《概率理论复习概要》课件

概率理论复习概要概率论基础知识体系总结从基本概念到统计推断的全面梳理适用于期末复习与考试准备课程大纲概率论基本概念随机试验与事件随机变量及分布离散型与连续型多维随机变量联合分布与边缘分布数字特征期望与方差极限定理大数定律与中心极限定理统计推断基础估计与假设检验第一部分概率论的基本概念概率公理数学基础概率计算条件概率与全概率公式随机试验样本空间与随机事件随机试验随机试验定义样本空间与样本点可重复所有可能结果的集合结果不确定每个可能结果是样本点所有可能结果已知随机事件样本空间的子集基本事件与复合事件事件关系与运算包含关系并集⊂表示是的子事件∪表示事件或发生A B A BA BA B对立交集表示事件不发生表示事件和同时发生ĀA A∩BAB概率的公理化定义公理一公理二对任意事件，对样本空间，A PA≥0S PS=1公理三对互不相容事件，∪PA B=PA+PB条件概率条件概率定义，PA|B=PA∩B/PB PB0乘法定理PA∩B=PBPA|B=PAPB|A全概率公式PA=∑PB_iPA|B_i贝叶斯公式公式表达PB_i|A=PB_iPA|B_i/PA先验与后验先验后验PB_i→PB_i|A应用实例医学诊断、垃圾邮件过滤事件的独立性独立性定义多事件独立性独立重复试验两两独立相互独立伯努利试验模型PA∩B=PAPB≠个事件独立任意组合乘积等于概率乘每次试验条件不变PA|B=PA n积相互独立事件之间无影响试验结果相互独立第二部分随机变量及其分布随机变量的概念随机变量定义离散型随机变量样本空间到实数集的映射函数取值有限或可数无限连续型随机变量混合型随机变量取值不可数无限离散与连续特性并存分布函数定义性质单调非减Fx=PX≤x描述随机变量的概率分布特征右连续极限，F-∞=0F+∞=1离散与连续离散阶梯函数连续光滑曲线离散型随机变量概率质量函数px_i=PX=x_i分布列列表所有可能值及其概率分布函数Fx=∑_{x_i≤x}px_i概率计算Pa伯努利试验与二项分布泊松分布λλλ参数期望方差单位时间内平均发生次数EX=λDX=λ概率质量函数PX=k=e^-λλ^k/k!几何分布与负二项分布几何分布负二项分布无记忆性X~Geop X~NBr,p PXm+n|Xm=PXn首次成功所需试验次数次成功所需试验次数几何分布是唯一具有无记忆性的离散分r布PX=k=1-p^k-1p EX=r/pEX=1/p DX=r1-p/p^2DX=1-p/p^2超几何分布有限总体个物品，其中个为特征N MA不放回抽样抽取个n抽中特征个数AX~HN,M,n概率质量函数PX=k=CM,kCN-M,n-k/CN,n连续型随机变量概率密度函数且fx≥0∫fxdx=1分布函数2Fx=∫_{-∞}^{x}ftdt概率计算Pa均匀分布1/b-a a+b/2概率密度期望区间上常数值区间中点[a,b]b-a²/12方差与区间长度相关，Fx=x-a/b-a a≤x≤b指数分布参数密度函数λ2，表示率参数，λ0fx=λe^-λx x0与泊松过程关系无记忆性事件间隔时间服从指数分布PXs+t|Xs=PXt正态分布标准正态分布Z~N0,1一般正态分布X~Nμ,σ²密度函数fx=1/σ√2πe^-x-μ²/2σ²标准化Z=X-μ/σ正态分布的性质对称性原则标准正态表3σ关于对称查表计算概率x=μP|X-μ|3σ≈

0.9973线性变换aX+b~Naμ+b,a²σ²其他重要分布伽马分布卡方分布分布与分布t F等待个事件发生的时间个标准正态随机变量平方和与正态总体统计推断相关Γα,λαχ²n n第三部分多维随机变量联合分布1完整描述多维随机变量概率结构边缘分布单个变量的分布条件分布一个变量在给定另一个变量下的分布独立性变量间相互无影响二维随机变量联合分布函数Fx,y=PX≤x,Y≤y完整描述两个随机变量的概率关系边缘分布F_Xx=Fx,+∞F_Yy=F+∞,y条件分布在一个变量取特定值条件下另一个变量的分布独立性判定Fx,y=F_XxF_Yy条件分布等于边缘分布离散型二维随机变量联合概率px_i,y_j=PX=x_i,Y=y_j边缘分布p_Xx_i=∑_j px_i,y_j条件分布px_i|y_j=px_i,y_j/p_Yy_j独立性px_i,y_j=p_Xx_ip_Yy_j连续型二维随机变量联合密度函数且fx,y≥0∫∫fx,ydxdy=1边缘密度函数f_Xx=∫fx,ydy条件密度函数fx|y=fx,y/f_Yy独立性判定fx,y=f_Xxf_Yy二维正态分布参数边缘分布均值向量和协方差矩阵，μ_1,μ_2X~Nμ_1,σ_1²Y~Nμ_2,σ_2²独立与不相关条件分布不相关独立仍为正态分布ρ=0⟺⟺随机变量的函数分布函数法Y=gXF_Yy=PY≤y=PgX≤y密度函数法f_Yy=f_Xg^-1y|dg^-1/dy|矩生成函数法M_Yt=Ee^tY=Ee^tgX二维随机变量的函数和与差乘积与商最大值与最小值或或或Z=X+Y Z=X-Y Z=XY Z=X/Y Z=maxX,Y Z=minX,Y变量替换雅可比行列式方法第四部分随机变量的数字特征期望值离散型随机变量期望EX=∑x_i px_i加权平均值连续型随机变量期望EX=∫x fxdx偏心矩期望的性质线性性EaX+bY=aEX+bEY独立时EXY=EXEY随机变量函数的期望或EgX=∑gx_ipx_i∫gxfxdx方差与标准差方差定义DX=E[X-EX²]计算公式DX=EX²-[EX]²线性变换性质DaX+b=a²DX切比雪夫不等式P|X-μ|≥ε≤σ²/ε²矩与中心矩阶原点矩k EX^k阶中心矩k E[X-EX^k]偏度（分布偏斜度）E[X-μ³]/σ³峰度（尾部厚度）E[X-μ⁴]/σ⁴协方差与相关系数协方差定义CovX,Y=E[X-EXY-EY]计算公式CovX,Y=EXY-EXEY相关系数3ρ=CovX,Y/σ_Xσ_Y矩生成函数定义求矩1M_Xt=Ee^tX EX^k=M_X^k0唯一确定分布和的矩生成函数不同分布有不同矩生成函数（独立时）M_{X+Y}t=M_XtM_Yt特征函数定义性质应用标准正态分布φ_Xt=Ee^itX|φ_Xt|≤1φt=e^-t²/2矩生成函数的复数版本卷积计算φ_X0=1反演公式φ_X-t=φ̄_Xt第五部分极限定理大数定律中心极限定理样本均值趋于数学期望和的分布趋于正态分布大数定律依概率收敛对任意，X_n→_p Xε0lim_{n→∞}P|X_n-X|ε=1弱大数定律样本均值依概率收敛于期望值强大数定律样本均值几乎必然收敛于期望值应用场景模拟、频率解释概率Monte Carlo中心极限定理独立同分布随机变量1X_1,X_2,...,X_n和的标准化Z_n=\frac{S_n-nμ}{σ\sqrt{n}}渐近正态分布Z_n→_d N0,1中心极限定理的应用二项分布正态近似泊松分布正态近似Bn,p≈Nnp,np1-p Pλ≈Nλ,λ当较大时当较大时nλ统计推断应用抽样分布假设检验置信区间构造第六部分统计推断基础决策与结论接受或拒绝假设假设检验评估样本证据对假设的支持度区间估计参数可能取值的区间点估计参数的单一最佳估计抽样与统计量从总体中获取信息统计量与抽样分布统计量样本均值样本的函数，不含未知参数正态总体\bar{X}~Nμ,σ²/n统计量与统计量样本方差t F比值的抽样分布正态总体n-1S²/σ²~χ²n-1参数估计点估计矩估计法最大似然估计贝叶斯估计寻找最接近真实参数值的单样本矩等于总体矩最大化似然函数结合先验信息一估计简单但效率可能不高大样本性质优良参数视为随机变量估计量的评价标准无偏性E\hat{θ}=θ有效性最小方差无偏估计一致性\hat{θ}_n→_pθn→∞充分性包含样本所有相关信息区间估计正态总体均值正态总体方差置信水平与样本量已知置信水平区间宽度σ²:\bar{X}±z_{α/2}σ/\sqrt{n}n-1S²/χ²_{α/2}σ²n-1S²/χ²_{1-α/2}↑→↑未知样本量区间宽度σ²:\bar{X}±t_{α/2}S/\sqrt{n}↑→↓假设检验提出假设1原假设与备择假设H₀H₁确定显著性水平第一类错误概率α拒绝域值小于时拒绝pαH₀参数假设检验均值检验检验（已知）zσ²检验（未知）tσ²方差检验检验χ²比例检验大样本近似正态分布双样本检验两样本检验t检验比较方差F常见概率分布的关系综合复习与应用150+重要公式记忆核心计算方法80%概念理解掌握定义与性质50+典型例题熟练解题技巧100%复习覆盖率全面系统梳理。