《曲线积分与面积分》课件

曲线积分与面积分本课件将带您深入浅出地学习曲线积分与面积分，从基本概念到应用案例，为您提供全面而清晰的讲解学习目标与课程概述学习目标课程概述掌握曲线积分与面积分的概念及几何意义了解第一类本课程将分为三个部分第一章曲线积分第二章面积分

1.

2.和第二类曲线积分、面积分的定义和计算方法掌握格林第三章综合应用

3.公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用能够应用曲线积

4.分和面积分解决实际问题第一章曲线积分的基本概念曲线积分是微积分学中的重曲线积分的应用非常广泛，要概念之一，它是在曲线上例如计算曲线的长度、面积的积分、体积、功等等本章将介绍曲线积分的基本概念、定义、性质和计算方法什么是曲线积分定义类型曲线积分是指在曲线上的积分，它表示曲线上的函数值的变曲线积分主要分为两类第一类曲线积分和第二类曲线积分化量曲线积分的几何意义第一类曲线积分第二类曲线积分计算曲线上的函数值的变化量，可以12计算曲线上的力对物体所做的功，可想象成曲线上的一个线密度函数“”以想象成曲线上的一个力函数“”第一类曲线积分的定义设是一条光滑曲线，函数在上连续，则第一类曲线积分定义为C fx,y C∫C fx,y ds=limn→∞∑i=1n fξi,ηiΔsi其中，是上第个弧段的长度，是第个弧段上的一个点Δsi Ciξi,ηi i第二类曲线积分的定义设是一条光滑曲线，函数和在上连续，则第二类曲线积分定义为C Px,y Qx,y C∫C Px,y dx+Qx,y dy=limn→∞∑i=1n[Pξi,ηiΔxi+Qξi,ηiΔyi]其中，是上第个弧段的投影长度，是第个弧段上的一个点Δxi,Δyi Ciξi,ηi i两类曲线积分的区别第一类曲线积分第二类曲线积分积分变量是弧长积分变量是坐标变量和ds dx dy积分对象是曲线上的函数值积分对象是曲线上的力或向量场几何意义计算曲线上的函数值几何意义计算曲线上的力对物的变化量体所做的功曲线积分的性质可加性设为一条分段光滑曲线，和为的两个子曲线，则C C1C2C∫C fx,y ds=∫C1fx,y ds+∫C2fx,y ds类似地，第二类曲线积分也具有可加性曲线积分的性质方向性曲线积分的方向性是指积分的方向会影响积分的值当积分方向相反时，积分的值也会相反∫C fx,y ds=-∫-C fx,y ds其中，表示的相反方向-C C曲线积分的计算方法概述参数方程法将曲线用参数方程表示，然后将积分变量替换为参数1变量直接法将曲线上的函数值直接代入积分公式进行计算2第一类曲线积分的计算步骤将曲线用参数方程表示计算弧长元素C xds ds=12∈=xt,y=yt,t[a,b]√[dx/dt2+dy/dt2]dt将和代入积分公式，并以参数为变量进行积分fx,y dst∫C fx,y ds3=∫ab fxt,yt√[dx/dt2+dy/dt2]dt第一类曲线积分示例1计算曲线上的第一类曲线积分，其中是圆周的上半部分，从点C C x2+y2=1到点，函数1,0-1,0fx,y=x2+y2解

1.将曲线C用参数方程表示x=cost,y=sint,t∈[0,π]

2.计算弧长元素ds ds=√[dx/dt2+dy/dt2]dt=dt

3.将fx,y和ds代入积分公式，并以参数t为变量进行积分∫Cfx,y ds=∫0πcos2t+sin2t dt=∫0πdt=π所以，第一类曲线积分的值为π第一类曲线积分示例2计算曲线上的第一类曲线积分，其中是直线段，从点到点，函数C Cy=x0,01,1fx,y=x+y解

1.将曲线C用参数方程表示x=t,y=t,t∈[0,1]

2.计算弧长元素ds ds=√[dx/dt2+dy/dt2]dt=√2dt

3.将fx,y和ds代入积分公式，并以参数t为变量进行积分∫C fx,y ds=∫01t+t√2dt=∫012t√2dt=√2所以，第一类曲线积分的值为√2第二类曲线积分的计算步骤将曲线用参数方程表示计算和Cxdx dy dx=dx/dt dt,12∈=xt,y=yt,t[a,b]dy=dy/dt dt将和代入积分公式，并以参数为变量进行积分Px,y,Qx,y,dxdyt3∫C Px,y dx+Qx,y dy=∫ab[Pxt,yt dx/dt+Qxt,yt dy/dt]dt第二类曲线积分示例1计算曲线上的第二类曲线积分，其中是圆周的上半部分，从点到点，函数C Cx2+y2=11,0-1,0Px,y=y,Qx,y=x解

1.将曲线C用参数方程表示x=cost,y=sint,t∈[0,π]

2.计算dx和dy dx=-sint dt,dy=cost dt

3.将Px,y,Qx,y,dx和dy代入积分公式，并以参数t为变量进行积分∫C Px,y dx+Qx,y dy=∫0π[sint-sint+cost cost]dt=∫0πcos2t-sin2t dt=π所以，第二类曲线积分的值为π第二类曲线积分示例2计算曲线上的第二类曲线积分，其中是直线段，从点到点，函数C Cy=x0,01,1Px,y=x2,Qx,y=y2解

1.将曲线C用参数方程表示x=t,y=t,t∈[0,1]

2.计算dx和dy dx=dt,dy=dt

3.将Px,y,Qx,y,dx和dy代入积分公式，并以参数t为变量进行积分∫C Px,ydx+Qx,y dy=∫01[t2dt+t2dt]=∫012t2dt=2/3所以，第二类曲线积分的值为2/3格林公式的引入格林公式是将第二类曲线积分与二重积分联系起来的公式，它在平面向量场的积分中发挥重要作用格林公式的条件为平面区域，其边界曲线为分段光滑的闭曲线，且的函数和在上具有连续的一阶偏导数D C C Px,y Qx,y D方向为正向（即逆时针方向）格林公式的应用格林公式可以用来计算第二类曲线积分的值证明一些与曲线积分

1.

2.相关的定理解决平面向量场中的问题，例如计算流速、磁场强度等

3.格林公式练习题试用格林公式计算曲线上的第二类曲线积分，其中是圆周，函C Cx2+y2=1数Px,y=x2y,Qx,y=xy2曲线积分与路径无关性如果第二类曲线积分的值与积分路径无关，则称该积分与路径无关路径无关性的条件第二类曲线积分与路径无关的充要条件是函数和在区域上具Px,y Qx,y D有连续的一阶偏导数，且满足条件∂Q/∂x=∂P/∂y路径无关性的判定方法计算函数和的偏导数验证偏导数是否满足条件

1.Px,y Qx,y

2.∂Q/∂x=如果满足条件，则积分与路径无关∂P/∂y

3.第二章面积分的基本概念面积分是微积分学中的另一面积分的应用同样广泛，例个重要概念，它是在曲面上如计算曲面的面积、体积、的积分通量等等本章将介绍面积分的基本概念、定义、性质和计算方法什么是面积分定义类型面积分是指在曲面上的积分，它表示曲面上函数值的变化量面积分主要分为两类第一类面积分和第二类面积分或向量场在曲面上的通量面积分的几何意义第一类面积分第二类面积分计算曲面上函数值的变化量，可以想12计算向量场穿过曲面的通量，可以想象成曲面上一个面密度函数象成曲面上一个向量场函数“”“”第一类面积分的定义设为一个曲面，函数在上连续，则第一类面积积分定义为S fx,y,z S∫S fx,y,z dS=limn→∞∑i=1n fξi,ηi,ζiΔSi其中，是上第个曲面片的面积，是第个曲面片上的一个点ΔSi Siξi,ηi,ζi i第二类面积分的定义设为一个光滑曲面，向量场在上连续S Fx,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk S，则第二类面积积分定义为∫S F·dS=∫S Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk·dSxi+dSyj+dSzk=∫S Px,y,z dSx+Qx,y,z dSy+Rx,y,z dSz其中，、、分别为上面积元素在轴、轴、轴上的投影面积dSx dSy dSz S x yz两类面积分的区别与联系第一类面积分第二类面积分积分变量是面积元素积分变量是坐标变量、、dS dSx dSy dSz积分对象是曲面上的函数值积分对象是曲面上的向量场几何意义计算曲面上函数值的变化量几何意义计算向量场穿过曲面的通量面积分的性质可加性如果为分段光滑曲面，和为的两个子曲面，则

1.S S1S2S∫S fx,y,z dS=∫S1fx,y,z dS+∫S2fx,y,z dS方向性面积分的积分方向也会影响积分的值，与曲线积分类似线

2.

3.性性面积积分对被积函数具有线性性质面积分的计算方法概述参数方程法将曲面用参数方程表示，然后将积分变量替换为参数1变量直接法将曲面上的函数值直接代入积分公式进行计算2第一类面积分的计算步骤将曲面用参数方程表示计算面积元素将和代入积分公式，并S x=dS dS=fx,y,z dS123∈以参数和为变量进行二重积分xu,v,y=yu,v,z=zu,v,u,v D||∂x,y/∂u,v||du dvu v∫S fx,y,z dS=∫∫D fxu,v,yu,v,zu,v||∂x,y/∂u,v||du dv第一类面积分示例1计算曲面上的第一类面积积分，其中是球面的上半部分，S Sx2+y2+z2=1函数fx,y,z=z解

1.将曲面S用参数方程表示x=r sinθcosφ,y=r∈sinθsinφ,z=r cosθ,θ,φD={θ,φ|0≤θ≤π/2,0≤φ≤2π}，其中r=

12.计算面积元素dS dS=||∂x,y/∂θ,φ||dθdφ=r2sinθdθdφ=sinθdθdφ

3.将fx,y,z和dS代入积分公式，并以参数θ和φ为变量进行二重积分∫S fx,y,z dS=∫∫D zsinθdθdφ=∫02π∫0π/2cosθsinθdθdφ=π所以，第一类面积积分的值为π第一类面积分示例2计算曲面上的第一类面积积分，其中是平面在区域S Sz=x+y D={x,y|0≤x≤1,上的投影，函数0≤y≤1}fx,y,z=x+y+z解

1.将曲面S用参数方程表示x=u,y=v,z=u+v,u,v∈D

2.计算面积元素dS dS=||∂x,y/∂u,v||du dv=√2dudv

3.将fx,y,z和dS代入积分公式，并以参数u和v为变量进行二重积分∫S fx,y,z dS=∫∫D u+v+u+v√2du dv=∫01∫012u+v√2du dv=2√2所以，第一类面积积分的值为2√2第二类面积分的计算步骤将曲面用参数方程表示计算面积元素、、将、Sx=dSxdSydSz Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z,dSx123∈、代入积分公式，并以参xu,v,y=yu,v,z=zu,v,u,v DdSx=||∂y,z/∂u,v||du dvdSy=dSydSz数和为变量进行二重积分||∂x,z/∂u,v||du dvdSz=u v∫S||∂x,y/∂u,v||du dvF·dS=∫∫D[Pxu,v,yu,v,zu,v||∂y,z/∂u,v||+Qxu,v,yu,v,zu,v||∂x,z/∂u,v||+Rxu,v,yu,v,zu,v||∂x,y/∂u,v||]du dv第二类面积分示例1计算曲面上的第二类面积积分，其中是平面在区域S Sz=1D={x,y|x2+y2≤上的投影，向量场1}Fx,y,z=xi+yj+zk解

1.将曲面S用参数方程表示x=u,y=v,z=1,u,v∈D

2.计算面积元素dSx、dSy、dSz dSx=||∂y,z/∂u,v||du dv=du dvdSy=||∂x,z/∂u,v||du dv=du dvdSz=||∂x,y/∂u,v||du dv=

03.将Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z,dSx、dSy、dSz代入积分公式，并以参数u和v为变量进行二重积分∫S F·dS=∫∫D[u dudv+v dudv+0]=∫02π∫01u+v rdr dθ=π所以，第二类面积积分的值为π第二类面积分示例2计算曲面上的第二类面积积分，其中是球面，向量场S Sx2+y2+z2=1Fx,y,z=xi+yj+zk解

1.将曲面S用球坐标表示x=sinθcosφ,y=sinθsinφ,z=cosθ,θ,φ∈D={θ,φ|0≤θ≤π,0≤φ≤2π}

2.计算面积元素dSx、dSy、dSz dSx=||∂y,z/∂θ,φ||dθdφ=sin2θcosφdθdφdSy=||∂x,z/∂θ,φ||dθdφ=sin2θsinφdθdφdSz=||∂x,y/∂θ,φ||dθdφ=sinθcosθdθdφ

3.将Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z,dSx、dSy、dSz代入积分公式，并以参数θ和φ为变量进行二重积分∫S F·dS=∫02π∫0π[sin3θcos2φ+sin3θsin2φ+sinθcos2θ]dθdφ=4π/3所以，第二类面积积分的值为4π/3高斯公式的引入高斯公式是将第二类面积积分与三重积分联系起来的公式，它在空间向量场的积分中发挥重要作用高斯公式的条件为空间区域，其边界曲面为分段光滑的闭曲面，且的方向为外侧V S S方向（即指向区域的外侧）V函数在上具有连续的一阶偏导数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z V高斯公式的应用高斯公式可以用来计算第二类面积积分的值证明一些与面积积分相关的定理解决空间向量场中的问题，例如计算

1.

2.

3.流速、磁场强度等高斯公式练习题试用高斯公式计算曲面上的第二类面积积分，其中是球面S Sx2+y2+z2=1，向量场Fx,y,z=xi+yj+zk斯托克斯公式的引入斯托克斯公式是将第二类曲线积分与第二类面积积分联系起来的公式，它在空间向量场的积分中发挥重要作用斯托克斯公式的条件为空间曲面，其边界曲线为分段光滑的闭曲线，且的方向为正S C C向（即逆时针方向）向量场在上具有连续的一阶偏导数Fx,y,z S斯托克斯公式的应用斯托克斯公式可以用来计算第二类曲线积分的值证明一些与曲线

1.

2.积分和面积积分相关的定理解决空间向量场中的问题，例如计算环量

3.、旋度等斯托克斯公式练习题试用斯托克斯公式计算曲线上的第二类曲线积分，其中是圆周C Cx2+y2=1，向量场Fx,y,z=yzi+xzj+xyk三大公式的联系与区别格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是向量场积分中的重要公式，它们之间存在着密切的联系格林公式是斯托克斯公式在平面向量场中的特例，而高斯公式是斯托克斯公式在空间中的推广三大公式的选择原则如果问题涉及平面向量场的积分，则使用格林公式如果问题涉及空

1.

2.间向量场的积分，且积分区域为封闭曲面，则使用高斯公式如果问题

3.涉及空间向量场的积分，且积分区域为开放曲面，则使用斯托克斯公式第三章综合应用曲线积分与面积分在物理学、工程学、经济学等领域有本章将通过一些具体的例子来讲解曲线积分和面积分的着广泛的应用，例如计算功、流量、通量、势能等等应用物理学中的应用实例计算力场对物体所做的功在力场中，曲线积分可以用来计算力场对物

1.体沿某一路径所做的功计算流体的流量在流体力学中，面积积分可

2.以用来计算流体穿过某一曲面的流量计算磁场的通量在电磁学中，

3.面积积分可以用来计算磁场穿过某一曲面的通量工程领域的应用实例计算工程结构的应力分布在结构力学中，曲线积分可以用来计算工程

1.结构的应力分布计算流体在管道中的流动速度在流体力学中，面积

2.积分可以用来计算流体在管道中的流动速度计算电磁场中的电势在

3.电磁学中，曲线积分可以用来计算电磁场中的电势经典例题解析1试计算曲线上的第一类曲线积分，其中是抛物线，从点到点CCy=x20,0，函数1,1fx,y=x+y经典例题解析2试计算曲面上的第二类面积积分，其中是平面在区域SSz=1D={x,y|x2+y2上的投影，向量场≤1}Fx,y,z=xi+yj+zk经典例题解析3试用斯托克斯公式计算曲线上的第二类曲线积分，其中是圆周CCx2+y2=1，向量场Fx,y,z=yzi+xzj+xyk常见题型总结计算曲线积分的值1判断曲线积分与路径无关性2应用格林公式、高斯公式或斯托克斯公式解决问题3计算面积积分的值4解题技巧与方法选择合适的计算方法根据具体问题选择参数方程法或直接法1注意积分方向曲线积分和面积积分的方向会影响积分的值2合理应用三大公式根据具体问题选择合适的公式进行计算3熟练掌握计算技巧例如利用对称性、奇偶性等技巧简化计算4易错点分析忽视积分方向1混淆第一类和第二类曲线积分、面积分的定义和计算方法2错误应用三大公式的条件3计算错误，例如积分变量的替换、偏导数的计算等4重点难点回顾曲线积分与面积分的概念和定义1第一类和第二类曲线积分、面积分的计算方法2格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用3路径无关性的判定方法4考试重点提示曲线积分和面积分的概念和定义1格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的条件和应用2曲线积分与路径无关性的判定方法3常见题型和解题技巧4本章小结与复习本章学习了曲线积分与面积分的概念、定义、性质和计算方法，并介绍了格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用希望通过本课件的学习，您能对曲线积分与面积分有更深入的理解，并能够应用这些知识解决实际问题在复习时，请重点关注本章的重点和难点，并尝试练习一些例题，以巩固所学知识。