《初等数学函数》课件

初等数学函数综合讲解课程目标与学习要点了解初等函数的定义与分类掌握初等函数的基本性质与图像掌握初等函数的应用方法特点掌握初等函数的常见类型，如常数函数学习如何利用初等函数解决实际问题，、幂函数、指数函数、对数函数、三角学习如何分析函数的性质，如单调性、包括建立函数模型、求解方程、绘制图函数等奇偶性、周期性、最大值、最小值等像等什么是初等函数初等函数是指由基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）经过有限次四则运算和复合运算得到的函数简单来说，初等函数是由一些基本函数通过简单的运算组合而成的初等函数在数学和自然科学领域中有着广泛的应用，它可以用来描述许多现实世界中的现象，例如物体的运动轨迹、人口增长、投资回报等初等函数的分类体系初等函数1基本初等函数2常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数由基本初等函数通过四则运算和复合运算得到的3函数常见初等函数概览常数函数幂函数12函数值始终为一个常数的函数形如y=x^n（n为实数）的函数指数函数对数函数34形如y=a^x（a0且a≠1）的函数形如y=log_a x（a0且a≠1）的函数三角函数反三角函数56以角度为自变量，描述角的三角函数值（正弦、余弦、正三角函数的反函数切等）的函数常数函数的定义常数函数是指其函数值始终为一个常数的函数，可以用公式y=c来表示，其中c为任意常数例如，函数y=2就是一个常数函数，其函数值始终为2，无论自变量x取何值常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，其纵截距为常数c常数函数的图像特点常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，其纵截距为常数c由于函数值始终保持不变，因此图像始终与x轴平行，没有斜率我们可以通过图像的纵截距来识别常数函数的函数值例如，常数函数y=3的图像是一条平行于x轴的直线，其纵截距为3常数函数的应用场景物理学经济学常数函数可用于描述物体在静止常数函数可用于描述在固定价格状态下的速度、加速度等物理量下的商品需求量，以及在固定利率下的投资收益率等经济指标计算机科学常数函数可用于定义程序中的常量，以及用于表示程序中不发生变化的变量的值幂函数的定义幂函数是指形如y=x^n（n为实数）的函数其中，x为自变量，n为指数当n为正整数时，幂函数表示x的n次方；当n为负整数时，幂函数表示x的n次方分之一；当n为分数时，幂函数表示x的n次方根幂函数的图像形状取决于指数n的值当n为正数时，幂函数的图像在第一象限内单调递增；当n为负数时，幂函数的图像在第一象限内单调递减幂函数的基本性质单调性奇偶性定义域当n为正数时，幂函数当n为奇数时，幂函数当n为正整数时，幂函在第一象限内单调递增为奇函数；当n为偶数数的定义域为全体实数；当n为负数时，幂函时，幂函数为偶函数；当n为负整数时，幂数在第一象限内单调递函数的定义域为除0以减外的全体实数；当n为分数时，幂函数的定义域为x大于0的全体实数幂函数的图像特征n=11图像是一条直线，经过原点，斜率为1n=22图像是一条抛物线，开口向上，对称轴为y轴n=33图像是一条三次曲线，经过原点，在第一象限内单调递增n=-14图像是一条双曲线，渐近线为x轴和y轴幂函数在实际中的应用物理学经济学幂函数可用于描述物体的运动轨幂函数可用于描述商品的价格与迹，例如自由落体运动、抛射运需求量之间的关系，以及投资回动等报率与投资期限之间的关系等生物学幂函数可用于描述生物体的生长规律，例如种群数量增长、细胞分裂等指数函数的定义指数函数是指形如y=a^x（a0且a≠1）的函数，其中a为底数，x为指数当a大于1时，指数函数图像呈递增趋势；当a小于1时，指数函数图像呈递减趋势指数函数的图像特点是过点（0，1），且随着x的增大，图像的增长速度越来越快（a大于1）或越来越慢（a小于1）指数函数的基本性质单调性值域渐近线当a大于1时，指数函数指数函数的值域为所有指数函数的图像以x轴在定义域内单调递增；正实数为渐近线当a小于1时，指数函数在定义域内单调递减指数函数的图像特点a1图像过点（0，1），且随着x的增大，图像的增长速度越来越快，呈指数级增长0a1图像过点（0，1），且随着x的增大，图像的下降速度越来越慢，呈指数级衰减自然对数的介绍e自然对数e是一个重要的数学常数，其值为

2.

71828...，它是自然对数函数的底数自然对数e在许多数学和自然科学领域中都有重要的应用，例如微积分、概率论、统计学等自然对数e的计算方法有很多，例如用极限法、级数法、泰勒展开式等自然对数e是一个无理数，它的值无法用分数表示指数函数的实际应用人口增长模型投资收益率指数函数可以用来描述人口的增指数函数可以用来描述投资的收长速度，例如，假设一个地区的益率，例如，假设一个投资项目人口每年增长率为10%，那么该每年收益率为5%，那么该投资地区的人口数量可以用一个指数项目的收益率可以用一个指数函函数来描述数来描述放射性衰变指数函数可以用来描述放射性物质的衰变速度，例如，假设一种放射性物质的半衰期为100年，那么该放射性物质的衰变速度可以用一个指数函数来描述对数函数的定义对数函数是指形如y=log_a x（a0且a≠1）的函数，其中a为底数，x为真数对数函数是指数函数的反函数，其定义为如果a^y=x，则y=log_a x对数函数的图像特点是过点（1，0），且随着x的增大，图像的增长速度越来越慢对数函数与指数函数的关系对数函数是指数函数的反函数，两者互为逆运算也就是说，如果y=a^x，则x=log_a y例如，如果2^3=8，则log_28=3对数函数和指数函数之间存在着密切的联系，可以通过指数函数的图像来推导出对数函数的图像，反之亦然这种关系使得我们可以将对数函数和指数函数的性质相互转化，从而更深入地理解这两个函数对数函数的基本性质单调性定义域渐近线当a大于1时，对数函数在定义域内单调递对数函数的定义域为x大于0的全体实数对数函数的图像以y轴为渐近线增；当a小于1时，对数函数在定义域内单调递减对数函数的图像特征a1图像过点（1，0），且随着x的增大，图像的增长速度越来越慢，呈对数级增长0a1图像过点（1，0），且随着x的增大，图像的下降速度越来越慢，呈对数级衰减对数函数在生活中的应用声音强度地震烈度声音的强度可以用分贝（dB）来地震的烈度可以用里氏震级来衡衡量，而分贝值与声音的能量成量，而里氏震级与地震释放的能对数关系，可以用对数函数来描量成对数关系，可以用对数函数述来描述酸碱度溶液的酸碱度可以用pH值来衡量，而pH值与氢离子浓度成对数关系，可以用对数函数来描述三角函数概述三角函数是以角度为自变量，描述角的三角函数值（正弦、余弦、正切等）的函数三角函数在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等三角函数的定义基于直角三角形，其中一个角的度数作为自变量，而三角函数的值则是该角的三角函数值正弦函数详解正弦函数是三角函数中的一种，用符号sinx表示正弦函数的定义域为全体实数，值域为-1到1正弦函数的周期为2π，这意味着正弦函数的图像每隔2π就会重复一次正弦函数的图像关于原点对称，且在0到π/2之间单调递增，在π/2到π之间单调递减余弦函数详解余弦函数是三角函数中的一种，用符号cosx表示余弦函数的定义域为全体实数，值域为-1到1余弦函数的周期为2π，这意味着余弦函数的图像每隔2π就会重复一次余弦函数的图像关于y轴对称，且在0到π/2之间单调递减，在π/2到π之间单调递增正切函数详解正切函数是三角函数中的一种，用符号tanx表示正切函数的定义域为除了kπ+π/2（k为整数）以外的全体实数，值域为全体实数正切函数的周期为，这意味着正切函数的图像每隔就会重复一次正切函数的图像关于原ππ点对称，且在0到π/2之间单调递增，在π/2到π之间单调递减三角函数的周期性三角函数的周期性是指，对于任意一个角度x，三角函数的值与其加上或减去一个周期后的角度的三角函数值相同例如，正弦函数的周期为2π，这意味着sinx=sinx+2π=sinx-2π等三角函数的周期性是其重要的性质之一，它使得三角函数在许多领域中得到了广泛的应用，例如周期性现象的建模、信号处理、图像压缩等三角函数的图像特征正弦函数余弦函数正切函数图像关于原点对称，且在0到π/2之间单图像关于y轴对称，且在0到π/2之间单图像关于原点对称，且在0到π/2之间单调递增，在π/2到π之间单调递减调递减，在π/2到π之间单调递增调递增，在π/2到π之间单调递减三角函数的应用实例物理学工程学三角函数可以用来描述波的传播三角函数可以用来解决各种工程、振动、交流电等物理现象问题，例如桥梁的结构设计、飞机的航线设计等音乐三角函数可以用来描述声音的波形，以及音乐的音调和节奏反三角函数简介反三角函数是三角函数的反函数简单来说，反三角函数就是用来求解角度的函数例如，如果已知一个角度的正弦值，就可以通过反正弦函数求解该角度的值反三角函数在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用反正弦函数详解反正弦函数是正弦函数的反函数，用符号arcsinx或sin^-1x表示反正弦函数的定义域为-1到1，值域为-π/2到π/2反正弦函数的图像关于直线y=x对称反余弦函数详解反余弦函数是余弦函数的反函数，用符号arccosx或cos^-1x表示反余弦函数的定义域为-1到1，值域为0到π反余弦函数的图像关于直线y=x对称反正切函数详解反正切函数是正切函数的反函数，用符号arctanx或tan^-1x表示反正切函数的定义域为全体实数，值域为-π/2到π/2反正切函数的图像关于原点对称反三角函数的应用物理学工程学计算机图形学反三角函数可以用来求解物体的运动反三角函数可以用来解决各种工程问反三角函数可以用来实现三维图形的轨迹、振动周期等物理量题，例如桥梁的结构设计、飞机的航旋转和缩放等操作线设计等取整函数的定义取整函数是指将一个实数x向下取整，即取不大于x的最大整数取整函数通常用符号[x]或floorx表示例如，[

3.14]=3，[-

2.5]=-3，

[5]=5取整函数的图像是一个阶梯状的图形，每个台阶的高度为1，且在每个整数点处有一个跳跃取整函数的性质取整结果不等式性质周期性取整函数的结果一定是对于任何实数x，都有取整函数的周期为1，整数[x]≤x[x]+1这意味着[x+1]=[x]取整函数的应用计算机科学统计学取整函数可以用来实现数据类型取整函数可以用来计算样本的频转换、数值比较、循环控制等数分布、统计数据的汇总等金融学取整函数可以用来计算利息、投资收益等金融指标符号函数介绍符号函数是指根据实数的正负号返回相应的值的函数符号函数通常用符号sgnx表示当x大于0时，sgnx等于1；当x等于0时，sgnx等于0；当x小于0时，sgnx等于-1符号函数的图像是一个阶梯状的图形，在x等于0处有一个跳跃符号函数的特点奇函数间断点函数值符号函数为奇函数，即符号函数在x等于0处有符号函数的函数值只能sgn-x=-sgnx一个跳跃间断点取三个值

1、

0、-1符号函数的实际运用信号处理控制理论符号函数可以用来描述信号的极符号函数可以用来描述控制系统性，例如，一个信号的正负号可的开关状态，例如，一个开关的以用符号函数来表示开闭可以用符号函数来表示计算机科学符号函数可以用来实现数值比较、逻辑运算等操作绝对值函数定义绝对值函数是指将一个实数x的绝对值作为其函数值的函数绝对值函数通常用符号|x|表示例如，|3|=3，|-2|=2，|0|=0绝对值函数的图像是一个V形，其顶点在原点，且在x轴的正半轴上单调递增，在x轴的负半轴上单调递减绝对值函数的性质非负性对称性三角不等式对于任何实数x，都有对于任何实数x，都有对于任何实数x和y，都|x|≥0|-x|=|x|有|x+y|≤|x|+|y|绝对值函数的应用几何学物理学绝对值函数可以用来计算点到原绝对值函数可以用来描述物体的点的距离速度、加速度等物理量的变化计算机科学绝对值函数可以用来实现数值比较、数据类型转换等操作复合函数的概念复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数复合函数的构成方法是将两个或多个函数进行组合复合函数的性质与组成它的函数的性质密切相关复合函数的构造方法复合函数的构造方法可以概括为将两个或多个函数进行组合，将其中一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数复合函数的构造方法可以根据实际需求进行调整，例如，可以使用不同的函数进行组合，或者可以改变函数的顺序进行组合复合函数的性质定义域值域连续性复合函数的定义域是内层函数定义域中满复合函数的值域是外层函数的值域如果内层函数和外层函数在对应点处连续足外层函数定义域条件的部分，则复合函数在该点处也连续初等函数的连续性初等函数的连续性是指，函数在定义域内每一个点都连续也就是说，函数在定义域内没有跳跃、断裂或其他不连续现象连续函数的图像是一条连续的曲线，没有断点或间断点连续函数是数学中一个重要的概念，它在微积分、拓扑学等领域中都有着广泛的应用初等函数的导数初等函数的导数是指函数在某一点处的变化率导数可以用来描述函数在某一点处的切线的斜率，也可以用来求解函数的最大值、最小值等导数是微积分中一个重要的概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学等幂函数求导法则幂函数的求导法则如下y=x^n的导数为y=nx^n-1例如，函数y=x^3的导数为y=3x^2幂函数的求导法则可以用来求解任何一个幂函数的导数，它是一个简单而通用的法则指数函数求导法则指数函数的求导法则如下y=a^x的导数为y=a^x*lna例如，函数y=2^x的导数为y=2^x*ln2指数函数的求导法则可以用来求解任何一个指数函数的导数，它是一个简单而通用的法则对数函数求导法则对数函数的求导法则如下y=log_a x的导数为y=1/x*lna例如，函数y=log_2x的导数为y=1/x*ln2对数函数的求导法则可以用来求解任何一个对数函数的导数，它是一个简单而通用的法则三角函数求导法则正弦函数余弦函数正切函数y=sinx的导数为y=cosx y=cosx的导数为y=-sinx y=tanx的导数为y=1/cosx^2反三角函数求导法则反正弦函数反余弦函数反正切函数y=arcsinx的导数为y=1/√1-x^2y=arccosx的导数为y=-1/√1-y=arctanx的导数为y=1/1+x^2x^2复合函数求导法则复合函数的求导法则如下如果y=fu且u=gx，则复合函数y=fgx的导数为y=fu*gx例如，函数y=sinx^2的导数为y=cosx^2*2x复合函数的求导法则可以用来求解任何一个复合函数的导数，它是一个简单而通用的法则函数图像的描绘技巧函数图像的描绘技巧包括以下几个方面首先，确定函数的定义域和值域，并找到函数的几个关键点，例如，函数的极值点、拐点、零点等其次，根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，确定函数图像的形状最后，利用一些辅助工具，例如，坐标系、尺子、圆规等，将函数图像精确地描绘出来函数性质分析方法函数性质分析方法包括以下几个方面首先，分析函数的定义域和值域，并找到函数的几个关键点，例如，函数的极值点、拐点、零点等其次，根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，分析函数的图像形状最后，利用一些数学工具，例如，导数、积分、极限等，对函数进行进一步的分析函数应用题解题策略函数应用题解题策略包括以下几个方面首先，认真阅读题目，理解题目要求，并分析题目中的已知条件和未知条件其次，根据题目要求，选择合适的函数模型来描述问题最后，利用函数的性质和求解方法，求解问题典型例题讲解

（一）例题求函数y=x^2-2x+1的导数解根据幂函数求导法则，y=2x-2因此，函数y=x^2-2x+1的导数为y=2x-2典型例题讲解

（二）例题求函数y=2^x的值域解由于指数函数的底数大于1，因此函数y=2^x在定义域内单调递增，且值域为所有正实数因此，函数y=2^x的值域为0,+∞典型例题讲解

（三）例题求函数y=sinx的周期解正弦函数的周期为2π，这意味着正弦函数的图像每隔2π就会重复一次因此，函数y=sinx的周期为2π。