《线性代数之矩阵与线性方程组》课件

《线性代数之矩阵与线性方程组》课程概述课程目标主要内容掌握矩阵基本理论矩阵运算及性质熟练线性方程组解法线性方程组求解技巧学习方法理论结合实践第一章矩阵的基本概念认识矩阵数据的矩形排列矩阵类型方阵、特殊矩阵等基本运算矩阵的定义

1.1矩阵的概念矩阵的表示方法由×个数按照行列排成的矩形数表用方括号括起m nm n[]记作×A=[aij]m n矩阵的类型

1.2方阵行矩阵行数等于列数的矩阵只有一行的矩阵对角矩阵列矩阵非对角线元素全为零只有一列的矩阵特殊矩阵

1.3零矩阵单位矩阵所有元素都为的矩阵主对角线元素为，其余元素01为的方阵0对称矩阵满足的方阵A=A^T矩阵的转置

1.4转置的定义将矩阵的行列互换得到新矩阵A A^T表达式若，则A=[aij]A^T=[aji]转置的性质A^T^T=AA+B^T=A^T+B^T第二章矩阵的运算矩阵乘法最复杂但最重要矩阵数乘每个元素乘以常数矩阵加减对应元素相加减矩阵的加法

2.124相同维度性质数量只有同型矩阵才能相加满足交换律、结合律等×m n结果维度结果仍为×矩阵m n矩阵的数乘

2.2数乘定义表示常数乘以矩阵中的每个元素λAλA数乘性质，λA+B=λA+λBλ+μA=λA+μA矩阵的乘法

2.3乘法条件的列数必须等于的行数A B计算方法的行与的列对应元素乘积之和A B注意事项矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法的性质

2.4结合律分配律转置性质ABC=ABC AB+C=AB+AC AB^T=B^T·A^T方阵的幂

2.5定义1表示矩阵自乘次A^n A n计算方法2个A^n=A·A·...·AnA特殊情况3（单位矩阵）A^0=I矩阵运算练习

2.6已知求A=B=AB求矩阵结果C^2C==计算结果D^T D==第三章逆矩阵什么是逆矩阵存在条件满足的矩阵方阵且行列式不为零AA^-1=A^-1A=I应用计算方法解线性方程组初等变换或伴随矩阵法逆矩阵的定义

3.1定义表述若存在使，则是的逆矩阵B AB=BA=I B A可逆矩阵有逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵逆矩阵的唯一性若存在，则唯一，记为A^-1逆矩阵的性质

3.21AB^-1=B^-2A^T^-1=A^-1^T1A^-1转置与求逆可交换次序乘积的逆等于逆的乘积，顺序相反3A^n^-1=A^-1^n幂的逆等于逆的幂逆矩阵的计算方法

3.3初等行变换法伴随矩阵法将变换为[A|I][I|A^-1]A^-1=A*/|A|运用高斯若尔当消元法为的伴随矩阵-A*A计算大型矩阵时常用适用于低阶矩阵逆矩阵应用举例

3.4第四章初等矩阵与初等变换对换变换倍乘变换倍加变换交换矩阵的两行或两列用非零常数乘矩阵的某行或某列将某行的倍数加到另一行初等矩阵的定义

4.1第一类初等矩阵由单位矩阵交换两行得到第二类初等矩阵由单位矩阵某行乘以非零常数得到第三类初等矩阵由单位矩阵某行的倍数加到另一行得到初等行变换

4.2对换两行1左乘第一类初等矩阵以非零常数乘某行左乘第二类初等矩阵某行的倍数加到另一行左乘第三类初等矩阵初等列变换

4.3对换两列以非零常数乘某列某列的倍数加到另一列右乘第一类初等矩阵右乘第二类初等矩阵右乘第三类初等矩阵等价矩阵

4.4定义等价关系矩阵经有限次初等变换得到满足自反性、对称性和传递性A矩阵，称与等价B A B性质等价矩阵的秩相等矩阵的标准型

4.5简化行阶梯型最终标准形式行阶梯型中间过渡形式原始矩阵初始状态第五章矩阵的秩矩阵秩的概念计算方法线性无关的最大向量组数化为标准型，非零行数应用几何意义判断线性方程组解的情况表示线性变换的维数秩的定义

5.1线性相关和线性无关极大线性无关组向量组₁₁₂₂线性无关且包含最多向量k v+k v+...+k v=0ₙₙ只有零解线性无关任意添加向量会导致线性相关有非零解线性相关最大线性无关向量个数即为矩阵的秩秩的性质

5.2矩阵的秩不超过行数和列数的较小值rA≤minm,n矩阵与其转置矩阵的秩相等rA=rA^T秩与线性方程组的关系

5.3方程组有解的条件唯一解的条件系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩rA=rA|b=n为未知数个数rA=rA|b n无穷多解的条件rA=rA|bn基础解系有个向量n-rA矩阵秩的计算方法

5.4列出矩阵给定矩阵A初等变换通过初等行变换化为行阶梯型计数数非零行数目即为矩阵的秩第六章线性方程组概述线性方程组未知量间为线性关系的方程组矩阵表示用系数矩阵简化表示解的分析通过矩阵理论研究解的性质线性方程组的定义

6.1标准形式系数矩阵a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁x=b₁由系数aᵢⱼ组成的m×n矩阵Aₙₙ₂₁₁₂₂₂₂₂a x+a x+...+a x=bₙₙ...增广矩阵系数矩阵右侧添加常数项形成A b[A|b]线性方程组的矩阵表示

6.21m矩阵方程方程个数系数矩阵的行数Ax=b An未知量个数系数矩阵的列数A齐次线性方程组

6.3标准形式Ax=0零解₁₂总是解x=x=...=x=0ₙ非零解当且仅当rA非齐次线性方程组

6.4标准形式Ax=b b≠0有解条件rA=rA|b通解结构非齐次通解齐次通解非齐次特解=+第七章线性方程组的解通解所有解的表达式1解空间2所有解构成的空间解的存在性有解或无解解的存在性

7.1有解条件无解条件秩的计算通过初等变换确定rA=rA|b rArA|b解的唯一性

7.2通解的概念

7.3通解定义基础解系包含所有解的表达式齐次方程组解空间的一组基含有自由变量的参数表示线性无关向量组个数为n-rA齐次线性方程组的解

7.4零解非零解条件1所有未知量取零rAn2基础解系解空间维数4个线性无关解向量3n-rA n-rA非齐次线性方程组的解

7.5特解满足方程组的一个具体解通解特解对应齐次方程组的通解+求解步骤先求特解，再求齐次通解，最后合并第八章高斯消元法建立增广矩阵前向消元将线性方程组写成增广矩阵形通过初等行变换将矩阵化为上式三角形式回代求解3从最后一个方程开始，依次求解各未知量消元过程

8.1增广矩阵写出方程组的增广矩阵[A|b]前向消元消去下方元素，形成上三角形式回代从最后一个方程回代求解消元算法步骤

8.2寻找主元1选择当前列中最大元素作为主元行交换2将主元所在行交换到对角线位置消元3用主元所在行消去下方元素重复4对下一列重复上述步骤高斯若尔当消元法

8.3-基本步骤特点先进行高斯消元直接得到方程组的解再进行向上消元简化后主元为1最终化为简化行阶梯型主元以外的列元素为0应用求逆矩阵求解线性方程组计算矩阵的秩消元法实例

8.4原始增广矩阵前向消元回代2x+y-z=82x+y-z=8x=3-3x+y+2z=1y+≈z=≈y=2x+2y+3z=12z=≈z=1第九章克拉默法则计算解1xⱼ=|Aⱼ|/|A|构造替换矩阵ⱼ由的第列替换为得到A Aj b检查条件3×方程组且n n|A|≠0克拉默法则的内容

9.1若线性方程组的系数行列式，则方程组有唯一解D≠0ⱼⱼ，其中ⱼ是用常数项替换第列所得行列式x=D/D Dj克拉默法则的应用条件

9.2方程个数等于未知数个系数行列式不为零数确保方程组有唯一解|A|≠0必须是元个方程的方程组n n行列式可计算适用于低阶矩阵（通常）n≤4克拉默法则的优缺点

9.3优点缺点理论意义深远计算量随维数快速增长表达式简洁明了实际应用局限性大适合手工计算低阶情况不适用于大型线性方程组不适用于非方阵系数矩阵克拉默法则例题

9.43D≠0方程个数可解条件三元三个方程组系数矩阵行列式不为零3行列式计算次数需计算₁₂₃共四个行列式D,D,D,D第十章矩阵方程AX=B为未知矩阵XXA=B矩阵乘法顺序不同AXB=C两侧均有系数矩阵的解

10.1AX=B可解条件rA=rA,B唯一解条件可逆A解的表达式⁻（当可逆时）X=A¹BA的解

10.2XA=B可解条件rA=rA,B唯一解条件可逆A解的表达式⁻（当可逆时）X=BA¹A的解

10.3AXB=C处理思路1转化为标准形式或AX=B XA=B可解条件2需和均可逆A B解的表达式3⁻⁻（当和可逆时）X=A¹CB¹AB第十一章应用实例工程学计算机科学电路分析图形变换经济学物理学投入产出模型量子力学经济学中的应用

11.1n X行业数量总产出向量经济系统中的行业总数各行业的总产量A技术系数矩阵描述行业间相互依赖关系列昂惕夫模型，其中为最终需求向量X=AX+D D求解⁻，要求可逆X=I-A¹D I-A工程学中的应用

11.2列方程构建矩阵基于基尔霍夫定律建立方程组将电路方程转化为矩阵形式求解3使用线性代数方法求解各支路电流或节点电压计算机图形学中的应用

11.3平移变换旋转变换缩放变换改变物体位置绕某点或某轴旋转改变物体大小总结与展望核心内容实用技能1矩阵理论与线性方程组解法矩阵运算和方程组求解应用领域进阶方向跨学科应用与实践特征值、向量空间、线性变换。