《线性代数全部习题》课件精华

《线性代数全部习题》课件精华课程概述线性代数的重要性课程内容简介多学科基础工具行列式至线性空间全覆盖学习目标第一章行列式行列式的定义行列式的性质阶方阵的函数转置不变n表示线性变换的伸缩比行列倍加不变行列互换符号改变行列式的计算方法按行（列）展开选择零元素最多的行或列三角形行列式主对角线元素相乘消元法化为上三角形式计算行列式习题类型证明题证明行列式性质计算题直接求值应用题几何应用行列式习题精解

（一）典型例题分析解题技巧•范德蒙行列式•提取公因式•分块行列式•加边法常见陷阱•符号错误•展开顺序混乱行列式习题精解

（二）行列式展开特殊行列式拉普拉斯展开法高阶行列式循环行列式技巧寻找规律简化计算第二章矩阵矩阵的定义1个数排成的矩形数表m×n矩阵的运算2加法、减法、数乘、乘法转置与逆3转置矩阵与逆矩阵的性质特殊矩阵单位矩阵对角矩阵三角矩阵对称矩阵主对角线为，其余非主对角线元素全上下三角元素全为转置等于自身1/为为000矩阵的初等变换行交换两行互换位置行倍乘某行乘以非零常数行倍加某行的倍数加到另一行矩阵的秩秩的定义秩的性质非零子式的最高阶数初等变换不改变矩阵的秩秩的应用秩的计算方法判断线性方程组的解化简为阶梯形矩阵逆矩阵逆矩阵的定义AB=BA=I逆矩阵的性质2AB^-1=B^-1A^-1逆矩阵的计算方法初等行变换法矩阵习题精解

（一）矩阵运算初等变换应用转置运算加减乘运算法则应用行变换求解矩阵方程转置矩阵性质应用矩阵习题精解

（二）0n奇异矩阵满秩矩阵行列式为零阶可逆矩阵的秩nrA+rB秩不等式矩阵和的秩上界第三章向量组向量组的线性相关性线性相关定义线性无关定义判断方法存在非全零系数使线性组合为零向量仅零系数使线性组合为零向量齐次线性方程组只有零解则线性无关向量组的秩极大线性无关组向量组秩的计算2线性无关且可表示原向量构造矩阵求秩组向量组秩的性质3等价向量组具有相同的秩向量组习题精解

（一）问题类型关键方法常见陷阱线性相关性判断齐次方程组求解忽略零向量特例极大线性无关组矩阵初等行变换基础解系混淆向量组等价判断互相表示法遗漏表示条件向量组习题精解

（二）第四章线性方程组线性方程组的矩阵表示齐次线性方程组AX=b AX=0非齐次线性方程组解的判定准则，方程有解AX=b b≠0rA=rA|b线性方程组的解特解满足方程的一个解基础解系齐次方程组解空间的一组基通解特解加齐次通解克拉默法则定理内容xi=|Ai|/|A|应用条件且方程数等于未知数|A|≠0使用限制不适用于大型方程组线性方程组习题精解

（一）解的存在性判断1矩阵的秩判定解的结构分析2解空间维数基础解系求解3初等行变换法线性方程组习题精解

（二）1∞唯一解无穷多解＜rA=rA|b=n rA=rA|b n0无解＜rA rA|b第五章特征值与特征向量特征值定义特征向量定义特征方程的根的非零解λλλ|A-I|=0A-IX=0|A-I|=0矩阵的相似对角化对角化条件2个线性无关特征向量n相似矩阵定义1B=P^-1AP对角化步骤求特征值特征向量相似变换矩→→3阵特征值与特征向量的性质代数重数几何重数特征方程中根的重数对应特征值的特征向量维数特征向量的正交性对称矩阵不同特征值的特征向量正交特征值与特征向量习题精解

（一）特征值计算特征向量求解相似对角化解特征方程解齐次方程组构造相似变换矩阵λλ|A-I|=0A-IX=0P特征值与特征向量习题精解

（二）特征多项式展开λ|A-I|矩阵幂的计算A^n=PD^nP^-1矩阵函数fA=PfDP^-1第六章二次型二次型的定义矩阵表示变量的二次齐次多项式f=X^TAX规范形只含平方项的标准形式正定二次型正定二次型对任意非零向量都有X X^TAX0半正定二次型对任意向量都有X X^TAX≥0不定二次型3既有正值又有负值二次型的标准形配方法正交变换法代数变换消除交叉项利用正交矩阵对角化•适用于低阶二次型•适用于高阶二次型•直观但计算复杂•计算系统高效二次型习题精解

（一）标准形求解配方法或正交变换坐标变换求变换矩阵规范形求解3求正交变换矩阵二次型习题精解

（二）正惯性指数负惯性指数正系数个数负系数个数符号差秩正负惯性指数之差非零系数总数第七章线性空间线性空间的定义满足八条公理的集合线性空间的基线性无关且可表示任意向量的向量组线性空间的维数基中向量的个数子空间子空间的定义满足加法和数乘封闭的非空子集列空间矩阵列向量的线性组合零空间齐次方程组的解空间AX=0行空间矩阵行向量的线性组合线性变换线性空间习题精解

（一）线性空间习题精解

（二）线性变换的矩阵表示基下的坐标变换核空间与像空间核维数像维数空间维数+=特征值和特征向量特征向量是保持方向的向量第八章内积空间内积的性质对称性、正定性、线性性2内积的定义1满足四条性质的二元函数正交性3内积为零的向量正交基与正交矩阵正交基两两正交的基施密特正交化构造正交基的方法正交矩阵QQ^T=I内积空间习题精解正交基的构造正交投影最小二乘近似施密特正交化过程向量在子空间上的投影投影在子空间上的向量第九章标准形Jordan标准形的定义块重要性Jordan Jordan矩阵的一种标准形式主对角线为同一特征值的块矩阵矩阵不能对角化时的标准形标准形的求法Jordan初等因子法1特征多项式分解为初等因子最小多项式法2求最小多项式并分析其结构广义特征向量法3求解λA-I^kx=0标准形习题精解Jordan矩阵幂的计算应用相似变换矩阵的求解利用标准形简化高次幂计算Jordan标准形的构造Jordan求广义特征向量确定块大小与数量Jordan第十章线性代数的应用2n最小二乘法主成分分析数据拟合与回归分析降维与特征提取∞马尔可夫链状态转移与概率预测线性规划目标函数需要优化的线性函数约束条件2线性不等式或等式解法单纯形法与图解法应用习题精解考研真题解析

（一）考研真题解析

（二）特征值与特征向量问题二次型问题•矩阵对角化条件•正定性判别•特征值求解技巧•矩阵合同矩阵函数问题•矩阵指数计算•矩阵多项式考研真题解析

（三）线性空间问题线性变换问题内积空间问题子空间判定与维数计算矩阵表示与核空间计算正交基与施密特正交化常见错误分析计算错误概念混淆1符号错误与运算顺序混乱相似与合同判断不清逻辑推理错误方法选择错误3条件使用不充分或过度使用解题方法不当导致复杂计算解题技巧总结

（一）行列式计算技巧矩阵运算技巧逆矩阵技巧提取公因子简化计算分块矩阵运算法则灵伴随矩阵与初等变换活运用结合解题技巧总结

（二）向量组分析技巧构造矩阵表示向量组关系线性方程组技巧利用秩分析解的结构特征值问题技巧3利用矩阵性质简化特征多项式解题技巧总结

（三）二次型化简技巧线性空间问题技巧•利用对称性简化计算•构造具体表示简化抽象问题•合理选择正交变换•利用基变换简化计算复习策略知识点梳理构建知识体系框架专项训练针对薄弱环节重点突破知识点连接理解概念间内在联系全面复习系统性回顾与综合应用考试技巧线性代数思维培养代数与几何的结合抽象思维的重要性方程系统几何解释从具体到一般→抽象问题可视化理解寻找模式与规律→学习资源推荐教材与参考书《线性代数》同济大学在线课程线性代数公开课MIT习题资源中国大学MOOC应用工具与MATLAB Python总结与展望人工智能应用量子计算计算机图形学机器学习基础量子态的矩阵表示三维变换的矩阵表示。