《线性代数之矩阵运算》课件

线性代数之矩阵运算课程概述矩阵基本概念矩阵运算数据的表格形式表示加法、乘法、转置等实际应用什么是矩阵？矩阵定义矩阵表示m×n按行列排列的数字、符号或表达行列的数表，常用大写字母m n式的矩形阵列表示元素表示表示第行第列的元素aij ij矩阵的类型方阵行矩阵12行数等于列数的矩阵只有一行的矩阵对角矩阵列矩阵43主对角线外元素全为零只有一列的矩阵特殊矩阵单位矩阵主对角线为，其余为10零矩阵所有元素均为0三角矩阵上下三角区域全为/0矩阵的基本性质相等矩阵对应元素均相等转置矩阵行列互换共轭矩阵元素取复数共轭矩阵加法定义性质对应位置元素相加•交换律A+B=B+A•结合律，其中A+B+C=A+B+CC=A+B cij=aij+bij矩阵加法示例矩阵加法2×2对应位置元素直接相加维度要求必须维度相同才能相加矩阵加法3×3个元素分别相加9矩阵减法定义性质与加法关系对应位置元素相减，其中C=A-B cij=A-B=A+-Baij-bij矩阵的数乘定义标量与矩阵每个元素相乘表示中，kA kAij=k·aij分配律kA+B=kA+kB矩阵乘法

（一）定义条件特性，其中的列数必须等于的行数一般情况下，ΣC=AB cij=aik·bkj A B AB≠BA矩阵乘法

（二）结合律左分配律12ABC=ABC AB+C=AB+AC右分配律3A+BC=AC+BC矩阵乘法示例矩阵乘法2×21四个元素分别计算不同维度矩阵乘法2结果维度为m×p计算过程3行与列的点积运算矩阵乘法的应用线性变换图像处理三维建模旋转、缩放、剪切等操作图像滤波、锐化、模糊等空间变换和投影矩阵转置定义性质表示，行列互换•二次转置恢复原矩阵A^T•A^T^T=AA^Tij=Aji•转置改变矩阵维度转置矩阵的运算规则规则数学表达式加法转置A+B^T=A^T+B^T乘法转置AB^T=B^T A^T数乘转置kA^T=kA^T对称矩阵定义性质满足的矩阵A=A^T•aij=aji•特征值总是实数所有元素关于主对角线对称•可正交对角化矩阵的幂定义计算方法表示自乘次连续矩阵乘法A^n An应用性质43马尔可夫链、网络分析A^m·A^n=A^m+n初等矩阵类型一类型二交换两行或两列某行或列乘以非零常数类型三某行加上另一行的倍数矩阵的行列式定义性质方阵的行列式记为或A|A|detA|AB|=|A|·|B|计算方法按行（列）展开、对角线法则矩阵的秩满秩矩阵1最大线性无关向量组数秩的性质2rankA≤minm,n与线性相关性关系3秩表示线性无关行（列）数矩阵的逆可逆定义存在使A^-1AA^-1=A^-1A=I可逆条件|A|≠0逆矩阵性质AB^-1=B^-1A^-1逆矩阵的计算方法伴随矩阵法初等行变换法→A^-1=adjA/|A|[A|I][I|A^-1]适合低维矩阵适合计算机求解矩阵方程求解XA=B可解条件右乘A^-1X=BA^-1求解AX=B必须是可逆矩阵A左乘A^-1X=A^-1B分块矩阵矩阵的特征值和特征向量定义计算方法，其中为特征值，为特征向量求解特征方程λλλAx=x x|A-I|=0代入特征值求特征向量相似矩阵定义性质，则与相似相似矩阵有相同特征值B=P^-1AP A B相似对角化将矩阵转化为对角矩阵形式正交矩阵定义性质Q^T Q=Q Q^T=I Q^-1=Q^T应用旋转变换、坐标系变换二次型定义标准形的形式通过正交变换化为对角形式x^T Ax必须是对称矩阵，其中为对角矩阵A y^T Dy D正定矩阵判定方法2顺序主子式全为正定义1对称矩阵且所有特征值为正应用优化问题、机器学习3矩阵分解分解分解LU QRA=LU A=QR为下三角矩阵，为上三角矩阵为正交矩阵，为上三角矩阵L UQ R奇异值分解（）SVD定义1ΣA=U V^T性质2适用于任意矩阵应用3数据压缩、降维、图像处理矩阵的迹定义性质与特征值关系，主对角线，等于特征ΣΣλtrA=aii trAB=trBA trA=i元素和值之和矩阵指数定义计算方法幂级数展开、对角化方法e^A=I+A+A^2/2!+A^3/3!+...应用微分方程求解、动力系统矩阵范数应用谱范数误差分析、优化算法范数Frobenius最大奇异值所有元素平方和的平方根积Kronecker定义⊗，结果为分块矩阵AB计算⊗A Bij=aijB性质⊗⊗⊗A BCD=AC BD应用量子计算、图像处理积Hadamard定义与矩阵乘法区别∘，对应元素相乘积对应元素相乘ABHadamard∘矩阵乘法行与列的内积A Bij=aij·bij广义逆Moore-Penrose定义性质应用123满足四个方程的矩阵⁺对任意矩阵都存在唯一的广义逆最小二乘问题、欠定方程求解Penrose A矩阵微分定义基本规则优化应用矩阵函数对矩阵变量的导数∇梯度下降、牛顿法X trAX=A^T矩阵在线性方程组中的应用矩阵表示解的存在性解的唯一性∈时有解时解唯一Ax=b bColA KerA={0}为系数矩阵，为常数向量A b最小二乘法问题表示，求使最小的Ax≈b||Ax-b||x正规方程A^T Ax=A^T b解的计算x=A^T A^-1A^T b矩阵在线性回归中的应用主成分分析（）PCA矩阵表示1基于协方差矩阵的特征分解步骤2计算协方差矩阵的特征值和特征向量特征向量作用3指示主成分方向矩阵在图论中的应用邻接矩阵拉普拉斯矩阵表示节点和之间的连接Aij ij L=D-A无权图中元素为或为度矩阵，为邻接矩阵01D A矩阵在马尔可夫链中的应用转移矩阵稳态分布1表示状态转移概率满足的概率向量Pπ=πPπ2应用计算方法43网页排名、随机过程求转移矩阵的特征向量矩阵在计算机图形学中的应用矩阵在密码学中的应用密码Hill使用矩阵进行加密加密过程c=Km mod26解密过程m=K^-1c mod26安全性基于矩阵求逆的复杂性矩阵在量子力学中的应用量子态表示矢量和态矩阵量子门幺正矩阵表示测量操作投影矩阵表示矩阵在网页排名中的应用PageRank网页重要性的度量转移矩阵表示网页间链接特征向量方法求解主特征向量矩阵在信号处理中的应用离散傅里叶变换卷积的矩阵表示矩阵运算矩阵DFT Toeplitz快速算法降低计算复杂度便于数学分析和处理矩阵在控制理论中的应用状态空间表示可控性可观测性123可控性矩阵秩的判定可观测性矩阵秩的判定dx/dt=Ax+Bu矩阵在经济学中的应用模型表示方式投入产出模型x=Ax+d求解x=I-A^-1d意义产业间相互依赖关系矩阵在数据压缩中的应用原始图像压缩压缩结果SVD完整数据信息保留主要奇异值减少数据量的同时保留主要信息矩阵在机器学习中的应用算法实现高效矩阵计算协方差矩阵2特征相关性分析核矩阵非线性关系映射矩阵计算的数值方法迭代法直接法方法高斯消元法Jacobi方法分解法Gauss-Seidel LU共轭梯度法分解法Cholesky大规模矩阵计算稀疏矩阵存储方式大多数元素为零压缩行存储格式并行计算多核和加速CPU GPU矩阵计算的软件工具MATLAB NumPyJulia专业科学计算软件科学计算库高性能数值计算语言Python矩阵理论的前沿研究随机矩阵理论1大数据下的统计特性张量分解2高维数据处理量子矩阵计算3量子计算的矩阵算法课程总结50+20+矩阵运算类型实际应用领域从基础加减到高级分解从工程到科学再到商业100+相关算法解决各类数学问题问答环节常见问题实际应用疑问矩阵运算的复杂度如何选择合适的矩阵算法12复习重点43进阶学习方向基本运算和关键应用向量分析、泛函分析。