分式与分式方程复习教学课件

分式与分式方程复习欢迎来到分式与分式方程的复习课程！本次课程旨在帮助大家系统回顾分式与分式方程的核心概念、性质和运算，并通过典型例题和易错点分析，提升解题能力和应试技巧我们将一起梳理知识结构，掌握解题方法，攻克学习难点，为后续学习打下坚实基础课程目标掌握分式的基本概念和性质1理解分式的定义、有意义的条件、值为零的条件以及基本性质，能够熟练进行分式的约分和通分熟练进行分式的运算2掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算，能够进行混合运算，并能灵活运用运算技巧简化计算掌握分式方程的解法3理解分式方程的定义，掌握解分式方程的步骤，能够正确验根，并能判断增根运用分式方程解决实际问题4能够运用分式方程解决行程问题、工程问题、顺水逆水问题和利润问题等实际问题，提高解决实际问题的能力知识结构框架分式的定义与性质1包括分式的定义、有意义的条件、值为零的条件、基本性质（约分、通分）分式的运算2包括分式的加减乘除运算、乘方运算、混合运算以及整数指数幂的运算分式方程3包括分式方程的定义、解分式方程的步骤、验根以及增根的概念分式方程的应用4包括列分式方程解应用题的步骤以及解决各类实际问题（行程问题、工程问题等）分式的定义分式是一种代数式，它表示两个整式相除，其中分子和分母都是整式，且分母必须含有字母一般形式为A/B，其中A和B都是整式，B中含有未知数分式是代数的重要组成部分，广泛应用于数学、物理、工程等领域例如，x+1/x-

2、2y/y^2+1都是分式，而3/

5、a+b/2则不是分式，因为它们的分母不含字母理解分式的定义是学习分式的关键，只有掌握了分式的基本概念，才能更好地理解和运用分式的性质和运算分式有意义的条件分母不能为零为什么分母不能为零应用举例分式A/B有意义的条件是分母B不能为零如果分母为零，则分式的值无法确定，这例如，分式x+1/x-2有意义的条件是，即B≠0如果分母B等于零，则分式在数学上是没有意义的因此，在讨论分x-2≠0，即x≠2当x=2时，分式无意无意义这是因为除数不能为零的数学规式时，必须首先明确分母不为零的条件义则分式值为零的条件分子为零且分母不为零为什么需要分母不为零分式A/B的值为零的条件是分子如果分母B等于零，则分式无意A等于零，且分母B不等于零，义，因此即使分子A等于零，也即A=0且B≠0如果分子A等于不能使分式的值为零必须同时满零，但分母B也等于零，则分式足分子为零且分母不为零的条件无意义，而不是值为零应用举例例如，分式x-1/x+2的值为零的条件是x-1=0且x+2≠0，即x=1当x=1时，分式的值为零分式的基本性质分子分母同乘或同除分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变用式子表示为A/B=A×C/B×C=A÷C/B÷C，其中C≠0约分利用分式的基本性质，将分式的分子和分母同时除以它们的最大公因式，化简分式，使其成为最简分式这是分式化简的重要方法通分利用分式的基本性质，将几个分母不同的分式化为同分母的分式这是分式加减运算的基础分式的约分寻找最大公因式分子分母同除结果检验确定分式分子和分母的将分子和分母同时除以检查约分后的分子和分最大公因式，即它们共它们的最大公因式，得母是否还有公因式，确同包含的因式中次数最到最简分式约分后的保已经约分到最简形式高的因式分式与原分式的值相等，但形式更简单分式的通分确定各分式的扩大因式2对于每个分式，用最简公分母除以该分式的分母，得到该分式的扩大因式确定最简公分母找出各分式分母的最简公分母，即各分母所1分子分母同乘有因式的最高次幂的乘积将每个分式的分子和分母同时乘以该分式的扩大因式，使各分式都变为以最简公分母为分母的分式3分式运算的法则加减1同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，再按同分母分式加减法则进行计算乘法2分式乘分式，用分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母除法3分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘乘方4分式的乘方，把分子、分母分别乘方同分母分式加减分母不变1同分母分式相加减，结果的分母与原分式的分母相同分子相加减2将各分式的分子进行加减运算，注意符号的正确使用结果化简3将计算结果进行化简，约分到最简形式异分母分式加减通分同分母加减结果化简先将各异分母分式通分，化为同分母的分然后按照同分母分式加减的法则进行计算最后将计算结果进行化简，约分到最简形式，分母不变，分子相加减式分式的乘法分子相乘分母相乘12将各分式的分子相乘，得到结将各分式的分母相乘，得到结果的分子果的分母结果化简3将计算结果进行化简，约分到最简形式分式的除法除式颠倒转化为乘法将除式的分子和分母颠倒位置，变将分式的除法转化为乘法，即乘以为其倒数除式的倒数结果化简将计算结果进行化简，约分到最简形式分式的乘方分母乘方2将分式的分母进行乘方运算分子乘方1将分式的分子进行乘方运算结果化简将计算结果进行化简，约分到最简形式3混合运算的顺序先乘方1先进行乘方运算，即计算分式的幂再乘除2然后进行乘除运算，从左到右依次计算后加减3最后进行加减运算，也从左到右依次计算有括号先算括号内4如果表达式中有括号，先计算括号内的表达式，遵循先小括号、再中括号、最后大括号的顺序整数指数幂正整数指数幂a^n表示n个a相乘，其中n是正整数零指数幂任何不为零的数的零次幂都等于1，即a^0=1a≠0负整数指数幂a^-n表示a^n的倒数，即a^-n=1/a^n a≠0，n是正整数负整数指数幂的意义倒数表示方法应用举例负整数指数幂表示一个a^-n=1/a^n，其中例如，2^-3=1/2^3数的正整数指数幂的倒a≠0，n是正整数=1/8数科学计数法形式科学计数法是一种表示大数或小数的方法，其形式为a×10^n，其中1≤|a|10，n为整数1确定a2将原数的小数点移动，使绝对值大于等于1且小于10，得到a确定n3n等于小数点移动的位数，当原数大于1时，n为正整数；当原数小于1时，n为负整数分式方程的定义含有分式方程举例说明分式方程是指分母中含有未知数的方程分式方程仍然是一种方程，需要满足方程例如，x+1/x-2=

3、2/y+1+y=5都也就是说，方程中至少有一个分式的分母的基本特征，即含有未知数和等号是分式方程，而x+1=

2、y^2+3y=0则包含未知数不是分式方程分式方程与整式方程的区别分母是否含未知数解法不同需要验根123分式方程的分母中含有未知数，而整解分式方程需要去分母，而解整式方解分式方程需要验根，以判断是否产式方程的分母中不含未知数程则不需要生增根，而解整式方程则不需要验根解分式方程的步骤去分母1在方程的两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程解整式方程2解所得的整式方程，求出未知数的值验根3将求得的未知数的值代入最简公分母，看其值是否为零如果为零，则原方程无解；如果不为零，则求得的未知数的值是原方程的解写解4将方程的解写出来去分母找最简公分母方程两边同乘确定分式方程中各分式的最简公分将方程的两边同时乘以最简公分母母，即各分母所有因式的最高次幂，目的是消去分母，将分式方程转的乘积化为整式方程注意，方程的每一项都要乘以最简公分母，包括不含分式的项注意符号在去分母的过程中，要注意符号的变化，特别是分子是多项式时，去分母后要整体乘以最简公分母解整式方程合并同类项2将方程两边的同类项合并，使方程简化移项1将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号系数化为1将未知数的系数化为1，得到未知数的值3验根代入检验1将解得的整式方程的根代入原分式方程的最简公分母中判断2如果最简公分母的值不为零，那么这个根就是原分式方程的根；如果最简公分母的值为零，那么这个根就是原分式方程的增根，原分式方程无解写结论3根据检验的结果，写出原分式方程的解或说明原分式方程无解验根的必要性保证解的正确性避免错误结论严谨的数学态度由于分式方程在去分母的过程中，可能扩如果不验根，可能会将增根误认为是原分验根是解分式方程的重要步骤，体现了严大了未知数的取值范围，因此需要验根来式方程的解，导致结论错误谨的数学态度和规范的解题习惯排除增根，保证求得的解是原分式方程的解增根的定义不是原方程的解增根是指在解分式方程的过程中，通过去分母等步骤得到的整式方程的解，但这个解并不满足原分式方程，即代入原分式方程后，分母为零产生的原因增根的产生是由于分式方程在去分母时，扩大了未知数的取值范围，使得一些原本不能作为解的值也成为了整式方程的解必须舍去增根不是原分式方程的解，必须舍去，不能作为最终的答案如何判断增根代入最简公分母判断分母是否为零舍去增根将解得的整式方程的根如果最简公分母的值为将判断出的增根舍去，代入原分式方程的最简零，则该根为增根；如不能作为原分式方程的公分母中果最简公分母的值不为解零，则该根不是增根分式方程的应用行程问题1涉及路程、速度、时间等因素的问题，如相遇问题、追及问题等工程问题2涉及工作量、工作效率、工作时间等因素的问题，如合作完成问题、单独完成问题等顺水逆水问题3涉及船在水中航行时，受到水流的影响的问题利润问题4涉及成本、售价、利润等因素的问题列分式方程解应用题的步骤审题1仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题设未知数2根据题意，选择合适的未知数，并用字母表示列方程3根据题中的等量关系，列出分式方程解方程4解所列的分式方程，求出未知数的值验根5检验所求的根是否为原分式方程的增根，并检验是否符合实际意义作答6根据题意，写出完整的答案审题理解题意明确已知条件12仔细阅读题目，确保理解题目找出题目中给出的已知数据和所描述的情境和要求关系，并将其整理清楚确定所求问题3明确题目要求解答的问题，并思考如何利用已知条件来解决问题设未知数直接设间接设注意单位直接将题目所求的量设为未知数根据题意，将与所求量相关的量设为未在设未知数时，要注意单位的统一，确知数，然后通过关系式求得所求量保列出的方程具有实际意义列方程用代数式表示用含有未知数的代数式来表示等量关系中的2各个量寻找等量关系根据题意，找出题目中存在的等量关系1，即两个量相等的关系列出方程3根据等量关系，将代数式用等号连接起来，列出方程解方程去分母1将分式方程转化为整式方程解整式方程2求出未知数的值检验3检验所求的根是否为原分式方程的增根验根（双重验根）分式方程验根实际意义验根双重保证将所求的根代入原分式方程的最简公分母将所求的根代入实际问题中，看其是否符只有同时通过分式方程验根和实际意义验中，看其值是否为零，判断是否为增根合实际意义，如时间、速度、数量等不能根，才能确定所求的根是符合题意的解为负数作答完整表达符合题意12用完整的语言写出答案，包括确保答案符合题目的要求，如数值和单位题目要求求什么，就回答什么检查3检查答案是否合理，是否符合实际意义，是否遗漏了信息行程问题基本关系路程=速度×时间1相遇问题2两人同时出发，相向而行，相遇时，两人所走的路程之和等于总路程追及问题3两人同时出发，同向而行，追及时，两人所走的路程之差等于原来的距离工程问题基本关系合作完成单独完成工作量=工作效率×工作时间多人合作完成一项工作，各人所完成的工某人单独完成一项工作，其所完成的工作作量之和等于总工作量量等于总工作量顺水逆水问题顺水速度逆水速度等量关系顺水速度=静水速度+逆水速度=静水速度-在顺水和逆水中，路程水流速度水流速度相等时，可以利用路程=速度×时间列方程利润问题利润率2利润率=售价-成本/成本×100%利润1利润=售价-成本售价售价=成本×1+利润率3例题讲解分式的化简例题解题思路解题步骤化简x^2-4/x^2+4x+4先将分子和分母进行因式分解，然后约原式=[x+2x-2]/[x+2^2]=x-分2/x+2例题讲解分式的运算例题1计算x/x-1-1/x+1解题思路2先通分，然后进行加减运算，最后化简解题步骤3原式=[xx+1-x-1]/[x-1x+1]=x^2+x-x+1/x^2-1=x^2+1/x^2-1例题讲解解分式方程例题解题思路解题步骤解方程2/x-1=1/x+2先去分母，然后解整式方程，最后验根去分母得2x+2=x-1，解得x=-5，验根当x=-5时，x-1x+2≠0，所以x=-5是原方程的解例题讲解分式方程的应用行程问题-例题解题思路解题步骤123甲、乙两人同时从A地出发到B地，设A、B两地之间的距离为x千米，根设乙的速度为v千米/小时，则甲的速甲的速度是乙的速度的

1.5倍，结果甲据甲、乙两人所用的时间差列方程度为

1.5v千米/小时，列方程x/v-比乙早到2小时，求A、B两地之间的x/

1.5v=2，解得x=6v，因为v距离未知，所以需要根据实际情况进行分析例题讲解分式方程的应用工程问题-例题解题思路解题步骤一项工程，甲单独做需要10天完成，乙设两人合作需要x天完成，根据甲、乙设总工作量为1，则甲的工作效率为1/10单独做需要15天完成，两人合作需要多两人所完成的工作量之和等于总工作量，乙的工作效率为1/15，列方程x/10少天完成？列方程+x/15=1，解得x=6，所以两人合作需要6天完成例题讲解分式方程的应用利润问题-解题思路2设最多可以降价x元，根据利润不低于例题10%列方程某商品进价为100元，售价为150元，后1因市场变化，商家决定降价销售，但要保证利润不低于10%，问最多可以降价多少元？解题步骤列方程150-x-100/100≥10%，解3得x≤40，所以最多可以降价40元易错点分析分式有意义的条件忽视分母1容易忽视分母不为零的条件，直接进行计算，导致错误错误判断2错误判断分母何时为零，导致求出的解不正确解决方法3在计算分式之前，一定要先明确分母不为零的条件易错点分析分式值为零的条件只考虑分子混淆概念解决方法只考虑分子为零，而忽略分母不为零的条将分式值为零的条件与分式无意义的条件要同时满足分子为零且分母不为零的条件件，导致错误混淆，导致错误，才能使分式的值为零易错点分析分式运算符号错误加减运算除法运算12在进行分式加减运算时，容易在进行分式除法运算时，容易出现符号错误，特别是分子是忘记将除式的分子、分母颠倒多项式时位置解决方法3在进行分式运算时，要特别注意符号的变化，确保计算的正确性易错点分析解分式方程忘记验根忽视验根错误结论解决方法解分式方程后，忘记验根，导致将增根由于没有验根，导致得出错误的结论解分式方程后，一定要进行验根，判断误认为是原方程的解是否产生增根易错点分析应用题审题不清忽略条件2忽略题目中的某些条件，导致列出的方程不完整理解错误1对题意理解错误，导致列出的方程不正确解决方法在解应用题时，一定要仔细审题，理解题3意，明确已知条件和所求问题巩固练习选择题题目类型1选择题主要考查对基本概念、性质和运算的掌握程度解题技巧2可以采用直接法、排除法、代入法等解题技巧注意事项3要注意审题，避免粗心大意，选择正确的答案巩固练习填空题题目类型填空题主要考查对基本概念、性质和运算的灵活运用能力解题技巧要根据题意，选择合适的方法进行计算，得出正确的答案注意事项要注意单位的统一，答案要简洁明了巩固练习计算题题目类型解题步骤注意事项计算题主要考查对分式要按照运算顺序，逐步要将计算结果化简到最运算的熟练程度进行计算，注意符号的简形式变化巩固练习解方程解题步骤2要按照解分式方程的步骤，逐步进行计算，注意验根题目类型1解方程主要考查对分式方程解法的掌握程度注意事项要判断是否产生增根，写出正确的解3巩固练习应用题题目类型1应用题主要考查运用分式方程解决实际问题的能力解题步骤2要按照列分式方程解应用题的步骤，逐步进行分析和计算，注意验根和实际意义注意事项3答案要符合题意，表达完整拓展提高综合应用综合题目解题思路能力提升综合应用题是将分式、分式方程与其它知要灵活运用所学知识，进行综合分析和计通过解决综合应用题，可以提高解题能力识点结合起来的题目，难度较高算，才能解决问题和思维能力思考题更复杂的化简运算题目类型解题思路能力提升123更复杂的化简运算涉及多个分式的加要灵活运用分式的基本性质和运算规通过解决更复杂的化简运算，可以提减乘除乘方运算，难度较高则，逐步进行化简，注意符号的变化高计算能力和思维能力总结本章重点分式的定义与性质分式的运算理解分式的定义、有意义的条件、值为零的条件以及基本性质掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算，能够进行混合运算分式方程分式方程的应用掌握分式方程的解法，能够正确验根，并能判断增根能够运用分式方程解决实际问题，提高解决实际问题的能力总结学习方法熟练运算2要熟练掌握分式的运算规则，多加练习，提高计算能力理解概念1要真正理解分式与分式方程的概念，掌握其本质特征灵活应用要灵活运用分式方程解决实际问题，提高3解决实际问题的能力。