导数的定义与应用课件

导数的定义与应用欢迎来到导数的奇妙世界！本课件将带您深入理解导数的概念，掌握导数的计算方法，并学习如何将导数应用于解决实际问题从生动的例子出发，我们将逐步探索导数的几何意义、物理意义，以及它在函数单调性、极值、最值等方面的应用让我们一起开启这段数学之旅，发现导数的强大力量！课程目标理解导数概念掌握导数计算应用导数解决问题123掌握导数的本质，了解导数与函数熟练运用导数公式和运算法则，能能够运用导数解决函数单调性、极变化率的关系，能够从不同角度理够正确计算常见函数的导数，包括值、最值等问题，以及实际应用中解导数的内涵复合函数、隐函数、参数方程的导的优化问题、运动学问题、经济学数问题等导数是什么？一个生动的例子想象一下更抽象地说......你正在骑自行车上坡有时你骑得很快，有时你骑得很慢导导数描述的是一个函数在某一点附近变化的快慢如果函数变数就像一个测量仪，可以告诉你在任何特定时刻你的速度有多快化很快，导数就很大；如果函数变化很慢，导数就很小函数的平均变化率定义设函数在区间上有定义，则平均变化率y=fx[x1,x2]为fx2-fx1/x2-x1理解平均变化率表示函数在某一段区间内的平均变化速度它可以用来描述函数在该区间内的整体变化趋势举例如果表示时间，表示距离，那么平均变化率就是平均速度x y平均变化率的几何意义割线斜率平均变化率对应于函数图像上两点连线的斜率，这条线被称为割线几何解释割线斜率反映了函数在该区间内的平均倾斜程度斜率越大，函数在该区间内增长越快；斜率越小，函数在该区间内增长越慢函数在一点处的瞬时变化率逼近的思想1想象一下，我们不断缩小平均变化率的区间，让[x1,x2]越来越接近当无限接近时，平均变化率就x2x1x2x1趋近于函数在处的瞬时变化率x1定义2函数在处的瞬时变化率为y=fx x0lim x-x0fx，如果这个极限存在-fx0/x-x0意义3瞬时变化率反映了函数在某一点处的精确变化速度它是导数的核心概念瞬时速度的概念物理背景数学描述意义瞬时速度是物理学中一个重要的概念，它如果表示物体在时刻的位置，那瞬时速度反映了物体在某一时刻运动的快st t描述了物体在某一时刻的速度么物体在时刻的瞬时速度就是慢和方向t0st0，即位置函数在处的导数t0切线斜率的概念数学描述2函数在处的切线斜率就y=fx x0是，即函数在处的导数fx0x0几何背景1切线是几何学中一个重要的概念，它描述了一条直线与曲线在某一点相切的状态意义切线斜率反映了曲线在某一点处的倾斜3程度它与瞬时变化率密切相关导数的定义精确的数学描述定义关键点设函数在的某个邻域内有定义，如果极限导数是一个极限值，它必须存在才能说函数在该点可导导数描y=fx x0lim存在，则称函数在述的是函数在某一点附近变化的快慢x-x0fx-fx0/x-x0fx处可导，并称此极限为函数在处的导数，记作x0fx x0fx0导数的符号表示符号含义函数在处的导数fx0fx x0函数在处的导数dy/dx|x=x0y x0函数在处的导数y|x=x0y x0导数的几何意义切线切线方程几何解释应用曲线在点处的切导数就是切线的斜率，它反映了利用导数可以求曲线在某一点处的切线y=fx x0,fx0fx0线方程为曲线在点处的倾斜程度方程，这在几何问题中非常有用y-fx0=fx0x-x0x0,fx0导数的物理意义速度速度加速度如果表示物体在时刻的速度的导数就是加速度，它描述st t位置，那么就是物体在了速度变化的快慢st t时刻的速度应用利用导数可以研究物体的运动规律，解决运动学问题导函数导数的集合定义1如果函数在其定义域内的每一点都可导，那么对于每一个fx，都对应一个导数值所有这些导数值的集合就构成了导x fx求导函数函数，记作2fx求导函数的过程称为求导或微分意义3导函数描述了函数在其定义域内的整体变化趋势它是研究函数性质的重要工具求导函数的一般步骤求增量算比值取极限求出计算平均变化率求极限Δy=fx+Δx-fxΔy/Δx limΔx-0，得到导函数Δy/Δx fx例题求的导函数y=x^2步骤结论求增量所以，的导函数是

1.Δy=x+Δx^2-x^2=2xΔx+Δx^2y=x^2y=2x算比值

2.Δy/Δx=2x+Δx取极限

3.limΔx-0Δy/Δx=2x练习求的导函数y=1/x提示答案按照求导函数的一般步骤进行计算y=-1/x^2几种常见函数的导数公式常数函数幂函数,函数导数常数函数y=Cy=0幂函数y=x^ny=nx^n-1几种常见函数的导数公式指数函数对数函数,指数函数，y=a^x a0,a≠1y=a^x*lna对数函数，y=logax a0,a≠1y=1/x*lna三角函数的导数正弦函数,余弦函数正弦函数1，y=sinx y=cosx余弦函数2，y=cosx y=-sinx导数公式总结表函数导数常数函数C0幂函数x^nnx^n-1指数函数a^xa^x*lna对数函数logax1/x*lna正弦函数sinxcosx余弦函数cosx-sinx导数的四则运算加法和减法加法减法说明函数的和或差的导数，等于各个函数导ux+vx=ux+vx ux-vx=ux-vx数的和或差导数的四则运算乘法公式ux*vx=ux*vx+ux*vx说明两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数导数的四则运算除法公式1ux/vx=ux*vx-ux*vx/vx^2vx≠0说明2两个函数商的导数，等于分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数，再除以分母的平方复合函数的导数链式法则链式法则说明设，，则复合函数的导数，等于外层函数对中间变量的y=fu u=gx dy/dx=dy/du导数，乘以中间变量对自变量的导数*du/dx链式法则的几何解释理解应用链式法则可以看作是多个变化率的连锁反应例如，关于链式法则广泛应用于求复杂函数的导数，是导数计算的重要工具y u的变化率乘以关于的变化率，就等于关于的变化率u x y x例题求的导数y=sinx^2步骤设，则u=x^2y=sinu，dy/du=cosu du/dx=2x应用链式法则dy/dx=dy/du*du/dx=cosu*2x=cosx^2*2x结论的导数是y=sinx^2y=2xcosx^2隐函数的导数隐函数隐函数是指函数关系没有直接用显式表达，而是隐含在一个方程中的函数，例如x^2+y^2=1求导方法对方程两边同时对求导，将看作的函数，利用链式法则，解出x yxdy/dx参数方程的导数参数方程1参数方程是指用参数来表示曲线的方程，例如，x=ft y=gt求导方法2dy/dx=dy/dt/dx/dt=gt/ft高阶导数二阶导数，三阶导数…定义符号一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导二阶导数记作或，三阶导数记作fx y数称为三阶导数，以此类推或fx y高阶导数的物理意义加速度加加速度如果表示物体在时刻的位置，那么就是物体在加速度的导数称为加加速度，描述加速度变化的快慢，在某些物st tst t时刻的加速度，描述速度变化的快慢理问题中也有应用例题求的二y=x^3+2x阶导数步骤求一阶导数

1.y=3x^2+2求二阶导数

2.y=6x结论的二阶导数是y=x^3+2x y=6x导数的应用研究函数的单调性单调性单调性是指函数在某个区间内，函数值随着自变量的增大而增大（单调递增）或减小（单调递减）的性质导数判断导数可以用来判断函数的单调性导数大于，函数单调递增；导数小0于，函数单调递减；导数等于，函数可能取得极值00函数单调性的判定定理定理1设函数在区间上可导fx I如果在上恒成立，则在上单调递增

1.fx0I fxI如果在上恒成立，则在上单调递减

2.fx0I fxI例题求函数的单fx=x^3-3x调区间求导解不等式结论或在和fx=3x^2-3fx0=x-1xfx-∞,-11,+∞，上单调递增，在上1fx0=-1x1-1,1单调递减导数与函数的极值极值导数关系极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值，分为极大值导数可以用来判断函数是否取得极值导数等于或不存在的0和极小值点，称为驻点或奇点，可能是极值点函数极值的定义极大值设函数在点附近有定义，如果对于附近的任何fx x0x0，都有，则称为函数的一个极大值x fx≤fx0fx0fx极小值设函数在点附近有定义，如果对于附近的任何fx x0x0，都有，则称为函数的一个极小值x fx≥fx0fx0fx极值的判定方法第一判别法方法设在处连续fx x0如果时，，时，，则为极大值

1.xx0fx0xx0fx0fx0如果时，，时，，则为极小值

2.xx0fx0xx0fx0fx0极值的判定方法第二判别法方法1设在处二阶可导，且fx x0fx0=0如果，则为极大值

1.fx00fx0如果，则为极小值

2.fx00fx0例题求函数fx=x^3-的极值3x求导，令，得或fx=3x^2-3fx=0x=-1x=1求二阶导数fx=6x判断，为极大值；，f-1=-60f-1=2f1=60为极小值f1=-2导数与函数的最值最值与极值关系最值是指函数在整个定义域或给定区间内取得的最大值或最小值最值可能在极值点或区间的端点取得求最值需要比较极值和，分为最大值和最小值端点值函数最值的求法闭区间上的最值步骤求出函数在闭区间内的所有极值

1.求出函数在闭区间端点的值

2.比较所有极值和端点值，其中最大的为最大值，最小的为

3.最小值例题求函数fx=x^3-在区间上的最值3x[-2,2]极值端点值由上例可知，在处，fx x=-1f-2=-2f2=2取得极大值，在处取2x=1得极小值-2结论在区间上的最大值为，最小值为fx[-2,2]2-2导数在实际问题中的应用优化问题优化问题1优化问题是指在一定的约束条件下，求使目标函数取得最大值或最小值的问题导数是解决优化问题的有力工具应用2例如，在生产管理中，可以利用导数来确定最佳的生产规模，使利润最大化；在工程设计中，可以利用导数来优化结构设计，使材料用量最少优化问题的解题步骤建立目标函数求导数求极值将实际问题转化为数学模型，求出目标函数的导数利用导数求出目标函数的极值确定目标函数和约束条件点确定最值结合实际情况，确定目标函数的最大值或最小值例题盒子容积最大化问题问题用一块边长为的正方形铁皮，在四个角上截去相同的小正a方形，制成一个无盖的盒子，问截去的小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大？解设截去的小正方形的边长为，则盒子的容积x V=xa-求的导数，令，解得所以当截2x^2V V=0x=a/6去的小正方形的边长为时，盒子的容积最大a/6导数在物理学中的应用运动学位移设表示物体在时刻的位移，则表示物体在时刻的速度，st tst t表示物体在时刻的加速度st t应用利用导数可以研究物体的运动规律，例如自由落体运动、抛体运动等导数在经济学中的应用边际分析边际成本1边际成本是指增加一单位产品所增加的总成本设表CQ示生产单位产品的总成本，则边际成本Q MC=CQ边际收益2边际收益是指增加一单位产品所增加的总收益设表RQ示销售单位产品的总收益，则边际收益利润最大化Q MR=RQ3当边际成本等于边际收益时，利润达到最大化，即MC=MR利用导数解决不等式问题不等式证明构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而证明不等式例如，要证明在区间fxgx I上成立，可以构造函数，证明在上单调递增且，则hx=fx-gx hxI hx00fx在上成立gx I导数的几何应用求切线方程切线方程应用曲线在点处的切线方程为利用导数可以求曲线在某一点处的切线方程，这在几何问题中非y=fx x0,fx0y-fx0=其中，是切线的斜率常有用fx0x-x0fx0例题求曲线在点处的切线方程y=x^21,1求导求斜率求方程在点处，所切线方程为，即y=2x1,1y=2*1=2y-1=2x-1y以切线的斜率为2=2x-1导数在近似计算中的应用线性化线性化应用当足够小时，可以用切线来近似代替曲线，这种方法称利用线性化可以进行近似计算，例如求的近似值Δx√

4.1为线性化fx+Δx≈fx+fxΔx导数在函数图像绘制中的应用绘制函数图像1利用导数可以分析函数的单调性、极值、凹凸性等，从而更准确地绘制函数图像导数的局限性并非所有函数都有导数不可导情况函数在某些点可能不可导，例如函数在该点不连续

1.函数在该点有尖角

2.函数在该点的切线垂直于轴

3.x导数学习总结核心概念重要方法导数描述了函数在某一点附近变化的快慢它是函数单调性、导数计算需要掌握导数公式、四则运算、链式法则等解决实极值、最值等性质研究的基础导数在物理学、经济学等领域际问题需要将实际问题转化为数学模型，利用导数进行分析和求有广泛的应用解重点回顾导数的定义、计算、应用导数的定义lim x-x0fx-fx0/x-x0导数的计算导数公式、四则运算、链式法则导数的应用单调性、极值、最值、优化问题、运动学、经济学难点分析复合函数求导、隐函数求导复合函数求导掌握链式法则，正确分解复合函数，逐层求导隐函数求导对方程两边同时对求导，将看作的函数，利用链式法则，解出xyxdy/dx常见错误导数公式记错、链式法则应用错误导数公式记错1熟记导数公式，特别是指数函数、对数函数、三角函数的导数公式链式法则应用错误2正确分解复合函数，注意每一层函数求导时的符号拓展学习微分的概念、泰勒公式微分泰勒公式微分是函数增量的线性主要部分，可以用来近似代替函数增量泰勒公式是用多项式函数来逼近任意函数的方法，是高等数学的重要内容习题练习巩固所学知识练习题提示求下列函数的导数，，认真审题，选择合适的公式和方法，注意计算的准确性

1.y=x^3+sinx y=e^x*cosxy=lnx^2+1求函数的单调区间和极值

2.fx=x^4-2x^2用一块长为，宽为的矩形铁皮，在四个角上截

3.10cm8cm去相同的小正方形，制成一个无盖的盒子，问截去的小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大？答疑解惑解决同学们提出的问题问题解答同学们可以将学习过程中遇到的问题提出来，我们一起讨论解决共同进步希望通过本次课件的学习，同学们能够掌握导数的定义、计算和应用，为后续的数学学习打下坚实的基础。