《函数与方程》课件

函数与方程函数与方程是数学中两个重要的概念，它们之间有着密切的联系，在许多实际问题中都有着广泛的应用本课程将深入探讨函数与方程的概念、性质、解法以及应用，并结合例题和习题帮助大家更好地理解和掌握课程导入引人入胜的问题问题1问题2假设一个球从高处自由落下，它的高度与时间的关系可以用一个在一个经济模型中，商品的价格与需求量之间存在着一定的函数函数来描述你能否用函数来表示这个关系，并求出球落地所需关系如何利用函数来分析商品的价格变化趋势，并预测商品的的时间？市场需求量？函数的概念复习定义函数是两个变量之间的表示方法函数可以用公式、一种对应关系，其中一个变量表格、图像等多种方法来表示的值完全由另一个变量的值唯例如，y=2x+1可以用公式一确定例如，y=2x+1表示来表示，也可以用表格和图像一个函数，其中x的值唯一确定来表示了y的值性质函数有许多重要的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等这些性质可以帮助我们更好地理解和应用函数方程的概念复习定义方程是指含有未知数的解方程解方程就是求出满足等式例如，2x+3=7就是一方程的未知数的值例如，解个方程，其中x为未知数方程2x+3=7，我们可以得到x=2方程的解满足方程的未知数的值称为方程的解例如，x=2是方程2x+3=7的解函数的零点函数的零点是指使函数值为零的自变量的值在函数图像中，零点对应于图像与横轴的交点求解函数的零点，即求解方程fx=0的根零点的存在性定理定理内容定理解释如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa·fb0，则函数fx在这个定理说明，如果函数在区间两端点的函数值异号，那么函数区间a,b内至少有一个零点在该区间内一定存在至少一个零点这个定理为我们判断函数是否存在零点提供了依据定理的应用实例例如，函数fx=x^2-1在区间[-2,1]上连续，且f-2=30，f1=00根据零点的存在性定理，函数fx在区间-2,1内至少有一个零点实际上，函数fx在区间-2,1内有一个零点x=-1二分法求解方程的近似解二分法是一种求解方程近似解的数值方法其原理是不断将包含根的区间缩小一半，最终得到一个足够精确的近似解该方法适用于单调函数，并且可以保证收敛性二分法步骤详解

1.找到一个包含根的区间[a,b]，满足fa·fb

02.计算区间中点c=a+b/

23.判断fc的符号，如果fa·fc0，则根位于区间[a,c]，否则根位于区间[c,b]

4.重新定义区间，重复步骤2和3，直到区间的长度小于指定的精度要求二分法示例实际问题求解例如，求解方程x^2-2=0在区间[1,2]内的近似解根据二分法步骤，可以得到如下结果区间中点函数值[1,2]

1.

50.25[1,

1.5]

1.25-

0.4375[

1.25,

1.5]

1.375-

0.109375[

1.375,

1.5]

1.

43750.06640625因此，方程x^2-2=0在区间[1,2]内的近似解为

1.4375例题1判断零点存在性已知函数fx=x^3-2x+1，判断函数fx在区间[0,1]内是否存在零点例题2二分法求近似解已知函数fx=x^2-3，求解方程fx=0在区间[1,2]内的近似解，精确到小数点后两位方程的根与函数的零点关系方程的根与函数的零点有着密切的关系函数fx=0的根就是函数fx的零点因此，求解方程的根，实际上就是求解函数的零点函数图像与方程根的关系函数的图像与横轴的交点对应于方程的根如果函数图像与横轴相交，则方程有根；如果函数图像与横轴不相交，则方程无根函数零点个数判断方法

1.利用零点的存在性定理判断

2.利用函数图像与横轴的交点函数在某个区间内是否存在零个数判断函数的零点个数点

3.利用导数判断函数的单调性，进而判断函数的零点个数函数零点个数判断例题已知函数fx=x^3-3x^2+2x，判断函数fx在区间[0,2]内的零点个数函数模型及其应用函数模型是指用函数来描述现实世界中各种现象的数学模型函数模型可以用来分析和预测各种现象的变化规律，并为解决实际问题提供依据数学建模的基本步骤

1.问题分析首先，需要对实际问题进行深入分析，明确问题中涉及的变量、关系和目标

2.模型建立根据问题分析的结果，选择合适的函数模型来描述问题中变量之间的关系，并建立数学模型

3.模型求解利用数学方法求解建立的数学模型，得到问题的解

4.模型检验检验模型的解是否合理，并根据实际情况对模型进行调整或改进

5.模型应用将模型的解应用于实际问题，并得出结论实际问题利润最大化一家公司生产某种产品，其成本函数为Cx=100+2x，销售价格为px=10-

0.1x，其中x表示产品的产量求解该公司利润最大化的产量和最大利润实际问题增长率分析某城市人口数量在过去十年中呈指数增长，其人口数量可以用函数Pt=1000000*

1.05^t来表示，其中t表示时间（单位年），求解该城市人口增长率实际问题最佳方案选择一家公司需要在两个不同的方案中选择一个，方案A的成本函数为Cx=100+2x，收益函数为Rx=10x，方案B的成本函数为Cx=50+3x，收益函数为Rx=12x如何选择最优方案？函数与方程思想的运用函数与方程思想是数学中的重要思想，它们在解决各种问题中都有着重要的应用价值运用函数与方程思想可以帮助我们更加清晰地理解和解决问题函数思想在解题中的应用函数思想可以帮助我们建立问题的数学模型，并利用函数的性质来分析和解决问题例如，在求解最值问题时，我们可以利用函数的单调性来寻找最大值或最小值；在判断函数图像的形状时，我们可以利用函数的奇偶性或周期性来判断图像的对称性或周期性方程思想在解题中的应用方程思想可以帮助我们建立问题的数学模型，并利用方程的解来解决问题例如，在求解几何问题时，我们可以利用方程来表示几何图形的边长或面积；在求解物理问题时，我们可以利用方程来表示物体运动的轨迹或速度数形结合思想数形结合思想是指利用图形来直观地理解和解决数学问题通过将抽象的数学概念和图形结合起来，可以使问题更加直观、更容易理解和解决例如，在判断函数的零点个数时，我们可以利用函数图像与横轴的交点个数来判断；在求解方程的根时，我们可以利用函数图像与横轴的交点坐标来求解分类讨论思想分类讨论思想是指根据问题的不同情况，将问题分成若干类，并分别进行讨论和求解这种思想可以帮助我们更加全面、准确地解决问题例如，在解方程时，我们需要根据方程的类型和未知数的范围进行分类讨论，以确保解的完整性和正确性转化与化归思想转化与化归思想是指将复杂的问题转化为简单的、已知的问题进行求解这种思想可以帮助我们简化问题，使问题更加容易解决例如，在解方程时，我们可以通过配方法、公式法等方法将原方程转化为易于求解的方程；在求解函数的零点时，我们可以将求解零点的问题转化为求解方程的问题例题3综合运用函数与方程思想已知函数fx=x^2-2x+1，求解方程fx=0的根例题4数形结合解决问题已知函数fx=x^3-3x^2+2x，判断函数fx在区间[0,2]内的零点个数例题5分类讨论求解方程已知函数fx=|x-1|，求解方程fx=2的根函数与方程的联系与区别函数与方程是数学中两个紧密相关的概念，它们之间既有联系，也有区别联系函数零点即方程的根函数的零点是指使函数值为零的自变量的值，而方程的根是指满足方程的未知数的值在函数fx=0中，方程的根就是函数的零点因此，求解方程的根，实际上就是求解函数的零点区别侧重点不同函数主要关注的是变量之间的关系，而方程主要关注的是未知数的值函数可以用来描述和分析各种现象的变化规律，而方程可以用来解决各种实际问题例如，用函数可以描述一个物体的运动轨迹，而用方程可以求解物体在某个时刻的位置或速度函数性质在方程解中的应用函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等，可以帮助我们更有效地求解方程的根通过分析函数的性质，我们可以缩小求解范围，提高求解效率单调性与方程解的关系如果函数在某个区间上单调递增，则该区间内最多只有一个零点；如果函数在某个区间上单调递减，则该区间内最多只有一个零点利用函数的单调性，可以帮助我们判断方程的根的个数和位置奇偶性与方程解的关系如果函数为偶函数，则方程fx=0的根关于原点对称；如果函数为奇函数，则方程fx=0的根关于原点对称利用函数的奇偶性，可以帮助我们判断方程的根的分布情况周期性与方程解的关系如果函数为周期函数，则方程fx=0的根关于周期对称利用函数的周期性，可以帮助我们判断方程的根的分布情况函数的导数与方程解的关系函数的导数可以反映函数的变化趋势，通过分析函数的导数，可以帮助我们判断函数的单调性、极值和拐点等，从而推断方程的根的个数和位置导数判断函数单调性如果函数的导数在某个区间上大于零，则函数在该区间上单调递增；如果函数的导数在某个区间上小于零，则函数在该区间上单调递减利用导数判断函数的单调性，可以帮助我们更有效地求解方程的根导数求解方程根的个数通过分析函数的导数，可以判断函数的极值点和拐点，从而推断方程的根的个数例如，如果函数的导数在某个区间上只有一个零点，且导数在该零点两侧符号发生变化，则函数在该区间内只有一个极值点，从而推断方程在该区间内只有一个根实际应用案例分析函数与方程在各个领域都有着广泛的应用，例如人口增长模型、药物浓度变化模型、经济增长模型等案例1人口增长模型人口增长模型可以用函数来描述，例如指数增长模型、逻辑斯蒂增长模型等通过建立人口增长模型，可以预测人口数量的增长趋势，并制定相应的人口政策案例2药物浓度变化模型药物浓度变化模型可以用函数来描述，例如一级动力学模型、二级动力学模型等通过建立药物浓度变化模型，可以分析药物在人体内的吸收、分布、代谢和排泄过程，并确定最佳的用药方案案例3经济增长模型经济增长模型可以用函数来描述，例如索洛模型、拉姆塞模型等通过建立经济增长模型，可以分析经济增长的驱动因素，并制定相应的经济政策易错点分析在学习函数与方程的过程中，一些常见的易错点需要特别注意误区1忽略定义域在求解方程的根或判断函数的零点个数时，一定要注意函数的定义域因为函数的定义域决定了自变量的取值范围，而只有在定义域内，函数才有意义误区2二分法精度问题使用二分法求解方程的近似解时，需要根据实际情况设置精度要求精度要求过高会导致计算量增大，而精度要求过低会导致结果不够精确误区3数形结合不准确在利用数形结合思想解决问题时，一定要注意函数图像的准确性如果函数图像不准确，就会导致判断结果错误例如，在判断函数的零点个数时，如果函数图像与横轴的交点个数不准确，就会导致判断结果错误习题练习巩固知识通过习题练习可以巩固所学知识，并提高解题能力练习1求解方程的根已知函数fx=x^2-4x+3，求解方程fx=0的根练习2判断函数零点个数已知函数fx=x^3-3x^2+2x，判断函数fx在区间[-1,1]内的零点个数练习3实际问题建模某公司生产某种产品，其成本函数为Cx=100+2x，销售价格为px=10-

0.1x，其中x表示产品的产量求解该公司利润最大化的产量和最大利润课堂小结重点回顾本节课主要学习了函数与方程的概念、性质、解法以及应用函数与方程是数学中两个重要的概念，它们之间有着密切的联系，在许多实际问题中都有着广泛的应用掌握函数与方程的概念和解法，可以帮助我们更好地理解和解决各种问题函数与方程思想的重要性函数与方程思想是数学中的重要思想，它们可以帮助我们更加清晰地理解和解决各种问题在学习和研究数学的过程中，我们要注重对函数与方程思想的理解和应用，并将其应用于实际问题的解决中本节课知识结构总结函数与方程的应用1实际问题建模、数据分析、预测等函数与方程的解法2二分法、导数法、方程组法等函数与方程的性质3单调性、奇偶性、周期性、导数等函数与方程的概念4定义、表示方法、关系等作业布置拓展延伸

1.练习本节课的例题和习题，并尝试用函数与方程思想解决其他实际问题

2.阅读一些关于函数与方程的应用案例，并思考如何将所学知识应用于实际问题中思考题更深入的探讨

1.函数与方程在其他学科领域中有哪些应用？

2.如何利用计算机技术来解决函数与方程相关的复杂问题？预习提示下节课内容下节课我们将学习导数的概念和应用，并介绍导数在解决实际问题中的重要作用答疑解惑互动交流请同学们积极思考和提问，我会尽力解答你们的疑惑，帮助大家更好地理解函数与方程的概念和应用学生提问环节现在是同学们提问时间，请踊跃提出你对本节课内容的任何问题，让我们一起探讨函数与方程的奥秘。