度函数是描述在已知一个随机变量的取值条件下，另一个随机变量在某个值附近的概率密度的函数条件密度函数可以由联合密度函数计算得到随机变量的独立性定义1随机变量和独立，表示的取值不影响的取值，反之亦然X YX Y即PX≤x,Y≤y=PX≤xPY≤y判断方法2随机变量和独立的判断方法是，其中是X Yfx,y=fXxfYy fx,y联合密度函数，和是边缘密度函数fXx fYy独立性与不相关性3如果随机变量和独立，则和不相关反之，如果和不相X YX YX Y关，则和不一定独立但是，如果和服从二维正态分布，X YX Y则和不相关等价于和独立X YX Y二维均匀分布定义性质应用实例二维均匀分布是指随机变量在某个区域内二维均匀分布的性质是其概率密度函数在二维均匀分布常用于描述在某个区域内随取任意值的概率相等，区域内是常数，且积分等于机取值的试验，例如，在正方形内随机取fx,y=1/A D1∈，否则其中表示区域一点x,y Dfx,y=0A D的面积二维正态分布性质二维正态分布的性质包括其边缘分布仍2然是正态分布，且其线性组合仍然是正定义态分布二维正态分布是指由两个正态分布随机1变量组成的随机向量的分布其概率密边缘分布与条件分布度函数比较复杂，涉及到均值、方差和协方差等参数二维正态分布的边缘分布是正态分布，条件分布也是正态分布这些分布的参数可以由二维正态分布的参数计算得3到多维随机变量函数的分布卷积公式1连续型情况2离散型情况3多维随机变量函数的分布是指由多个随机变量组成的函数的分布离散型情况可以通过联合分布律计算得到连续型情况可以通过联合密度函数计算得到卷积公式是计算两个独立随机变量和的分布的常用方法第四章随机变量的数字特征矩1方差2期望3随机变量的数字特征是描述随机变量分布的某些特征的数值期望是随机变量的平均取值方差是随机变量取值的分散程度矩是随机变量的更高阶的特征，可以描述分布的形状期望的定义与性质离散型随机变量的期望连续型随机变量的期望期望的性质离散型随机变量的期望是其所有可能取连续型随机变量的期望是其所有可能取期望具有线性性质，即值与其对应概率的乘积的和值与其对应概率密度函数的乘积的积期望还具有其他EaX+bY=aEX+bEY分一些重要的性质，例如，，EX=∑xPX=x EX=∫xfxdx EC=C（如果和独立）EXY=EXEY XY方差的定义与性质离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差方差的性质123离散型随机变量的方差是其所有可连续型随机变量的方差是其所有可方差具有一些重要的性质，例如，能取值与其期望之差的平方与其对能取值与其期望之差的平方与其对，，DC=0DaX=a2DX应概率的乘积的和应概率密度函数的乘积的积分DX=∑x-DX+Y=DX+DY+2CovX,Y EX2PX=x DX=∫x-EX2fxdx协方差与相关系数定义性质计算方法协方差是描述两个随机协方差具有一些重要的协方差的计算方法是变量之间线性关系的数性质，例如，CovX,Y=EXY-值，相关系数是CovX,Y=EX-CovX,Y=CovY,X EXEY，协方差的标准化，EXY-EY CovX,C=0CovaX,bY=abCovX,ρ=CovX,Y/√DX√D YY矩、协方差矩阵原点矩与中心矩协方差矩阵的定义原点矩是随机变量的次幂的期协方差矩阵是由多个随机变量两k望中心矩是随机变量与两之间的协方差组成的矩阵协EXk其期望之差的次幂的期望方差矩阵是一个对称矩阵kEX-EXk协方差矩阵的性质协方差矩阵具有一些重要的性质，例如，其对角线元素是各个随机变量的方差，非对角线元素是两两随机变量之间的协方差切比雪夫不等式定理及证明1切比雪夫不等式是指对于任意随机变量和任意正数，XεP|X-证明利用方差的定义和积分不等式EX|≥ε≤DX/ε2应用2切比雪夫不等式可以用于估计随机变量的取值偏离其期望的概率它不需要知道随机变量的具体分布，只需要知道其期望和方差大数定律的基础3切比雪夫不等式是大数定律的基础大数定律是指在大量重复试验中，随机变量的平均取值趋于其期望第五章大数定律与中心极限定理大数定律中心极限定理应用大数定律是指在大量重复试验中，随机变中心极限定理是指在一定条件下，大量独大数定律和中心极限定理在统计学、工程量的平均取值趋于其期望大数定律是概立随机变量的和的分布趋于正态分布中学、经济学等领域都有广泛的应用例率论中的重要定理，它揭示了随机现象的心极限定理是概率论中的另一个重要定如，可以用于估计总体参数、进行假设检统计规律性理，它为统计推断提供了理论基础验、构建置信区间等依概率收敛性质依概率收敛具有一些重要的性质，例如，如果，则，Xn→PX aXn→PaX2依概率收敛还具有唯一Xn+Yn→PX+Y定义性，即如果，则是唯一的Xn→PX X随机变量序列依概率收敛于随机变Xn1与几乎必然收敛的关系量，表示对于任意正数，当趋于无Xεn穷大时，趋于记作P|Xn-X|≥ε0几乎必然收敛是指对于任意正数，εXn→PX几乎必然收敛Plimn→∞|Xn-X|ε=1强于依概率收敛，即如果几乎必然收Xn敛于，则依概率收敛于反之，依3X XnX概率收敛不一定能推出几乎必然收敛大数定律辛钦大数定律1伯努利大数定律2切比雪夫大数定律3大数定律是一系列描述当试验次数趋于无穷大时，随机变量平均结果的稳定性的定律切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律是几种常见的大数定律，它们在不同的条件下保证了样本均值依概率收敛于总体期望中心极限定理应用实例1棣莫弗拉普拉斯定理-2林德伯格莱维中心极限定理-3中心极限定理指出，在适当条件下，大量独立随机变量之和（或均值）的分布趋近于正态分布林德伯格莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯定理是两种常见的中心极限定理，它们在不同的条件下给出了样本均值渐近服从正态分布的结论中心极限定理在统计推断-中具有重要的应用第六章数理统计的基本概念总体与样本抽样分布参数估计总体是指研究对象的全体样本是从总抽样分布是指统计量的分布统计量是参数估计是指根据样本的信息来估计总体中抽取的一部分个体数理统计的任样本的函数例如，样本均值、样本方体的未知参数参数估计包括点估计和务是根据样本的信息来推断总体的性差等抽样分布是进行统计推断的基区间估计点估计是用一个数值来估计质础参数区间估计是用一个区间来估计参数统计量与抽样分布常用统计量分布12\\chi^2\常用统计量包括样本均值、样分布是指个独立\\chi^2\n本方差、样本标准差、样本中标准正态随机变量的平方和的位数、样本分位数等统计量分布分布在统计\\chi^2\是样本的函数，可以用于描述推断中具有重要的应用，例样本的特征如，用于检验拟合优度、检验独立性等分布和分布3t F分布和分布是两种常见的抽样分布分布是指标准正态随机变量除t Ft以随机变量的平方根的分布分布是指两个随\\chi^2\F\\chi^2\机变量的比值的分布分布和分布在统计推断中具有重要的应用，t F例如，用于检验均值差异、检验方差差异等正态总体的抽样分布样本均值的分布样本方差的分布样本均值和样本方差的独立性如果总体服从正态分如果总体服从正态分布，则样本均值也服从布，则样本方差乘以如果总体服从正态分n-正态分布样本均值的除以总体方差服从布，则样本均值和样本1期望等于总体均值，样分布其中方差相互独立这是一\\chi^2\n本均值的方差等于总体表示样本容量个重要的性质，在统计方差除以样本容量推断中经常用到参数的点估计矩估计法最大似然估计法矩估计法是用样本矩来估计总体最大似然估计法是用最大化似然参数的方法矩估计法的基本思函数来估计总体参数的方法似想是用样本矩来代替总体矩，然然函数是指样本发生的概率，可后解方程组得到参数的估计值以看作是参数的函数最大似然估计法的基本思想是选择使样本发生的概率最大的参数值作为参数的估计值估计量的评选标准估计量的评选标准包括无偏性、有效性和一致性无偏性是指估计量的期望等于总体参数有效性是指估计量的方差尽可能小一致性是指当样本容量趋于无穷大时，估计量依概率收敛于总体参数区间估计置信区间的概念1置信区间是指用一个区间来估计总体参数置信区间是指在一定置信水平下，包含总体参数的概率为某个值的区间例如，95%正态总体均值和方差的区间估计置信区间是指包含总体参数的概率为95%的区间2对于正态总体，可以利用分布和分布来构建均值和方t\\chi^2\差的置信区间置信区间的公式取决于总体方差是否已知大样本的区间估计3对于大样本，可以利用中心极限定理来构建均值的置信区间大样本的置信区间不需要知道总体的分布，只需要知道样本均值和样本方差假设检验基本概念假设检验是指根据样本的信息来判断对总体的某种假设是否成立假设检验包括零假设和备择假设零假设是研究者想要推翻的假设备择假设是研究者想要支持的假设正态总体均值的假设检验对于正态总体，可以利用检验和检验来检验均值是否等于某t z个值检验用于总体方差未知的情况检验用于总体方差已t z知的情况非参数检验简介非参数检验是指不需要知道总体的分布就可以进行的假设检验非参数检验适用于总体分布未知或非正态的情况常见的非参数检验包括符号检验、秩和检验等第七章回归分析与方差分析多元线性回归21方差分析一元线性回归3回归分析是研究变量之间关系的统计方法方差分析是研究多个总体均值之间差异的统计方法一元线性回归和多元线性回归是回归分析的两种常见形式回归分析和方差分析在各个领域都有广泛的应用一元线性回归模型预测与控制1参数估计2最小二乘法3一元线性回归模型描述了一个自变量和一个因变量之间的线性关系最小二乘法用于估计模型中的参数参数估计的目的是找到最佳拟合数据的直线预测与控制回归模型可以用于预测因变量的值，也可以用于控制因变量的值多元线性回归模型显著性检验1参数估计2模型的建立3多元线性回归模型描述了多个自变量和一个因变量之间的线性关系模型的建立需要选择合适的自变量参数估计可以使用最小二乘法来估计模型中的参数显著性检验需要检验模型的显著性和参数的显著性方差分析检验双因素方差分析单因素方差分析F方差分析用于检验多个总体均值之间是否存在显著差异单因素方差分析用于检验一个因素的多个水平对因变量的影响双因素方差分析用于检验两个因素的多个水平对因变量的影响检验用于检验因素的影响是否显著F第八章随机过程初步泊松过程马尔可夫链12随机过程的概念3随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机过程泊松过程是描述单位时间或空间内随机事件发生次数的随机过程随机过程在通信、金融、生物等领域都有广泛的应用随机过程的基本概念定义分类特征函数随机过程是指依赖于参数的一组随机变随机过程可以根据状态空间和参数的性质特征函数是描述随机变量分布的另一种方量参数通常是时间，但也可以是空间或进行分类常见的分类包括离散时间随机式特征函数可以唯一确定随机变量的分其他变量过程、连续时间随机过程、离散状态空间布随机过程的特征函数可以用于分析随随机过程、连续状态空间随机过程等机过程的性质马尔可夫链定义状态转移概率平稳分布马尔可夫链是指具有马尔可夫性质的状态转移概率是指从一个状态转移到平稳分布是指马尔可夫链经过足够长随机过程马尔可夫性质是指未来的另一个状态的概率状态转移概率可时间的演化后，状态分布趋于稳定状态只依赖于当前的状态，而与过去以用矩阵来表示状态转移概率矩阵平稳分布是马尔可夫链的重要性质，的状态无关描述了马尔可夫链的动态演化过程可以用于分析马尔可夫链的长期行为总结与展望课程内容回顾1本课程系统地介绍了概率论与数理统计的基本概念、基本理论和基本方法内容涵盖概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、回归分析与方差分析以及随机过程初步概率论与统计学的应用前景2概率论与统计学是现代科学技术的重要组成部分，在各个领域都有广泛的应用例如，在机器学习、人工智能、金融工程、生物医学等领域，概率论与统计学都发挥着重要的作用进一步学习建议3建议同学们在掌握本课程的基础上，进一步学习高等概率论、随机过程、数理统计等课程，深入了解概率论与统计学的理论和应用同时，可以结合实际问题，运用所学知识解决实际问题，提高自己的分析和解决问题的能力。