《数学上期末复习》课件

数学上期末复习这是一份涵盖数学上期末考试所有重点内容的复习课件，旨在帮助同学们高效备考，顺利取得优异成绩课程目标回顾期末考试重点知识点掌握解题能力提升考试策略指导全面回顾本学期所学知识，掌握核心概熟练掌握各种解题技巧，灵活运用知识了解考试形式和要求，制定合理的考试念、定理和公式，建立完整的知识体系解决各种类型习题，提高应试能力策略，提高答题效率和得分率第一章集合与常用逻辑用语集合的概念集合的定义、元常用逻辑用语命题、命题的12素的性质、集合的表示方法真假性、命题的联结词、量词集合间的基本关系子集、真子集、相等、交集、并集、补集3集合的概念与表示方法集合的定义元素的性质集合的表示方法集合是由一些确定的、不同的、可以区集合中的元素是确定的、不同的、可以列举法用大括号列出集合的所有元素分的元素组成的整体区分的，一个元素只能属于一个集合或，例如描述法用语言或符{1,2,3}不属于任何集合号描述集合中元素的共同特征，例如{x|x是大于小于的整数15}集合间的基本关系子集真子集相等如果集合中的所有元如果集合是集合的如果集合和集合的A A B A B素都在集合中，则称子集，且，则称集元素完全相同，则称集B A≠B集合是集合的子集合是集合的真子集合和集合相等，记A BA BA B，记作⊆，记作⊂作A BA BA=B集合的基本运算交集1两个集合和的交集是指同时属于集合和集合的元素组A BA B成的集合，记作A∩B并集2两个集合和的并集是指至少属于集合或集合的元素组A BA B成的集合，记作∪A B补集3集合在全集中的补集是指属于全集而不属于集合的元A UU A素组成的集合，记作∁UA常用逻辑用语命题、条件命题命题是指可以判断真假性的陈述句条件条件是指由两个命题组成的语句，如果第一个命题为真，则第二个命题也为真，记作如果，则“P Q”充分条件与必要条件充分条件如果命题为真，则命题一定为真，则称是的充分条件P Q P Q必要条件如果命题为真，则命题一定为真，则称是的必要条件QPP Q全称量词与存在量词全称量词全称量词∀表示对于任意，例如∀∈，“”“”“x Rx²≥0”存在量词存在量词∃表示存在，例如∃∈，“”“”“x Rx²=1”易错点分析与解题技巧易错点分析解题技巧集合的表示、集合间关系的判断、命题的真假判断、条件的判断利用集合的定义、集合间的基本关系、命题的性质、条件的性质、量词的理解、量词的性质，结合具体问题灵活运用第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念函数的定义、函基本初等函数指数函数、对12数的表示方法、函数的定义域数函数、幂函数和值域函数的性质函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图像及其变换3函数的概念与表示函数的定义函数的表示方法设、是非空的数集，如果对于集合中的每一个元素，在集解析式法用解析式表示函数关系，例如图像法用图ABA x y=x²合中都有唯一确定的元素与之对应，那么称与之间的这种像表示函数关系，例如函数的图像是一条抛物线列表法B y xyy=x²对应关系为从到的函数，记作，其中称为自变量，用表格表示函数关系，例如ABy=fx xyx|y1|22|4称为因变量，称为函数关系f函数的定义域、值域求法定义域1定义域是指函数自变量允许取值的范围求定义域需要考虑函数解析式的意义，例如对于函数，定义域为y=√x-1x≥1值域2值域是指函数因变量所有可能的取值的范围求值域可以利用函数解析式、函数图像或函数单调性等方法函数的图像及其变换图像的平移函数的图像向右平移个单位得到的图像，向y=fx ay=fx-a下平移个单位得到的图像b y=fx-b图像的对称函数的图像关于轴对称得到的图像，关于原点y=fx yy=f-x对称得到的图像y=-f-x图像的伸缩函数的图像沿轴方向伸缩倍得到的图像，沿y=fx xk y=fx/k轴方向伸缩倍得到的图像y ky=kfx指数函数的图像与性质图像1指数函数的图像过点，当时，图像单调递增，当y=a^xa0,a≠10,1a10性质2指数函数的定义域为，值域为，当y=a^xa0,a≠1R0,+∞时，图像单调递增，当a10对数函数的图像与性质图像1对数函数的图像过点，当时，图像单调递增，当y=log_a xa0,a≠11,0a10性质2对数函数的定义域为，值域为y=log_a xa0,a≠10,+∞R，当时，图像单调递增，当a10幂函数的图像与性质性质图像幂函数∈的定义域和值域1y=x^nn R幂函数∈的图像形状取决y=x^nn R取决于的值，例如的定义域和值n y=x²于的值，例如的图像是一条抛物n y=x²2域都是，的定义域为，R y=x^1/2x≥0线，的图像是一条曲线y=x^1/2值域为y≥0函数单调性的判断与证明判断方法证明方法利用函数解析式或函数图像判断函数的单调性，例如如果函数的利用函数定义或导数等方法证明函数的单调性，例如利用函数定解析式为，则在时，函数单调递减，在时，函数单义可以证明函数在时，函数单调递增y=x²x0x0y=x²x0调递增函数奇偶性的判断与证明判断方法1利用函数解析式判断函数的奇偶性，例如如果函数的解析式为，则函数为奇函数，如果函数的解析式为，则函y=x³y=x²数为偶函数证明方法2利用函数定义证明函数的奇偶性，例如利用函数定义可以证明函数为奇函数y=x³第三章函数的应用函数与方程利用函数的性质函数模型利用函数模型解决12和图像解决方程的解、方程的实际问题，例如人口增长模型根、方程的解集等问题、经济增长模型等函数的应用实例利用函数知识解决实际问题，例如成本与收益、利3润与产量、速度与时间等问题函数与方程方程的解方程的根方程的解集方程的解是指使方程成函数的图像与方程的解集是指满足方y=fx x立的未知数的值求解轴的交点横坐标称为函程的所有解组成的集合方程可以通过代数方法数的根，即满足方程或图像方法的的值fx=0x二分法求方程的近似解原理二分法是一种求解方程近似解的数值方法，通过不断缩小解所在的区间，最终得到满足精度要求的近似解步骤找到解所在的区间计算区间的中点

1.[a,b]

2.c=a+b/2判断的符号，如果，则为方程的解如果

3.fc fc=0c

4.，则解所在的区间为，如果，则解所在的fc0[a,c]fc0区间为重复步骤，直到区间宽度小于指定的精[c,b]

5.2-4度要求函数模型的应用实例人口增长模型可以用指数函数模型来描述人口的增长，例如，其中表示P=P_0*a^t Pt年后的总人口，表示初始人口，表示人口增长率P_0a经济增长模型可以用指数函数模型来描述经济的增长，例如，GDP=GDP_0*a^t其中表示年后的国民生产总值，表示初始的国民生产总GDP tGDP_0值，表示经济增长率a实际问题建模步骤与技巧步骤理解问题认真阅读问题，明确问题中的已知条件和待求目标建

1.

2.立模型选择合适的数学模型，用数学语言描述问题中的关系求解

3.模型利用数学方法求解模型，得到问题的解验证结果检验所得

4.结果是否符合实际情况技巧选择恰当的数学模型利用图形工具辅助理解问题注意单位

1.

2.

3.和数据的准确性检验结果的合理性

4.易错点分析与解题技巧易错点分析解题技巧函数模型的选择、模型参数的确定、模型的求解、模型结果的解认真审题，理解问题本质选择合适的数学模型利

1.

2.

3.释用图形工具辅助理解问题注意单位和数据的准确性检

4.

5.验结果的合理性第四章三角函数任意角的概念与弧度制任意三角函数的定义正弦函数、12角的定义、弧度制的概念及其余弦函数、正切函数、余切函与角度制的换算数、正割函数、余割函数的定义三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公3式、三角函数的图像与性质任意角的概念与弧度制任意角弧度制任意角是指以一点为起点，按一定方向旋转形成的角，可以是正弧度制是用圆心角所对弧长与半径的比值来度量角的大小，一个角、负角或零角圆心角所对的弧长等于半径时，这个角的大小为弧度，记作11rad三角函数的定义正弦函数1正弦函数是直角三角形中对边与斜边的比值，即对sinαsinα=边斜边/余弦函数2余弦函数是直角三角形中邻边与斜边的比值，即cosαcosα=邻边斜边/正切函数3正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值，即tanαtanα=对边邻边/同角三角函数的基本关系平方关系sin²α+cos²α=1商数关系，tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα倒数关系，secα=1/cosαcscα=1/sinα三角函数的诱导公式公式3公式2，，sin-α=-sinαcos-α=cosαtan-公式1，，sinπ-α=sinαcosπ-α=-cosαα=-tanα，，sinπ+α=-sinαcosπ+α=-cosαtanπ-α=-tanαtanπ+α=tanα三角函数的图像与性质正弦函数余弦函数的图像称为正弦曲线，的图像称为余弦曲线，y=sin xy=cos x其周期为，定义域为，值域其周期为，定义域为，值域2πR2πR为为[-1,1][-1,1]正切函数的图像称为正切曲线，其周期为，定义域为y=tan xπ∈，值域为x≠π/2+kπk ZR正弦型函数图像与性质图像性质1正弦型函数正弦型函数y=A y=A的图像称为正的定义域为，sinωx+φA0,ω02sinωx+φA0,ω0R弦曲线，其周期为，振幅为，值域为，周期为，振幅2π/ωA[-A,A]2π/ω相位为为，相位为φAφ三角函数的应用三角函数可以用来解决与角度、距离、面积等有关的问题三角函数还可以应用于物理学、工程学、天文地理等领域12，例如三角形的解法、角度的测量、面积的计算等，例如振动、波浪、声音、光波等现象的描述和分析易错点分析与解题技巧易错点分析解题技巧三角函数的定义、三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、利用三角函数的定义、基本关系和诱导公式利用三角函

1.

2.三角函数的图像和性质、三角函数的应用数的图像和性质利用三角函数的应用解决实际问题

3.第五章平面向量平面向量的概念向量的定义向量的线性运算向量的加法

12、向量的表示方法、向量的模、减法、数乘、向量线性组合、向量的方向平面向量的基本定理平面向量线性运算的性质、平面向量基本定理

3、平面向量坐标表示平面向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的模向量的方向向量是有大小和方向的量，用字母表示，例如向量，也向量的模是指向量的大小，向量的方向是指向量指向的a可以用带箭头的线段表示，可以用两个点表示，例如向用或表示方向|a||AB|箭头指向表示方向，线段长量AB度表示大小向量的线性运算向量的加法1向量是指将向量平移到向量的起点，然后从的起点指a+b a b a向的终点b向量的减法2向量是指将向量平移到向量的起点，然后从的起点指a-b a b b向的终点a数乘3数乘是指将向量的长度乘以倍，方向不变ka ak平面向量的基本定理平面向量线性运算的性质向量加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律和结合律平面向量基本定理如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内a b的任意向量，存在唯一的一对实数、，使cλμc=λa+μb平面向量坐标表示如果平面内取定一个直角坐标系，则平面内的任意向量都可以用一对有序实数表示，称为向量的坐标x,y平面向量的数量积定义两个向量和的数量积是指向量的模乘以向量在向量方向上的投影a b a ba，记作，即，其中是向量和的夹角a·ba·b=|a||b|cosθθa b性质向量数量积满足交换律、分配律，且a·a=|a|²向量垂直的判定定义如果两个非零向量和垂直，则它们的夹角为°，即，因此a b90cosθ=0a·b=0判定如果两个非零向量和的数量积为零，则这两个向量垂直a b向量平行的判定定义判定1如果两个非零向量和平行，则它们如果两个非零向量和的数量积等于a bab的夹角为°或°，即±它们的模的乘积，则这两个向量平行0180cosθ=12，因此a·b=|a||b|平面向量的应用平面向量可以用来解决与力、速度、位移等有关的问题，例如力的合1成与分解、运动的描述、位置的确定等平面向量还可以应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域，例如2力学、运动学、图像处理等易错点分析与解题技巧易错点分析解题技巧向量的模、方向、坐标的理解，向量的线性运算，向量数量积的掌握向量的基本概念和运算规则利用向量坐标表示和运

1.

2.计算，向量垂直和平行的判定算进行向量计算利用向量垂直和平行的判定解决几何问题

3.第六章数列数列的概念数列的定义、数列的通项公式、数列的表示方法1等差数列等差数列的定义、等差数列的通项公式、等差数列的性质2和应用等比数列等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比数列的性质3和应用数列求和等差数列求和公式、等比数列求和公式、错位相减法、分4组求和法、倒序相加法数列的概念数列的定义数列的通项公式数列的表示方法数列是指按照一定顺序排列的一列数，数列的通项公式是指用一个含有的表达用通项公式表示，例如，也可以n a_n=n²每个数称为数列的项式表示数列的第项用列表法表示，例如n1,4,9,16等差数列定义1等差数列是指从第二项起，每一项都比前一项多一个常数，这个常数称为公差，记作d通项公式2a_n=a_1+n-1d性质3等差数列中任意两项的和等于这两项的中项的两倍等

1.

2.差数列中，首项、末项和中项成等差数列等差数列的性质与应用性质等差数列中任意两项的和等于这两项的中项的两倍等

1.

2.差数列中，首项、末项和中项成等差数列应用等差数列可以用来解决与等差数列有关的问题，例如求数列的通项公式、求数列的和、求数列中的某一项的值等等比数列定义等比数列是指从第二项起，每一项都比前一项乘以一个常数，这个常数称为公比，记作q通项公式a_n=a_1*q^n-1性质等比数列中任意两项的积等于这两项的等比中项的平方

1.

2.等比数列中，首项、末项和等比中项成等比数列等比数列的性质与应用性质等比数列中任意两项的积等于这两项的等比中项的平方等比数列

1.

2.中，首项、末项和等比中项成等比数列应用等比数列可以用来解决与等比数列有关的问题，例如求数列的通项公式、求数列的和、求数列中的某一项的值等数列求和方法等差数列求和公式等比数列求和公式错位相减法分组求和法当时，适用于求形如适用于将数列分成若干组，每组S_n=a_1+a_n*n/2q≠1S_n=a_11-的和可以用公式求得，然后将各q^n/1-q a_1+a_2q+a_3q²+...+a_nq^n的数列和组的和相加得到数列的和-1倒序相加法适用于将数列倒序排列，然后将原数列和倒序数列对应项相加，利用等差数列或等比数列求和公式进行计算错位相减法原理步骤错位相减法是指将数列乘以一个公比，然后将原数列和乘以公将数列乘以一个公比，得到新的数列将原数列和乘以q

1.q

2.比后的数列对应项相减，消去部分项，得到一个新的数列，再求公比后的数列对应项相减，得到一个新的数列求新的数列

3.新的数列的和的和将步骤的结果除以即可得到原数列的和

4.31-q分组求和法原理1分组求和法是指将数列分成若干组，每组的和可以用公式求得，然后将各组的和相加得到数列的和步骤2将数列分成若干组求每组的和将各组的和相加

1.

2.

3.得到数列的和倒序相加法原理倒序相加法是指将数列倒序排列，然后将原数列和倒序数列对应项相加，利用等差数列或等比数列求和公式进行计算步骤将数列倒序排列将原数列和倒序数列对应项相加

1.

2.

3.利用等差数列或等比数列求和公式进行计算数列的综合应用数列求和等比数列数列求和可以应用于解决实际问题，例如等差数列等比数列可以用来解决与等比数列有关的求等差数列的和、等比数列的和、错位相等差数列可以用来解决与等差数列有关的问题，例如求数列的通项公式、求数列的减法、分组求和法、倒序相加法等问题，例如求数列的通项公式、求数列的和、求数列中的某一项的值等和、求数列中的某一项的值等第七章不等式不等式的性质不等式的基本性质、不等式的运算性质、不等式的证1明方法基本不等式算术平均数与几何平均数不等式、柯西不等式、均值不2等式的应用一元二次不等式及其解法一元二次不等式的定义、一元二次不等式3的解法、一元二次不等式的应用线性规划线性规划问题的定义、线性规划问题的图解法、线性规划4问题的单纯形法不等式的性质基本性质运算性质不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变不等式两边同时平方，不等号方向不变不等式两边同时

1.

2.

1.

2.不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变开方，不等号方向不变不等式两边同时取倒数，不等号方

3.

3.不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变向改变基本不等式算术平均数与几何平均数不等式1对于非负数、，有，当且仅当时取等号aba+b/2≥√ab a=b柯西不等式2对于实数和，有a_1,a_2,...,a_n b_1,b_2,...,b_na_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n²≤a_1²+a_2²+...+a_n²b_1²+b，当且仅当时取_2²+...+b_n²a_1/b_1=a_2/b_2=...=a_n/b_n等号均值不等式的应用3基本不等式可以用来证明不等式，求函数的最大值或最小值，解决实际问题一元二次不等式及其解法定义一元二次不等式是指含有未知数且最高次数为的不等式x2解法将一元二次不等式化为标准形式或

1.ax²+bx+c0求解对应的一元二次方程的根ax²+bx+c

02.ax²+bx+c=0利用二次函数的图像或符号表判断不等式的解集

3.线性规划定义线性规划问题是指在满足线性约束条件的情况下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题图解法将线性约束条件表示为直线在坐标系中画出所有直线，确定

1.

2.可行域在可行域内找到使目标函数取得最大值或最小值的点

3.单纯形法单纯形法是一种更一般的方法，可以用于求解任何线性规划问题，但需要更复杂的计算简单线性规划问题的应用生产计划资源分配企业需要在有限的资源条件下，政府需要将有限的资源分配到不制定生产计划，使利润最大化同的项目，以获得最大的社会效益投资组合投资者需要将资金分配到不同的投资项目，以获得最大的收益。