《数据结构与算法复习》课件

数据结构与算法复习欢迎参加数据结构与算法复习课程本课程将系统地回顾计算机科学中最核心的数据结构与算法知识，帮助同学们巩固理论基础，提升实际编程能力，为面试和未来工作打下坚实基础课程介绍与学习目标复习数据结构和算法基掌握常用数据结构的实础现与应用重温基本概念、定义和特性，深入学习各种数据结构的内部巩固理论知识，建立系统性认实现机制，能够熟练运用不同识我们将结合实际案例，帮数据结构解决实际问题，提升助大家理解抽象概念的实际应编程效率和代码质量用理解算法设计与复杂度分析数据结构定义与分类数据结构的本质数据结构分类数据结构是计算机存储、组织数据的方式数据结构是指相互之•线性结构元素之间存在一对一关系，如数组、链表、栈、间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合通过合理的数据队列结构，可以提高算法的效率•非线性结构元素之间存在一对多或多对多关系，如树、图好的数据结构设计能够优化内存使用，提高数据访问和操作效率，是程序设计的基础•静态结构在运行过程中大小固定，如数组•动态结构在运行过程中大小可变，如链表算法定义与性质算法的正确性有穷性、确定性和输入输出算法效率的考量算法必须能够输出预期的结果，对于任何有穷性算法必须在有限步骤内完成，不算法效率考虑时间效率和空间效率两个方合法输入都能得到正确的输出，且能够处能无限循环面，前者关注执行速度，后者关注内存使理所有可能的边界情况和异常用确定性算法的每一步都必须有明确的定算法的正确性通常通过逻辑推理和数学证义，不存在歧义高效算法能够在合理的时间和空间范围内明来验证，也可以通过大量测试用例来验解决问题，即使面对大规模数据也能保持输入输出算法需要有明确的输入和预期证稳定性能的输出复杂度分析基础时间复杂度时间复杂度用于衡量算法运行时间随输入规模增长的变化趋势它通常以函数Tn表示，其中n是输入规模时间复杂度关注的是最高阶项，忽略常数项和系数空间复杂度空间复杂度用于衡量算法在执行过程中使用的额外空间随输入规模的增长关系除了输入占用的空间外，算法在运行过程中可能需要额外的内存空间来存储临时变量大O符号表示法大O符号是描述算法复杂度的数学符号，表示算法在最坏情况下的上界常见的复杂度有O

1、Olog n、On、On log n、On²、O2ⁿ等，复杂度越低，算法效率越高最坏情况与平均情况分析最坏情况分析考虑算法在最不利条件下的性能表现，可以保证算法的鲁棒性平均情况分析则考虑所有可能输入的平均性能，更符合实际应用场景常用数学工具简介递归公式递归公式是指直接或间接地引用自身的数学表达式在算法中，递归用于将大问题分解为相同形式的小问题例如，阶乘的递归公式为n!=n×n-，斐波那契数列的递归公式为1!Fn=Fn-1+Fn-2递推关系递推关系描述序列中的元素与前面元素之间的关系，用于定义序列递推关系允许我们从已知的初始值出发，逐步计算序列的后续值在动态规划中，递推关系体现为状态转移方程数学归纳法数学归纳法是证明一系列命题成立的有力工具通常包含两个步骤基础步骤证明初始情况成立；归纳步骤证明若第个命题成立，则第个命题k k+1也成立它常用于算法正确性证明数据结构的发展历史1早期阶段1950-1960数据结构概念逐渐形成，主要关注数组、链表等基本结构1957年，FORTRAN语言引入了数组结构1960年，ALGOL60语言引入了链表概念这一时期的研究为后续发展奠定了基础2成熟阶段1970-1980数据结构理论大幅发展，二叉树、B树、红黑树等复杂结构被提出并完善1972年，DonaldKnuth出版《计算机程序设计艺术》第一卷，系统介绍了基本数据结构1976年，AVL树被提出，成为第一种自平衡二叉搜索树3丰富阶段1990-2000随着互联网发展，哈希表、跳表、布隆过滤器等结构日益重要1997年，Skip List（跳表）被提出，为搜索操作提供了Olog n的平均时间复杂度较简单的实现使其成为红黑树等平衡树的有力替代方案4现代应用2000至今大数据和分布式系统催生了新型数据结构，如LSM树、HyperLogLog等2007年，Google提出BigTable模型，采用LSM树结构，显著影响了现代分布式数据库设计数据结构与机器学习、人工智能等领域深度融合线性表简介定义与特点顺序存储结构线性表是由同一类型的数据元素构成的将元素存储在连续的内存空间中，支持有序序列其特点是除第一个元素外，随机访问，访问时间复杂度为但O1每个元素有且仅有一个前驱；除最后一插入和删除需要移动元素，时间复杂度个元素外，每个元素有且仅有一个后为适合频繁随机访问的场景On继应用场景链式存储结构线性表是最基本也是最常用的数据结通过指针将元素链接起来，可以存储在构顺序表常用于实现数组、矩阵等；不连续的内存空间中插入和删除操作链表常用于实现栈、队列、哈希表的冲只需修改指针，时间复杂度为，但O1突解决等选择何种实现方式需要根据查找需要遍历，时间复杂度为适On具体应用需求合频繁插入删除的场景栈的基本概念栈的定义与特性栈是一种后进先出（）的线性表，只能在一端（栈顶）进行插入和删除操作LIFO基本操作入栈（）将元素添加到栈顶；出栈（）移除栈顶元素push pop实现方式顺序实现使用数组存储元素；链式实现使用链表存储元素栈在计算机科学中有广泛的应用，包括表达式求值、括号匹配检查、函数调用管理等程序运行时的函数调用栈是栈结构的典型应用，用于跟踪函数的调用关系和局部变量的作用域在表达式求值中，栈用于存储操作数和运算符，通过适当的规则进行计算，能够高效地处理包含括号和不同优先级运算符的复杂表达式队列的基本类型普通队列循环队列双端队列标准的先进先出（）结构，元素从为解决普通队列的假溢出问题，将队允许在两端进行插入和删除操作的队FIFO队尾入队，从队首出队可以用数组或列头尾相连形成环形结构通过复用空列，结合了栈和队列的特性可以同时链表实现，但数组实现会有假溢出问间，提高了内存利用率支持和操作FIFO LIFO题应用场景实时系统的缓冲区、资源池应用场景窗口滑动算法、工作窃取调应用场景打印任务排队、消息缓冲管理等度等等数组详解高效访问时间随机访问任意元素O1多维扩展支持多维数据表示连续存储元素在内存中连续存放数组是最基础的数据结构，由相同类型的元素按顺序存储于连续的内存空间中每个元素占用相同大小的内存，通过索引可以快速访问任意位置的元素，时间复杂度为O1数组可以通过维度扩展为多维数组，如二维数组（矩阵）、三维数组等在内存中，多维数组仍然是按照某种规则（如行优先或列优先）线性存储的访问多维数组元素时，需要通过计算将多维索引转换为一维偏移量数组的主要优点是访问效率高，但插入和删除操作通常需要移动大量元素，时间复杂度为此外，数组在创建时需要指定大小，不易动态调整，这在On某些场景下可能是一个限制链表详解（上）节点结构头插法尾插法遍历操作每个节点包含数据域和指针域，指新节点插入到链表头部，适合逆序新节点插入到链表尾部，保持元素从头节点开始，沿指针逐个访问所针指向下一个节点建立链表的原始顺序有节点单链表是一种基础的链式存储结构，它通过指针将各个节点连接成一条链与数组不同，链表中的元素可以存储在内存的不同区域，不要求连续存储，这使得链表在插入和删除操作上具有优势头插法是一种常用的链表创建方式，新节点总是插入到链表的头部，这样最后读入的数据会被最先访问到尾插法则是将新节点插入到链表的末尾，保持了元素的原始顺序这两种方法在不同场景下各有用处链表详解（下）双向链表在普通单链表的基础上，为每个节点增加了一个指向前驱节点的指针这种结构支持双向遍历，使得向前查找变得容易，同时也简化了某些操作，如删除给定节点双向链表的缺点是每个节点需要额外的空间存储前驱指针，增加了内存开销循环链表是一种特殊的链表，其特点是最后一个节点的指针指向头节点，形成一个环循环链表消除了表头和表尾的概念，从任意一个节点出发都能遍历整个链表这种结构特别适合需要周期性处理的场景，如操作系统中的资源分配链表在实际应用中非常广泛，例如实现缓存算法、多项式运算、稀疏矩阵表示等由于其动态性和灵活性，链表在需要频繁插入删除的LRU场景中往往比数组更有效率字符串与串的基本操作字符串存储结构常用字符串操作字符串可以采用定长存储和变长存储两•串比较按字典序比较两个字符串的种方式定长存储适合长度变化不大的大小场景，而变长存储则更加灵活，可以根•串连接将两个字符串拼接成一个新据实际内容动态调整存储空间字符串在C语言中，字符串通常以字符数组表示，•子串提取获取字符串中的一部分并以\0作为结束标记；而在Java等现•串插入在字符串的指定位置插入另代语言中，字符串是不可变的对象，其一个字符串内部可能使用字符数组或其他结构实现•串删除删除字符串中的一部分字符字符串匹配问题字符串匹配是指在主串中查找模式串出现的位置朴素的匹配算法时间复杂度为Omn，其中m和n分别是主串和模式串的长度更高效的算法包括KMP算法、BM算法和Sunday算法等，它们通过预处理或跳过不必要的比较来提高效率，将时间复杂度降低到Om+n或更低树的基本概念树的定义与术语二叉树与普通树的区别树的遍历方法树是由节点和边组成的连通无环图，其中每二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两树的遍历是指按某种顺序访问树中的所有节个节点有零个或多个子节点树的相关术语个子节点，分别称为左子节点和右子节点点常见的遍历方法包括前序遍历（先访包括根节点、父节点、子节点、兄弟节点、与普通树不同，二叉树的子节点位置是严格问根节点，再遍历左子树和右子树）、中序叶节点、内部节点、节点的度、树的高度等区分的，即使只有一个子节点，也必须明确遍历（先遍历左子树，再访问根节点，最后树结构反映了数据之间的层次关系是左子节点还是右子节点这种严格的结构遍历右子树）、后序遍历（先遍历左右子树，使得二叉树在算法设计和实现上具有独特的最后访问根节点）和层序遍历（按层从上到优势下，每层从左到右遍历）二叉树详解（上）存储结构前序遍历二叉树可以使用链式存储（每个节点包含数访问顺序根节点左子树右子树，递→→据、左右子节点指针）或顺序存储（使用数归实现简洁明了组，适用于完全二叉树）后序遍历中序遍历访问顺序左子树右子树根节点，常→→访问顺序左子树根节点右子树，对→→用于释放节点内存等需要先处理子节点的场二叉搜索树进行中序遍历可得到有序序列景二叉树是一种重要的数据结构，在计算机科学中有广泛应用链式存储是二叉树最常用的存储方式，它使用三个域来表示一个节点数据域、左子树指针域和右子树指针域二叉树的遍历算法可以通过递归方式简洁地实现递归实现利用了函数调用栈，隐式地保存了遍历的路径信息对于一些特殊应用，也可以使用非递归方式实现遍历，通常需要显式使用栈来模拟递归过程二叉树详解（下）完全二叉树满二叉树除最后一层外，每层节点都是满所有非叶节点都有两个子节点，所的，最后一层的节点都集中在左有叶节点都在同一层满二叉树是侧完全二叉树可以使用数组高效一种特殊的完全二叉树，具有最大存储，父子节点的索引之间有简单的节点数一棵高度为的满二叉h的数学关系对于索引从开始的树恰好有个节点满二叉树02^h-1数组，索引为的节点的左子节点的结构非常规整，在某些特定算法i索引为，右子节点索引为中具有优良的性能特征2i+1，父节点索引为2i+2i-1/2⌊⌋二叉搜索树（BST）左子树上所有节点的值都小于根节点的值，右子树上所有节点的值都大于根节点的值，且左右子树也是二叉搜索树二叉搜索树支持高效的查找、插入和删除操作，平均时间复杂度为但在最坏情况下（如顺序插入数据形成Olog n的偏斜树），性能可能退化为On堆的结构与应用堆的定义与分类堆的操作应用场景堆是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆的核心操作包括插入元素、删除堆堆的主要应用包括优先队列实现、堆堆和最小堆在最大堆中，每个节点的顶元素、构建堆这些操作都需要通过排序、问题、中位数问题等TopK值都大于或等于其子节点的值；在最小上浮（）或下沉（heapify-up heapify-在优先队列中，堆用于高效地获取优先堆中，每个节点的值都小于或等于其子）来维护堆的性质down级最高的元素堆排序利用堆的性质进节点的值构建堆有两种常见方法自底向上法和行排序，具有的时间复杂度On log n堆的这种性质保证了根节点总是存储堆自顶向下法自底向上法从最后一个非在处理大数据集的问题时，可以维TopK中的最大值（最大堆）或最小值（最小叶节点开始，依次向上调整，时间复杂护一个大小为的堆，节省内存并提高效K堆），这使得堆特别适合需要频繁获取度为；自顶向下法则是逐个插入元率On极值的应用场景素，时间复杂度为On log n图的基本知识12图的定义表示方式图是由顶点集合和边集合组成的数据结构，表示邻接矩阵使用二维数组表示，空间复杂度物体之间的关系相比树结构，图的关系更加复OV²，适合稠密图邻接表使用链表数组表杂，允许任意两个顶点之间建立连接示，空间复杂度OV+E，适合稀疏图3图的分类有向图边有方向；无向图边无方向；带权图边有权值；混合图同时包含有向边和无向边图结构广泛应用于现实问题建模，例如社交网络、地图导航、网络拓扑等根据不同的应用场景和图的特性，选择合适的表示方式可以显著提高算法的效率在处理大规模稀疏图时，邻接表通常是更好的选择，因为它只存储实际存在的边，节省了大量空间而对于需要频繁判断任意两点是否相连的场景，邻接矩阵则更为高效图的遍历算法深度优先搜索（DFS）•算法思想尽可能深地探索图的分支，使用回溯返回继续搜索•实现方式递归或使用栈的非递归实现•时间复杂度OV+E，其中V为顶点数，E为边数•典型应用拓扑排序、寻找连通分量、检测环广度优先搜索（BFS）•算法思想逐层探索，先访问邻近顶点，再向外扩展•实现方式使用队列维护待访问的顶点•时间复杂度OV+E，其中V为顶点数，E为边数•典型应用最短路径问题、层级遍历、网络爬虫应用案例连通性判断使用DFS或BFS从图中的一个顶点开始遍历，如果能访问到所有顶点，则图是连通的对于有向图，可以通过两次DFS（正向和反向）判断强连通性这种算法在社交网络分析、电路设计验证等领域有重要应用排序算法总览算法平均时间复杂最坏时间复杂空间复杂度稳定性度度冒泡排序On²On²O1稳定选择排序On²On²O1不稳定插入排序On²On²O1稳定希尔排序On log n On²O1不稳定归并排序On logn On logn On稳定快速排序On logn On²Olog n不稳定堆排序On logn On lognO1不稳定排序算法是计算机科学中的基础算法，根据原理不同可分为比较排序和非比较排序比较排序基于元素间的比较进行排序，而非比较排序利用元素的特定性质直接确定位置稳定性是排序算法的重要特性，指相等元素在排序前后的相对位置是否保持不变在某些应用中，如多关键字排序，稳定性至关重要选择合适的排序算法需要考虑数据规模、元素分布特性、稳定性要求和内存限制等因素冒泡排序与选择排序冒泡排序选择排序冒泡排序是一种简单的排序算法，原理是通过相邻元素的比较和选择排序的基本思想是每次从未排序部分选出最小的元素，放到交换，使较大的元素逐渐浮到数组的末端每一轮比较后，已排序部分的末尾与冒泡排序不同，选择排序每轮只进行一次最大的元素会移动到当前未排序部分的末尾，像气泡上升一样交换，减少了交换操作的次数选择排序的时间复杂度始终为，无论输入数据是否有序On²优化方案添加标志位记录每轮是否发生交换，如果某轮没有交虽然选择排序的交换次数少于冒泡排序，但总的比较次数相同，换，则说明数组已排序，可以提前退出普通冒泡排序的时间复因此在大多数情况下性能差异不大选择排序是不稳定的排序算杂度为，但对于已接近有序的数组，优化后可接近法，因为元素交换可能改变相等元素的相对位置On²On插入排序与希尔排序插入排序希尔排序插入排序的核心思想是将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分取出希尔排序是插入排序的改进版，它通过比较相距一定间隔的元素来工作希尔排序一个元素，插入到已排序部分的正确位置插入排序非常类似于我们整理扑克牌的开始时使用较大的间隔进行粗略排序，然后逐渐减小间隔，最后用间隔为1的普通方式，逐一将牌插入到手中已有牌的正确位置插入排序完成排序插入排序对于小规模数据或基本有序的数据表现出色最好情况下（已排序数希尔排序的关键在于间隔序列的选择常用的序列有希尔增量序列（n/2,n/4,...,组），时间复杂度为On；最坏情况下（逆序数组），时间复杂度为On²由于其1）、Hibbard增量序列（2^k-1,...,3,1）等希尔排序打破了插入排序对连续记录简单和稳定性，插入排序常作为其他复杂排序算法的子过程的依赖，使得远距离元素能够快速接近正确位置，显著提高了效率归并排序原理分解阶段归并排序采用分治策略，将待排序数组递归地分解为规模更小的子问题具体来说，将数组不断二分，直到子数组长度为1或0，这些子数组自然是有序的分解过程可以用二叉树表示，树的高度约为logn，其中n是数组长度这个阶段的时间复杂度为Olog n合并阶段将两个已排序的子数组合并成一个有序数组是归并排序的核心操作合并时，我们创建一个辅助数组，从两个子数组的开头开始比较，将较小的元素先放入辅助数组，并移动该子数组的指针合并两个长度为n/2的数组需要On的时间由于每一层都需要合并n个元素，总共有logn层，因此合并阶段的总时间复杂度为On logn性能特点归并排序的时间复杂度在最好、平均和最坏情况下都是On logn，这使它成为稳定的、高效的排序算法然而，归并排序需要On的额外空间来存储临时数组，这是它的主要缺点归并排序是一种稳定的排序算法，适用于对大型数据集进行外部排序，因为它可以有效地处理不能全部装入内存的数据快速排序详解堆排序算法构建最大堆从最后一个非叶节点开始，自底向上进行下沉操作，确保每个子树都满足堆的性质这个过程的时间复杂度为On，比逐个插入元素构建堆更高效堆顶元素与末尾交换将堆顶最大元素与当前堆的最后一个元素交换，使最大元素移到正确的排序位置交换后，堆的大小减一，最大元素被排除在堆外重新调整堆交换操作可能破坏堆的性质，需要对新的堆顶元素执行下沉操作，重新调整为最大堆这个过程的时间复杂度为Olog n重复执行重复执行上述两个步骤，直到堆的大小减为1，此时数组已完全排序总共需要执行n-1次堆调整，总时间复杂度为Onlogn堆排序是一种高效的排序算法，它利用堆这种数据结构进行排序堆排序的主要优点是保证On logn的时间复杂度，并且只需要O1的额外空间堆排序不是稳定排序，但在某些应用中，如TopK问题，堆的特性非常有用计数排序、桶排序与基数排序计数排序桶排序计数排序是一种非比较排序算法，它使用额外的计桶排序将元素分配到有限数量的桶中，每个桶再单数数组记录元素出现的次数适用于已知范围内的独排序当元素分布均匀时，桶排序可以达到线性整数排序，当范围较小时效率极高时间复杂度时间复杂度，其中是元素的取值范围时间复杂度平均，最坏On+k k On+k On²空间复杂度空间复杂度On+kOn+k稳定性稳定稳定性取决于桶内排序算法基数排序基数排序是一种多关键字排序算法，它按照位数从适用场景对比低到高（或从高到低）依次排序适用于数字或定长字符串的排序计数排序适用于小范围整数时间复杂度，其中是位数，是每位桶排序适用于均匀分布的数据Odn+k dk的取值范围基数排序适用于整数或定长字符串空间复杂度On+k稳定性稳定查找算法基础顺序查找折半查找顺序查找又称线性查找，是最基本的查找算折半查找又称二分查找，要求数据必须有序法它从第一个元素开始，按顺序检查每个它通过不断将查找区间分为两半，比较中间元素，直到找到目标元素或遍历完整个序列元素与目标值的大小来缩小查找范围时间复杂度Olog n时间复杂度最坏情况On；平均情况空间复杂度迭代版O1；递归版Olog nOn/2=On适用场景适用于已排序的数据集，特别是空间复杂度O1静态数据集适用场景适用于小规模数据集或无序数据集哈希查找哈希查找利用哈希函数将关键字映射到数组的索引，理想情况下可以在O1时间内完成查找时间复杂度平均O1；最坏On空间复杂度Om，m为哈希表大小适用场景需要高效动态查找的场景，如数据库索引、缓存系统哈希表详解高效查找平均时间复杂度O1哈希函数将关键字转换为表地址冲突处理解决多个关键字映射到同一地址哈希表是一种基于哈希函数实现的数据结构，它能够提供近乎恒定时间的数据检索哈希函数设计是哈希表性能的关键，好的哈希函数应该具有计算简单、均匀分布、较少冲突等特性常见的哈希函数包括除法哈希法、乘法哈希法、全域哈希法等冲突是哈希表中不可避免的问题，主要解决方法有链地址法（将相同哈希值的元素组织成链表）和开放地址法（如线性探测、二次探测、双重哈希等）链地址法更适合冲突较多的情况，而开放地址法在冲突较少且空间紧张时更有优势哈希表的装载因子（已存元素数量与表大小之比）直接影响查找性能装载因子过高会导致冲突增多，过低则浪费空间动态调整表大小（）是rehash保持性能的常用技术，一般在装载因子达到某个阈值（如）时进行扩容

0.75递归算法与应用递归定义递归是一种解决问题的方法，它将原问题分解为更小的同类子问题，然后通过子问题的解组合出原问题的解程序实现上，递归体现为函数直接或间接调用自身每个递归算法都包含基本情况（递归终止条件）和递归情况递归与迭代递归和迭代是两种不同的解决问题方式递归使用函数调用栈隐式地保存状态，代码通常更简洁易懂；迭代则显式使用循环和变量保存状态，通常更高效任何递归算法都可以转换为迭代版本，但有时会大大增加代码复杂性经典应用递归在算法设计中有广泛应用，尤其适合处理具有递归性质的数据结构和问题常见示例包括斐波那契数列计算、阶乘计算、二叉树遍历、归并排序、快速排序、汉诺塔问题、迷宫寻路等许多分治和动态规划问题都可以用递归优雅地表达分治法策略分解将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题这一步是分治法的关键，好的分解能够显著降低问题的复杂度例如，在归并排序中，我们将数组不断二分，直到子数组长度为1；在快速排序中，我们根据枢轴将数组分为小于枢轴和大于枢轴的两部分解决递归地求解各个子问题当子问题规模足够小，可以直接求解时（称为基本情况），就停止递归，直接返回解分治法的效率很大程度上取决于子问题的数量和规模理想情况下，子问题应具有相似的规模，这样能够获得最优的时间复杂度合并将各个子问题的解组合成原问题的解这一步骤需要根据具体问题设计合并算法，有时可能是算法中最复杂的部分在归并排序中，合并操作是将两个已排序的子数组合并为一个有序数组；在二分搜索中，合并操作很简单，只需根据比较结果选择一个子问题的解动态规划基础1核心思想动态规划通过将复杂问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算与分治法不同，动态规划适用于子问题有重叠的情况，通过记忆化提高效率2重叠子问题问题可以分解为子问题，且这些子问题会重复出现例如，计算斐波那契数列时，Fn=Fn-1+Fn-2中，较小的子问题会被重复计算多次3最优子结构问题的最优解包含其子问题的最优解这是应用动态规划的必要条件，意味着我们可以通过组合子问题的最优解来构建原问题的最优解4状态转移方程描述问题状态之间转移关系的数学表达式，是动态规划的核心设计良好的状态表示和转移方程是解决DP问题的关键步骤动态规划经典问题背包问题最长公共子序列斐波那契数列背包问题是经典的动态规划问题，其中最长公共子序列（）是指两个字符串斐波那契数列是动态规划的入门问题，递0-LCS背包问题要求每种物品要么拿要么不拿中的最长的、不一定连续但顺序相同的字归定义为，其中1Fn=Fn-1+Fn-2定义状态表示考虑前个物品，背符序列定义状态表示字符串的传统递归解法会导致大DP[i][j]i DP[i][j]A F0=0,F1=1包容量为时的最大价值状态转移方程前个字符与字符串的前个字符的长量重复计算，时间复杂度为使用j iB jLCS O2^n为度状态转移方程为如果，动态规划可以将时间复杂度降为定DP[i][j]=maxDP[i-1][j],DP[i-1][j-A[i]==B[j]On，其中和分别是第个则；否则，义状态表示第个斐波那契数，状态w[i]]+v[i]w[i]v[i]i DP[i][j]=DP[i-1][j-1]+1DP[i]i物品的重量和价值转移方程为DP[i][j]=maxDP[i-1][j],DP[i][j-1]DP[i]=DP[i-1]+DP[i-2]贪心算法基础贪心策略定义适用场景贪心算法是一种通过在每一步选择贪心算法适用于具有贪心选择性质中都采取当前状态下最优选择（局和最优子结构的问题前者确保部最优），从而希望导致全局最优每步的贪心选择最终能得到全局最解的算法策略贪心算法的核心是优解；后者意味着问题的最优解包贪心选择性质，即局部最优选择能含子问题的最优解典型应用包导致全局最优解这种算法通常简括最小生成树、哈夫曼编码、活单高效，但需要证明其正确性动选择问题等贪心算法在某些NP完全问题中也可以作为近似算法使用与动态规划的区别贪心算法和动态规划都用于求解最优化问题，但存在本质区别贪心算法每步只考虑当前最优选择，不能反悔；而动态规划则会考虑所有可能的选择，并根据子问题的解构建最优解贪心算法通常更高效（时间复杂度更低），但适用范围更窄；动态规划适用范围更广，但计算量可能更大贪心算法案例活动选择问题最小生成树霍夫曼编码问题描述给定个活动，每个活动有开问题描述在带权无向图中找到一棵生问题描述给定一组字符及其出现频n始时间和结束时间，要求选择最大数量成树，使得树上边权之和最小率，设计变长编码使得平均编码长度最的互不冲突的活动小算法按边权从小到大考虑每条Kruskal贪心策略按活动结束时间排序，每次边，如果不形成环则加入生成树贪心策略构建霍夫曼树，每次选择两选择结束最早且与已选活动不冲突的活个频率最小的节点合并算法从任意顶点开始，每次选择Prim动一条连接树和非树顶点的最小权边霍夫曼编码是一种前缀编码，即没有任正确性证明通过反证法可以证明，这何编码是其他编码的前缀，这确保了解两种算法都是贪心策略，但实现方式不种贪心策略确实能得到最优解码的唯一性它广泛应用于数据压缩领同适合稀疏图，而适合Kruskal Prim域稠密图图算法进阶Dijkstra最短路径算法Floyd最短路径算法拓扑排序算法用于解决单源最短路径问题，要求算法用于解决所有点对最短路径问题，可拓扑排序用于对有向无环图的顶点进行线Dijkstra FloydDAG所有边权为非负算法思想是贪心的维护一个处理负权边（但不能有负权环）算法基于动态性排序，使得对于图中任意的有向边，顶点u,v已确定最短路径的顶点集合，每次从未确定的顶规划，通过逐步尝试所有可能的中转顶点来更新在排序中都出现在顶点之前拓扑排序可以用u v点中选择距离源点最近的顶点加入集合，并更新任意两点间的最短距离或实现，方法也称为算法DFS BFSBFS Kahn与其相邻顶点的距离时间复杂度为，空间复杂度为虽时间复杂度为拓扑排序在任务调度、OV³OV²OV+E时间复杂度为，使用优先队列可优化为然复杂度较高，但实现简单，且对于小规模图非编译依赖分析、课程安排等领域有重要应用不OV²OE logV，其中V是顶点数，E是边数常有效Floyd算法还可以用来检测图中是否存是所有图都存在拓扑排序，只有DAG才有算法在网络路由、地图导航等领域有广在负权环Dijkstra泛应用并查集结构基本概念并查集是一种维护不相交集合的数据结构，支持查询和合并操作路径压缩查找时将路径上的所有节点直接连接到根节点，降低树高按秩合并合并时将较小的树连接到较大的树上，避免树变高并查集是一种非常高效的数据结构，主要用于处理一些不相交集合的合并及查询问题典型的应用场景包括判断网络中节点的连通性、最小生成树算法的实现（Kruskal算法）、等价类问题等并查集通常用数组或树来实现，每个集合通过一棵树表示，树根作为集合的代表元素初始时，每个元素构成一个单元素集合Find操作查找元素所在集合的代表元素，Union操作将两个集合合并为一个采用路径压缩和按秩合并这两种优化后，并查集的操作时间复杂度接近于常数级别具体来说，对于n个元素和m个操作，时间复杂度为Omαn，其中αn是一个增长极其缓慢的函数，实际应用中可以视为常数字符串算法进阶算法复杂度分析空间复杂度考量空间复杂度衡量算法在执行过程中临时占用的内存空间随输入规模的增长关系影响因素包括输入数据的存储方式、辅助数据结构、递归调用栈等在大数据处理中，空间时间复杂度详解复杂度可能比时间复杂度更为关键，因为内时间复杂度是算法执行时间随输入规模增长存资源有限，过高的空间需求可能导致算法的变化趋势，通常用大符号表示详细分O在实际环境中无法执行类包括常数时间、对数时间O1Olog、线性时间、线性对数时间n OnOnlog实践中的优化、平方时间、指数时间等nOn²O2ⁿ理论复杂度不等同于实际性能，还需考虑常分析时关注最坏情况和平均情况，忽略常数数因子、缓存利用率等优化技巧包括避因子和低阶项免不必要的内存拷贝、减少分支预测失败、使用更高效的数据结构、利用问题特性进行剪枝等在特定输入规模下，复杂度较高但常数因子小的算法可能比复杂度低但常数因子大的算法更快算法设计技巧创新解决方案突破常规思维，找到问题的本质常用技术组合2灵活运用并组合多种算法设计方法算法设计模式3掌握分治、动态规划、贪心等设计范式问题建模4将实际问题抽象为经典问题或其变形算法设计是一门艺术，需要同时具备创造性思维和系统化方法首先需要准确理解问题，识别问题的本质特征，然后将其抽象为合适的数学模型熟悉常见的算法设计范式（分治、动态规划、贪心、回溯等）有助于快速找到解决方案在实际编程面试中，一些常见的陷阱和易错点包括忽略边界条件、未考虑特殊输入（如空输入、极大/极小值）、算法复杂度分析错误等应对策略是提前列出测试用例，尤其是边界情况；在编码前先详细描述算法思路；使用模块化方法编写代码，提高可读性和可维护性对于面试中的算法题，可以采用解题框架提高效率分析问题→选择数据结构→设计算法→估计复杂度→编写代码→测试验证在面试中，清晰的思路表达和与面试官的有效沟通往往比仅仅得到正确答案更为重要代码优化技巧循环优化循环是程序执行的主要耗时点，优化循环可以显著提升性能常用技巧包括循环展开（减少循环控制开销）、循环合并（减少循环次数）、循环不变量外提（避免重复计算）、减少循环内的函数调用等在嵌套循环中，应将计算量大的操作放在外层循环，以减少执行次数内存管理与缓存优化内存访问是现代计算机的主要瓶颈之一优化策略包括使用连续内存布局提高缓存命中率；避免频繁的动态内存分配和释放；利用内存池管理临时对象；优化数据结构的内存布局，使相关数据紧凑存储；合理设计数据访问模式，遵循空间局部性和时间局部性原则并行与分布式算法利用多核处理器和分布式系统可以显著提升算法性能应考虑任务的并行性，将独立的计算任务分配给不同处理单元；注意线程同步和数据一致性问题；避免频繁的线程创建和销毁，可使用线程池；对于数据密集型任务，考虑数据的分区策略，减少节点间通信开销实战项目与案例分析电商推荐系统架构数据结构选型分析算法性能调优实战电商推荐系统是大数据和算法应用的典型场数据结构选型是系统设计的关键决策需要性能调优是一个循环迭代的过程识别瓶颈、景系统架构通常包括数据收集层、特征工考虑的因素包括数据量大小、访问模式分析原因、优化实现、验证效果常用工具程层、算法层和展示层数据收集涉及用户（读多写少或写多读少）、查询类型（精确包括性能分析器（）、内存分析工Profiler行为日志、商品信息、历史交易等；特征工查询、范围查询或模糊查询）、更新频率、具等优化策略包括算法层面改进（如减少程将原始数据转换为算法可用的特征；算法内存限制等例如，对于频繁插入删除的场时间复杂度）、数据结构优化、代码层面优层实现各种推荐策略，如协同过滤、内容推景，链表可能优于数组；对于需要快速查找化（如减少函数调用、优化内存访问模式）荐、序列推荐等；展示层负责结果排序和界的大规模数据，哈希表或平衡树是更好的选等调优应遵循二八定律，优先优化最耗时面呈现择的部分常见面试题解读（）1数组和链表是面试中最常见的数据结构，相关题目通常考察基本操作和常用技巧数组类问题常见的有两数之和、三数之和、数组旋转、股票买卖问题等这类问题通常可以使用双指针、滑动窗口、前缀和等技巧解决链表类问题包括链表反转、检测环、找中点、合并有序链表等，通常需要熟练操作指针和设计合适的遍历策略解决这类问题的关键在于理解基本操作的时间复杂度和空间复杂度例如，数组随机访问是O1，但插入删除是On；链表插入删除是O1，但访问是On在编写代码时，应特别注意边界条件处理，如空数组/链表、只有一个元素的情况等空间复杂度优化也是面试关注的重点例如，很多链表问题可以用O1空间复杂度解决，而不是使用额外的数据结构在面试中，先给出简单直观的解法，再逐步优化至最优解法是一个好的策略，这展示了你的思考过程和优化意识常见面试题解读（）2树的遍历与构造二叉树的前中后序遍历、层序遍历，从遍历序列构造二叉树平衡树操作判断平衡二叉树，二叉搜索树的验证与转换图的搜索与路径DFS与BFS应用，最短路径问题，拓扑排序特殊数据结构并查集，字典树，线段树的应用树和图是算法面试中的重要话题，要求应聘者熟悉各种遍历方法和特殊结构对于树类问题，常见的考点包括通过递归和迭代方式实现各种遍历、判断树的性质（如平衡性、对称性）、路径和节点距离问题等解决树问题的关键技巧是理解递归和树的性质，往往可以将复杂问题分解为对左右子树的处理图类问题通常考察搜索算法（DFS、BFS）的应用，如判断连通性、寻找最短路径、拓扑排序等在面试中，清晰地表述图的表示方法（邻接矩阵或邻接表）和算法思路非常重要对于特殊数据结构如并查集、字典树等，需要理解其适用场景和基本操作的实现在处理这类问题时，应注意算法的时间复杂度和空间复杂度分析例如，树的深度优先遍历时间复杂度是On，但递归实现会使用Oh的栈空间，其中h是树的高度测试用例设计也很重要，应考虑边界情况如空树、单节点树、完全二叉树、偏斜树等常见面试题解读（）3动态规划经典题型贪心算法常见题型•背包问题（0-1背包、完全背包、多•区间问题（会议安排、区间合并等）重背包）•最小生成树相关问题•最长递增子序列（LIS）与最长公共•霍夫曼编码与数据压缩子序列（LCS）•任务调度与资源分配•编辑距离与字符串匹配问题贪心问题的难点在于证明贪心策略的正•区间DP、状态压缩DP、树形DP等确性，面试中通常需要通过举例或简单变种证明来说明选择的贪心策略是合理的解决DP问题的关键是定义状态、找出状态转移方程，然后决定自底向上还是自顶向下的实现方式优化与模板技巧使用备忘录Memoization优化递归DP，将指数级复杂度降为多项式；空间优化技巧，如滚动数组减少空间复杂度；问题转化，将新问题映射到熟悉的模板上模板代码应掌握基本框架，但不应死记硬背，重要的是理解核心思想数据结构学习资源推荐经典书籍与教材优质在线课程编程练习平台《算法导论》深入理解中国大学平台上的最流行的算—MOOC LeetCode—算法设计与分析的经典教《数据结构》课程浙江法题库，有中英文版本，—材，内容全面但较难；大学陈越教授主讲，深入题目分类清晰，难度递《数据结构与算法分析》浅出；上的《算进；牛客网国内知名Coursera—IT著法》课程普林斯顿大学面试备考平台，有针对不Mark AllenWeiss——平衡理论与实践的优秀教教授同公司的专项练习；洛Robert Sedgewick材；《算法》主讲，配合同名书籍学习谷面向算法竞赛的在线Robert—著图解丰效果更佳；开放课程评测平台，题目难度较Sedgewick—MIT富，配有在线课程；《啊《算法导论》与教材同高；汇总了各—CodeTop—哈！算法》通俗易懂，步，讲解深入；站主大公司真题及出现频率，—B up适合初学者；《剑指正月点灯笼的算法可视化针对性强；PAT》面试导向的算法系列形象直观地展示各（Offer——Programming Ability题集，有详细解析种算法的运行过程）浙江大学开发的Test—编程能力测试平台，题目质量高算法竞赛简介竞赛基本规则训练路线与技巧常见竞赛平台算法竞赛通常给定若干道算法问题，要初学者应从基础数据结构和算法入手，国际大学生程序设计竞赛全球ICPC—求参赛者在限定时间内设计算法并编写掌握复杂度分析、排序、搜索、动态规最具影响力的大学生编程竞赛；蓝桥杯程序解决评判标准主要包括正确性划等核心概念进阶阶段需要学习图大赛国内高校重要的算法编程比赛；—（程序能否产生正确结果）、效率（时论、组合数学、计算几何等专题知识全国信息学奥林匹克竞赛面向中NOI—间与空间复杂度）以及代码质量学生的算法竞赛；和Google KickStart实战训练建议每天坚持刷题，循序渐举办的全球性在线Code Jam—Google主要竞赛形式有个人赛和团队赛，常见进提高难度；模拟比赛环境，限时训编程比赛；俄罗斯流行的Codeforces—的团队赛要求人一组，共享台电脑，练；赛后总结，分析错误和优化方向；31算法竞赛平台，定期举办比赛需要合理分工协作大多数比赛允许使组队训练，交流学习不同解法用、、等主流编程C/C++Java Python语言未来趋势与发展方向人工智能与算法融合大数据时代的新挑战人工智能与传统算法的边界正在模糊随着数据规模的爆炸性增长，传统算机器学习算法如深度学习正在解决传法面临新的挑战分布式算法、流处统算法难以处理的复杂问题，如图像理算法、近似算法和概率算法变得越识别、自然语言处理等同时，经典来越重要例如，HyperLogLog算法数据结构和算法也为AI系统提供了底可以使用极小的内存估计大数据集的层支持，如KD树用于加速最近邻搜索、基数；LSH（局部敏感哈希）算法用图算法用于知识图谱构建等未来将于大规模相似性搜索；BloomFilter用看到更多AI辅助的算法设计和优化，于高效判断元素是否存在这些算法以及算法辅助的AI模型构建通常牺牲一定的精确性换取更好的效率和可扩展性算法自动化与ML结合自动化算法设计正成为新的研究热点AutoML和神经架构搜索NAS等技术能够自动寻找最优的机器学习模型结构和超参数类似地，对于传统算法问题，研究人员也在探索如何利用机器学习自动生成或优化算法程序合成技术的进步可能最终导致AI系统能够根据问题描述自动生成高效算法，这将彻底改变软件开发的模式复习总结12核心知识点技能提升本课程系统回顾了数据结构与算法的基础知识，掌握数据结构与算法不仅关乎面试，更是提升整从基本概念到高级应用重点内容包括线性结体编程能力的关键建议定期练习编程，参与构（数组、链表、栈、队列）、树结构（二叉树、在线竞赛；阅读优质开源代码，学习实际应用；堆、搜索树）、图算法（遍历、最短路径）以及尝试自己实现经典算法和数据结构；将所学应用各类算法设计范式（分治、动态规划、贪心）到实际项目中3持续学习计算机科学是不断发展的领域，保持学习习惯至关重要建议关注学术论文和新兴技术，参与开源社区，与同行交流，定期回顾和更新知识体系，始终保持对新知识的好奇心致谢与答疑感谢聆听互动答疑学习指导衷心感谢各位同学对本课程的积极参与和现在开始互动答疑环节，欢迎大家就课程如需进一步学习指导，可以通过以下方式认真学习数据结构与算法是计算机科学内容提出问题无论是基础概念的困惑，联系教师邮箱的基石，希望这次系统复习能够帮助大家还是复杂算法的应用，或者是面试技巧的；课程网站teacher@university.edu巩固知识，提升能力感谢教学团队的辛咨询，都可以提出来讨论如果时间有限course.university.edu/datastructur勤付出，感谢学校提供的优质教学资源和未能解答所有问题，可以在课后通过其他；学习讨论群；每周四下e123456789环境渠道继续交流午点在计算机科学楼室提供面对2-4305面辅导。