《曲线积分与面积积分》课件

曲线积分与面积积分欢迎来到曲线积分与面积积分的世界！课程目标与学习要求目标要求深入理解曲线积分和面积积分的概念、性质和计算方法掌握格认真学习课本内容，积极参与课堂讨论，独立完成作业，并能独林公式、斯托克斯公式和高斯公式，并能灵活运用这些公式解决立完成相关计算和应用问题相关问题课程内容概览第一部分1曲线积分包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的定义、几何意义、物理意义和计算方法第二部分2曲面积分包括第一类曲面积分和第二类曲面积分的定义、几何意义、物理意义和计算方法第三部分3向量积分公式包括格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的引入、定理陈述、证明思路和应用实例第四部分4应用探讨曲线积分和面积积分在物理学中的应用第五部分5综合练习通过典型例题分析和综合练习题讲解，帮助学生巩固学习成果预备知识回顾向量运算向量加法向量减法向量乘法123两个向量相加，结果仍为向量，其向量减法可视为向量加法的逆运算向量乘法包括点乘和叉乘，点乘结大小和方向由平行四边形法则确定，即将被减向量加上减向量的相反果为一个标量，叉乘结果为一个向向量量预备知识回顾参数方程定义应用用一个参数来表示曲线上的点，使得曲线上的每一个点都可以用参数方程可以用来描述各种曲线，例如直线、圆、椭圆、抛物线该参数唯一确定等第一类曲线积分的概念第一类曲线积分是指对曲线上的函数值进行积分，它表示的是曲线上的函数值在曲线上的累积效应第一类曲线积分的几何意义面积体积当被积函数为曲线上的弧长时，第一类曲线积分表示的是曲当被积函数为曲线上的横截面积时，第一类曲线积分表示的线在空间中所包围的面积是曲线绕某一轴旋转后形成的旋转体的体积第一类曲线积分的物理意义功质量当被积函数为力场时，第一类曲线积当被积函数为线密度时，第一类曲线分表示的是力场在曲线上的作用积分表示的是曲线的质量第一类曲线积分的计算方法参数化1将曲线用参数方程表示，将积分变量替换为参数，将曲线积分转化为定积分分段积分2将曲线分成若干段，分别计算每一段上的积分，然后将结果相加第一类曲线积分计算实例1问题计算曲线在到之间的第一类曲线积分，y=x^20,01,1被积函数为fx,y=x+y参数化将曲线参数化，令，则，积分变量为，积分区x=t y=t^2t间为到01计算将代入积分公式，计算定积分fx,y=x+y第一类曲线积分计算实例2计算参数化将代入积分公式，计fx,y=x^2+y^2问题将曲线参数化，令，算定积分x=cost y=sint计算曲线为单位圆，被积函数为，积分变量为，积分区间为到C fx,y t02π的第一类曲线积分=x^2+y^2第二类曲线积分的引入第二类曲线积分是指对向量场在曲线上的线积分，它表示的是向量场在曲线上的累积效应第二类曲线积分的定义设向量场，曲线的参数方程为，，则第二类曲线积分定义为Fx,y=Px,y,Qx,y Cx=xt y=yt第二类曲线积分的几何意义面积体积当向量场为曲线的切线方向时当向量场为曲线的法线方向时Fx,y=Px,y,Qx,y CFx,y=Px,y,Qx,y C，第二类曲线积分表示的是曲线所包围的面积，第二类曲线积分表示的是曲线绕某一轴旋转后形成的旋C C转体的体积第二类曲线积分的物理意义力功当向量场当向量场Fx,y=Px,y,Qx,y Fx,y=Px,y,Qx,y为力场时，第二类曲线积分表示的是为力场时，第二类曲线积分表示的是力场在曲线上的作用力场在曲线上的功第二类曲线积分的计算方法参数化1将曲线用参数方程表示，将积分变量替换为参数，将曲线积分转化为定积分分段积分2将曲线分成若干段，分别计算每一段上的积分，然后将结果相加第二类曲线积分计算实例1问题计算向量场在直线从到上Fx,y=x,y y=x0,01,1的第二类曲线积分参数化将直线参数化，令，则，积分变量为，积分区间x=t y=t t为到01计算将代入积分公式，计算定积分Fx,y=x,y第二类曲线积分计算实例2问题计算向量场在单位圆上的第二类曲线积分Fx,y=y,x参数化将单位圆参数化，令，，积分变量为，积分区x=cost y=sint t间为到02π计算将代入积分公式，计算定积分Fx,y=y,x两类曲线积分的联系与区别联系区别第一类曲线积分是对曲线上的函数值进行积分，而第二类曲线积第一类曲线积分的被积函数是一个标量函数，而第二类曲线积分分是对向量场在曲线上的线积分它们都是对曲线上的量进行积的被积函数是一个向量函数分曲线积分与路径无关的条件当曲线积分的值与积分路径无关时，称该曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关的条件是向量场为保守场，即存在一个标量势函数，φFx,y x,y使得∇φFx,y=x,y格林公式的引入格林公式将平面区域上的二重积分与该区域边界上的曲线积分联系起来，它可以将二重积分转化为曲线积分，反之亦然格林公式的定理陈述设为平面区域，其边界曲线为分段光滑的闭曲线，方向为逆时针方向，则向量场在上的二重积分D CFx,y=Px,y,Qx,y D等于向量场在上的第二类曲线积分，即Fx,y C格林公式的证明思路格林公式的证明可以利用二重积分的定义和曲线积分的定义，以及偏导数的性质来进行推导具体证明过程需要将平面区域分割成D若干个小矩形，然后利用二重积分的定义和曲线积分的定义来进行计算格林公式的应用实例1问题计算向量场在圆形区域Fx,y=x^2,y^2D x^2+y^2≤上的二重积分1应用格林公式将二重积分转化为圆周上的第二类曲线积分，然后用参数方C程计算曲线积分格林公式的应用实例2问题计算曲线为由直线，和围成的三角形，向量场C y=x y=-x x=1Fx,在上的第二类曲线积分y=x^2+y^2,xy C应用格林公式将曲线积分转化为三角形区域上的二重积分，然后用二重积分的D计算方法计算二重积分第一类曲面积分的概念第一类曲面积分是指对曲面上的函数值进行积分，它表示的是曲面上的函数值在曲面上的累积效应第一类曲面积分的几何意义体积质量当被积函数为曲面上的面积元素时，第一类曲面积分表示的当被积函数为曲面上的密度时，第一类曲面积分表示的是曲是曲面在空间中所包围的体积面的质量第一类曲面积分的物理意义压力通量当被积函数为压力时，第一类曲面积分表示的是压力在曲面上的当被积函数为流量密度时，第一类曲面积分表示的是流体通过曲作用力面的通量第一类曲面积分的计算方法参数化1将曲面用参数方程表示，将积分变量替换为参数，将曲面积分转化为二重积分分段积分2将曲面分成若干段，分别计算每一段上的积分，然后将结果相加第一类曲面积分计算实例1问题参数化计算计算曲面在圆形区域将曲面参数化，令，将代入积分公式，计算二θz=x^2+y^2D x=rcosy=fx,y,z=z上的第一类曲面积分，θ，，积分变量为和θ，重积分x^2+y^2≤1rsinz=r^2r被积函数为积分区域为，θfx,y,z=z0≤r≤10≤≤2π第一类曲面积分计算实例2问题计算曲面为球面的上半部分，被积函数为S x^2+y^2+z^2=1fx,的第一类曲面积分y,z=z参数化将曲面参数化，令，，φθφθφx=sin cosy=sin sinz=cos，积分变量为和，积分区域为，φθφθ0≤≤π/20≤≤2π计算将代入积分公式，计算二重积分fx,y,z=z第二类曲面积分的引入第二类曲面积分是指对向量场在曲面上的面积分，它表示的是向量场在曲面上的累积效应第二类曲面积分的定义设向量场，曲面的参数方程为，，，则第二类曲面积Fx,y,z=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z Sx=xu,v y=yu,v z=zu,v分定义为第二类曲面积分的几何意义体积当向量场为曲面的法线Fx,y,z=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z S方向时，第二类曲面积分表示的是曲面所包围的体积S流量当向量场为流体速度场时Fx,y,z=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z，第二类曲面积分表示的是流体通过曲面的流量第二类曲面积分的物理意义力通量当向量场当向量场Fx,y,z=Px,y,z,Fx,y,z=Px,y,z,为力场时，第为电场或磁场Qx,y,z,Rx,y,z Qx,y,z,Rx,y,z二类曲面积分表示的是力场在曲面上时，第二类曲面积分表示的是电场或的作用力磁场的通量第二类曲面积分的计算方法参数化1将曲面用参数方程表示，将积分变量替换为参数，将曲面积分转化为二重积分分段积分2将曲面分成若干段，分别计算每一段上的积分，然后将结果相加第二类曲面积分计算实例1问题计算向量场在曲面为平面，Fx,y,z=x,y,z Sz=1x^2上的第二类曲面积分+y^2≤1参数化将曲面参数化，令，，，积分变θθx=rcosy=rsinz=1量为和，积分区域为，θθr0≤r≤10≤≤2π计算将代入积分公式，计算二重积分Fx,y,z=x,y,z第二类曲面积分计算实例2计算参数化将代入积分公式，计Fx,y,z=z,x,y问题将曲面参数化，令，φθ算二重积分x=sin cosy=计算向量场在曲面，，积分变量为φθφφFx,y,z=z,x,y Ssin sinz=cos为球面上的第二类和，积分区域为，θφθx^2+y^2+z^2=10≤≤π0≤≤2π曲面积分两类曲面积分的联系与区别联系区别第一类曲面积分是对曲面上的函数值进行积分，而第二类曲面积第一类曲面积分的被积函数是一个标量函数，而第二类曲面积分分是对向量场在曲面上的面积分它们都是对曲面上的量进行积的被积函数是一个向量函数分斯托克斯公式的引入斯托克斯公式将曲面上的第二类曲面积分与该曲面的边界曲线上的第二类曲线积分联系起来，它可以将曲面积分转化为曲线积分，反之亦然斯托克斯公式的定理陈述设为光滑的曲面，其边界曲线为分段光滑的闭曲线，方向为逆时针方向，则向量场S CFx,y,z=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在上的第二类曲面积分等于向量场在上的第二类曲线积分，即S Fx,y,z C斯托克斯公式的证明思路斯托克斯公式的证明可以利用曲面积分的定义和曲线积分的定义，以及偏导数的性质来进行推导具体证明过程需要将曲面分割成若干个小三角形，S然后利用曲面积分的定义和曲线积分的定义来进行计算斯托克斯公式的应用实例1问题应用斯托克斯公式计算向量场在曲面为圆柱面将曲面积分转化为圆周上的第二类曲线积分，然后用参数方Fx,y,z=y,z,x Sx^2+y^2C，的上半部分上的第二类曲面积分程计算曲线积分=10≤z≤1斯托克斯公式的应用实例2问题计算曲线为由直线，和围成的三角形，向量场C y=x y=-x x=1Fx,在上的第二类曲线积分y,z=z,x,y C应用斯托克斯公式将曲线积分转化为三角形区域上的第二类曲面积分，然后用二重D积分的计算方法计算二重积分高斯公式的引入高斯公式将空间区域上的三重积分与该区域边界曲面上的第二类曲面积分联系起来，它可以将三重积分转化为曲面积分，反之亦然高斯公式的定理陈述设为空间区域，其边界曲面为分段光滑的闭曲面，方向为外法线方向，则向量场在V SFx,y,z=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z上的三重积分等于向量场在上的第二类曲面积分，即V Fx,y,z S高斯公式的证明思路高斯公式的证明可以利用三重积分的定义和曲面积分的定义，以及偏导数的性质来进行推导具体证明过程需要将空间区域分割成V若干个小立方体，然后利用三重积分的定义和曲面积分的定义来进行计算高斯公式的应用实例1问题计算向量场在球形区域Fx,y,z=x^2,y^2,z^2V x^2+上的三重积分y^2+z^2≤1应用高斯公式将三重积分转化为球面上的第二类曲面积分，然后用参数方S程计算曲面积分高斯公式的应用实例2问题计算向量场在长方体区域Fx,y,z=x,y,z V0≤x≤1,0≤y≤1,0上的三重积分≤z≤1应用高斯公式将三重积分转化为长方体表面上的第二类曲面积分，然后用参数方S程计算曲面积分三大公式的联系与区别联系区别格林公式、斯托克斯公式和高斯公式都是向量积分公式，它们将格林公式适用于平面区域，斯托克斯公式适用于曲面，高斯公式不同维度的积分联系起来，可以将高维积分转化为低维积分适用于空间区域曲线积分在物理中的应用功计算力场在曲线上的作用，例如计算重力场中物体沿曲线运动的功磁场计算磁场在曲线上的线积分，例如计算磁场在导线上的作用力曲面积分在物理中的应用通量压力计算流体或电磁场穿过曲面的通量，计算压力在曲面上的作用力，例如计例如计算流体通过管道壁的流量，计算水压在水坝上的作用力算电场穿过闭合曲面的通量重点难点总结计算技巧1参数化分段积分二重积分和三重积分熟练掌握将曲线和曲面用参数方程表学会将曲线和曲面分成若干段，分别掌握二重积分和三重积分的计算方法示的方法，以及将积分变量替换为参计算每一段上的积分，然后将结果相，特别是用极坐标和球坐标进行积分数的方法加的方法重点难点总结公式应用2格林公式斯托克斯公式高斯公式学会将二重积分转化为曲线积分，反之学会将曲面积分转化为曲线积分，反之学会将三重积分转化为曲面积分，反之亦然，并能灵活运用格林公式解决相关亦然，并能灵活运用斯托克斯公式解决亦然，并能灵活运用高斯公式解决相关问题相关问题问题典型例题分析与解答1已知向量场，曲面为球面的上半Fx,y,z=x,y,z Sx^2+y^2+z^2=1部分，试计算向量场在上的第二类曲面积分Fx,y,z S典型例题分析与解答2已知向量场，曲线为单位圆，方向为逆时针方向Fx,y=x^2+y^2,xy C，试计算向量场在上的第二类曲线积分Fx,y C典型例题分析与解答3已知向量场，平面区域为由直线，和围Fx,y=y,x Dy=x y=-x x=1成的三角形，试计算向量场在上的二重积分Fx,y D综合练习题讲解1已知向量场，曲面为圆柱面，的上半部分，试计算向量场在上的第二类曲Fx,y,z=z,x,y Sx^2+y^2=10≤z≤1Fx,y,z S面积分综合练习题讲解2已知向量场，空间区域为球形区域，试计算向量场在上的三重积Fx,y,z=x^2,y^2,z^2V x^2+y^2+z^2≤1Fx,y,z V分考试重点提示概念理解牢固掌握曲线积分和面积积分的概念、性质和计算方法公式应用熟练掌握格林公式、斯托克斯公式和高斯公式，并能灵活运用这些公式解决相关问题计算技巧掌握参数化、分段积分等计算技巧，以及用极坐标和球坐标进行积分的方法物理应用理解曲线积分和面积积分在物理学中的应用，例如功、通量、压力等。