《数学分析中的映射与函数》课件介绍

数学分析中的映射与函数本课件旨在全面介绍数学分析中映射与函数的基本概念、性质及其应用通过本课件的学习，您将掌握映射与函数的核心理论，并能运用这些理论解决实际问题本课件内容丰富，讲解透彻，适合数学分析初学者以及希望深入理解相关概念的读者课程目标与学习要求课程目标学习要求掌握映射与函数的基本概念和性质；熟悉初等函数的类型及其特认真阅读课件内容，理解每个概念和定理；完成课后习题，巩固性；理解复合函数、反函数的概念和求法；掌握函数连续性的定所学知识；积极参与讨论，提出问题，分享学习心得；注重理论义、性质和应用；掌握函数极限的定义、性质和计算方法；培养联系实际，运用所学知识解决实际问题；通过实践，加深对映射运用映射与函数理论解决实际问题的能力与函数理论的理解什么是映射基本定义映射是数学中一个基本概念，它描述了两个集合之间的对应关系具体来说，设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对于X中的每一个元素x，按照法则f，在Y中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y其中，X称为映射f的定义域，Y称为映射f的值域简而言之，映射就是一种“对应”关系，它将一个集合中的元素与另一个集合中的元素联系起来理解映射的概念是学习函数的基础映射的几何直观理解图形表示可以将映射看作是从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的“传送带”每个定义域中的元素都通过这个“传送带”被送到值域中的一个唯一确定的元素这种图形化的表示方法有助于我们直观地理解映射的概念坐标系表示对于一些特殊的映射，我们可以将其表示在坐标系中例如，可以将平面上的点映射到另一个平面上的点，或者将空间中的点映射到另一个空间中的点这种表示方法可以帮助我们更好地理解映射的性质和特点函数图像函数是一种特殊的映射，它的值域是实数集因此，我们可以用函数图像来表示函数函数图像可以直观地反映函数的性质，如单调性、奇偶性等通过观察函数图像，我们可以更好地理解函数的行为和特点映射的基本要素定义域、值域和映射法则定义域值域12定义域是指映射中所有允许的值域是指映射中所有输出值的输入值的集合它决定了映射集合它反映了映射的取值范的适用范围例如，对于函数围例如，对于函数fx=fx=1/x，其定义域为所有x^2，其值域为所有非负实数非零实数的集合，因为x不能的集合，因为x^2总是大于等等于0于0映射法则3映射法则是指将定义域中的每个元素映射到值域中的唯一元素的规则它是映射的核心例如，对于函数fx=2x+1，其映射法则就是将每个输入值x乘以2再加1映射的表示方法符号表示法列表法图像法这是最常见的表示方法，用符号f:X→Y当定义域和值域都是有限集合时，可以对于一些特殊的映射，可以用图像法表表示从集合X到集合Y的映射其中，f用列表法表示映射例如，设X={1,2,示例如，函数是一种特殊的映射，可代表映射法则，X代表定义域，Y代表值3},Y={a,b,c}，则可以表示一个映射以用函数图像来表示函数图像可以直域例如，fx=x^2表示一个从实数集f为f1=a,f2=b,f3=c观地反映函数的性质和特点到非负实数集的映射常见映射举例恒等映射常值映射恒等映射是指将每个元素映射到常值映射是指将所有元素都映射自身的映射例如，对于集合X到同一个元素的映射例如，对，恒等映射f:X→X满足fx=于集合X和元素y∈Y，常值映x，对于所有x∈X射f:X→Y满足fx=y，对于所有x∈X线性映射线性映射是指满足线性性质的映射例如，对于向量空间V和W，线性映射f:V→W满足fax+=afx+bfy，对于所有x,y∈V和标量a,b函数的概念从映射到函数函数是数学分析中最重要的概念之一它可以看作是一种特殊的映射，其值域是实数集或复数集具体来说，设X是一个非空集合，如果存在一个法则f，使得对于X中的每一个元素x，按照法则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称f为定义在X上的函数，记作f:X→R或fx=y其中，X称为函数f的定义域，R称为函数f的值域换句话说，函数就是一种从一个集合到实数集的映射函数的研究是数学分析的核心内容函数的定义域与值域定义域1函数的定义域是指自变量x所有允许取值的集合确定函数的定义域是研究函数的第一步例如，对于函数fx=√x-1，其定义域为[1,+∞，因为根号内的表达式必须大于等于0值域2函数的值域是指因变量y所有可能的取值的集合求函数的值域是函数研究的重要内容例如，对于函数fx=sinx，其值域为[-1,1]，因为sinx的取值范围在-1到1之间确定方法3确定函数的定义域需要考虑多种因素，如分母不能为0，根号内的表达式必须大于等于0，对数函数的真数必须大于0等确定函数的值域可以使用多种方法，如配方法、反函数法、导数法等函数的图像表示绘制方法绘制函数图像可以使用多种方法，如描点法、图像变换法、导数法等描点法是指通过计算一些特殊的点，然后将这些点连接起来得到函数图像图像变换法是指通过对已知2函数的图像进行平移、伸缩、对称等变换得坐标系到新的函数图像导数法是指利用导数来分析函数的单调性和凹凸性，从而绘制函数图在平面直角坐标系中，函数的图像由所有满1像足函数关系y=fx的点x,y组成通过观察函数图像，我们可以直观地了解函数的性图像分析质，如单调性、奇偶性、周期性等通过观察函数图像，我们可以分析函数的各3种性质例如，如果函数图像关于y轴对称，则函数是偶函数；如果函数图像关于原点对称，则函数是奇函数；如果函数图像在某个区间内单调递增或单调递减，则函数在该区间内具有单调性函数的基本性质有界性定义几何意义例子如果存在一个正数M，使得对于函数fx函数fx有界意味着其图像位于y=M和函数fx=sinx在实数集上有界，因为定义域内的所有x，都有|fx|≤M，则y=-M两条水平线之间函数fx无界对于所有x，都有|sinx|≤1函数fx称函数fx在该定义域内有界否则，称意味着其图像会超出这两条水平线=x在实数集上无界，因为对于任意正数函数fx在该定义域内无界M，都存在x使得|x|M函数的基本性质单调性单调递增单调递减12如果对于函数fx定义域内的如果对于函数fx定义域内的任意两个数x1和x2，当x1任意两个数x1和x2，当x1x2时，都有fx1≤fx2，则x2时，都有fx1≥fx2，则称函数fx在该定义域内单调称函数fx在该定义域内单调递增递减判断方法3判断函数的单调性可以使用多种方法，如定义法、导数法等定义法是指直接利用单调性的定义进行判断导数法是指利用导数的符号来判断函数的单调性如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减函数的基本性质周期性定义几何意义如果存在一个非零常数T，使得函数fx具有周期性意味着其图对于函数fx定义域内的所有x像在水平方向上以T为间隔重复，都有fx+T=fx，则称函出现因此，只需要知道函数在数fx为周期函数，T称为函数一个周期内的图像，就可以知道fx的周期函数在整个定义域内的图像例子函数fx=sinx是周期函数，其周期为2π函数fx=cosx也是周期函数，其周期也为2π函数的基本性质奇偶性偶函数1如果对于函数fx定义域内的所有x，都有f-x=fx，则称函数fx为偶函数偶函数的图像关于y轴对称例如，fx=x^2是偶奇函数2函数如果对于函数fx定义域内的所有x，都有f-x=-fx，则称函数fx为奇函数奇函数的图像关于原点对称例如，fx=x是奇函判断方法3数判断函数的奇偶性需要验证f-x与fx的关系如果f-x=fx，则函数是偶函数；如果f-x=-fx，则函数是奇函数；如果既不满足f-x=fx也不满足f-x=-fx，则函数既不是奇函数也不是偶函数初等函数概述定义分类重要性初等函数是由常数、幂函数、指数函数、对初等函数可以分为基本初等函数和复合函数初等函数是数学分析中最常用的函数掌握数函数、三角函数和反三角函数经过有限次基本初等函数包括常数函数、幂函数、指初等函数的性质和特点是学习数学分析的基的四则运算和复合运算得到的函数数函数、对数函数、三角函数和反三角函数础例如，多项式函数、有理函数、指数函复合函数是由基本初等函数经过有限次的数、对数函数、三角函数等都是常见的初等复合运算得到的函数函数幂函数的性质与图像定义性质图像幂函数是指形如y=x^α的函数，其中α幂函数的性质取决于α的取值例如，当幂函数的图像随着α的变化而变化，例如为实数幂函数的定义域和值域取决于αα0时，幂函数在[0,+∞上单调递增y=x,y=x^2,y=x^3等当α为正奇数时的取值例如，当α为正整数时，幂函数；当α0时，幂函数在0,+∞上单调，幂函数为奇函数；当α为正偶数时，幂的定义域为实数集；当α为负整数时，幂递减幂函数的图像也取决于α的取值，函数为偶函数函数的定义域为所有非零实数的集合例如，当α=2时，幂函数的图像是抛物线指数函数的性质与图像定义性质图像123指数函数是指形如y=a^x的函数指数函数的性质取决于a的取值指数函数的图像是一条曲线，当a，其中a0且a≠1指数函数的当a1时，指数函数在实数集上单1时，图像单调上升；当0a1时定义域为实数集，值域为0,+∞调递增；当0a1时，指数函数，图像单调下降指数函数的图像在实数集上单调递减指数函数恒与x轴没有交点过点0,1对数函数的性质与图像定义性质对数函数是指形如y=logₐx的对数函数的性质取决于a的取值函数，其中a0且a≠1对数当a1时，对数函数在0,函数的定义域为0,+∞，值域+∞上单调递增；当0a1时为实数集对数函数是指数函数，对数函数在0,+∞上单调递的反函数减对数函数恒过点1,0图像对数函数的图像是一条曲线，当a1时，图像单调上升；当0a1时，图像单调下降对数函数的图像与y轴没有交点三角函数的性质与图像定义1三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等它们的定义域和值域取决于函数的类型例如，正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]；正切函数的定义域为所有不等于kπ+π/2的实数的集合，其中k为整数，值域为实数集性质2三角函数具有周期性、奇偶性等性质例如，正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；正弦函数、余弦函数、正切函数等都是周期函数图像3三角函数的图像是一系列波浪线，它们具有周期性和对称性例如，正弦函数的图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对称反三角函数的性质与图像定义性质图像反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数反三角函数具有单调性、奇偶性等性质反三角函数的图像是一系列曲线，它们具、反正切函数、反余切函数等它们是三例如，反正弦函数和反正切函数是奇函数有单调性和对称性例如，反正弦函数的角函数的反函数例如，反正弦函数是正，反余弦函数既不是奇函数也不是偶函数图像关于原点对称弦函数的反函数，其定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]双曲函数的性质与图像定义性质图像双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦双曲函数具有单调性、奇偶性等性质双曲函数的图像是一系列曲线，它们具函数、双曲正切函数等它们是与三角例如，双曲正弦函数是奇函数，双曲余有单调性和对称性例如，双曲余弦函函数类似的一类函数，但其定义中使用弦函数是偶函数双曲函数在物理学、数的图像类似于抛物线了指数函数而不是三角函数例如，双工程学等领域有广泛的应用曲正弦函数sinhx=e^x-e^-x/2，双曲余弦函数coshx=e^x+e^-x/2分段函数的定义与特点定义特点12分段函数是指在不同的区间内分段函数的特点是在不同的区，函数的表达式不同的函数间内，函数的性质可能不同分段函数在数学分析中经常出例如，分段函数可能在某个区现，它们可以用来描述一些特间内连续，而在另一个区间内殊的现象不连续分段函数的图像由几段不同的曲线组成例子3绝对值函数就是一个典型的分段函数当x≥0时，|x|=x；当x0时，|x|=-x隐函数的概念定义特点隐函数是指由一个方程确定的函隐函数的特点是不能直接表示成数具体来说，如果方程Fx,y y=fx的形式，但可以通过方=0确定了y是x的函数，则称y程Fx,y=0来研究其性质例是x的隐函数与显函数不同，如，可以通过隐函数求导法来求隐函数不能直接表示成y=fx隐函数的导数的形式例子方程x²+y²=1确定了y是x的隐函数可以通过隐函数求导法来求y关于x的导数参数方程表示的函数定义1参数方程是指用参数来表示函数的方程具体来说，如果x和y都可以表示成某个参数t的函数，即x=φt,y=ψt，则称这样的特点2方程为参数方程参数方程可以用来表示一些特殊的曲线参数方程的特点是用参数来表示函数，可以更方便地描述一些复杂的曲线例如，可以用参数方程来表示圆、椭圆等例子3方程x=rcost,y=rsint表示一个圆，其中r为半径，t为参数函数的复合运算定义设fx和gx是两个函数，如果fx的值域与gx的定义域有交集，则可以进行复合运算，得到一个新的函数hx=gfx，称为fx和gx的复合函数运算规则复合运算的规则是先计算fx的值，然后将fx的值作为gx的自变量进行计算注意，复合运算的顺序不能颠倒，即gfx和fgx通常是不同的函数例子设fx=x²，gx=sinx，则gfx=sinx²，fgx=sinx²可以看到，sinx²和sinx²是不同的函数复合函数的定义域确定内层函数外层函数交集首先要考虑内层函数fx的定义域复合其次要考虑外层函数gx的定义域fx最后，取内层函数和外层函数定义域的函数gfx的定义域必须包含fx的定的值域必须包含在gx的定义域内也交集，得到复合函数的定义域也就是义域就是说，只有当fx的值落在gx的定义说，复合函数的定义域必须同时满足内域内时，复合函数才有意义层函数和外层函数的定义域的要求复合函数的性质分析连续性可导性12如果fx在x₀处连续，gx如果fx在x₀处可导，gx在fx₀处连续，则复合函数在fx₀处可导，则复合函数gfx在x₀处也连续也就gfx在x₀处也可导，且其是说，连续函数的复合函数仍导数为gfx₀*fx₀然是连续函数这就是链式法则单调性3复合函数的单调性取决于内层函数和外层函数的单调性如果内层函数和外层函数都单调递增或都单调递减，则复合函数单调递增；如果内层函数和外层函数一个单调递增，一个单调递减，则复合函数单调递减一一映射的概念定义单射一一映射又称双射，是指既是单单射是指对于定义域中的任意两射又是满射的映射也就是说，个不同的元素，它们在值域中的对于定义域中的每个元素，值域对应元素也不同也就是说，没中都有唯一的一个元素与之对应有两个不同的元素映射到同一个，并且值域中的每个元素都来自元素定义域中的一个元素满射满射是指值域中的每个元素都来自定义域中的一个元素也就是说，值域中的每个元素都是某个元素的像一一映射的判定方法定义法1直接利用一一映射的定义进行判定首先验证映射是否为单射，然后验证映射是否为满射如果既是单射又是满射，则映射是一一映射反函数法2如果一个函数存在反函数，则该函数是一一映射反之，如果一个函数是一一映射，则该函数存在反函数因此，可以通过判断函数是否存在反函数来判断函数是否为一一映射图像法3对于一些特殊的函数，可以用图像法判断函数是否为一一映射如果函数的图像与任意一条水平线最多只有一个交点，则函数是一一映射满射的概念与判定定义满射是指对于值域中的每个元素，都存在定义域中的一个元素与之对应也就是说，值域中的每个元素都是某个元素的像判定方法要判断一个映射是否为满射，需要验证值域中的每个元素是否都来自定义域中的一个元素如果值域中的每个元素都来自定义域中的一个元素，则映射是满射；否则，映射不是满射例子设f:R→R，fx=x²这个映射不是满射，因为值域中的负数不是任何实数的像但是，如果将值域限制为非负实数集，则这个映射是满射双射的概念与判定定义判定方法例子双射又称一一映射，是指既是单射又是要判断一个映射是否为双射，需要同时设f:R→R，fx=x这个映射是双射满射的映射也就是说，对于定义域中验证映射是否为单射和满射如果映射，因为对于任意实数y，都存在唯一的实的每个元素，值域中都有唯一的一个元既是单射又是满射，则映射是双射；否数x=y与之对应，并且对于任意实数x素与之对应，并且值域中的每个元素都则，映射不是双射，都有唯一的实数y=x与之对应来自定义域中的一个元素反函数的定义定义意义例子123设函数f:X→Y是一个一一映射，反函数是指将函数的值域中的元素设fx=2x+1，则f⁻¹x=x-则存在一个函数g:Y→X，使得对映射回定义域中的元素的函数反1/2对于任意的x，都有于任意的x∈X，都有gfx=x函数可以将函数的作用“逆转”过来f⁻¹fx=x，ff⁻¹x=x，对于任意的y∈Y，都有fgy例如，指数函数的反函数是对数=y函数g称为函数f的反函数，函数记作f⁻¹反函数存在的条件一一映射证明例子函数存在反函数的充要条件是该函数如果函数不是单射，则存在两个不同函数fx=x²不存在反函数，因为fx是一个一一映射也就是说，函数必的元素映射到同一个元素，这样就无不是一一映射对于任意的正数y，都须既是单射又是满射如果函数不是法确定反函数的值如果函数不是满存在两个实数x=√y和x=-√y使得一一映射，则不存在反函数射，则值域中存在一些元素没有原像fx=y，这样就无法定义反函数求反函数的方法显函数1对于显函数y=fx，可以通过交换x和y的位置，然后解出y来求反函数具体来说，就是先将y=fx写成x=f⁻¹y的形式，然后隐函数再将x和y互换，得到y=f⁻¹x2对于隐函数Fx,y=0，可以通过隐函数求导法来求反函数具体来说，就是先对Fx,y=0两边关于x求导，然后解出dy/dx，再参数方程3利用反函数的导数公式dx/dy=1/dy/dx来求反函数的导数对于参数方程x=φt,y=ψt，可以通过解出t关于x和y的表达式，然后互换x和y的位置来求反函数反函数的性质定义域与值域反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域也就是说，反函数是将原函数的值域映射回定义域的函数单调性如果原函数单调递增，则反函数也单调递增；如果原函数单调递减，则反函数也单调递减也就是说，反函数的单调性与原函数的单调性相同连续性如果原函数连续，则反函数也连续也就是说，连续函数的反函数仍然是连续函数常见初等函数的反函数指数函数三角函数幂函数指数函数y=a^x的反函数是对数函数y三角函数的反函数是反三角函数例如幂函数y=x^α的反函数是y=x^1/α=logₐx指数函数和对数函数互为反，正弦函数y=sinx的反函数是反正弦例如，y=x²的反函数是y=√x函数，它们具有很多相似的性质函数y=arcsinx，余弦函数y=cosx的反函数是反余弦函数y=arccosx，正切函数y=tanx的反函数是反正切函数y=arctanx函数的连续性引入直观理解实际意义12函数的连续性是指函数图像在连续函数在实际生活中有很多定义域内没有“断裂”或“跳跃”应用例如，描述物体运动轨的现象也就是说，可以一笔迹的函数通常是连续函数，描画出函数的图像连续性是数述温度变化的函数通常也是连学分析中一个重要的概念续函数定义3要严格定义函数的连续性，需要使用极限的概念具体来说，如果函数fx在x₀处有定义，并且limx→x₀fx=fx₀，则称函数fx在x₀处连续函数连续性的定义ε-δ定义理解设函数fx在x₀的某个邻域内ε-δ定义是用极限的语言来描述有定义，对于任意给定的ε0函数的连续性ε表示函数值的，总存在δ0，使得当|x-误差，δ表示自变量的误差ε-x₀|δ时，都有|fx-fx₀|δ定义要求当自变量的误差足够ε，则称函数fx在x₀处连续小时，函数值的误差也足够小例子要证明函数fx=x在任意一点x₀处连续，可以使用ε-δ定义对于任意给定的ε0，取δ=ε，则当|x-x₀|δ时，都有|fx-fx₀|=|x-x₀|ε函数连续点的几何意义图像1函数在连续点的几何意义是函数的图像在该点没有“断裂”或“跳跃”也就是说，可以一笔画出函数在连续点附近的图像极限2函数在连续点的几何意义还可以用极限来描述函数fx在x₀处连续意味着当x趋近于x₀时，fx的值趋近于fx₀例子3函数fx=sinx在任意一点x₀处连续，其图像是一条连续的波浪线函数fx=1/x在x=0处不连续，其图像在x=0处有一个“断裂”间断点的类型定义分类例子如果函数fx在x₀处没有定义，或者虽然间断点可以分为第一类间断点和第二类间函数fx=1/x在x=0处不连续，x=0是有定义，但是limx→x₀fx≠fx₀，断点第一类间断点是指左极限和右极限fx的间断点函数fx=sin1/x在x=0则称函数fx在x₀处不连续，x₀称为函都存在的间断点第二类间断点是指左极处不连续，x=0也是fx的间断点数fx的间断点限和右极限至少有一个不存在的间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断点例子如果函数fx在x₀处的左极限和右极限如果函数fx在x₀处的左极限和右极限函数fx=x²-1/x-1在x=1处有一都存在且相等，但limx→x₀fx≠都存在但不相等，则称x₀为fx的跳跃个可去间断点，因为limx→1fx=2fx₀，或者fx₀没有定义，则称x₀间断点跳跃间断点是不可去除的间断，但f1没有定义函数fx=sgnx在为fx的可去间断点可去间断点可以通点x=0处有一个跳跃间断点，因为过重新定义函数在x₀处的值使其连续limx→0⁻fx=-1，limx→0⁺fx=1第二类间断点定义例子12如果函数fx在x₀处的左极函数fx=sin1/x在x=0处限和右极限至少有一个不存在有一个第二类间断点，因为，则称x₀为fx的第二类间limx→0sin1/x不存在断点第二类间断点是不可去函数fx=e^1/x在x=0处除的间断点也有一个第二类间断点，因为limx→0⁻e^1/x=0，limx→0⁺e^1/x=+∞特点3第二类间断点的函数图像在该点附近剧烈震荡，无法确定极限值第二类间断点通常出现在函数表达式中含有无穷小量的倒数或者震荡因子的情况下连续函数的性质有界性定理定理证明如果函数fx在闭区间[a,b]上连续有界性定理可以用反证法证明假，则fx在[a,b]上有界也就是说设fx在[a,b]上无界，则存在一个，存在一个正数M，使得对于任意点列{x}⊂[a,b]，使得ₙ的x∈[a,b]，都有|fx|≤M limn→∞|fx|=+∞由于ₙ[a,b]是闭区间，因此{x}存在一ₙ个收敛子列{x}，设其极限为ₙₖx₀∈[a,b]由于fx在x₀处连续，因此limk→∞fx=ₙₖfx₀但这与limn→∞|fx|ₙ=+∞矛盾，因此fx在[a,b]上有界应用有界性定理是数学分析中一个重要的定理，它可以用来证明其他一些定理例如，它可以用来证明最大值最小值定理连续函数的性质最大值最小值定理定理1如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上一定能取到最大值和最小值也就是说，存在x₁,x₂∈[a,b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有fx₁≤fx≤fx₂证明2最大值最小值定理可以用有界性定理和确界存在定理证明由于fx在[a,b]上连续，因此fx在[a,b]上有界，即存在一个上界M和一个下界m，使得对于任意的x∈[a,b]，都有m≤fx≤M由确界存在定理可知，fx在[a,b]上存在上确界和下确界，设分别为L和l可以证明L和l都是fx在[a,b]上可以取到的值，因此L是fx在[a,b]上的最大值，l是fx在[a,b]上的最小值应用3最大值最小值定理是数学分析中一个重要的定理，它可以用来解决一些实际问题例如，它可以用来求函数在某个区间上的最大值和最小值连续函数的性质介值定理定理证明应用如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且介值定理可以用零点存在定理证明设介值定理是数学分析中一个重要的定理，fa≠fb，则对于任意的数C介于fa和gx=fx-C，则gx在[a,b]上连续，它可以用来判断方程是否有根例如，可fb之间，都存在一个数x₀∈a,b，使且ga=fa-C和gb=fb-C异号以证明方程x³-3x+1=0在0,1内至少有得fx₀=C由零点存在定理可知，存在一个数x₀∈一个根a,b，使得gx₀=0，即fx₀=C一致连续性的概念定义理解例子如果函数fx在区间I上有定义，对于任一致连续性是指对于任意给定的误差ε，函数fx=x在实数集上一致连续函数意给定的ε0，总存在δ0，使得对于都可以找到一个统一的δ，使得当自变量fx=x²在实数集上不一致连续，但在任任意的x₁,x₂∈I，当|x₁-x₂|δ的误差小于δ时，函数值的误差小于ε，意一个有界区间上一致连续时，都有|fx₁-fx₂|ε，则称函数而与自变量的具体取值无关也就是说fx在区间I上一致连续，δ的选取与x₁和x₂的具体位置无关一致连续与普通连续的区别定义依赖性12普通连续性是指对于每一个点普通连续性中的δ依赖于点的，都存在一个δ，使得当自变位置，而一致连续性中的δ不量的误差小于δ时，函数值的依赖于点的位置，只依赖于ε误差小于ε一致连续性是指对于整个区间，都存在一个统一的δ，使得当自变量的误差小于δ时，函数值的误差小于ε范围3如果在闭区间上连续，则一致连续如果一致连续，则连续，反之不成立普通连续是局部性质，一致连续是整体性质函数的极限概念直观理解ε-δ定义函数的极限是指当自变量趋近于要严格定义函数的极限，需要使某个值时，函数值趋近于某个值用ε-δ语言具体来说，如果对函数的极限是数学分析中一个于任意给定的ε0，总存在δ重要的概念，它可以用来描述函0，使得当0|x-x₀|δ时，数在某个点附近的性质都有|fx-A|ε，则称当x趋近于x₀时，fx的极限为A，记作limx→x₀fx=A例子要证明limx→2x²=4，可以使用ε-δ定义对于任意给定的ε0，取δ=min1,ε/5，则当0|x-2|δ时，都有|x²-4|=|x-2||x+2|δ*5≤ε函数极限的定义ε-δ定义1设函数fx在点x₀的某个去心邻域内有定义，对于任意给定的ε0，总存在δ0，使得当0|x-x₀|δ时，都有|fx-A|ε，则称当x趋近于x₀时，fx的极限为A，记作limx→x₀fx=A理解2ε表示函数值的误差，δ表示自变量的误差ε-δ定义要求当自变量的误差足够小时，函数值的误差也足够小，并且这个误差可以任意小例子3要证明limx→0sinx/x=1，可以使用ε-δ定义对于任意给定的ε0，可以找到一个δ0，使得当0|x|δ时，都有|sinx/x-1|ε函数极限的性质唯一性如果limx→x₀fx存在，则极限是唯一的也就是说，一个函数在一点的极限最多只有一个值局部有界性如果limx→x₀fx=A，则存在x₀的一个去心邻域，使得fx在该邻域内有界也就是说，如果函数在一点有极限，则函数在该点附近是有界的局部保号性如果limx→x₀fx=A0，则存在x₀的一个去心邻域，使得对于该邻域内的所有x，都有fx0也就是说，如果函数在一点的极限大于0，则函数在该点附近也是大于0的函数极限存在的充分必要条件柯西准则归结原则证明函数fx在x₀处存在极限的充分必要条函数fx在x₀处存在极限的充分必要条柯西准则和归结原则可以用ε-δ定义证明件是对于任意给定的ε0，总存在δ件是对于任意趋近于x₀的数列{x}这两个准则为判断函数极限的存在性ₙ0，使得对于任意的x₁,x₂满足0（x≠x₀），数列{fx}都收敛于提供了一种有效的方法ₙₙ|x₁-x₀|δ且0|x₂-x₀|δ，同一个极限A也就是说，无论自变量以都有|fx₁-fx₂|ε何种方式趋近于x₀，函数值都趋近于同一个值无穷小量与无穷大量无穷小量无穷大量12如果limx→x₀fx=0，如果对于任意给定的M0，则称当x趋近于x₀时，fx为总存在δ0，使得当0|x-无穷小量无穷小量是指绝对x₀|δ时，都有|fx|M值可以任意小的函数，则称当x趋近于x₀时，fx为无穷大量无穷大量是指绝对值可以任意大的函数关系3如果limx→x₀fx=0，且fx≠0，则limx→x₀1/fx=∞也就是说，无穷小量的倒数是无穷大量常见的求极限方法代入法因式分解法对于一些简单的函数，可以直接对于一些分子和分母都趋近于0将x₀代入函数表达式中求极限的函数，可以先进行因式分解，例如，limx→2x²=2²=4然后约去公因子，再求极限例如，limx→1x²-1/x-1=limx→1x+1=2有理化法对于一些含有根式的函数，可以先进行有理化，然后再求极限例如，limx→0√x+1-1/x=limx→01/√x+1+1=1/2夹逼准则准则1如果存在函数gx,hx,fx，使得在x₀的某个去心邻域内，gx≤fx≤hx，且limx→x₀gx=limx→x₀hx=A，则limx→x₀fx=A理解2夹逼准则是指如果函数fx被夹在两个函数gx和hx之间，且这两个函数都趋近于同一个极限，则函数fx也趋近于同一个极限例子3要证明limx→0xsin1/x=0，可以使用夹逼准则因为对于任意的x≠0，都有-|x|≤xsin1/x≤|x|，且limx→0-|x|=limx→0|x|=0，因此limx→0xsin1/x=0单调有界准则准则单调有界数列必有极限也就是说，如果一个数列是单调递增或者单调递减的，并且是有界的，则该数列一定收敛于某个极限数列数列极限也可以理解为函数极限的特例如果数列{x}单调ₙ递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么{x}必收敛ₙ证明要证明单调有界数列必有极限，可以使用确界存在定理确界定理提供了严格的理论证明可以从上下确界的角度证明重要极限公式公式一公式二应用limx→0sinx/x=1这个极限是数limx→∞1+1/x^x=e这个极限是这两个极限可以用来求一些复杂的极限学分析中最重要的极限之一，它在三角数学分析中另一个重要的极限，它定义例如，可以用来求limx→0函数的求导中起着重要的作用了自然常数e还可以写为limx-0tanx/x，limx→∞1+2/x^x等1+x^1/x=e巧妙运用这两个极限公式，能够简化计算过程函数极限与连续性的关系连续性极限联系123如果函数fx在x₀处连续，则反之，如果limx→x₀fx=函数在一点连续是函数在该点存在limx→x₀fx=fx₀也就是fx₀，则函数fx在x₀处连续极限的充分必要条件连续性可以说，如果函数在一点连续，则函数也就是说，如果函数在一点的极限用极限来定义，极限也可以用连续在该点的极限存在，并且等于函数存在，并且等于函数在该点的值，性来描述因此，极限和连续性是在该点的值则函数在该点连续紧密相关的概念数列极限作为函数极限的特例定义理解性质数列可以看作是定义在正整数集上的数列极限是指当n趋近于无穷大时，数数列极限也具有唯一性、有界性等性函数因此，数列的极限可以看作是列中的项x趋近于某个值A数列极质此外，单调有界数列必有极限，ₙ函数极限的特例具体来说，如果限是函数极限的特殊情况，但它也具这是一个重要的数列极限存在准则limn→∞x=A，则称数列{x}有一些独特的性质ₙₙ收敛于A，或者称A是数列{x}的极ₙ限典型例题讲解例题一1求极限limx→0sinx/x解这是一个重要极限，可以直接应用公式limx→0sinx/x=1例题二2求极限limx→∞1+1/x^x解这也是一个重要极限，可以直接应用公式limx→∞1+1/x^x=e例题三3求极限limx→0√x+1-1/x解可以使用有理化法，先将分子有理化，然后再求极限最终结果为1/2常见错误分析错误一随意使用洛必达法则洛必达法则只能在满足一定条件的情况下才能使用，如果不满足条件就使用洛必达法则，可能会得到错误的答案错误二忽略函数的定义域在求极限时，需要先考虑函数的定义域，如果极限点不在函数的定义域内，则极限可能不存在错误三不注意极限的条件在应用极限的性质时，需要先验证是否满足条件，如果不满足条件就应用极限的性质，可能会得到错误的答案。