高中数学数列复习课件及教案

复习课高中数学数列件及教案欢迎来到高中数学数列复习课程！本课件旨在帮助学生全面掌握数列的基本概念、性质及应用，为高考数学复习打下坚实基础通过系统化的讲解和丰富的练习，我们将逐步构建数列知识体系，提升解题能力与数学思维本课件涵盖了从基础概念到高级应用的各个方面，包括等差数列、等比数列、数列的通项公式、递推公式、数列的性质以及数学归纳法等重要内容让我们一起踏上数列学习的精彩旅程！课程概述课标难程目教学重点和点通过本课程学习，学生应能够准确重点在于等差数列和等比数列的性理解和掌握数列的基本概念、定理质及应用，数列通项公式的求解方和公式，能够灵活运用不同解题方法，以及数学归纳法的应用难点法解决数列问题，培养数学思维和则包括数列的极限概念的理解，综数学语言表达能力，为高考数学复合性数列问题的分析与解决，以及习奠定基础，提高应对各类数列题不同类型数列之间的转换与应用型的能力课程安排本课程共分为50个课时，按照由易到难的原则安排教学内容，每个主题将包含概念讲解、例题分析和练习题解答三个环节，并通过复习与测试来巩固学习成果，最终达到融会贯通的学习效果数列的基本概念义数列的定数列是按照一定顺序排列的一列数我们用字母a的下标来表示数列中的项，例如a₁,a₂,a₃,...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示第二项，依此类推数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即a=fn，其中n∈N*ₙ有限数列和无限数列有限数列是只有有限项的数列，如{1,2,3,4,5}是一个有5项的有限数列无限数列则包含无穷多项，如自然数列{1,2,3,...}在高中数学中，我们主要研究的是无限数列的性质和规律数列的表示方法数列可以用多种方式表示，包括列举法（直接写出前几项）、通项公式（用n表示的代数式）和递推公式（用前面的项表示后面的项）选择适当的表示方法对于解决数列问题至关重要种见数列的几常表示方法列举法1列举法是通过直接列出数列的前几项来表示数列例如，数列{2,4,6,8,...}通过列出前四项来表示这种方法直观简单，适用于描述有明显规律的2通项公式数列，但对于复杂数列可能不够精确当我们观察到规律后，通常会转向更精确的表示方法通项公式是用含有n的代数式表示数列的第n项例如，上面的数列可以用通项公式a=2n表示通项公式是描述数列最精确的方式，因为它可以直ₙ接计算出数列的任意一项，在解决数列问题时具有重要作用递推公式3递推公式是用数列前面的项来表示后面的项的公式例如，斐波那契数列的递推公式为a₁=1,a₂=1,a=a+a n≥1递推公式特别适ₙ₊₂ₙ₊₁ₙ合描述具有递推关系的数列，但计算远期项时可能需要计算所有前面的项等差数列

（一）义等差数列的定判断等差数列的方法等差数列是指从第二项起，每一项与它的判断一个数列是否为等差数列，可以检查1前一项的差等于同一个常数的数列这个相邻两项的差是否恒定即计算a₂-a₁,常数称为等差数列的公差，通常用字母d2a₃-a₂,a₄-a₃...，如果这些差都相等表示，则该数列为等差数列项质等差中等差数列的性在等差数列中，如果三个数a,b,c成等差4等差数列有一个重要性质任意相邻三项数列，则称b为a与c的等差中项等差中中，中间一项是其他两项的算术平均数3项的计算公式为b=a+c/2，这在解决等即对于任意的等差数列{a}，都有ₙ差数列问题时很有用a=a+a/2ₙ₊₁ₙₙ₊₂等差数列

（二）1等差数列的通项公式2等差数列的前n项和公式等差数列的通项公式为a=a₁+n-1d，其中a₁是等差数列的前n项和公式为ₙ首项，d是公差，n是项数这S=na₁+a/2或ₙₙ个公式使我们能够直接计算出S=na₁+nn-1d/2这两个ₙ等差数列的任意一项，而无需公式是等价的，可以根据已知知道所有前面的项例如，对条件选择更便于计算的一个于首项为3，公差为2的等差数例如，对于首项为3，公差为2列，第10项可以计算为的等差数列，前10项和为a₁₀=3+10-1×2=3+18=21S₁₀=10×3+21/2=10×12=1203等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛应用，如等距离放置的物体、线性增长的现象等理解等差数列的性质和公式，能够帮助我们更有效地解决这类实际问题，提高数学应用能力练习题等差数列

（一）础题题基型解技巧等差数列的基础题型主要包括已知首项和公差求特定项、已知两解决等差数列问题的关键是灵活运用通项公式和前n项和公式当项求首项和公差、已知等差数列的某些性质求特定值等例如已遇到含有参数的等差数列问题时，先确定基本关系式，然后应用等知等差数列{a}的首项a₁=2，公差d=3，求a₁₀的值差数列的性质进行求解对于某些复杂问题，可以考虑列方程组求ₙ解解答根据等差数列的通项公式a=a₁+n-1d，代入已知条件ₙ，a₁₀=2+10-1×3=2+27=29在处理等差数列与其他数学概念（如函数、方程等）结合的题目时，注意将等差数列的性质转化为相应的数学关系，简化问题练习题等差数列

（二）进阶题见错误题型常分析解方法示范进阶题型通常结合了等差数列与其他数学知学生在解决等差数列问题时的常见错误包括对于上述进阶题型，我们可以列出以下方程识，如求使等差数列满足特定条件的参数混淆等差数列的通项公式和前n项和公式a₃+a₆=a₁+2d+a₁+5d=2a₁+7d=15值、等差数列与函数、方程、不等式的结合、错误地套用公式而不理解其含义、忽略公，应用等例如已知等差数列{a}中，差为0的特殊情况、以及在计算过程中的代a₄+a₈=a₁+3d+a₁+7d=2a₁+10d=23ₙa₃+a₆=15，a₄+a₈=23，求数列的首项数运算错误解这个二元一次方程组，得到a₁=2，a₁和公差d d=

1.5，从而确定了这个等差数列的首项和公差等比数列

（一）义等比数列的定等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q表示形式上，如果一个数列{a}满足a/a=q（n∈N*，q≠0），则称这个数列为等比数ₙₙ₊₁ₙ列判断等比数列的方法判断一个数列是否为等比数列，可以检查相邻两项的比值是否恒定即计算a₂/a₁,a₃/a₂,a₄/a₃...，如果这些比值都相等，且各项不为零，则该数列为等比数列这是等比数列最基本的判断方法质等比数列的性等比数列有一个重要性质任意相邻三项中，中间一项的平方等于两端项的乘积即对于任意的等比数列{a}，都有ₙa²=a×a这个性质在检验和求解等比数列问题时非ₙ₊₁ₙₙ₊₂常有用等比数列

（二）项项穷项等比数列的通公等比数列的前n等比数列的无式和公式和等比数列的通项公式为当公比q≠1时，等比数列当|q|1时，等比数列的a=a₁q^n-1，其中的前n项和公式为无穷项和S∞=a₁/1-qₙa₁是首项，q是公比，S=a₁1-q^n/1-q，这是等比数列一个重ₙn是项数这个公式使我；当公比q=1时，等比数要的性质当|q|≥1时，们能够直接计算出等比列退化为常数列，此时无穷项和不存在理解数列的任意一项，而无S=na₁这个公式在这一概念对于解决涉及ₙ需知道所有前面的项计算等比数列的和时非无穷等比数列和的问题例如，对于首项为2，公常有用，能够直接得出至关重要，也为后续学比为3的等比数列，第5结果而不必逐项相加习级数奠定基础项可以计算为a₅=2×3^4=2×81=162练习题等比数列

（一）题基本型1等比数列的基础题型包括已知首项和公比求特定项、已知两项求首项和公比、已知等比数列的某些性质求特定值等递关应推系用2涉及等比数列递推关系的问题，通常需要我们利用公比的概念来建立方程应求和用3关于等比数列求和的问题，需要灵活运用前n项和公式以及无穷项和公式例题已知等比数列{a}的首项a₁=4，公比q=1/2，求该数列的前6项和ₙ解答根据等比数列的前n项和公式S=a₁1-q^n/1-q，代入已知条件，S₆=4×[1-1/2^6]/1-1/2=4×1-1/64/1/2=4×63/64×2=8×63/64=

7.875ₙ等比数列问题的关键在于正确识别公比并灵活应用公式注意区分|q|

1、q=

1、|q|1这三种不同情况，特别是在处理无穷项和时练习题等比数列

（二）进阶题型通常结合了等比数列与其他数学知识，如求使等比数列满足特定条件的参数值、等比数列与函数、方程、不等式的结合应用等例如已知等比数列{a}中，a₁a₃=36，a₂a₄=72，求数列的首项a₁和公比qₙ解题方法根据等比数列的通项公式a=a₁q^n-1，代入有a₁a₃=a₁×a₁q²=a₁²q²=36，a₂a₄=a₁q×a₁q³=a₁²q⁴=72两式相除得ₙq²=72/36=2，所以q=±√2再代入a₁²q²=36得a₁²±√2²=a₁²×2=36，所以a₁²=18，a₁=±3√2学生在解决等比数列问题时常见的错误包括错误应用通项公式、混淆等差与等比数列的公式、在处理公比为负数时的符号错误，以及在计算过程中的指数运算错误避免这些错误需要深入理解等比数列的概念和性质，并注意计算的严谨性项数列的通公式常见的通项公式类型求解通项公式的方法常见的通项公式类型包括多项式型（如a=an²+bn+c）、指数型（如求解通项公式的方法多样，包括观ₙa=a·b^n）、分式型（如察法（找出数列的规律）、归纳法（ₙa=a/bn+c）、三角函数型（如假设通项公式的形式，然后验证）、ₙa=a·sinnπ/b）等不同类型的通构造法（根据数列的特点构造合适的通项公式的概念ₙ通项公式的重要性项公式反映了数列的不同增长或变化通项公式）、递推法（将递推关系转数列的通项公式是指用含有项数n的代规律化为通项公式）等通项公式是研究数列性质的基础，通数式表示数列第n项的公式通项公式过它可以计算数列的任意项、判断数是描述数列最精确的方式，通过它可列的单调性和有界性、求解数列的极以直接计算出数列的任意一项，而不限等掌握求解通项公式的方法是学需要知道所有前面的项习数列的关键一步2314项练习题数列通公式题型解题策略示例已知数列前几项求通项公观察数列规律，尝试常见数列{1,3,6,10,...}的通项公式通项公式类型式是a=nn+1/2ₙ已知数列递推关系求通项利用递推关系展开几项，递推关系a=2a+3ₙ₊₁ₙ公式寻找规律，a₁=1的通项公式是a=2ⁿ-3ₙ通项公式中含参数的问题列方程组确定参数值通项公式a=an²+bn+cₙ中的a、b、c值的确定分段函数型通项公式分情况讨论，分别求解奇数项和偶数项遵循不同规律的数列在求解数列通项公式时，关键是要根据已知条件确定通项公式的类型对于一些复杂数列，可能需要尝试多种方法或公式形式有时通过变换或分解数列可以简化问题，使通项公式的形式更加清晰通项公式的求解是数列问题中最基础也是最重要的一步，它为后续研究数列的其他性质奠定基础学生需要通过大量练习，培养对数列规律的敏感度，提高求解通项公式的能力递数列的推公式递推公式的一般形式1a=fa,a,...,a₁ₙ₊₁ₙₙ₋₁常见的递推公式类型2一阶线性、二阶线性、非线性递推公式的基本条件3初始值条件、递推关系式递推公式的主要应用4描述具有递推特性的数列递推公式是用数列前面的项表示后面的项的公式例如，对于斐波那契数列，其递推公式为a₁=1,a₂=1,a=a+a n≥1递推公式通常包含两部分ₙ₊₂ₙ₊₁ₙ初始值条件和递推关系式初始值条件给出了数列的起始几项，递推关系式则描述了如何由已知项计算下一项递推公式与通项公式是相互关联的在某些情况下，可以通过递推公式推导出通项公式；反之，也可以从通项公式反推出递推关系然而，并非所有递推数列都能找到简洁的通项公式，这也使得递推公式成为描述某些复杂数列的唯一有效方式递练习题数列推公式32一阶递推公式二阶递推公式形如a=ka+b的递推公式，求解方法形如a=pa+qa的递推公式，ₙ₊₁ₙₙ₊₂ₙ₊₁ₙ通常是尝试建立通项公式或使用特征方程法通常使用特征方程法求解4非线性递推公式如a=a²等形式，求解方法多种多样ₙ₊₁ₙ，需要根据具体情况分析例题已知数列{a}满足a₁=1，a=2a+3n≥1，求a₁₀ₙₙ₊₁ₙ解答我们尝试前几项a₁=1，a₂=2×1+3=5，a₃=2×5+3=13观察可知，a-ₙ₊₁3=2a-3，令b=a-3，则b₁=-2，b=2b，这是等比数列，通项为b=-ₙₙₙₙ₊₁ₙₙ2×2^n-1，所以a=b+3=3-2×2^n-1代入n=10得a₁₀=3-2×2^9=3-2×512=3-ₙₙ1024=-1021单调数列的性

（一）单调义单调见单调性的定判断数列性的方法常数列的例子数列{a}称为单调递增，如果对于任意的判断数列单调性的常用方法有1直接法计一些常见的单调数列包括1a=n^kk0ₙₙn∈N*，都有a≥a；称为单调递减，算a-a的符号；2归纳法通过数学是严格递增数列；2a=n^kk0是严格递ₙ₊₁ₙₙ₊₁ₙₙ如果对于任意的n∈N*，都有a≤a归纳法证明a与a的大小关系；3函减数列；3a=q^nq1是严格递增数列；ₙ₊₁ₙₙ₊₁ₙₙ如果不等号严格成立，则分别称为严格单调递数法若a=fn，分析fx在区间[1,+∞上4a=q^n0ₙₙ增和严格单调递减单调递增或单调递减的数的单调性；4差分法研究数列的一阶差分列统称为单调数列Δa=a-a的符号ₙₙ₊₁ₙ单调数列的性

（二）单调单调较有界数列数列的极限数列的比单调有界数列是指既是对于单调递增且有上界通过比较不同数列的单单调数列又是有界数列的数列，其极限等于数调性和有界性，可以推的数列根据单调有界列的上确界；对于单调断出它们极限的大小关原理，单调递增且有上递减且有下界的数列，系或存在性例如，如界的数列必定收敛；单其极限等于数列的下确果对于所有n≥1，都有调递减且有下界的数列界如果单调数列无界a≤b，且{a}收敛ₙₙₙ也必定收敛这一原理，则发散例如，数列于A，{b}收敛于B，ₙ是研究数列极限的重要{n}是单调递增无上界的则A≤B这种比较方法工具，为判断数列收敛，所以它发散；而数列在研究复杂数列的极限性提供了强有力的方法{1/n}是单调递减有下界时非常有用的，它收敛于0单调练习题数列性证单调单调单调明数列性判断数列性与有界性利用性求极限例题证明数列{a}={n/n+1}是单调例题判断数列例题设数列{a}满足a₁=1，ₙₙ递增数列{a}={1+1/2+1/3+...+1/n}的单调性与有a=a+2/3，求limn→∞aₙₙ₊₁ₙₙ界性解答计算a-a=n+1/n+2-解答由于每一项1/k0，所以解答首先证明{a}单调且有界ₙ₊₁ₙₙn/n+1=[n+1²-a=a+1/n+1a，因此{a}a₂=a₁+2/3=1+2/3=1，所以ₙ₊₁ₙₙₙnn+2]/[n+2n+1]=[n²+2n+1-单调递增a₂=a₁假设a≤1，则ₙn²+2n]/[n+2n+1]=1/[n+2n+1]对于有界性，注意到a=a+2/3≤1+2/3=1，由数学ₙ₊₁ₙ0因此a a，所以{a}是单调递1/k1/2^log₂k，所以归纳法，对于所有n≥1，都有a≤1ₙ₊₁ₙₙ⌊⌋ₙ增数列a1+1/2+1/2+1/4+1/4+1/4+1/4+...1+1ₙ又因为a≥0，所以0≤a≤1，{a}有ₙₙₙ/2+2/4+4/8+...=1+n/2，无上界，所以界再证明单调性，a-ₙ₊₁{a}无界ₙa=a+2/3-a=a+2-ₙₙₙₙ3a/3=2-2a/3当aₙ≤1时，aₙ-a≥0，所以ₙₙ₊₁ₙ{a}单调递增且有上界，必收敛设极ₙ限为A，则A=A+2/3，解得A=1数列的有界性义有界性的定判断数列有界性的方法数列{a}称为有上界，如果存在常数M，使得对于所有的n∈N*判断数列有界性的常用方法有1直接法通过不等式直接找出数ₙ，都有a≤M；称为有下界，如果存在常数m，使得对于所有的列的上界和下界；2单调性法利用数列的单调性来确定界限；ₙn∈N*，都有a≥m如果数列既有上界又有下界，则称为有界数3放缩法通过放大或缩小数列的各项来确定粗略的界限；4数ₙ列学归纳法通过归纳证明数列的各项都满足某个界限数列的上确界指的是所有上界中最小的一个，记作sup{a}；数有界性与收敛性密切相关所有收敛数列必定有界；单调有界数列ₙ列的下确界指的是所有下界中最大的一个，记作inf{a}上确界必定收敛但有界数列不一定收敛，例如{-1ⁿ}是有界数列，但它ₙ和下确界是判断数列有界性和求解极限的重要工具不收敛因此，在研究数列的收敛性时，先判断其有界性是非常重要的练习题数列有界性1证明数列有界2判断递推数列的有界性3利用有界性判断收敛性例题证明数列{a}={n²/n²+1}是例题已知数列{a}满足a₁=1，例题设数列{a}满足|a-ₙₙₙₙ₊₁有界数列a=a+3/a+1，判断a|≤1/2ⁿn∈N*，a₁=0，证明ₙ₊₁ₙₙₙ{a}的有界性{a}收敛解答对于任意n∈N*，有0解答ₙ首先计算前几项a₁=1，ₙa₂=1+3/1+1=2，解答对于任意mn，有|a-ₘa₃=2+3/2+1=5/3≈

1.67，似乎在a|=|a-a+a-ₙₘₘ₋₁ₘ₋₁下降a+...+a-a|≤|a-假设对于某个k∈N*，有a≥1，则ₘ₋₂ₙ₊₁ₙₘₖa|+|a-a=a+3/a+1当a≥1ₘ₋₁ₘ₋₁ₖ₊₁ₖₖₖa|+...+|a-a|≤1/2^m-时，有ₘ₋₂ₙ₊₁ₙ1+1/2^m-a+3/a+1≤a+3a/a+1ₖₖₖₖₖ2+...+1/2^n≤1/2^n·1+1/2+1/2²+...=1=4a/a+1≤4，所以a≤4当n→∞时，1/2^n-1→0，所以{a}又因ₖ为ₖₖ₊₁ₙ/2^n·2=1/2^n-1是柯西数列，必定收敛a=a+3/a+1≥a+1/aₖ₊₁ₖₖₖ+1=1，所以a≥1由数学归纳ₖₖ₊₁法，对于所有n≥1，都有1≤a≤4，所ₙ以{a}是有界数列ₙ数列的极限

（一）n值1/n n/n+1数列极限的概念是指当项数n无限增大时，数列的项a无限接近于某个确定的数A我们记作limn→∞a=A，读作当n趋向于无穷大时，a的极限为A直观地说，数列{a}收敛于A，意味着对于任意给定ₙₙₙₙ的误差范围ε0，总存在一个正整数N，使得当nN时，|a-A|ε始终成立ₙ数列极限的严格定义对于数列{a}和实数A，如果对于任意给定的ε0，存在正整数N，使得当nN时，都有|a-A|ε，则称数列{a}的极限是A，或者说数列{a}收敛于A上图展示了两个数列{1/n}和ₙₙₙₙ{n/n+1}随着n增大而逼近各自极限的过程数列的极限

（二）1常见数列的极限一些常见数列的极限包括limn→∞1/n=0，limn→∞q^n=0|q|1，limn→∞n^1/n=1，limn→∞1+1/n^n=e，limn→∞n^a/b^n=0a0,b1这些基本极限在解决复杂数列极限问题时常常被用作参考和工具2求解数列极限的方法常用的求解数列极限的方法有直接法（代入极限定义）、夹逼法（通过比较已知极限的数列来确定）、单调有界法（证明数列单调有界后确定收敛性）、斯托尔兹定理（适用于0/0或∞/∞型极限）、洛必达法则（适用于连续函数极限）、泰勒展开法（适用于复杂函数的展开简化）等3特殊极限处理技巧0/0型极限可通过等价无穷小代换或洛必达法则处理；∞/∞型极限可通过分子分母同除以最高次幂项或洛必达法则处理；∞-∞型极限可通过通分或变形处理；1^∞型极限可通过e的幂次方变形处理；0^

0、∞^

0、0^∞等幂指型极限可通过取对数转化为其他类型处理练习题数列极限础题进阶题战题基型型挑型例题1求数列{a}={n²+1/2n²+3}的极限例题2求数列{a}={n·sin1/n}的极限例题3若数列{a}满足a₁=1，ₙₙₙa=a²+3/4，求limn→∞a解答解答ₙ₊₁ₙₙlimn→∞n²+1/2n²+3=limn→∞1+1/n²/2limn→∞n·sin1/n=limn→∞sin1/n/1/n=li解答首先证明{a}单调有界假设a≥1，则ₙₙ+3/n²=1/2这是一个典型的∞/∞型极限，通mx→0sin x/x=1这里利用了当x→0时，sin a=a²+3/4≥1+3/4=1，由归纳法得对ₙ₊₁ₙ过分子分母同除以n²的最高次幂项得到结果x/x→1的著名极限结果，通过换元x=1/n处理所有n≥1，都有a≥1再证明上界，假设a≤3ₙₙ，则a=a²+3/4≤9+3/4=3，所以ₙ₊₁ₙ{a}有界于[1,3]设极限为A，则A=A²+3/4ₙ，解得A=1或A=3由于{a}单调，极限只能是ₙA=3数列求和

（一）等差数列求和等比数列求和1等差数列的前n项和S=na₁+a/2或当q≠1时，S=a₁1-qⁿ/1-q；当q=1时，ₙₙₙS=na₁+nn-1d/22S=na₁ₙₙ特殊数列求和穷无数列求和4如自然数平方和、立方和等特殊数列的求和公式3当|q|1时，等比数列的无穷和S∞=a₁/1-q数列求和是数列研究中的重要内容，也是解决实际问题的关键工具除了等差、等比数列的标准求和公式外，还有一些特殊数列的求和公式需要掌握，如自然数和1+2+...+n=nn+1/2；自然数平方和1²+2²+...+n²=nn+12n+1/6；自然数立方和1³+2³+...+n³=[nn+1/2]²在处理复杂数列的求和问题时，常常需要通过变换将其转化为已知求和公式的形式，或利用数学归纳法证明并求解无穷数列的求和涉及到级数收敛性的判断，这是高等数学中的重要内容，但在高中阶段主要关注等比无穷级数的情况数列求和

（二）项错减裂求和法位相法待定系数法裂项求和法是将复杂的分式项分解为若干简单错位相减法是通过构造原数列的某种变形，然待定系数法是通过假设数列和的表达式形式，分式的和，然后利用这些简单分式的求和特性后与原数列相减，利用大部分项的抵消来简化然后确定表达式中的未知系数来求解数列和来计算原数列的和典型情况是将形如求和过程例如，对于数列{a}，可以构造这种方法通常与数学归纳法结合使用，先通过ₙ1/[nn+k]的项分解为1/n-1/n+k的形式，利{a}或{q·a}等变形，与原数列相减后观察数列和的特点假设其表达式形式，然后通ₙ₊₁ₙ用相邻项的消去效应简化求和过程这种方法，许多项会相互抵消，从而简化计算这种方过验证或求解方程组确定系数，最后用数学归特别适用于处理分式数列的求和问题法在处理递推数列的求和问题时特别有效纳法证明结果的正确性练习题数列求和

（一）础题进阶题综应基型型合用例题1计算等差数列{a}的前10项和例题2计算等比数列{a}的前8项和例题3计算ₙₙ，已知a₁=2，d=3，已知a₁=3，q=21/1×2+1/2×3+1/3×4+...+1/n×n+1的和解答根据等差数列的前n项和公式解答根据等比数列的前n项和公式S=na₁+a/2，其中a=a₁+n-S=a₁1-qⁿ/1-q，代入得解答将通项1/[n×n+1]进行裂项，得ₙₙₙₙ1d，所以a₁₀=2+10-1×3=2+27=29S₈=3×1-2⁸/1-2=3×1-256/-1/[n×n+1]=1/n-1/n+1所以原式，S₁₀=10×2+29/2=10×31/2=1551=3×255=765=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/n+1=1-1/n+1=n/n+1。